1、2023年江苏省无锡新区中考一模数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1. 相反数是（ ）A. 5B. C. D. 2. 函数中，自变量的取值范围是（ ）A B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ）A. B. C. D. 4. 当取何值时，分式有意义（ ）A. B. C. D. 5. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. 等边三角形B. 平行四边形C. 圆D. 五角星6. 某组数据、3、9、0、3的中位数和众数分别是（ ）A. ，3B. 0，3C. ，9D. 0，97. 四边形中，对角线，点E、F、G、H分别是的中点，则四边形是（ ）A. 正方形
2、B. 矩形C. 平行四边形D. 菱形8. 如图，是的外接圆，是直径，则的度数为（ ）A. B. C. D. 9. 已知线段的中点为，动点满足，则点的轨迹是（ ）A. 以为直径的圆B. 的延长线C. 的垂直平分线D. 平行的直线10. 如图，正方形的边长为，是边上一点，连接，将绕着点逆时针旋转得到、交于，连接交于，连接，若，则的长为（ ）A. 4B. 5C. 6D. 4或6二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11. 地球与月球的平均距离大约384000km，用科学记数法表示这个距离为_km12. 分解因式：= _.13. 二元一次方程组 的解为_14. 请写出一个开口向上，顶点坐标
3、为的二次函数_15. “矩形的对角线相等”的逆命题是_命题（填“真”或“假”）16. 如图，中，是边的中点，延长到点，使，那么的长是_17. 如图，用一段不可伸缩的铁丝围成一个，若不改变的度数，将三角形弯折成一个以点为圆心的扇形，则折成的扇形半径长为_ 18. 如图，直角三角形的直角顶点的坐标为，两个锐角顶点、在直线：上，且直角边轴，双曲线：（为常数，），当双曲线经过点时，点_（只填“在”或“不在”）双曲线上；若点是线段上横坐标为整数的点（不与点、重合），若双曲线使这六个点分布在它的两侧，且两侧的点的个数比为，则的取值范围为_三、解答题（本大题共10小题，共96分）19. 计算：（1）；（2）
4、20. （1）解方程：；（2）解不等式组：21. 如图，点、在同一条直线上，（1）求证：；（2）连接、，判断四边形的形状，并说明理由22. 一只不透明的袋子中装有3个白球，1个红球，这些球除颜色外都相同（1）若从袋子里任意摸出一个球，则摸出红球的概率为_；（2）搅匀后从中任意摸出2个球（先摸出1个球，且这个球不放回，再摸出1个球），求恰好摸出1个红球、1个白球的概率（请用画“树状图”或“列表”等方法写出分析过程）23. 促进青少年健康成长是实施“健康中国”战略重要内容为了引导学生积极参与体育活动，某校举办了一分钟跳绳比赛，随机抽取了40名学生一分钟跳绳的次数进行调查统计，并根据调查统计结果绘制
5、了如下表格和统计图：等级次数频率不合格合格良好优秀请结合上述信息完成下列问题：（1）_，_；（2）请补全频数分布直方图；（3）在扇形统计图中，“良好”等级对应的圆心角的度数是_；（4）若该校有1200名学生，请估计该学生一分钟跳绳次数达到合格及以上的人数24. 如图，在中，点是上一点，的角平分线交以为直径的于点，过点作，垂足为，恰好过点（1）求证：是切线；（2）若，求的长25. 某旅游公司在景区内配置了50辆观光车供游客租赁使用，假定每辆观光车一天内最多能出租一次，且每辆车的日租金（元）是5的倍数，发现每天的营运规律如下：当不超过100元时，观光车能全部租出；当超过100元时，每辆车的日租金每
6、增加5元，租出去的观光车就会减少1辆，已知所有观光车每天的管理费是1100元（注：净收入=租车收入-管理费）（1）当日租金135元时，观光车能租出_辆；（2）设每日净收入为元，写出与函数关系式；（3）当每辆车的日租金为多少元时，每天的净收入最多？26. 问题探究：（1）请仅用无刻度直尺在图的正方形内，画出使的一个点；（2）请用无刻度直尺和圆规在图的正方形边上，画出使的所有点问题解决：（3）如图所示，现有一块矩形钢板，工人师傅想用它裁出两块全等的、面积最大的和钢板，且，此时裁得的长为_27. 如图，中，将翻折，使得点落在边上的点处，折痕分别交边、于点、点（1）当，且点是的中点时长为_；求的值；（
7、2）如果，求关于的函数关系式28. 已知抛物线过点和，与x轴交于另一点B，顶点为D（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；（2）如图1，E为线段上方的抛物线上一点，垂足为F，轴，垂足为M，交于点G当时，求的面积；（3）如图2，与的延长线交于点H，在x轴上方的抛物线上是否存在点P，使？若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由2023年江苏省无锡新区中考一模数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1. 的相反数是（ ）A. 5B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据相反数的定义即可求解【详解】解：的相反数是5，故选：A【点睛】此题主要考查相反数，解题的关键是熟知相
8、反数的定义2. 函数中，自变量的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解【详解】解：由题意得，x-20，解得x2故选：D【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，解决本题的关键是二次根式的被开方数是非负数3. 下列运算正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据合并同类项，积的乘方，同底数幂相乘，逐项判断即可求解【详解】解：A、和不是同类项，无法合并，故本选项错误，不符合题意；B、，故本选项正确，符合题意；C、，故本选项错误，不符合题意；D、和不是同类项，无法合并，故本选项错误，不符合题意；故选：B【点睛】本
9、题主要考查了合并同类项，积的乘方，同底数幂相乘，熟练掌握相关运算法则是解题的关键4. 当取何值时，分式有意义（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】分式有意义时分母不能为0，由此可解【详解】解：分式有意义时，解得，故选：D【点睛】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式的分母不能为05. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. 等边三角形B. 平行四边形C. 圆D. 五角星【答案】C【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解【详解】A、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；B、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故
10、本选项不合题意；C、圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；D、五角星轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；故选：C【点睛】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合6. 某组数据、3、9、0、3的中位数和众数分别是（ ）A. ，3B. 0，3C. ，9D. 0，9【答案】B【解析】【分析】根据中位数和众数的定义，即可求解【详解】解：把该组数据从小到大排列为：、0、3、3、9，位于正中间的一个数为0，中位数为0；该组数据中3出现的次数最多，众数为3故选
11、：B【点睛】本题主要考查了中位数和众数，熟练掌握把一组数据从大到小（或从小到大）排列后位于正中间的一个数或两个数的平均数是中位数；一组数据中出现次数最多的数是众数是解题的关键7. 四边形中，对角线，点E、F、G、H分别是的中点，则四边形是（ ）A. 正方形B. 矩形C. 平行四边形D. 菱形【答案】D【解析】【分析】根据三角形中位线定理可得，从而得到四边形EFGH是菱形，即可求解【详解】解：如图，点E、F、G、H分别是的中点，AC=BD，EF=FG=GH=EH，四边形EFGH是菱形故选：D【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，菱形的判定，熟练掌握三角形中位线定理，菱形的判定是解题的关键8.
12、如图，是外接圆，是直径，则的度数为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据同弧所对圆周角相等及直径所对圆周角为直角，结合三角形内角和定理即可得到答案.【详解】解：，是直径，故选D【点睛】本题考查同弧所对圆周角相等，直径所对圆周角为直角及三角形内角和是9. 已知线段的中点为，动点满足，则点的轨迹是（ ）A. 以为直径的圆B. 的延长线C. 的垂直平分线D. 平行的直线【答案】A【解析】【分析】根据圆的有关概念即可分析判断【详解】解：线段的中点为，点P在以点M为圆心，为直径的圆上，故选：A【点睛】本题考查了圆的有关认识，掌握圆的有关概念是解题的关键10. 如图，正方形的边长为，
13、是边上一点，连接，将绕着点逆时针旋转得到、交于，连接交于，连接，若，则的长为（ ）A. 4B. 5C. 6D. 4或6【答案】C【解析】【分析】将绕点逆时针旋转，得到，得出，证明，得出，根据得出，进而得出，根据，建立方程，解方程即可求解【详解】解：如图所示，将绕点逆时针旋转，得到，将绕着点逆时针旋转得到是等腰直角三角形，四边形是正方形，在中，设，则，即解得： 解得：（舍去）故选：C【点睛】本题考查了正方形的性质，正切的定义，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11. 地球与月球的平均距离大约384000km，用科学记
14、数法表示这个距离为_km【答案】3.84105【解析】【分析】根据科学记数法的概念可知：用科学记数法可将一个数表示的形式【详解】384000=3.84105.故答案是：3.84105.【点睛】考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为的形式，其中 ，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值12. 分解因式：= _.【答案】【解析】【分析】先提取公因式2，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案【详解】2x2-2y2=2（x2-y2）=2（x+y）（x-y）故答案为2（x+y）（x-y）【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底
15、13. 二元一次方程组 的解为_【答案】【解析】【分析】加减消元法求解即可【详解】解：，得，将代入得，二元一次方程组的解为，故答案为：【点睛】本题考查了解二元一次方程组解题的关键在于熟练掌握加减消元并正确的运算14. 请写出一个开口向上，顶点坐标为的二次函数_【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根据二次函数的解析式的顶点式，可知顶点坐标为；再由二次项系数a的符号可以判断抛物线的开口方向：当时，抛物线开口向上，当时，开口向下，从而写出答案【详解】解：顶点坐标为，设二次函数的解析式为：，又二次函数的图像开口向上，取，得，故答案为：【点睛】此题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次项系数的作用与二次函
16、数的顶点式是解此题的关键15. “矩形的对角线相等”的逆命题是_命题（填“真”或“假”）【答案】假【解析】【详解】试题分析：根据互逆命题的关系，可知其逆命题为“对角线相等的四边形为矩形”，而对角线互相平分且相等的四边形是矩形，可知是假命题.故答案为假.16. 如图，中，是边的中点，延长到点，使，那么的长是_【答案】3【解析】【分析】先判断出，再利用相似三角形的性质即可得到【详解】解：，是边的中点，故答案为：3【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键17. 如图，用一段不可伸缩的铁丝围成一个，若不改变的度数，将三角形弯折成一个以点为圆心的扇形，则折成的
17、扇形半径长为_ 【答案】【解析】【分析】首先借助求得铁丝的总长度，再设折成的扇形半径为，根据将三角形弯折成扇形铁丝长度不变，求解即可【详解】解：如下图，过点作于点，在中，铁丝的总长为：，设折成的扇形半径为，根据题意可得，解得，折成的扇形半径长为故答案为：【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、利用三角函数解直角三角形、扇形的周长等知识，理解题意并综合运用相关知识是解题关键18. 如图，直角三角形的直角顶点的坐标为，两个锐角顶点、在直线：上，且直角边轴，双曲线：（为常数，），当双曲线经过点时，点_（只填“在”或“不在”）双曲线上；若点是线段上横坐标为整数的点（不与点、重合），若双曲线使这六个点分
18、布在它的两侧，且两侧的点的个数比为，则的取值范围为_【答案】 . 不在 . 且【解析】【分析】先求出点坐标，然后将点左边代入双曲线解析式求出的值，再代入点坐标判断是否在双曲线上即可；先求出各点的坐标，双曲线两边分别有2个点和4个点，根据k值越大，双曲线开口越大，找到当双曲线过时取得最小值，当过时取得最大值，并排除双曲线过时的情形，然后联立求出的取值范围【详解】解：因为在直线上，有，则点坐标为令，解得,则，代入得双曲线的解析式为；当时，故不在双曲线上根据一次函数解析式，可以求出这6个点分别是当双曲线与过点时，双曲线的一侧有，另一侧有4个点，此时取得最小值；当时，有，即；当双曲线与时，双曲线过点，
19、另一侧有4个点，此时，此时取得最大值；当时，有，即；但双曲线不能过，此时有一个点在双曲线上不满足两侧的点的个数比为的条件，即，；综上，的取值范围为且【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的图像综合问题，充分利用数形结合思想，找出上的横坐标为整数的点，并结合图像分析是解题的关键三、解答题（本大题共10小题，共96分）19. 计算：（1）；（2）【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）分别先进行乘方运算、化简绝对值、代入特殊角的锐角三角函数值，再进行计算即可；（2）运用完全平方公式等整式的乘法进行运算，合并同类项即可【小问1详解】（1）解：原式【小问2详解】（2）解：原式【点睛】本题考查运算求
20、值和整式乘法运算，熟练掌握乘方运算、绝对值化简、特殊角的锐角三角函数值，以及整式乘法中完全平方公式的运算是解题的关键；易错点是去括号和运算过程中符号的变化20. （1）解方程：；（2）解不等式组：【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先去分母，变分式方程为整式方程，然后再解整式方程，最后对方程的解进行检验即可；（2）先求出两个不等式的解集，然后再求出不等式组的解集即可【详解】（1）解：方程两边同乘得：，移项合并同类项得：，未知数系数化为得：检验：把代入得，为原方程的根；（2）解：，由得：，由得：，不等式组的解集为【点睛】本题主要考查了解分式方程和不等式组，解题的关键是熟练掌握解分式方程和
21、不等式组的一般步骤，准确计算，注意分式方程要进行检验21. 如图，点、在同一条直线上，（1）求证：；（2）连接、，判断四边形的形状，并说明理由【答案】（1）证明见解析 （2）四边形是平行四边形，理由见解析【解析】【分析】（1）由得，再利用即可证明三角形全等；（2）由可得，进而可得，即可证明四边形是平行四边形【小问1详解】证明：，即在和中【小问2详解】四边形是平行四边形，理由如下：，四边形是平行四边形【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，平行四边形的判定，平行线的性质，熟练掌握三角形全等的判定，平行四边形的判定是解题的关键22. 一只不透明的袋子中装有3个白球，1个红球，这些球除颜色外都相同
22、（1）若从袋子里任意摸出一个球，则摸出红球概率为_；（2）搅匀后从中任意摸出2个球（先摸出1个球，且这个球不放回，再摸出1个球），求恰好摸出1个红球、1个白球的概率（请用画“树状图”或“列表”等方法写出分析过程）【答案】（1） （2）图见详解，【解析】【分析】（1）根据题意画出树状图找到所有情况及红球的情况，即可得到答案；（2）根据题意画出树状图找到所有情况及所求的情况，即可得到答案.【小问1详解】解：由题意可得，故答案为：；【小问2详解】解：由题意可得，总的有种情况，摸出1个红球、1个白球的情况有6种情况，摸出1个红球、1个白球的概率为；【点睛】本题考查树状图法求概率，解题的关键是正确画出树
23、状图23. 促进青少年健康成长是实施“健康中国”战略的重要内容为了引导学生积极参与体育活动，某校举办了一分钟跳绳比赛，随机抽取了40名学生一分钟跳绳的次数进行调查统计，并根据调查统计结果绘制了如下表格和统计图：等级次数频率不合格合格良好优秀请结合上述信息完成下列问题：（1）_，_；（2）请补全频数分布直方图；（3）在扇形统计图中，“良好”等级对应圆心角的度数是_；（4）若该校有1200名学生，请估计该学生一分钟跳绳次数达到合格及以上的人数【答案】（1）0.1，0.35 （2）见解析 （3） （4）1080人【解析】【分析】（1）根据频数分布直方图中不合格的数除总数即可求得a值；同理得出良好的人
24、数，再根据扇形统计图求出优秀的人数即可得出合格的人数，再除总数即可求得b的值.（2）由（1）可得；（3）由（1）得出良好的人数除总人数，再乘即可（4）先求出40个人合格及以上的人数占总人数的频率再乘1200即可解答.【小问1详解】解：根据频数分布直方图可知：，因为，所以，故答案为：0.1；0.35；【小问2详解】解：如图，即为补全的频数分布直方图；【小问3详解】解：在扇形统计图中，“良好”等级对应的圆心角的度数是；故答案为：；【小问4详解】（人），估计该校学生一分钟跳绳次数达到合格及以上的人数是1080人【点睛】此题主要考查读频数分布直方图的能力和利用扇形统计图获取信息的能力解题的关键是根据直
25、方图得到进一步解题的有关信息24. 如图，在中，点是上一点，的角平分线交以为直径的于点，过点作，垂足为，恰好过点（1）求证：是切线；（2）若，求的长【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）如图所示，连接，先根据等边对等角得到，由圆周角定理得到，再利用三角形内角和定理求出即可证明结论；（2）由是直径，得到，再由含30度角的直角三角形的性质得到，由角平分线的定义得到，即可证明是等腰直角三角形，则【小问1详解】证明：如图所示，连接，又点C在上，切线；【小问2详解】解：是直径，平分，即，【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形
26、的性质，正确作出辅助线是解题的关键25. 某旅游公司在景区内配置了50辆观光车供游客租赁使用，假定每辆观光车一天内最多能出租一次，且每辆车的日租金（元）是5的倍数，发现每天的营运规律如下：当不超过100元时，观光车能全部租出；当超过100元时，每辆车的日租金每增加5元，租出去的观光车就会减少1辆，已知所有观光车每天的管理费是1100元（注：净收入=租车收入-管理费）（1）当日租金为135元时，观光车能租出_辆；（2）设每日净收入为元，写出与的函数关系式；（3）当每辆车的日租金为多少元时，每天的净收入最多？【答案】（1）43辆 （2） （3）175元【解析】【分析】（1）根据题意和当日租金可以确
27、定当日租出的观光车；（2）根据题意可以得到w与x的函数关系式；（3）由（2）知，函数解析式是分段函数，在每一段内求出函数最大值，比较得出函数的最大值【小问1详解】由题意得：，每辆车的日租金每增加5元，租出去的观光车就会减少1辆，（辆），观光车能租出43辆，故答案为：43；【小问2详解】因为每辆车的净收入为元，所以当时，；当时，即与的函数关系式：；【小问3详解】由（2）可知，当时，因为随的增大而增大，所以当时，的最大值为；当时，因为，所以当时，的最大值为5025，因为所以当每辆车的日租金为175元时，每天的净收入最多是5025元【点睛】本题考查了一次函数的应用，以及二次函数的应用，解题的关键是明
28、确题意，找出所求问题需要的条件26. 问题探究：（1）请仅用无刻度直尺在图的正方形内，画出使的一个点；（2）请用无刻度直尺和圆规在图的正方形边上，画出使的所有点问题解决：（3）如图所示，现有一块矩形钢板，工人师傅想用它裁出两块全等的、面积最大的和钢板，且，此时裁得的长为_【答案】（1）见解析；（2）见解析； （3）或【解析】【分析】（1）根据正方形对角线互相垂直，连接、交于点，即为所求；（2）以的长为半径画弧，在正方形内交于点E，连接、，得到等边，作边、的垂直平分线交于点O，得到的外心，然后作的外接圆，根据同弧所对的圆周角相等，外接圆O与、的交点、即为所求；（3）根据（2）的做法，作出等边的外
29、接圆，分两种情况讨论：连接，外接圆与相交于点P，连接，在上取一点，使得，过点B作交与点G，利用三角形的面积求出 ，再利用勾股定理求出，然后根据特殊的三角函数值求出，即可得到的长；连接，外接圆与相交于点P，连接，在上取一点，使得，过点A作交与点G，直接利用特殊的三角函数值即可求出的长【详解】解：（1）点即为所求；（2）点、即为所求；（3）如图，根据（2）的作法，等边的外接圆， 连接，外接圆与相交于点P，连接，在上取一点，使得，过点B作交与点G，等边，矩形，在和中，在中，；连接，外接圆与相交于点P，连接，在上取一点，使得，过点A作交与点G，同理可证，综上可知，的长为或，故答案为：或【点睛】本题考查
30、了复杂作图，三角形的外接圆，勾股定理，特殊的三角函数值，正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定等知识，熟练掌握基本作图方法，灵活运用相关性质解决问题是解题关键27. 如图，中，将翻折，使得点落在边上的点处，折痕分别交边、于点、点（1）当，且点是的中点时长为_；求的值；（2）如果，求关于的函数关系式【答案】（1）； （2）【解析】【分析】（1）根据勾股定理即可解答；根据锐角三角函数得到，再根据相似三角形的判定得到，最后根据相似三角形的性质即可解答；（2）由（1）可得，即可解答【小问1详解】解：，点是的中点，,在中，故答案为：；连接交于点，过点作于点，在中，,，点是的中点,，同理可证：，【小问
31、2详解】解：由（1）可知，即，设，【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，折叠的性质，锐角三角形函数，勾股定理，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键28. 已知抛物线过点和，与x轴交于另一点B，顶点为D（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；（2）如图1，E为线段上方的抛物线上一点，垂足为F，轴，垂足为M，交于点G当时，求的面积；（3）如图2，与的延长线交于点H，在x轴上方的抛物线上是否存在点P，使？若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由【答案】（1），；（2）；（3）存在，,【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出a的值即可得到解析式，进而得到顶点D坐标；（2）先求出BC的解析式
32、，再设直线EF的解析式为,设点E的坐标为，联立方程求出点F，G的坐标，根据列出关于m的方程并求解，然后求得G的坐标，再利用三角形面积公式求解即可；（3）过点A作ANHB，先求得直线BD，AN的解析式，得到H，N的坐标，进而得到，设点，过点P作PRx轴于点R，在x轴上作点S使得RS=PR，证明，根据相似三角形对应边成比例得到关于n的方程，求得后即可得到点P的坐标【详解】（1）把点A（-1，0），C（0，3）代入中，解得，当时，y=4，（2）令或x=3设BC的解析式为将点代入，得，解得，设直线EF的解析式为,设点E的坐标为，将点E坐标代入中，得，把x=m代入即解得m=2或m=-3点E是BC上方抛物线上的点m=-3舍去点（3）过点A作ANHB，点点，点设，把（-1，0）代入，得b= 设点过点P作PRx轴于点R，在x轴上作点S使得RS=PR且点S的坐标为若在和中，或【点睛】本题考查的是二次函数的综合，涉及到的知识点较多，运算较复杂，第3问的解题关键在于添加适当的辅助线，利用数形结合的思想列出方程求解