1、2023年河南省焦作市中考数学一模试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1. 的绝对值是（）A. B. C. D. 2. 如图是由5个相同的小正方体组成的几何体，其俯视图是（）A. B. C. D. 3. 如图，直线a，b，c被直线d所截，若，则的度数为（）A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（）A. B. C. D. 5. 孙子算经卷上说：“十圭为抄，十抄为撮，十撮为勺，十勺为合”说明“抄、撮、勺、合”均为十进制则十合等于（）A. 圭B. 圭C. 圭D. 圭6. 若方程有两个不相等实数根，则m的最大整数是（）A. 2B. 3C. 4D. 57. 思政课上，某小组的2023全国“两会
2、”知识测试成绩统计如表（满分10分）：成绩78910频数1342则该组测试成绩的平均数为（）（单位：分）A. 8.2B. 8.3C. 8.7D. 8.98. 如图，菱形的对角线相交于点OE，F分别是的中点，若，则菱形的周长为（）A. 8B. 16C. 8D. 169. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点B的坐标为，D为的中点，E是上一动点，将四边形沿折叠，使点A落在F处，点O落在G处，当线段的延长线恰好经过的中点H时，点F的坐标为（）A. B. C. D. 10. 如图1，点P从矩形顶点A出发，沿ADB以2cm/s的速度匀速运动到点B，图2是点P运动时，的面积y（cm2）随时间x（s）变化的
3、关系图像，则a的值为（）A. 8B. 6C. 4D. 3二、填空题（每小题3分，共15分）11. 请写出一个过点和的函数解析式 _12. 不等式组的解集为 _13. 某超市购物消费一定数额后，可获得两次“玩转盘抽奖活动”，转盘（如图所示）被分成面积相等的五个扇形，分别标有红、绿、茶、可、乐五个汉字每次停止后，记下指针所指区域（指针指向区域分界线时，重新转动）的汉字，则小航抽到“可乐”的概率是 _14. 如图，在扇形中，过OB的中点C作交于点D，以C为圆心，长为半径作弧交的延长线于E，则图中阴影部分的面积为 _15. 如图，在等边三角形中，点D为的中点，点P在上，且，将绕点B在平面内旋转，点P的
4、对应点为点Q，连接当时，的长为_三、解答题（本大题共8个小题，共75分）16. （1）计算：；（2）化简：17. 学校为了解学生对课后延时服务的满意度，从七、八年级各随机抽取20名学生对满意度进行打分（满分5分），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析下面给出部分信息：a七年级所打分数的频数分布表：成绩x（分）频数13574b七年级所打分数在这一组的是（单位：分）：3.3 3.5 3.5 3.6 3.8 3.8 3.8c七、八两年级所打分数平均分、中位数、众数如下：年级平均分中位数众数七年级3.7m3.8八年级3.63.73.5根据以上信息，回答下列问题：（1）七年级所打分数的中位数m为 ，达到
5、4分的人数占调查人数的百分比为 ；（2）在这次打分中，某同学的打分为3.6分，在他所属的年级排前10名，根据表中数据判断该同学属于 年级的学生（填“七”或“八”），请说明理由（3）请对七、八年级开展课后服务情况进行合理的评价18. 如图，某种品牌的电动车的蓄电池电压为定值，使用电源时，电流是电阻的反比例函数，其图象经过，两点（1）求I与R的函数表达式，并说明比例系数的实际意义；（2）求m的值，并说明m的实际意义；（3）如果以蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围内？19. 焦作桶张河村的老君庙戏楼建筑优雅，具有典型的地方特色，在古代建筑艺术方面具有较高的研究
6、价值某数学小组测量老君庙戏楼的高度，如图所示，戏楼上层为戏台，下层为台基，在A处测得台基顶部E的仰角为，沿方向前进到达B处，测得戏台顶部D的仰角为已知台基高2.25m，求戏台的高度（结果精确到，参考数据：，）20. 为落实健康中国行动（）等文件精神，某学校准备购进一批足球和排球促进校园体育活动据了解，某体育用品超市每个足球的价格比排球的价格多20元，用500元购买的足球数量和400元购买的排球数量相等（1）求每个足球和排球的价格；（2）学校决定购买足球和排球共50个，且购买足球的数量不少于排球的数量，求本次购买最少花费多少钱？（3）在（2）方案下，体育用品超市为支持学校体育活动，对足球提供8折
7、优惠，排球提供7.5折优惠学校决定将节约下的资金全部用于再次购买足球和排球（此时按原价购买，可以只购买一种），求再次购买足球和排球的方案21. “沙包掷准”是同学们非常喜爱的一项趣味运动沙包行进的路线呈抛物线形状，经研究，小航在掷沙包时，掷出起点处高度为，当水平距离为时，沙包行进至最高点；建立如图所示直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中是水平距离，是行进高度（1）求抛物线的表达式；（2）若地靶的中心到起掷线的距离为，设沙包落点与地靶中心的距离为，区域与得分对应如表，请问小航成绩怎样？并说明理由区域得分504030201022. 如图，为两条半径，直线l与相切于点B（1）请用无刻度的直尺和圆规
8、过点O作线段的垂线（要求：不写作法，保留作图痕迹）；（2）连接，若（1）中所作垂线分别与，直线l交于点C和点D求证：；若的半径为4，求的长23. 综合与实践综合与实践课上，老师让同学们以“三角板的平移”为主题开展数学活动（1）操作判断操作一：将一副等腰直角三角板两斜边重合，按图1放置；操作二：将三角板沿方向平移（两三角板始终接触）至图2位置根据以上操作，填空：图1中四边形的形状是 ；图2中与的数量关系是 ；四边形的形状是 （2）迁移探究小航将一副等腰直角三角板换成一副含角的直角三角板，继续探究，已知三角板边长为，过程如下：将三角板按（1）中的方式操作，如图3，在平移过程中，四边形的形状能否是菱
9、形，若不能，请说明理由，若能，请求出的长（3）拓展应用在（2）探究过程中：当为等腰三角形时，请直接写出的长；直接写出的最小值2023年河南省焦作市中考数学一模试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1. 的绝对值是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据绝对值的性质进行选择即可【详解】解：【点睛】本题考查了绝对值，掌握绝对值的性质是解题的关键2. 如图是由5个相同的小正方体组成的几何体，其俯视图是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据从上往下看看到的视图是俯视图即可解答【详解】解：从上面看，可得如下图形：故选D【点睛】本题考查简单组合体的三视图，解题的关键是
10、注意：能看到的线用实线，看不到的线用虚线3. 如图，直线a，b，c被直线d所截，若，则的度数为（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先根据求出的度数，由对顶角相等求出的度数，根据即可得出结论【详解】解：如图，故选：A【点睛】本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补是解题的关键4. 下列运算正确的是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用二次根式的加减法法则、整式的运算法则计算每个题目，根据计算结果得结论【详解】解：A与不是同类二次根式，不能加减，故选项A运算错误；B与不是同类项，不能加减，故选项B运算错误；C，故选项C运算
11、正确；D，故选项D运算错误故选：C【点睛】本题考查了整式的运算和二次根式的加减，掌握二次根式的加减法法则、合并同类项法则、同底数幂的乘法法则及完全平方公式是解决本题的关键5. 孙子算经卷上说：“十圭为抄，十抄为撮，十撮为勺，十勺为合”说明“抄、撮、勺、合”均为十进制则十合等于（）A. 圭B. 圭C. 圭D. 圭【答案】D【解析】【分析】结合实际问题运用乘方的概念进行求解【详解】解：由题意得：1合10勺撮抄圭，十合圭圭，故选：D【点睛】此题考查了运用乘方的概念解决实际问题的能力，关键是能准确理解并运用该知识6. 若方程有两个不相等的实数根，则m的最大整数是（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答
12、案】B【解析】【分析】根据方程的系数，结合根的判别式，可得出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论【详解】解：方程有两个不相等的实数根，解得：，m的最大整数是3故选：B【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键7. 思政课上，某小组2023全国“两会”知识测试成绩统计如表（满分10分）：成绩78910频数1342则该组测试成绩的平均数为（）（单位：分）A. 8.2B. 8.3C. 8.7D. 8.9【答案】C【解析】【分析】根据表格中的数据和加权平均数的计算方法，可以计算出该组测试成绩的平均数【详解】解：由表格可
13、得，该组测试成绩的平均数为：，故选：C【点睛】本题考查加权平均数、频数分布表，解答本题的关键是明确加权平均数的计算方法8. 如图，菱形的对角线相交于点OE，F分别是的中点，若，则菱形的周长为（）A. 8B. 16C. 8D. 16【答案】B【解析】【分析】根据三角形的中位线的性质可以得到与的关系，与的关系，再根据菱形的性质和勾股定理，即可得到的长，然后即可求得菱形的周长【详解】解：取的中点，连接，点为的中点，点为的中点，四边形是菱形，设，则，解得，菱形的周长为：，故选：B【点睛】本题考查菱形的性质、三角形的中位线、等边三角形的判定与性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解
14、答9. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点B的坐标为，D为的中点，E是上一动点，将四边形沿折叠，使点A落在F处，点O落在G处，当线段的延长线恰好经过的中点H时，点F的坐标为（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】连接，根据勾股定理得到，延长交的延长线于，根据三角形中位线定理得到，根据平行四边形的性质得到，根据折叠的性质得到，求得，过作于，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论【详解】解：连接，矩形的顶点的坐标为，延长交的延长线于，为的中点，为的中点，四边形是平行四边形，将四边形沿折叠，使点落在处，点落在处，过作于，故选：A【点睛】本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质，相似
15、三角形的判定和性质，折叠的性质，平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，正确地作出辅助线是解题的关键10. 如图1，点P从矩形的顶点A出发，沿ADB以2cm/s的速度匀速运动到点B，图2是点P运动时，的面积y（cm2）随时间x（s）变化的关系图像，则a的值为（）A. 8B. 6C. 4D. 3【答案】C【解析】【分析】分点在上，上两种情况结合图像进行分析求解即可【详解】解：矩形中，当点P在边上运动时，y的值不变，由图像可知，当时，点与点重合，即矩形的长是，即当点P在上运动时，y逐渐减小，由图像可知：点从点运动到点共用了，在中，解得故选：C【点睛】本题考查动点的函数图像解题的关键是通过图像确定
16、动点的位置二、填空题（每小题3分，共15分）11. 请写出一个过点和的函数解析式 _【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】此题没有告诉函数类型，所以只需根据正比例函数的形式写出过点和的解析式即可【详解】解：将点和代入正比例函数得：，故答案为：（答案不唯一）【点睛】此题考查函数关系式，掌握求函数关系式是解题的关键12. 不等式组的解集为 _【答案】【解析】【分析】分别解出不等式组中的两个不等式的解，然后找其公共解集即可【详解】解：，解不等式得：，解不等式得：，不等式组的解集为：故答案为：【点睛】本题主要考查了不等式组的解法，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找
17、，大大小小解不了13. 某超市购物消费一定数额后，可获得两次“玩转盘抽奖活动”，转盘（如图所示）被分成面积相等的五个扇形，分别标有红、绿、茶、可、乐五个汉字每次停止后，记下指针所指区域（指针指向区域分界线时，重新转动）的汉字，则小航抽到“可乐”的概率是 _【答案】#0.08【解析】【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与抽到“可乐”可能的结果，再利用概率公式求解即可求得答案【详解】解：画树状图如图：共有25种等可能的结果，其中小航经过两次“玩转盘抽奖活动”，抽到“可乐”的结果有2种，小航抽到“可乐”的概率是【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率注意此题是放回实验；用
18、到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比14. 如图，在扇形中，过OB的中点C作交于点D，以C为圆心，长为半径作弧交的延长线于E，则图中阴影部分的面积为 _【答案】【解析】【分析】连接、，易证得，即可得到，求得，然后根据求得即可【详解】解：连接、，过的中点作交于点，故答案为：【点睛】本题考查扇形面积的计算，等边三角形的判断和性质，特殊角的三角函数，掌握特殊锐角三角函数值和扇形面积公式是解题关键15. 如图，在等边三角形中，点D为的中点，点P在上，且，将绕点B在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接当时，的长为_【答案】或#或【解析】【分析】连接，根据等边三角形的性质，得出，根据勾股定理求出，
19、由旋转的性质可知，分两种情况讨论：点在线段上；点在的延长线上，利用勾股定理即可求得的长【详解】解：如图，连接，在为等边三角形， ，点D为的中点， ，由旋转的性质可知，当时，点Q一定在直线上；当点在线段上时，如图所示：，在中，；点在的延长线上，如图所示：，综上可知，当时，的长为或，故答案为：或【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，等边三角形的性质，运用分类讨论的思想解决问题是解题关键三、解答题（本大题共8个小题，共75分）16. （1）计算：；（2）化简：【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）原式零指数幂法则，立方根性质以及负整数指数幂运算法则计算即可得到结果；（2）原式括号中两项通分并
20、利用同分母分式的减法法则计算，再将除法化为乘法，最后约分即可得到结果【详解】解：（1）原式；（2）原式【点睛】此题考查了实数的运算及分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键17. 学校为了解学生对课后延时服务的满意度，从七、八年级各随机抽取20名学生对满意度进行打分（满分5分），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析下面给出部分信息：a七年级所打分数的频数分布表：成绩x（分）频数13574b七年级所打分数在这一组的是（单位：分）：3.3 3.5 3.5 3.6 3.8 3.8 3.8c七、八两年级所打分数平均分、中位数、众数如下：年级平均分中位数众数七年级3.7m3.8八年级3.63.73
21、.5根据以上信息，回答下列问题：（1）七年级所打分数的中位数m为 ，达到4分的人数占调查人数的百分比为 ；（2）在这次打分中，某同学的打分为3.6分，在他所属的年级排前10名，根据表中数据判断该同学属于 年级的学生（填“七”或“八”），请说明理由（3）请对七、八年级开展课后服务的情况进行合理的评价【答案】（1） （2）八 （3）见解析【解析】【分析】（1）根据中位数的定义可得m的值；用达到4分的人数除以样本容量20可得达到4分的人数占调查人数的百分比；（2）根据中位数的意义解答即可；（3）结合两个年级的平均数，众数和中位数进行评价即可【小问1详解】解：把七年级20名学生所打分数从小到大排列，排
22、在第10和第11个数分别是3、3，故中位数；达到4分的人数占调查人数的百分比为；故答案为：3；【小问2详解】解：七年级中位数是3.7，八年级的中位数是3.6，某同学的打分为3.6分，在他所属的年级排前10名，根据表中数据判断该同学属于八年级的学生故答案为：八；【小问3详解】解：七年级的平均数较高，所以七年级对课后延时服务的满意度比八年级的高（答案不唯一）【点睛】本题考查了平均数、众数、中位数和方差的意义平均数平均数表示一组数据的平均程度中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；众数的一组数据中出现次数最多的数；方差是用来衡量一组数据波动大小的
23、量18. 如图，某种品牌的电动车的蓄电池电压为定值，使用电源时，电流是电阻的反比例函数，其图象经过，两点（1）求I与R函数表达式，并说明比例系数的实际意义；（2）求m的值，并说明m的实际意义；（3）如果以蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围内？【答案】（1），见解析 （2）3，m的实际意义为：当电阻R为，电流大小为 （3）该电路的可变电阻控制在不低于【解析】【分析】（1）根据题意设，然后将代入求解记录；（2）将代入求解即可；（3）将代入求出R的值，然后结合图象求解即可【小问1详解】由于电流是电阻的反比例函数，设，图象过点，I与R的函数表达式为；【小问2详解
24、】将代入得，解得，m的实际意义为：当电阻R为，电流大小为；【小问3详解】，当时，当时，该电路的限制电流不能超过，那么该电路的可变电阻控制在不低于【点睛】此题考查了反比例函数的应用，解题的关键是求出函数表达式19. 焦作桶张河村的老君庙戏楼建筑优雅，具有典型的地方特色，在古代建筑艺术方面具有较高的研究价值某数学小组测量老君庙戏楼的高度，如图所示，戏楼上层为戏台，下层为台基，在A处测得台基顶部E的仰角为，沿方向前进到达B处，测得戏台顶部D的仰角为已知台基高2.25m，求戏台的高度（结果精确到，参考数据：，）【答案】戏台的高度是6米【解析】【分析】设米，根据锐角三角函数的定义求出的长度，然后根据等腰
25、三角形的性质可知 ，从而利用即可求出答案【详解】解：设米，在中，（米），（米），（米），（米），答：戏台的高度是6米【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练运用锐角三角函数的定义是解题的关键20. 为落实健康中国行动（）等文件精神，某学校准备购进一批足球和排球促进校园体育活动据了解，某体育用品超市每个足球的价格比排球的价格多20元，用500元购买的足球数量和400元购买的排球数量相等（1）求每个足球和排球的价格；（2）学校决定购买足球和排球共50个，且购买足球的数量不少于排球的数量，求本次购买最少花费多少钱？（3）在（2）方案下，体育用品超市为支持学校体育活动，对足球提供8折优惠，排球提供7.
26、5折优惠学校决定将节约下的资金全部用于再次购买足球和排球（此时按原价购买，可以只购买一种），求再次购买足球和排球的方案【答案】（1）每个足球价格为100元，每个排球的价格为80元 （2）本次购买最少花费4500元钱 （3）学校再次购买足球和排球的方案有3个：只购买10个足球；购买6个足球，5个排球；购买2个足球，10个排球【解析】【分析】（1）设每个足球的价格为x元，则每个排球的价格为元，由题意：用500元购买的足球数量和400元购买的排球数量相等，列出分式方程，解方程即可；（2）设学校决定购买足球a个，本次购买花费y元，则购买排球个，求出，再由题意得，然后由一次函数的性质即可得出结论；（3）
27、求出学校节约资金1000元，设学校再次购买足球m个，排球n个，再由题意：学校决定将节约下的资金全部用于再次购买足球和排球，列出二元一次方程，求出非负整数解，即可解决问题【小问1详解】解：设每个足球的价格为x元，则每个排球的价格为元，由题意得：，解得：，经检验，是原方程的解，且符合题意，答：每个足球的价格为100元，每个排球的价格为80元；【小问2详解】解：设学校决定购买足球a个，本次购买花费y元，则购买排球个，则，解得：，由题意得：，y随a的增大而增大，当时，y有最小值，答：本次购买最少花费4500元钱；【小问3详解】解：在（2）方案下，学校购买足球和排球各25个，花费4500元，体育用品超市
28、为支持学校体育活动，对足球提供8折优惠，排球提供7.5折优惠，学校节约资金：（元），设学校再次购买足球m个，排球n个，由题意得：，整理得：，m、n都是非负整数，或或，学校再次购买足球和排球的方案有3个：只购买10个足球；购买6个足球，5个排球；购买2个足球，10个排球【点睛】本题考查了分式方程的应用、一次函数的应用、一元一次不等式的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）正确求出一次函数关系式；（3）找准等量关系，正确列出二元一次方程21. “沙包掷准”是同学们非常喜爱的一项趣味运动沙包行进的路线呈抛物线形状，经研究，小航在掷沙包时，掷出起点处高度
29、为，当水平距离为时，沙包行进至最高点；建立如图所示直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中是水平距离，是行进高度（1）求抛物线的表达式；（2）若地靶的中心到起掷线的距离为，设沙包落点与地靶中心的距离为，区域与得分对应如表，请问小航成绩怎样？并说明理由区域得分5040302010【答案】（1） （2）小航成绩应为50分，理由见解析【解析】【分析】（1）根据题目设出的y关于x的函数表达式以及顶点和点，用待定系数法即可解答；（2）令，解方程求出x的值，再求出沙包落地点距地靶中心的距离，即可判断小航成绩【小问1详解】解：由图象知，抛物线的顶点为，抛物线解析式为，把代入解析式得，解得，抛物线的表达式为；【
30、小问2详解】当时，解得，（舍去），沙包落地点距O点的距离为, 沙包落点与地靶中心的距离为，小航成绩应为50分【点睛】本题考查二次函数的应用、解一元二次方程，解题关键是理解题意，运用图象，把函数问题转化为方程问题22. 如图，为的两条半径，直线l与相切于点B（1）请用无刻度的直尺和圆规过点O作线段的垂线（要求：不写作法，保留作图痕迹）；（2）连接，若（1）中所作垂线分别与，直线l交于点C和点D求证：；若的半径为4，求的长【答案】（1）见解析 （2）见解析；【解析】【分析】（1）利用基本作图，先作直径，然后过O点作的垂线即可；（2）先根据切线的性质得到，再利用得到，接着利用等角的余角相等证明，然后
31、利用得到；先在中利用余弦的定义求出，则利用勾股定理计算出，再由的结论得到，设，则，在中利用勾股定理得到，然后解方程求出x，最后计算即可【小问1详解】如图，为所作；【小问2详解】证明：直线l与相切于点B，即，而，；在中， ，；，设，则，在中，解得，【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键也考查了圆周角定理、切线的性质和解直角三角形23. 综合与实践综合与实践课上，老师让同学们以“三角板的平移”为主题开展数学活动（1）操作判断操作一：将一副等腰直角三角板两斜边重合，按图1放置；操作二：将三角板沿方向平移（两三角板始终接触）至图2位置根据以上操作，填空：图1中四边形的形
32、状是 ；图2中与的数量关系是 ；四边形的形状是 （2）迁移探究小航将一副等腰直角三角板换成一副含角的直角三角板，继续探究，已知三角板边长为，过程如下：将三角板按（1）中方式操作，如图3，在平移过程中，四边形的形状能否是菱形，若不能，请说明理由，若能，请求出的长（3）拓展应用在（2）的探究过程中：当为等腰三角形时，请直接写出的长；直接写出的最小值【答案】（1）正方形；，平行四边形 （2）是菱形，6厘米 （3）6厘米或厘米或18厘米；【解析】【分析】（1）利用正方形的判定可求解；由平移的性质可得，可得结论；（2）先证四边形是平行四边形，当时，四边形是菱形，即可求解；（3）分三种情况讨论，由等腰三角
33、形的性质和直角三角形的性质可求解；作点A关于直线的对称点N，连接，连接交直线于P，即的最小值为的长，由直角三角形的性质和勾股定理可求解【小问1详解】和是等腰直角三角形，四边形是矩形，又，四边形是正方形，故答案为：正方形；四边形是正方形，将三角板沿方向平移，四边形是平行四边形，故答案为：，平行四边形；【小问2详解】四边形的形状可以是菱形，如图3，连接，将三角板沿方向平移，四边形是平行四边形，当时，四边形是菱形，是等边三角形，；【小问3详解】当时，为等腰三角形，如图，是等边三角形，；当时，为等腰三角形；当时，为等腰三角形，如图，过点B作于H，综上所述：的长为，或；如图5，连接，四边形是平行四边形，将三角板沿方向平移，作点A关于直线的对称点N，连接，连接交直线于P，即的最小值为的长，过点N作直线于E，点A，点N关于对称，的最小值为【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的判定，平行四边形的判定，菱形的判定，平移的性质，利用等腰三角形的性质分类讨论是解题的关键