1、山东省青岛市莱西市2022-2023学年八年级下期中数学试题一、选择题（本题满分30分，共有10道小题，每小题3分）1. 下列计算正确的是（ ）A. =3B. C. =-3D. 2. 下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）A. B. C D. 3. 要使二次根式有意义，则x的值可以为 （ ）A. B. 4C. 2D. 04. 方程的根是（ ）A. 1B. 0C. 0或1D. 0或5. 用配方法解方程时，下列配方错误的是（ ）A. 化为B. 化为C. 化为D. 化为6. 观察下列表格，估计一元二次方程的正数解在（ ）10123475151323A. 1和0之间B. 0和1之间C. 1和2之间D
2、. 2和3之间7. 下列各组二次根式中，化简后属于同类二次根式的一组是（ ）A. 和B. 和C. 和D. 和8. 已知x1，x2，则xx等于( )A. 8B. 9C. 10D. 119. 为响应“足球进校园”的号召，某校组织足球比赛，赛制为单循环形式（每两个队之间都要比赛一场），计划安排28场比赛，则参赛的足球队个数为（ ）A. 6B. 7C. 8D. 910. 如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积为（）A. B. 2C. D. 6二、填空题（本题满分18分，共6道小题，每小题3分）11. 计算_12. 若最简二次根式与是同类二次根式，则的值为_13. 若关
3、于x的一元二次方程没有实数根，则a的取值范围为_14. 观察下列等式：32(1)2，52()2，72()2，请你根据以上规律，写出第6个等式_15. 若等腰三角形一边长是4，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为_16. 如图，要设计一幅宽20，长30的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，则横彩条的宽度是_，竖彩条的宽度是_三、解答题（本题满分72分，共9道小题）17. 计算：（1）；（2）；（3）；（4）18. 解方程：（1）；（2）（用配方法）19. 小明在学习中发现了一个“有趣”的现象：上面的推导过程中，从第_ 步开
4、始出现错误(填序号)；写出该步的正确结果20. 关于一元二次方程有两个实数根（1）求的取值范围：（2）若为最大负整数，求此时方程的根21. 已知，试求代数式的值22. 如图，一矩形花坛一边靠墙，长4m，宽3m，为便于游客赏花，另外三边铺设宽度相等的甬路，若甬路面积恰为花坛面积的，求甬路的宽度23. 如图，某海军基地位于A处，在其正南方向200海里处有一重要目标B，在B的正东方向200海里处有一重要目标C，小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头：小岛F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向，一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航，一般补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰（
5、1）小岛D和小岛F相距多少海里?（2）已知军舰速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里?（结果精确到0.1海里）24. 一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2（1+）2设a+b（其中a、b、m、n均为正整数），则有a+bm2+2n2+2mn，am2+2n2，b2mn这样可以把部分a+b的式子化为平方式的方法请你仿照上述的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a，b（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：+（+）2；（3）化简25. 某商场
6、促销一种商品，促销方式如下：1售价为元/个；2若购买数量超过个，单价按每增加2个减5元的方式促销；3一次性购买不得超过个小明一次性购买该商品共用元，你能求出他买了多少个吗？26. 老师在数学课上提出这样一个问题：已知，求的值小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：先将等式两边都除以x，得到的值，再利用完全平方公式求出参考小明的思路，解决下列问题：（1）已知，求的值；（2）已知，求的值山东省青岛市莱西市2022-2023学年八年级下期中数学试题一、选择题（本题满分30分，共有10道小题，每小题3分）1. 下列计算正确的是（ ）A. =3B. C. =-3D. 【答案】C【解析】【分析】根据二次
7、根式的性质进行化简，逐一进行判断即可【详解】解：A. ，不正确，故该选项不符合题意；B. =3，不正确，故该选项不符合题意；C. =-3，正确，故该选项符合题意；D. ，不正确，故该选项不符合题意；故选：C【点睛】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键2. 下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据一元二次方程的定义逐项判断解答即可【详解】A、将方程整理，得，是一元二次方程，故正确；B、方程不是整式方程，故错误；C、若a0，则就不是一元二次方程，故错误；D、将方程整理，得，是一元一次方程，故错误故选：A【点睛】本题主要考
8、查了一元二次方程的判断，掌握定义是解题的关键即一元二次方程有四个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程；（4）二次项系数不为03. 要使二次根式有意义，则x的值可以为 （ ）A. B. 4C. 2D. 0【答案】B【解析】【详解】若二次根式有意义，则被开方数是非负数，即，解得，所以B选项满足条件，故选B4. 方程的根是（ ）A. 1B. 0C. 0或1D. 0或【答案】C【解析】【分析】先把方程化为一般式，再把方程左边因式分解得，方程就可转化为两个一元一次方程或，然后解一元一次方程即可【详解】解： ， 或，解得：或 ，故选：C【点睛】本题考查了利用因式分解法
9、解一元二次方程，正确掌握解方程的方法是解题的关键5. 用配方法解方程时，下列配方错误的是（ ）A. 化为B. 化为C. 化为D. 化为【答案】A【解析】【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方据此判断.【详解】解：A. 化，故本选项错误，符合题意；B. 化为，故本选项正确，不符合题意；C. 化为，故本选项正确，不符合题意；D. 化为，故本选项正确，不符合题意；故选择：A【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数
10、是2的倍数6. 观察下列表格，估计一元二次方程的正数解在（ ）10123475151323A. 1和0之间B. 0和1之间C. 1和2之间D. 2和3之间【答案】C【解析】【分析】令x23x5根据1和5时的函数值，即可得到答案【详解】解：令x23x5，当时，当时，x23x5=0的一个正数x的取值范围为1x2，故选C【点睛】本题考查二次函数的与坐标轴的交点问题，掌握二次函数的性质是解题关键7. 下列各组二次根式中，化简后属于同类二次根式的一组是（ ）A. 和B. 和C. 和D. 和【答案】B【解析】【分析】先将各选项进行二次根式的化简，再根据同类二次根式的概念求解即可【详解】解：A、，和3，不是
11、同类二次根式，故本选项不合题意；B、，故和是同类二次根式，故本选项符合题意；C、，与不是同类二次根式，故本选项不合题意；D、，与不是同类二次根式，故本选项不合题意故选：B【点睛】本题考查了同类二次根式，解答本题的关键在于熟练掌握二次根式的化简及同类二次根式的概念8. 已知x1，x2，则xx等于( )A. 8B. 9C. 10D. 11【答案】C【解析】【详解】，所以=，故选：C【点睛】对于形如的式子，改变其中两个字母的位置后，并不改变代数式的值，通常将具有这个特点的代数式称为轮换对称式，如，等，轮换对称式都可以用，来表示，所以求轮换对称式的值，一般是先将式子用，来表示，然后再整体代入计算9.
12、为响应“足球进校园”的号召，某校组织足球比赛，赛制为单循环形式（每两个队之间都要比赛一场），计划安排28场比赛，则参赛的足球队个数为（ ）A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】C【解析】【分析】设参赛的足球队为个，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解【详解】解：设参赛的足球队为个，根据题意得，解得：或（舍去）答：参赛的足球队为个，故选：C【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键10. 如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积为（）A. B. 2C. D. 6【答案】B【解析】【分析】先由题意得到大正方形的边长和小正方形的边
13、长，再求阴影部分的面积.【详解】由题意可得，大正方形的边长为，小正方形的边长为，图中阴影部分的面积为：，故选B【点睛】本题考查矩形面积的求法，解题的关键是得到大正方形的边长和小正方形的边长.第卷（非选择题 共90分）二、填空题（本题满分18分，共6道小题，每小题3分）11. 计算_【答案】【解析】【分析】根据二次根式的乘法法则计算即可【详解】解：，故答案为：【点睛】此题考查了二次根式的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键12. 若最简二次根式与是同类二次根式，则的值为_【答案】1【解析】【分析】由最简二次根式与是同类二次根式，可得，再解方程组可得答案【详解】解：最简二次根式与是同类二次根式， 由
14、得： 把代入得： 方程组的解是 故答案为：1【点睛】本题考查的是同类二次根式的概念，二元一次方程组的解法，求解代数式的值，理解“同类二次根式的含义，再建立方程组”是解本题的关键13. 若关于x的一元二次方程没有实数根，则a的取值范围为_【答案】【解析】【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分即可【详解】解：根据题意得且，解得：故答案为：【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根也考查了一元二次方程的定义14. 观察下列等式：32(1)2，52()2，72()2，请你根据以上规律，
15、写出第6个等式_【答案】【解析】【分析】第n个等式左边的第1个数为2n+1，根号下的数为n(n+1)，利用完全平方公式得到第n个等式右边的式子为()2(n1的整数)【详解】32(1)2，52()2，72()2，第n个等式：(2n+1)-2=()2，第6个等式为：，故答案为【点睛】本题考查了规律题，涉及了二次根式的混合运算，通过所给等式发现等式左边与右边的变化规律是解题的关键.15. 若等腰三角形的一边长是4，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为_【答案】8或9【解析】【分析】分4为等腰三角形腰长和4为等腰三角形的底边长两种情况，再利用一元二次方程根的定义、根的判别式求解即可得【详解】解：由
16、题意，分以下两种情况：（1）当4为等腰三角形的腰长时，则4是关于的方程的一个根，因此有，解得，则方程为，解得另一个根为，此时等腰三角形的三边长分别为，满足三角形的三边关系定理；（2）当4为等腰三角形的底边长时，则关于的方程有两个相等的实数根，因此，根的判别式，解得，则方程为，解得方程的根为，此时等腰三角形的三边长分别为，满足三角形的三边关系定理；综上，的值为8或9，故答案为：8或9【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义、根的判别式、等腰三角形的定义等知识点，正确分两种情况讨论是解题关键需注意的是，要检验三边长是否满足三角形的三边关系定理16. 如图，要设计一幅宽20，长30的矩形图案，其中有两
17、横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，则横彩条的宽度是_，竖彩条的宽度是_【答案】 . . 【解析】【分析】设横彩条的宽度为，则竖彩条的宽度为，则由图可知一个横彩条的面积为，一个竖彩条的面积为，重叠的面积为，接下来根据所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一可得，解方程，问题便可解答【详解】解：设横彩条的宽度为，则竖彩条的宽度为，则，解得，（舍去），应设计横的彩条宽为，竖的彩条宽为故答案为：，【点睛】本题属于一元二次方程的应用，找出等量关系是解答本题的关键三、解答题（本题满分72分，共9道小题）17. 计算：（1）；（2）；（3）；（4）【答
18、案】（1） （2） （3）17 （4）2【解析】【分析】（1）先化简根式，然后合并同类二次根式；（2）直接运用二次根式的乘除法则计算即可；（3）先运用平方差公式计算，然后计算减法；（4）将括号展开，分别计算乘法和除法，再合并同类二次根式【小问1详解】解：；【小问2详解】；【小问3详解】；【小问4详解】【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，正确运用二次根式运算法则是解题的关键18. 解方程：（1）；（2）（用配方法）【答案】（1）， （2），【解析】【分析】（1）方程利用因式分解法求出解即可；（2）方程利用配方法求出解即可【小问1详解】解：，可得或，解得：，；【小问2详解】，解得：，【点睛】此题
19、考查了解一元二次方程因式分解法，配方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键19. 小明在学习中发现了一个“有趣”的现象：上面的推导过程中，从第_ 步开始出现错误(填序号)；写出该步的正确结果【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）中等式的左边是负数，而右边是正数，据此可知这一步错误；（2）根据二次根式的性质求解可得详解】（1）；（2）【点睛】本题主要考查二次根式的乘除法运算，解题的关键是掌握二次根式的非负性和二次根式的性质与运算法则20. 关于的一元二次方程有两个实数根（1）求的取值范围：（2）若为最大负整数，求此时方程的根【答案】（1）且；（2），【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的定义
20、和判别式的意义得到m0且，然后解不等式即可；（2）m为最大负整数-1，则方程变形为，然后利用求根公式解方程【详解】解：（1）依题意，得，解得且（2）为最大负整数，原方程为解得，【点睛】本题考查根的判别式，解一元一次不等式、解一元二次方程等知识，一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根与=b2-4ac有如下关系：当0时，方程有两个不相等的实数根；当=0时，方程有两个相等的实数根；当0时，方程无实数根21. 已知，试求代数式的值【答案】42【解析】【分析】直接利用乘法公式求出和的值，再整理变形后代入求值即可【详解】解：，【点睛】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确应用乘法公式进行整体代入是解
21、题关键22. 如图，一矩形花坛一边靠墙，长4m，宽3m，为便于游客赏花，另外三边铺设宽度相等的甬路，若甬路面积恰为花坛面积的，求甬路的宽度【答案】米【解析】【分析】设甬路的宽度为x米，根据甬路面积恰为花坛面积的，列出方程，解之即可【详解】解：设甬路的宽度为x米，由题意可得：，解得：，（负值舍去），甬路的宽度为米【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是能够在方程中表示出甬路的面积23. 如图，某海军基地位于A处，在其正南方向200海里处有一重要目标B，在B的正东方向200海里处有一重要目标C，小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头：小岛F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向，一艘军舰从
22、A出发，经B到C匀速巡航，一般补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰（1）小岛D和小岛F相距多少海里?（2）已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里?（结果精确到0.1海里）【答案】（1）小岛D和小岛F相距100海里（2）约118.4海里【解析】【分析】（1）连结DF，则DFBC，DF=CF=CD=100；（2）设相遇时补给船航行了x海里，则DE=x海里，AB+BE=2x海里，将问题转换到直角三角形DEF中，运用勾股定理来确定未知数的值【详解】（1）连结DF，则DFBCABBC，AB=BC=200海里AC=
23、AB=200海里，C=45CD=AC=100海里DF=CF，DF=CDDF=CF=CD=100=100（海里）所以，小岛D和小岛F相距100海里（2）设相遇时补给船航行了x海里，那么DE=x海里，AB+BE=2x海里， EF=AB+BC-（AB+BE）-CF=（300-2x）海里在RtDEF中，根据勾股定理可得方程x2=1002+（300-2x）2整理，得3x2-1200x+100000=0解得 300-2x0，x150，x2不合题意，舍去所以相遇时补给船大约航行了118.4海里【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，主要涉及到方向角的知识，关键是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可把条件
24、和问题放到直角三角形中，进行解决24. 一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2（1+）2设a+b（其中a、b、m、n均为正整数），则有a+bm2+2n2+2mn，am2+2n2，b2mn这样可以把部分a+b的式子化为平方式的方法请你仿照上述的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a，b（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：+（+）2；（3）化简【答案】（1）m2+3n2，2mn；（2）21，4，1，2；（3）【解析】【分析】（1）将（m+n）2用完全平方公式展开，与原等式左边比较，即可
25、得答案；（2）设a+b，则m2+2mn+5n2，比较完全平方式右边的值与a+b，可将a和b用m和n表示出来，再给m和n取特殊值，即可得答案；（3）利用题中描述的方法，将要化简的双重根号，先化为一重根号，再利用分母有理化化简，再合并同类二次根式和同类项即可详解】解：（1），m2+2mn+3n2am2+3n2，b2mn故答案为：m2+3n2，2mn（2）设a+b则m2+2mn+5n2am2+5n2，b2mn若令m1，n2，则a21，b4故答案为：21，4，1，2（3）+【点睛】本题考查了利用分母有理化和利用完全平方公式对二次根式化简，以及对这种方法的拓展应用，本题具有一定的计算难度25. 某商场促
26、销一种商品，促销方式如下：1售价为元/个；2若购买数量超过个，单价按每增加2个减5元的方式促销；3一次性购买不得超过个小明一次性购买该商品共用元，你能求出他买了多少个吗？【答案】18个【解析】【分析】设他买了x个，首先判断出购买数量超过了个，再根据一次性购买该商品共用元列出方程，解之结合条件取舍可得结果【详解】解：设他买了x个，若购买数量为个，则共用元，不合题意，购买数量超过了个，由题意可得：，解得：或，一次性购买不得超过个，他购买了个【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是在方程中表示出实际购买的单价26. 老师在数学课上提出这样一个问题：已知，求的值小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：先将等式两边都除以x，得到的值，再利用完全平方公式求出参考小明的思路，解决下列问题：（1）已知，求的值；（2）已知，求的值【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据题意，由，等式两边都除以x，整理即可得出答案；（2）根据题意，由，等式两边都除以x，得，再进行整理即可得出答案【详解】（1），等式两边都除以x，得，；（2），等式两边都除以x，得， ， ，【点睛】本题主要考查了完全平方公式的综合应用，根据材料得出解题方法是解题关键