1、2023年广东省广州市增城区中考一模数学试卷一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，满分30分）1. 实数2的倒数是（ ）A. 2B. C. 0D. 2. 如图是年北京冬奥运会吉祥物冰墩墩的图形，是轴对称图形的是（ ）A. B. C. D. 3. 要使在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 4. 已知的半径为5，当线段时，则点与的位置关系是（ ）A. 在圆上B. 在圆外C. 在圆内D. 不能确定5. 下列运算正确的是（ ）A B. C. D. 6. 已知，为抛物线上两点，则与的大小关系是（ ）A. B. C. D. 无法确定7. 如图，菱形的对角线，相交于点，点为的中
2、点，若，则菱形的边长是（ ）A. 5B. 6C. 7D. 88. 九章算术是中国传统数学最重要著作之一，书中记载：“今有人共买兔，人出七，盈十一；人出五，不足十三，问人数几何？”意思是：“有若干人共同出钱买兔，如果每人出七钱，那么多了十一钱；如果每人出五钱，那么少了十三钱问：共有几个人?”设有个人共同买兔，依题意可列方程为（ ）A. B. C. D. 9. 如图，正方形内接于，点、在上，点、分别在和边上，且边上的高，则正方形的边长为（ ）A. 6B. 5C. 4D. 310. 如图，已知直线与轴交于点A，点与点A关于轴对称是直线上的动点，将绕点顺时针旋转得连接，则线段的最小值为（ ）A. 3B
3、. C. D. 第二部分 非选择题（共90分）二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分）11. 如图，已知，则度数为_12. 分解因式：_13. 一只不透明的袋子中装有2个黄球、3个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，摸到红球的概率为_14. 已知圆锥的母线长为10，底面圆半径为5，则此圆锥的侧面积为_15. 如图，在中，将绕点A顺时针旋转得到，若点恰好落在的边上，则的度数是_16. 如图，点在正方形外，连接、，过点A作的垂线交于点若，则下列结论：；点B到直线的距离为；其中正确的结论是_（填写所有正确结论的序号）三、解答题（本题有9个小题，共72分，解答要求写出文字说
4、明、证明过程或计算步骤）17. 解不等式组： 18. 如图，点、线段上，求证：19. 已知（1）化简A；（2）若，求A的值20. 近年来，共享单车逐渐成为高校学生喜爱的“绿色出行”方式之一，某高校为了解本校学生出行使用共享单车的情况，随机调查了某天50名出行学生使用共享单车次数的情况，并整理如下统计表使用次数12345人数81311126（1）这50名出行学生使用共享单车次数的中位数是_，众数是_；（2）这天中，这50名出行学生平均每人使用共享单车多少次？21. 如图，在直角坐标系中，已知点B(4,0)，等边三角形OAB的顶点A在反比例函数的图象上 (1)求反比例函数的表达式 (2)把OAB向
5、右平移a个单位长度，对应得到O A B 当这个函数图象经过O A B 一边的中点时，求a 的值22. 某地区为打造乡村振兴示范区实行大面积机械化种植，今年共计种植某作物700亩，预计租用10台作物收割机在一天之内完成该作物的收割。已知可租用A、B两种型号的作物收割机，2台A型号收割机与3台B型号收割机一起工作1天共收制该作物310亩，1台A型号收割机和1台B型号收割机一起工作1天共收割该作物130亩，租用A型号收割机的租金为每天3000元，租用B型号收割机的租金为每天2000元（1）两种型号收割机每台每天平均收割多少亩该作物?（2）设租用x台A型号的收割机，完成该作物的收割需要的总租金为y元，
6、一共有多少种租赁方案，并求出最少的总租金23. 已知为的外接圆，的半径为6 （1）如图，是的直径，点是的中点尺规作图：作的角平分线，交于点，连接（保留作图痕迹，不写作法）：求的长度（2）如图，是的非直径弦，点在上运动，点在运动的过程中，四边形的面积是否存在最大值，若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由24. 在四边形中，；（1）如图1，已知，直接写出的度数；（2）如图2，已知，连接，求的长度；（3）如图3，已知，请判断四边形的面积是否有最小值？如果有，请求出它的最小值；如果没有，请说明理由25. 综合与探究已知抛物线（1）当抛物线经过和两点时，求抛物线的函数表达式（2）当时，无论a为何
7、值，直线与抛物线相交所得的线段（点A在点 B的左侧）的长度始终不变，求m的值和线段的长（3）在（2）的条件下，将抛物线沿直线翻折得到抛物线，抛物线，的顶点分别记为G，H是否存在实数a使得以A，B，G，H为顶点的四边形为正方形？若存在，直接写出a的值；若不存在，请说明理由2023年广东省广州市增城区中考一模数学试卷一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，满分30分）1. 实数2的倒数是（ ）A. 2B. C. 0D. 【答案】D【解析】【分析】根据倒数定义选择即可【详解】解：实数2的倒数是故选D【点睛】本题考查求一个数的倒数，掌握两个非零数相乘积为1，则说它们互为倒数，其中一个数是另一个数的倒
8、数是解题关键2. 如图是年北京冬奥运会吉祥物冰墩墩的图形，是轴对称图形的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴去进行分析即可【详解】解：三个选项中的图形都找不到一条直线能够使直线两旁的部分重合，所以不是轴对称图形；C选项中的图形能够找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形；故选：C【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键在于寻找出对称轴，使直线两旁的部分重合是解题的关键3. 要使在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）A. B. C. D
9、. 【答案】A【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件“被开方数为非负数”解答即可【详解】解：在实数范围内有意义，故选A【点睛】本题考查二次根式有意义的条件掌握二次根式被开方数为非负数是解题关键4. 已知的半径为5，当线段时，则点与的位置关系是（ ）A. 在圆上B. 在圆外C. 在圆内D. 不能确定【答案】B【解析】【分析】根据点A到圆心的距离大于半径即可求解【详解】解：，A点在圆外，故选：B【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，掌握点到圆心的距离大于半径时点在圆外，等于半径时点在圆上，小于半径时点在圆内是解题的关键5. 下列运算正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根
10、据二次根式的加法法则，合并同类项法则和分式的加法法则逐项计算，即可判断【详解】解：和不是同类二次根式不能合并，故A计算错误，不符合题意；和不是同类项，故B计算错误，不符合题意；，故C计算正确，符合题意；，故D计算错误，不符合题意故选C【点睛】本题考查二次根式的加法，合并同类项，分式的加法掌握各运算法则是解题关键6. 已知，为抛物线上的两点，则与的大小关系是（ ）A. B. C. D. 无法确定【答案】A【解析】【分析】将，代入，求出和的值作比较即可【详解】解：将，代入，得：，故选A【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征掌握二次函数图象上点的坐标满足其解析式是解题关键7. 如图，菱形的对角线
11、，相交于点，点为的中点，若，则菱形的边长是（ ）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】B【解析】【分析】根据菱形的性质得出对角线互相垂直，再利用直角三角形斜边中线等于斜边一半求出菱形边长【详解】解：四边形是菱形，点E为的中点，AD=2OE=6，故选：B【点睛】本题考查了菱形的性质，解题关键是掌握菱形的对角线互相垂直和直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质8. 九章算术是中国传统数学最重要的著作之一，书中记载：“今有人共买兔，人出七，盈十一；人出五，不足十三，问人数几何？”意思是：“有若干人共同出钱买兔，如果每人出七钱，那么多了十一钱；如果每人出五钱，那么少了十三钱问：共有几个人?”设有个人共同
12、买兔，依题意可列方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据买兔所需的钱建立等量关系列出方程即可【详解】解：根据每人出七钱，那么多了十一钱，可得买兔所需的钱为，根据每人出五钱，那么少了十三钱，可得买兔所需的钱为，故选：D【点睛】本题考查了列一元一次方程，解题关键是找等量关系9. 如图，正方形内接于，点、在上，点、分别在和边上，且边上的高，则正方形的边长为（ ）A. 6B. 5C. 4D. 3【答案】C【解析】【分析】根据正方形及三角形高的定义易得，再根据对应线段成比例可得，设正方形边长为x，则，从而可求出最后根据，可列出关于x的方程，解出x的值即可【详解】解：正方形内接于
13、 ，边上的高，设正方形边长为x，则，又，即，解得：，正方形 的边长为4故选C【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，线段的和与差等知识解题的关键是根据比例表示出相应线段列方程10. 如图，已知直线与轴交于点A，点与点A关于轴对称是直线上的动点，将绕点顺时针旋转得连接，则线段的最小值为（ ）A. 3B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设直线与y轴的交点为E，再取的中点D，连接，过B作于H点根据直线解析式求出点A和点E的坐标，然后再证明为等边三角形再结合旋转的性质和等边三角形的性质，并利用证明，得出由A为定点，为定值，即说明当M在直线上运动时，点N也在定直线上运动，即得出当点
14、N与点H重合时，最短结合轴对称的性质可求出，进而可利用锐角三角函数求出，即的最小值为3【详解】解：如图，设直线与y轴的交点为E，再取的中点D，连接，过B作于H点对于，令，则，令，则， ， 的中点为D，为等边三角形，由旋转的性质可知，即，A为定点，为定值，当M在直线上运动时，点N也在定直线上运动，当点N与点H重合时，最短点与点A关于轴对称，即的最小值为3故选A【点睛】本题考查旋转的性质、轴对称的性质，三角形全等的判定和性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理、解直角三角形以及一次函数等知识点，解题的关键是确定点N在定直线上，通过垂线段最短的性质求BN的最小值第二部分 非选择题（共90分）二、填空题
15、（本题有6个小题，每小题3分，共18分）11. 如图，已知，则的度数为_【答案】#50度【解析】【分析】根据两直线平行，同位角相等解答即可【详解】解：，故答案为：【点睛】本题考查平行线的性质掌握两直线平行，同位角相等是解题关键12. 分解因式：_【答案】【解析】【分析】直接提公因式法：观察原式，找到公因式，提出即可得出答案【详解】，故答案为：a（a+2）【点睛】考查了对一个多项式因式分解的能力一般地，因式分解有两种方法，提公因式法，公式法，能提公因式先提公因式，然后再考虑公式法该题是直接提公因式法的运用13. 一只不透明的袋子中装有2个黄球、3个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1
16、个球，摸到红球的概率为_【答案】【解析】【分析】由一只不透明的袋子中装有2个黄球、3个红球，这些球除颜色外都相同，直接利用概率公式求解即可【详解】解：一只不透明的袋子中装有2个黄球、3个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，摸到红球的概率为为：，故答案为：【点睛】本题考查了概率公式的应用，熟练掌握概率等于所求情况数与总情况数之比是解题的关键14. 已知圆锥的母线长为10，底面圆半径为5，则此圆锥的侧面积为_【答案】【解析】【分析】根据圆锥的侧面积公式求解即可【详解】解：此圆锥的侧面积为故答案为：【点睛】本题考查求圆锥的侧面积掌握求圆锥的侧面积公式（为底面圆的半径，l为母线长）是
17、解题关键15. 如图，在中，将绕点A顺时针旋转得到，若点恰好落在的边上，则的度数是_【答案】或【解析】【分析】分两种情况：当点C在边上时和当点C在边上时，由旋转的性质及三角形内角和定理即可求出答案【详解】解：分类讨论：当点C边上时，如图1，将绕点A顺时针旋转得到，；当点C在边上时，如图2， 将绕点A顺时针旋转得到，综上可知，的度数是或故答案为：或【点睛】本题考查旋转的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质利用分类讨论的思想是解答本题的关键16. 如图，点在正方形外，连接、，过点A作的垂线交于点若，则下列结论：；点B到直线的距离为；其中正确的结论是_（填写所有正确结论的序号）【答案】【解
18、析】【分析】由正方形的性质可知，得出，结合题意可得出，即证明，从而可用“”证明，故正确；根据等腰直角三角形的性质得出，结合全等的性质可得，进而即可求出，故正确；过点B作，交延长线于点G，则的长即为点B到直线的距离根据勾股定理可求出，从而可求出又易证为等腰直角三角形，即得出，故正确；由全等的性质可得，即得出，结合三角形的面积公式即可求出，故错误【详解】四边形是正方形，又，故正确；，故正确；如图，过点B作，交延长线于点G，则的长即为点B到直线的距离，故正确；，故错误故答案为：【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识熟练掌握上述知识，并能够正确
19、作出辅助线是解题关键三、解答题（本题有9个小题，共72分，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤）17. 解不等式组： 【答案】【解析】【分析】分别解每个不等式，再求出公共解集即可【详解】解：，由得：，由得：，该不等式组的解集为【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解题关键是掌握解不等式的方法以及求公共解集的方法，口诀为：“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无处找”18. 如图，点、在线段上，求证：【答案】证明见解析【解析】【分析】先利用两直线平行，内错角相等求出，再利用“AAS”即可求证【详解】解：，在和中，【点睛】本题考查了平行线的性质和利用“AAS”判定两个三角形全等的知识，
20、解题关键是掌握全等三角形的判定条件19. 已知（1）化简A；（2）若，求A的值【答案】（1） （2）6【解析】【分析】（1）根据整式的混合运算法则计算即可化简；（2）将（1）化简后的式子变形为，再将整体代入求值即可【小问1详解】解：；【小问2详解】解：，原式【点睛】本题考查整式的化简，代数式求值掌握整式的混合运算法则和整体代入的思想是解题关键20. 近年来，共享单车逐渐成为高校学生喜爱的“绿色出行”方式之一，某高校为了解本校学生出行使用共享单车的情况，随机调查了某天50名出行学生使用共享单车次数的情况，并整理如下统计表使用次数12345人数81311126（1）这50名出行学生使用共享单车次数
21、的中位数是_，众数是_；（2）这天中，这50名出行学生平均每人使用共享单车多少次？【答案】（1）3，2 （2）次【解析】【分析】（1）根据中位数和众数的概念求解可得；（2）利用加权平均数概念列式计算可得【小问1详解】解：这50名出行学生使用共享单车次数的中位数是第25和26名同学的平均数：（次），众数为2，故答案为：3，2；【小问2详解】这50名出行学生平均每人使用共享单车（次）【点睛】本题考查了中位数、平均数的概念以及利用样本平均数估计总体抓住概念进行解题，难度不大，但是中位数一定要先将所给数据按照大小顺序重新排列后再求，以免出错21. 如图，在直角坐标系中，已知点B(4,0)，等边三角形O
22、AB的顶点A在反比例函数的图象上 (1)求反比例函数的表达式 (2)把OAB向右平移a个单位长度，对应得到O A B 当这个函数图象经过O A B 一边的中点时，求a 的值【答案】（1）；（2）的值为1或3；【解析】【详解】（1）如图1，过点A作于点C. 是等边三角形，.，.，.把点（2，）坐标代入，得.（2）（）如图2，点D是的中点，过点D作轴于点E.由题意得，.在中，.把代入得.（）如图3，点F是的中点，过点F作轴于点H.由题意得，.在中，.把代入，得.综上,的值为1或3.【点睛】本题考查了等边三角形的性质，待定系数法求反比例函数解析式，锐角三角函数及分类讨论等知识.掌握待定系数法是解答（
23、1）的关键，分类讨论是解（2）的关键.22. 某地区为打造乡村振兴示范区实行大面积机械化种植，今年共计种植某作物700亩，预计租用10台作物收割机在一天之内完成该作物的收割。已知可租用A、B两种型号的作物收割机，2台A型号收割机与3台B型号收割机一起工作1天共收制该作物310亩，1台A型号收割机和1台B型号收割机一起工作1天共收割该作物130亩，租用A型号收割机的租金为每天3000元，租用B型号收割机的租金为每天2000元（1）两种型号收割机每台每天平均收割多少亩该作物?（2）设租用x台A型号的收割机，完成该作物的收割需要的总租金为y元，一共有多少种租赁方案，并求出最少的总租金【答案】（1）A
24、型号收割机每台每天平均收割80亩该作物，B型号收割机每台每天平均收割50亩该作物 （2）一共有4种租赁方案，最少的总租金为27000元【解析】【分析】（1）设A型号收割机每台每天平均收割a亩该作物，B型号收割机每台每天平均收割b亩该作物，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可；（2）设租用x台A型号的收割机，则租用B型号的收割机（）台，根据题意列出不等式组，解得，由于x为整数，可知x=7或8或9或10，进而可得到4种租赁方案，再分别计算4种方案的总租金即可【小问1详解】解：设A型号收割机每台每天平均收割a亩该作物，B型号收割机每台每天平均收割b亩该作物，由题意可得，解得，即A型号收割机每台每
25、天平均收割80亩该作物，B型号收割机每台每天平均收割50亩该作物；【小问2详解】设租用x台A型号的收割机，则租用B型号的收割机（）台，由题意可得，解得，x为整数，x=7或8或9或10，当时，即租用A型号的收割机7台，租用B型号的收割机3台，完成该作物收割需要的总租金为元；当时，即租用A型号的收割机8台，租用B型号的收割机2台，完成该作物收割需要的总租金为元；当时，即租用A型号的收割机9台，租用B型号的收割机1台，完成该作物收割需要的总租金为元；当时，即租用A型号的收割机10台，租用B型号的收割机0台，完成该作物收割需要的总租金为元；综上所述，一共有4种租赁方案，最少的总租金为27000元【点睛
26、】本题主要考查了二元一次方程组和不等式组的实际应用，解题关键是读懂题意并正确列出方程组和不等式组23. 已知为的外接圆，的半径为6 （1）如图，是的直径，点是的中点尺规作图：作的角平分线，交于点，连接（保留作图痕迹，不写作法）：求的长度（2）如图，是的非直径弦，点在上运动，点在运动的过程中，四边形的面积是否存在最大值，若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由【答案】（1）见解析； （2）存在，最大值为【解析】【分析】（1）根据角平分线的作图方法画出，在连接即可；由点是的中点，得出根据等腰三角形的性质得出结合是的直径，即得出经过圆心O，即，最后根据勾股定理求解即可（2）连接，过点D作于点E
27、，交于点，过点C作由题意易证为等边三角形根据，即得出为直径，是中点根据为等边三角形，可得出和边上的高都为定值，再根据根据，即得出当最大时，最大，此时点C与点重合，即当点C为中点时，最大，此时为直径，得出此时易求出，结合勾股定理和含30度角的直角三角形的性质得出，进而可求出，又易证，得出，从而可求出，即点C在运动过程中，四边形的面积存在最大值，最大值为【小问1详解】解：如图1，即为所作图形；点是的中点，是的平分线，是的直径，经过圆心O，的半径为6，；【小问2详解】点C在运动过程中，四边形的面积存在最大值理由：如图，连接，过点D作于点E，交于点，过点C作，四边形为内接四边形，为等边三角形，为直径，
28、是的中点，为等边三角形，和边上的高都为定值，当最大时，最大，此时点C与点重合，当点C为中点时，最大，此时为直径，如图3的半径为6，点C在运动过程中，四边形的面积存在最大值，最大值为【点睛】本题考查作图角平分线，勾股定理，圆周角定理的推论，垂径定理，弧、弦、圆心角的关系，圆内接四边形的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，综合性强正确作出辅助线，并利用数形结合的思想是解题关键24. 在四边形中，；（1）如图1，已知，直接写出的度数；（2）如图2，已知，连接，求的长度；（3）如图3，已知，请判断四边形的面积是否有最小值？如果有，请求出它的最小值；如果没
29、有，请说明理由【答案】（1） （2） （3）【解析】【分析】（1）根据四边形的内角和定理求解即可；（2）将绕点B逆时针旋转得到即得出，从而可证是等边三角形，即得出再结合（1）可得出，进而可求出，最后根据勾股定理求解即可（3）如图，将绕点B逆时针旋转得到，连接易证为等边三角形根据，即得出当面积最大时，四边形的面积最小又可求，结合，即说明点A在定圆上运动，则当O、A、B共线时，的面积最大，此时，设交于K，进而可求在上取点F，使得，则是等腰直角三角形设，则，即可列出关于x的等式，解出x的值，结合三角形的面积公式和等边三角形的面积公式求解即可【小问1详解】解：，；【小问2详解】解：如图，将绕点B逆时针
30、旋转得到，即，是等边三角形，；【小问3详解】解：如图，将绕点B逆时针旋转得到，连接由（2）同理可证为等边三角形，当面积最大时，四边形的面积最小，点A在定圆上运动，如图，则当O、A、B共线时，的面积最大，此时，设交于K，在上取点F，使得，如图，则是等腰直角三角形设，则，解得：，即四边形的面积最小值为【点睛】本题考查四边形的内角和，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，三角形外角的性质，垂径定理等知识正确作出辅助线并利用数形结合的思想是解题关键25. 综合与探究已知抛物线（1）当抛物线经过和两点时，求抛物线的函数表达式（2）当时，无论a为何值，直线与抛物线相交所
31、得的线段（点A在点 B的左侧）的长度始终不变，求m的值和线段的长（3）在（2）的条件下，将抛物线沿直线翻折得到抛物线，抛物线，的顶点分别记为G，H是否存在实数a使得以A，B，G，H为顶点的四边形为正方形？若存在，直接写出a的值；若不存在，请说明理由【答案】（1） （2）， （3）【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）联立得，根据根与系数的关系得到，再由得到，再根据（点A在点 B的左侧）的长度始终不变，得到，由此求出m的值即可得到答案；（3）先求出点G的坐标，设抛物线上任一点的坐标为，则点关于直线的对称点坐标为，由此求出抛物线的解析式得到H的坐标，进一步证明，则当A、B、G、H为顶点的四边形是正方形时，为该正方形的对角线，推出，得到，据此求解即可【小问1详解】解：抛物线经过和两点，抛物线解析式为；【小问2详解】解：联立得，无论a为何值，直线与抛物线相交所得的线段（点A在点 B的左侧）的长度始终不变，即；【小问3详解】解：抛物线的解析式为，点G的坐标为，设抛物线上任一点的坐标为，则点关于直线的对称点坐标为，抛物线的解析式为，点H的坐标为，都在直线上，轴，都在直线上，轴，当A、B、G、H为顶点的四边形是正方形时，为该正方形的对角线，【点睛】本题主要考查了二次函数综合，正方形的性质，二次函数与一次函数综合，翻折变换等，灵活运用所学知识是解题的关键