1、2023年辽宁省辽阳市灯塔市中考一模数学试题一、选择题（每小题3分，共30分）1. 下列各数是负数的是（ ）A. B. C. D. 2. 如图是九章算术中“堑堵”的立体图形，它的左视图为（ ）A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ）A. B. C. D. 4. 剪纸是中国民间艺术的瑰宝，下列剪纸作品中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）5. 为了改善生态环境，某社区计划在荒坡上种植600棵树，由于学生志愿者的加入，每日比原计划多种20%，结果提前1天完成任务设原计划每天种树x棵，可列方程（ ）A. B. C. D. 6. 某校积极鼓励学生参加志愿者活动，下表列出了随机抽取的名
2、学生一周参与志愿者活动的时间情况：参与志愿者活动的时间（h）123参与志愿者活动的人数（人）x82根据表中数据，下列说法中不正确的是（ ）A. 表中的值为B. 这组数据的众数是C. 这组数据的中位数是D. 这组数据的平均数是7. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AB，AO的中点，连接EF，若，则菱形ABCD的边长为（ ）A. 2B. 2.5C. 3D. 58. 如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作BAD的平分线AG交BC于点E，若BF=6，AB=5，则AE的长为() A 4B. 8C. 6D. 109. 如图，二次函数的图象与x轴相交于，B两点，对称轴
3、是直线，下列说法正确的是（ ）A. B. 当时，y的值随x值的增大而增大C. 点B的坐标为D. 10. 如图，在中，是边上的中线，将沿射线方向以每秒个单位长度的速度平移，平移后的三角形记为，设与重叠部分的面积为，平移运动时间为，当点与点重合时，停止运动，则下列图象能反映与之间函数关系的是（ ）A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共24分）11. 全国防沙治沙规划（年正式印发实施，提出到年，规划完成沙化土地治理任务亿亩数据“亿”用科学记数法表示为_12. 如图，直线， ，则_13. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_14. 若方程组的解满足，则a=_15.
4、如图甲、乙两人5次投篮成绩统计图（每人每次投球10个），则_ （填“”，“=”或“”，“=”或“”）【答案】【解析】【分析】先分别求出甲乙的平均数和方差，进行比较即可得到结论【详解】解：甲的平均成绩为，乙的平均成绩为，故答案为：0，b0，则，故答案为：【点睛】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是构造全等三角形根据反比例函数上点的坐标特征列关系式17. 如图，是的直径，两点在圆上，连接，且，为上一动点，在运动过程中，与相交于点，当为等腰三角形时，的度数为 _【答案】或或【解析】【分析】根据，可得：，再由是的直径得，然后分三种况讨论即可得出答案【详解】解：连接，是的直径，当为
5、等腰三角形时，当时，当时，当时，故答案：或或【点睛】本题考查了圆周角定理和直径所对的圆周角等于，解题的关键是利用圆周角定理以及直径所对的圆周角等于，求出的度数，以及掌握利用分类讨论的思想来解决问题18. 如图，正方形的边长为4， P是边上的一动点，交于G，且平分正方形的面积，则线段的最小值是_【答案】#【解析】【分析】如图，连接交于，由平分正方形的面积，以及正方形的性质可得，证明，则，即为的中点，根据直径所对的圆周角为直角，过三点作，圆心为，如图，过作于，连接，则的运动轨迹为，最小值为，利用正弦求，的值，进而可得的值，然后在中，用勾股定理求的值，代入中，计算求解即可【详解】解：如图，连接交于，
6、平分正方形的面积，在和中，即为的中点，过三点作，圆心为，如图，过作于，连接，的运动轨迹为上的一部分，最小值为， ，在中，由勾股定理得，最小值为，故答案为：【点睛】本题考查了正方形的性质，全等的判定与性质，正弦，直径所对的圆周角为直角，勾股定理等知识解题的关键在于确定的运动轨迹三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分）19. 先化简，再求值：，其中为不等式组的整数解【答案】，【解析】【分析】根据分式的运算法则化简式子，再解不等式组得到不等式组的整数解，代入即可【详解】解：，解不等式组可得，即，且为整数，代入原式=【点睛】本题考查分式的化简求值、不等式组的整数解，解题的关键是取值时，注
7、意分式的分母不能为020. 某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展为优化师资配备，学校面向七年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程（要求必须选修一门且只能选修一门）？”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图：请结合上述信息，解答下列问题：（1）共有名学生参与了本次问卷调查；“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是度；（2）补全调查结果条形统计图；（3）小刚和小强分别从“礼仪”等五门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率【答案】（1
8、）120，99 （2）见解析 （3）【解析】【分析】（1）由选修“礼仪”的学生人数除以所占百分比得出参与了本次问卷调查的学生人数，即可解决问题；（2）求出选修“厨艺”和“园艺”的学生人数，即可解决问题；（3）画树状图，共有25种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有5种，再由概率公式求解即可【小问1详解】解：参与了本次问卷调查的学生人数为：（名），则“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角为：，故答案为：120，99；【小问2详解】解：条形统计图中，选修“厨艺”的学生人数为：（名），则选修“园艺”的学生人数为：（名），补全条形统计图如下：【小问3详解】解：把“礼仪”“陶艺”“园
9、艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程分别记为、，画树状图如下：共有25种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有5种，小刚和小强两人恰好选到同一门课程的概率为【点睛】本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）21. 建设美丽城市，改造老旧小区某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同（1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；（2）20
10、21年老旧小区改造的平均费用为每个80万元2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？【答案】（1）20% （2）18个【解析】【分析】（1）先设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为，根据2019年投入资金2021年投入的总资金，列出方程求解即可；（2）由（1）得出的资金年增长率求出2022年的投入资金，然后2022年改造老旧小区的总费用要小于等于2022年投入资金，列出不等式求解即可【小问1详解】解：设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为，根据题意得：，解这个方程得，经检验，符合本题要求答：该市改
11、造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%【小问2详解】设该市在2022年可以改造个老旧小区，由题意得：，解得为正整数，最多可以改造18个小区答：该市在2022年最多可以改造18个老旧小区【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，不等式的应用，解决此题的关键是找到相应的等量关系和相应的不等关系，列出正确的方程和不等式22. 脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活如图是政府给贫困户新建的房屋，如图是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线为了测量房屋的高度，在地面上点测得屋顶的仰角为，此时地面上点、屋檐上点、屋顶上点三点恰好共线，继续向房屋方向走8m到达点时，又测得屋檐点的仰角为
12、，房屋的顶层横梁，交于点（点，在同一水平线上）（参考数据：，）（1）求屋顶到横梁的距离；（2）求房屋的高【答案】（1）屋顶到横梁的距离为 （2）房屋的高为【解析】【分析】（1）根据可得，再根据，即可求解；（2）过点E作于点H，设，则，再根据，列出方程求解即可【小问1详解】解：，该房屋的侧面示意图是一个轴对称图形，答：屋顶到横梁的距离为【小问2详解】过点E作于点H，设，在中，在中，解得：，答：房屋的高为【点睛】本题主要考查了仰角的定义及其解直角三角形的应用，解题时首先正确理解仰角的定义，然后构造直角三角形利用三角函数和已知条件列方程解决问题五、解答题（本题共12分）23. 我市某景区商店在销售北
13、京冬奥会吉祥物“冰墩墩”纪念品时，发现该纪念品的月销售量y件是销售单价x元的一次函数，如表是该商品的销售数据销售单价x（元）4050月销售量y（件）10080（1）求y与x的函数关系式；（2）若该商品的进货单价是30元请问，每件商品的销售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？【答案】（1）y与x的函数关系式为； （2）每件商品的销售价定为60元时，每个月可获得最大利润，最大月利润是1800元【解析】【分析】（1）设y与x的函数关系式为，再根据待定系数法求解即可；（2）根据月利润=每件商品的利润月销售量列出列出解析式，再将其化为顶点式，再根据其性质取最大值即可【小问1详解】解
14、：设y与x的函数关系式为，根据题意得，解得：，y与x的函数关系式为；【小问2详解】解：设每个月可获得的利润为w，根据题意得，整理得，该抛物线开口向下，w有最大值，当时，w有最大值，最大值为1800元每件商品的销售价定为60元时，每个月可获得最大利润，最大月利润是1800元【点睛】本题考查一次函数的应用、二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值六、解答题（本题共12分）24. 如图，AB为O的直径，D、E是O上的两点，延长AB至点C，连接CD，BDC=BAD（1）求证：CD是O的切线（2）若tanBED=，AC=9，求O的半径【答案】（1）见详解
15、（2）【解析】【分析】（1）连接OD，只要证明，则有，即可证明结论成立；（2）由圆周角定理，求得，然后证明ACDDCB，求出CD的长度，再根据勾股定理，即可求出答案【小问1详解】证明：连接OD，如图AB为O直径，OA=OD，BDC=BAD，CD是O的切线【小问2详解】解：，ABD是直角三角形，ACDDCB，在直角CDO中，设O的半径为，则，解得：；O的半径为；【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的判定定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的理解题意，从而进行解题七、解箸题（本题共12分）25. 在中，是的角平分线，于点（1）如图1，连接，求证：是等边三
16、角形；（2）点是线段上的一点（不与点，重合），以为一边，在的下方作，交延长线于点请你在图2中画出完整图形，并直接写出，与之间的数量关系；（3）如图3，点是线段上的一点，以为一边，在的下方作，交延长线于点试探究，与数量之间的关系，并说明理由【答案】（1）见解析 （2）见解析， （3）【解析】【分析】（1）利用三边相等的三角形是等边三角形证得是等边三角形；（2）延长使得，连接，即可得出是等边三角形，利用即可得出，再利用，即可得出结论；（3）利用等边三角形的性质得出，进而得出，再求出即可得出结论【小问1详解】证明：如图1所示：在中，平分，于点，是等边三角形；【小问2详解】结论：证明：如图2所示：延长
17、使得，连接，是的角平分线，于点，又，是等边三角形，在和中，【小问3详解】结论：证明：如图3所示，延长至，使得，由（1）得，于点，是等边三角形，即，在和中，【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，根据已知作出正确的辅助线是解题的关键八、解答题（本题共14分）26. 如图，在平而直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C （1）试求抛物线的解析式；（2）直线与y轴交于点D，与抛物线在第一象限交于点P，与直线交于点M，记，试求m的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，m取最大值时，是否存在x轴上的点Q及坐标平面内的点N，使得P，D，Q，N四点组成的四边形
18、是矩形？若存在，请直接写出所有满足条件的Q点和N点的坐标：若不存在，请说明理由【答案】（1） （2）m的最大值，此时点P的坐标为 （3）存，；，【解析】【分析】（1）根据已知条件求得点C的坐标，用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）作轴于E，交于F，先证，根据相似三角形的性质可得，设，则，用n表示出的长，从而得到m、n的二次函数关系式，利用二次函数的性质解决问题即可；（3）存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形，分是矩形的边和是矩形的对角线两种情况求点N的坐标【小问1详解】解：抛物线与x轴交于，两点， ，解得：，该抛物线的解析式为；【小问2详解】解：当时，点，如图1，过
19、点P作轴交直线于E，连接，设直线的解析式为，解得：，直线的解析式为，设，则，直线与y轴交于点D，轴，即，当时，m取得最大值，此时点P的坐标为；【小问3详解】解：存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形当是矩形的边时，有两种情形，a、如图2-1中，四边形矩形时，有（2）可知，代入中，得到，直线的解析式为，可得，由可得，根据矩形的性质，将点P向右平移个单位，向下平移1个单位得到点N，即b、如图22中，四边形是矩形时，直线的解析式为，直线的解析式为，根据矩形的性质可知，将点D向右平移6个单位，向下平移4个单位得到点N，即当是对角线时，设，则，Q是直角顶点，整理得，方程无解，此种情形不存在，综上所述，满足条件的，；，【点睛】本题为二次函数压轴题，综合考查了二次函数、待定系数法、最大值问题、相似三角形、矩形等知识点第（3）问涉及存在型问题，有一定的难度在解题过程中，注意数形结合思想、分类讨论思想及方程思想等的应用