1、2023年安徽省合肥市庐阳区二校联考中考二摸数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1. 下列各数中，比小的数是（）A. B. C. 0D. 2. 2022年世界杯在卡塔尔举办，为了办好这届世界杯，人口仅有280万的卡塔尔投资2200亿美元修建各项设施，数据2200亿用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D. 3. 下列正面摆放的几何体中，左视图是三角形的是（ ）A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ）A. a3+a2=a5B. a3a2=a5C. （a2）3=a5D. a10a2=a55. 已知，如图，点C是以AB为直径的半圆O上一点，过点C作O的切线C
2、D，BDCD于点D，若DCB=50，则ABC的度数是（ ）A. 25B. 40C. 45D. 506. 合肥市某校九年级（1）、（2）班共有2名女生和3名男生分别被评为“智慧之星”，要从这5位学生中随机抽取一男一女两位学生做获奖感言，女同学杨玲和男同学张军恰好来自同一班级，则他俩同时被抽中的概率为（）A. B. C. D. 7. 如图，中， 点和点分别在上，若、，则长度为（）A. 3.2B. 4C. 4.5D. 4.88. 已知，若，则下列等式成立的是（ ）A. B. C. D. 9. 如图，在ABC中，AB=AC，A=36，BD平分ABC，交AC于点D，则cosA=（ ）A B. C. D.
3、 10. 在等边ABC中，AB4、AD是中线，点E是BD上点（不与B、D重合），点F是AC上一点，连接EF交AD于点G，CF2BE，以下结论错误的是（ ）A. 当EFAB时，BEB. 当EFAC时，CE4BEC. EGFGD. 点G不可能是AD的中点二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11. 立方根是_12. 因式分解：3a3-27ab2=_13. 如图，点是双曲线（是常数）上一点，点是双曲线（是常数）上一点，轴，轴，若四边形的面积为，则_14. 和的位置如图，连接，且，则：（1）若，则_（用含的代数式来表示）；（2）若，则的长为_三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
4、15. 16. 某人利用网络直播销售甲、乙两种商品，预计用4600元购进一批商品，其中乙种商品的个数是甲种商品的3倍少30个，甲、乙两种商品的单价分别为20元个、30元/个求这一批商品中甲、乙两种商品各有多少个？四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17 观察以下等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；按照以上规律，解答下列问题：（1）写出第5个等式： ；（2）写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明18. 如图，在平面直角坐标系中，点为原点，（1）以原点为位似中心，相似比为2，作的位似图形，得到，请在图中作出（点，分别为点，的对应点）；（2）若将绕
5、原点逆时针旋转，得到，请在图中作出（点，分别为点，的对应点）；旋转过程中，点经过的路径长为_五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19. 随着我国数字化阅读方式的接触率和人群持续增多，数字阅读凭借独有的便利性成为了更快获得优质内容的重要途径，目前，数字阅读已经成为当下更环保、更年轻的阅读方式，2019年中国数字阅读市场规模为293亿元，2021年为421.92亿元（1）求2019到2021年中国数字阅读市场规模的年平均增长率；（2）预计2022年中国数字阅读市场规模是否可以达到510亿元？20. 如图，内接于，为直径，射线于点E，交于点F，过点A作的切线交射线于点B（1）当时，求的度
6、数；（2）当，时，求的长六、（本大题1小题，满分12分）21. 教育部办公厅在关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知中明确要求保障学生每天校内、校外各1小时体育活动时间某校为了解本校九年级学生每天参加体育活动的情况，随机抽取了名学生，对某一天的体育活动时间进行了调查，根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图调查结果的频数分布表组别时间（分钟）频数5128根据上述信息，解答下列问题：（1）频数分布表中的_，扇形统计图中组所在的扇形的圆心角为_度；（2）被抽取的名学生这一天的体育活动时间数据的中位数在哪一组（直接写出组别即可）；（3）若该校九年级共有720名学生，试估计该校九年级
7、学生平均每天体育活动时间不低于120分钟的学生人数七、（本大题1小题，满分12分）22. 某公园要在小广场上建造一个喷泉景观在小广场中央处垂直于地面安装一个高为1.25米花形柱子，安置在柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过的任一平面上抛物线路径如图1所示为使水流形状较为美观，设计成水流在距的水平距离为1米时达到最大高度，此时离地面2.25米（1）以点为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到水平距离为米，水流喷出的高度为米，求出在第一象限内的抛物线解析式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）张师傅正在喷泉景观内维修设备期间，喷水管意外喷水，但是身高1.
8、76米的张师傅却没有被水淋到，此时他离花形柱子的距离为米，求的取值范围；（3）为了美观，在离花形柱子4米处的地面、处安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图3所示，光线交汇点在花形柱子的正上方，其中光线所在的直线解析式为，求光线与抛物线水流之间的最小垂直距离八、（本大题1小题，满分14分）23. 如图1，在中，点为延长线上一点，（1）求证：；（2）作，垂足分别为点，交于点如图2，当平分时，求的值；如图3，连接 交于点，当，时， 求的长2023年安徽省合肥市庐阳区二校联考中考二摸数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1. 下列各数中，比小的数是（）A. B. C. 0D.
9、 【答案】D【解析】【分析】根据实数的大小比较法则：正数大于0，负数小于0，正数总大于负数，负数绝对值大的反而小即可得答案【详解】解：，比小的数是，故选D【点睛】本题考查了实数的大小比较法则，熟记比较法则是解题关键2. 2022年世界杯在卡塔尔举办，为了办好这届世界杯，人口仅有280万的卡塔尔投资2200亿美元修建各项设施，数据2200亿用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】科学记数法的表现形式为 ，其中 ，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是正数，当原数的绝对值小于1时，是
10、负数【详解】解：2200亿，2200亿用科学记数法表示为：，故选：C【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为 ，其中 ，为整数，确定与的值是解题的关键3. 下列正面摆放的几何体中，左视图是三角形的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据几何体的特点及三视图的确定方法依次判断即可【详解】解：A、左视图是等腰梯形，不符合题意；B、左视图是长方形，不符合题意；C、左视图是三角形，符合题意；D、左视图是长方形，不符合题意；故选：C【点睛】此题考查了几何体的三视图，正确掌握三视图的确定方法及几何体的特点是解题的关键4. 下列计算正确的是（ ）A. a3+a2=a5B.
11、a3a2=a5C. （a2）3=a5D. a10a2=a5【答案】B【解析】【分析】利用合并同类项法则、同底数幂的乘除法以及幂的乘方的性质求解即可求得答案；注意排除法在解选择题中的应用【详解】解：A. 与不是同类项，不能合并，故本选项不合题意；B.a3a2=a5，故本选项符合题意；C.（a2）3=a6，故本选项不合题意；D.，故本选项不合题意故选：B【点睛】此题考查了合并同类项、同底数幂乘除法以及幂的乘方的性质此题比较简单，注意掌握指数的变化是解此题的关键5. 已知，如图，点C是以AB为直径的半圆O上一点，过点C作O的切线CD，BDCD于点D，若DCB=50，则ABC的度数是（ ）A. 25B
12、. 40C. 45D. 50【答案】B【解析】【分析】连接OC，根据切线的性质定理确定OCD=90，根据角的和差关系求出OCB，最后根据等边对等角即可求解【详解】解：如下图所示，连接OCCD是的切线，OCCDOCD=90DCB=50，OCB=OCD-DCB=40OB=OC，ABC=OCB=40故选：B【点睛】本题考查切线的性质定理，角的和差关系，等边对等角，熟练掌握这些知识点是解题关键6. 合肥市某校九年级（1）、（2）班共有2名女生和3名男生分别被评为“智慧之星”，要从这5位学生中随机抽取一男一女两位学生做获奖感言，女同学杨玲和男同学张军恰好来自同一班级，则他俩同时被抽中的概率为（）A. B
13、. C. D. 【答案】D【解析】【分析】列出表格，共有12种等可能的结果，其中女同学杨玲和男同学张军恰好来自同一班级，被同时抽中的结果有2种，再由概率公式求解即可【详解】解：根据题意，列出表格如下：男1男2男张军女1女杨玲男1男1，女1男1，女杨玲男2男2，女1男2，女杨玲男张军男张军，女1男张军，女杨玲女1女1，男1女1，男2女1，男张军女杨玲女杨玲，男1女杨玲，男2女杨玲，男张军共有12种等可能的结果，其中女同学杨玲和男同学张军恰好来自同一班级，被同时抽中的结果有2种，女同学杨玲和男同学张军恰好来自同一班级，他俩同时被抽中的概率为：，故选：D【点睛】本题主要考查了列表法求概率，根据题意正
14、确的列出所有可能的结果是解题的关键7. 如图，中， 点和点分别在上，若、，则的长度为（）A. 3.2B. 4C. 4.5D. 4.8【答案】A【解析】【分析】先根据锐角三角函数求出，再根据勾股定理求出，最后根据三角形的面积求出的长即可【详解】解：，故选：A【点睛】本题主要考查了锐角三角函数、勾股定理、三角形的面积，熟练掌握锐角三角函数、勾股定理是解题的关键8. 已知，若，则下列等式成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先推出， ，进而得到a、b相当于是关于x的一元二次方程的两个实数根，由根与系数的关系即可得到【详解】解：， ，a、b相当于是关于x的一元二次方程的两个实
15、数根，故选B【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则9. 如图，在ABC中，AB=AC，A=36，BD平分ABC，交AC于点D，则cosA=（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】过点D作DEAB于E，设AB=AC=a，BC=b根据等边对等角，三角形内角和定理求出ABC和C，根据角平分线的定义求出ABD和CBD，根据三角形外角的性质求出BDC，根据等角对等边确定AD=BD=BC，并用b表示出AD的长度，进而表示出DC的长度，根据该等腰三角形的性质用a来表示AE的长度，根据相似三角形的判定定理和性质列出比例式，并用a表示b，进
16、而用a表示AD的长度，最后根据余弦的定义即可求解【详解】解：如下图所示，过点D作DEAB于E，设AB=AC=a，BC=bAB=AC，A=36，BD平分ABC，A=CBD=ABD，BDC=A+ABD=72BDC=C，AD=BDAD=BD=BC=bDEAB，ACB=BCD，用a表示b得，（舍）故选：B【点睛】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，等边对等角，等角对等边，三角形外角的性质，等腰三角形三线合一的性质，相似三角形的判定定理和性质，余弦的定义，综合应用这些知识点是解题关键10. 在等边ABC中，AB4、AD是中线，点E是BD上点（不与B、D重合），点F是AC上一点，连接EF交AD于点G
17、，CF2BE，以下结论错误的是（ ）A. 当EFAB时，BEB. 当EFAC时，CE4BEC. EGFGD. 点G不可能是AD的中点【答案】C【解析】【分析】根据等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质逐项分析即可【详解】解：在等边ABC中 AD是中线，AD是中线，设则，A选项：EFAB，为等腰三角形，BE，故A正确；B选项：EFAC，故B正确；C选项：如图所示，过F作FHAD，在和中，故C错误；D选项：由C选项可得，G为HD的中点，点G不可能是AD的中点，故D正确；故选：C【点睛】本题考查等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题关键是掌握
18、相关知识点二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11. 的立方根是_【答案】-2【解析】【分析】先化简，再根据立方根的定义求出即可【详解】解：=-8则-8的立方根是-2故答案：-2【点睛】本题考查了算术平方根和立方根的应用，解答关键是根据相关定义进行计算12. 因式分解：3a3-27ab2=_【答案】3a（a+3b）（a-3b）【解析】【分析】先提取公因式3a，再根据平方差公式进行二次分解【详解】解：3a3-27ab2=3a（a2-9b2）=3a（a+3b）（a-3b）故答案为：3a（a+3b）（a-3b）【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，解决此题的关键是提取公因式后
19、利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底13. 如图，点是双曲线（是常数）上一点，点是双曲线（是常数）上一点，轴，轴，若四边形的面积为，则_【答案】【解析】【分析】根据题意，延长交轴于点，延长交轴于，设，点的纵坐标为，则，点的横坐标为，则，根据，即可求解【详解】解：如图所示，延长交轴于点，延长交轴于，点是双曲线（是常数）上一点，设，图像在第四象限，点是双曲线（是常数）上一点，轴，轴，则，点的纵坐标为，则，点的横坐标为，则， 四边形的面积为，故答案为：【点睛】本题主要考查反比例函数与几何图形的面积，掌握反比例函数图像的性质，几何图形面积的计算公式，不规则图形面积的计算方法是解题的关键14. 和
20、的位置如图，连接，且，则：（1）若，则_（用含代数式来表示）；（2）若，则的长为_【答案】 . . 【解析】【分析】（1）由，证明，得到，再根据是等腰直角三角形可得，即可得出结果；（2）证明，可得，从而证明是等腰三角形，得出，利用，求出，设，在中利用勾股定理即可求解【详解】解：（1），是等腰直角三角形，（2），在和中，是等腰三角形， ，即，设，在中，利用勾股定理得，即，解得，【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质证明三角形相似或全等是解题的关键三、（本大题共2小题，每小题8分，满分
21、16分）15. 【答案】【解析】【分析】直接利用二次根式的性质、零指数幂、绝对值的性质、特殊角的三角函数值、负指数幂分别化简，进而得出答案【详解】解：【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算、零指数幂、绝对值的性质、负指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关键16. 某人利用网络直播销售甲、乙两种商品，预计用4600元购进一批商品，其中乙种商品的个数是甲种商品的3倍少30个，甲、乙两种商品的单价分别为20元个、30元/个求这一批商品中甲、乙两种商品各有多少个？【答案】甲种商品有50个，乙种商品有120个【解析】【分析】设甲种商品有个，则乙种商品有个，根据“总价值为4600元”列出方程，解方程即可
22、求解【详解】解：设甲种商品有个，则乙种商品有个，根据题意，得，解得，则，答：这批商品中甲种商品有50个，乙种商品有120个【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17. 观察以下等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；按照以上规律，解答下列问题：（1）写出第5个等式： ；（2）写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明【答案】（1） （2），证明过程见详解【解析】【分析】（1）根据题目中前4个等式，可以发现式子的变化特点，从而可以写出第5个等式；（2
23、）把上面发现的规律用字母n表示出来，并运用分式的混合运算法则计算等号的右边的值，进而得到左右相等便可【小问1详解】第五个等式为：，故答案为：；小问2详解】根据（1）所得到的规律，猜想：；证明：，即：右边=左边，故猜想成立，故答案为：【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，写出相应的等式，并证明猜想的正确性18. 如图，在平面直角坐标系中，点为原点，（1）以原点为位似中心，相似比为2，作的位似图形，得到，请在图中作出（点，分别为点，的对应点）；（2）若将绕原点逆时针旋转，得到，请在图中作出（点，分别为点，的对应点）；旋转过程中，点经过的路径长为_【答案】（1）
24、见解析 （2）见解析；【解析】【分析】（1）利用网格和位似的性质找出各个对应点，连线即可解答；（2）利用网格和旋转的性质即可画出所求作的三角形，利用勾股定理算出的长度，再利用弧长公式计算即可【小问1详解】如图，即为所求【小问2详解】如图，即为所求，旋转过程中，点经过的路径长为，故答案为：【点睛】本题考查了作图-旋转作图，作图-位似变换，除上述知识点外，熟练掌握勾股定理和弧长公式也是解题的关键五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19. 随着我国数字化阅读方式接触率和人群持续增多，数字阅读凭借独有的便利性成为了更快获得优质内容的重要途径，目前，数字阅读已经成为当下更环保、更年轻的阅读方
25、式，2019年中国数字阅读市场规模为293亿元，2021年为421.92亿元（1）求2019到2021年中国数字阅读市场规模的年平均增长率；（2）预计2022年中国数字阅读市场规模是否可以达到510亿元？【答案】（1）20% （2）不可以【解析】【分析】（1）设2019到2021年中国数字阅读市场规模的年平均增长率为x根据题意列出一元二次方程并求解即可（2）根据题意求出2022年中国数字阅读市场规模，再进行判断即可【小问1详解】解：设2019到2021年中国数字阅读市场规模的年平均增长率为x根据题意可得解得，（舍）所以0.2=20%答：2019到2021年中国数字阅读市场规模的年平均增长率为2
26、0%【小问2详解】解：亿元506.304510，2022年中国数字阅读市场规模不可以达到510亿元答：2022年中国数字阅读市场规模不可以达到510亿元【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，有理数的混合运算，熟练掌握这些知识点是解题关键20. 如图，内接于，为直径，射线于点E，交于点F，过点A作的切线交射线于点B（1）当时，求的度数；（2）当，时，求的长【答案】（1） （2）6【解析】【分析】（1）连接，根据，求出，根据为的切线，得出，求出，根据，求出，最后根据等腰三角形的性质得出结果即可；（2）连接，根据求出，得出，求出，证明，得出，求出，最后求出结果即可【小问1详解】解：连接，如图所示：
27、，为的切线，为直径，【小问2详解】解：连接，如图所示：为的切线，为直角三角形，在中，在中，【点睛】本题主要考查了切线的性质，解直角三角形，直角三角形两锐角互余，等腰三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角函数的定义，求出六、（本大题1小题，满分12分）21. 教育部办公厅在关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知中明确要求保障学生每天校内、校外各1小时体育活动时间某校为了解本校九年级学生每天参加体育活动的情况，随机抽取了名学生，对某一天的体育活动时间进行了调查，根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图调查结果的频数分布表组别时间（分钟）频数5128根据上述信息，解答下
28、列问题：（1）频数分布表中的_，扇形统计图中组所在的扇形的圆心角为_度；（2）被抽取的名学生这一天的体育活动时间数据的中位数在哪一组（直接写出组别即可）；（3）若该校九年级共有720名学生，试估计该校九年级学生平均每天体育活动时间不低于120分钟的学生人数【答案】（1）10，108 （2）组 （3）288人【解析】【分析】（1）用A组的频数除以所占的百分比，即可求出调查的总人数，再算出B组的人数，即可求得a的值；用总人数减去其它组的人数，即可求得C组的人数，即可求出C组所占的比例，再乘以即可求解；（2）根据中位数的求法，即可求解；（3）用总人数乘以平均每天体育运动时间不低于120分钟的学生人数
29、所占的百分比，即可求解【小问1详解】解：被抽取的学生数为：(人)故，故扇形统计图中组所在的扇形的圆心角为：，故答案为：10，108；【小问2详解】解：把这组数据从小到大排列，第25和第26个数据的平均数为这组数据的中位数，把这组数据从小到大排列，第25和第26个数据都在C组，故被抽取的50名学生这一天的体育活动时间数据的中位数在C组；【小问3详解】解：（人）答：估计平均每天的体育活动时间不低于120分钟的学生有288人【点睛】本题主要考查了扇形统计图和频数表、用样本估计总体、求扇形的圆心角，从统计图表中获取相关数据是正确计算的前提，用样本估计总体是统计中常用的方法七、（本大题1小题，满分12分
30、）22. 某公园要在小广场上建造一个喷泉景观在小广场中央处垂直于地面安装一个高为1.25米的花形柱子，安置在柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过的任一平面上抛物线路径如图1所示为使水流形状较为美观，设计成水流在距的水平距离为1米时达到最大高度，此时离地面2.25米（1）以点为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到水平距离为米，水流喷出的高度为米，求出在第一象限内的抛物线解析式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）张师傅正在喷泉景观内维修设备期间，喷水管意外喷水，但是身高1.76米的张师傅却没有被水淋到，此时他离花形柱子的距离为米，求的取值范围；（3）
31、为了美观，在离花形柱子4米处的地面、处安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图3所示，光线交汇点在花形柱子的正上方，其中光线所在的直线解析式为，求光线与抛物线水流之间的最小垂直距离【答案】（1） （2） （3）米【解析】【分析】（1）由题意得，在第一象限内的抛物线顶点的坐标，故设抛物线解析式为，将代入得，求值，进而可得在第一象限内的抛物线解析式；（2）当时，解得：，由二次函数的图象与性质确定的取值范围即可；（3）由题意知，设平行于直线且与抛物线只有一个交点的直线的解析式为，则联立方程，整理得，令，解得，即直线的解析式为，如图，记直线与轴的交点为，则，则，根据光线与抛物线水流之间的最小垂直距离是
32、直线到直线的距离，即为，计算求解即可【小问1详解】解：由题意得，在第一象限内的抛物线顶点的坐标，故设抛物线解析式为，将代入得，解得，在第一象限内的抛物线解析式为；【小问2详解】解：当时，解得：，的取值范围是；【小问3详解】解：由题意知，设平行于直线且与抛物线只有一个交点的直线的解析式为，则联立方程，即，整理得，令，解得，直线的解析式为，如图，记直线与轴的交点为，则，直线到直线的距离为，光线与抛物线水流之间的最小垂直距离是直线到直线的距离，光线与抛物线水流之间的最小垂直距离为【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数综合，正弦等知识解题的关键在于对知识的
33、熟练掌握与灵活运用八、（本大题1小题，满分14分）23. 如图1，在中，点为延长线上一点，（1）求证：；（2）作，垂足分别为点，交于点如图2，当平分时，求的值；如图3，连接 交于点，当，时， 求的长【答案】（1）见解析 （2）；【解析】【分析】（1）由，得，即可得到，由，得到，即可得证；（2）先根据平分得到，进一步证明，设，则，通过证明，得到，求出，通过证明，即可得到的值；如图，连接、，过点作于点，过点作于点，先证明得到，进一步证明，再证明得到，进一步证明，得到，以及和，最后证明，利用角平分线的性质，得到，进一步得到和【小问1详解】证明：，；【小问2详解】解：平分，设，则，即，解得：，（不符合题意，舍去），即的值为；如图，连接、，过点作于点，过点作于点，在和中，四边形是平行四边形，在和中，为的平分线，【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握三角形相似的判定和性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质，添加恰当的辅助线是解题的关键