1、2023江苏省泰州兴化市中考数学一模试卷一、选择题1. 下列运算正确的是（）A. 3a+3b=6abB. a3a=a2C. （a2）3=a6D. a6a3=a22. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ）A. B. C. D. 4. 已知x1、x2是关于x的方程x22xm20的两根，下列结论中不一定正确的是（）A. x1+x20B. x1x20C. x1x2D. 方程必有一正根5. 如图，一次函数y=2x与反比例函数y=（k0）的图象交于A，B两点，点P在以C（2，0）为圆心，1为半径的C上，Q是AP的中点，已知OQ长的最大值为
2、，则k的值为（）A. B. C. D. 6. 如图，AB为O的直径，C为O上一点，点D为半圆AB的中点，CD交AB于点E，若AC8，BC6，则BE的长为（）A. 4.25B. C. 3D. 4.8二、填空题7. 若分式的值为0，则x的值为_8. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_9. 2022年4月2日，海陵区对封控区、管控区、防范区内全部人员进行了第三轮核酸检测，共采样约343000人，检测结果均为阴性将数据343000用科学记数法表示为 _10. 九章算术我国古代数学名著，卷七“盈不足”中有题译文如下：“今有人合伙买羊，每人出5钱，会差45钱；每人出7钱，会差3钱问合伙人数、羊价各是多少
3、？”则该题中合伙人数为_11. 已知关于的方程的解是正数，则的取值范围为_12. 小丽计算数据方差时，使用公式，则公式中_.13. 若一个圆锥底面圆半径为3cm，其侧面展开图的圆心角为120，则圆锥的母线长是_14. 如图，直线与x轴交于点B，与双曲线（x0）交于点A，过点B作x轴的垂线，与双曲线交于点C且ABAC，则k的值为_15. 若关于x的方程x22ax+a20的一个实数根为x11，另一个实数根x21，则抛物线yx2+2ax+2a的顶点到x轴距离的最小值是_16. 如图，ABC是等边三角形，AB=，点D是边BC上一点，点H是线段AD上一点，连接BH、CH当BHD=60，AHC=90时，D
4、H=_三、解答题17. （1）计算：（2）解方程：18. 对某篮球运动员进行3分球投篮测试的结果如下表：投篮次数n1050100150200命中次数m4256590120命中率 0.40.50.65（1）将表格补充完整；（2）这个运动员投篮命中的概率约是_；（3）估计这个运动员3分球投篮15次能得多少分19. 如图，在矩形ABCD中，AB3，BC4，P是边AD上一点，将ABP沿着直线PB折叠，得到EBP（1）请在备用图上用没有刻度的直尺和圆规，在边AD上作出一点P，使BE平分PBC；（作图要求：保留作图痕迹，不写作法）（2）连接DE，则DE的最小值为_（直接写出答案）20. 有一种升降熨烫台如
5、图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整熨烫台的高度图2是这种升降熨烫台的平面示意图，和是两根相同长度的活动支撑杆，点是它们的连接点，表示熨烫台的高度（1）如图2-1，若，求的长(结果保留根号) ；（2）爱动脑筋的小明发现，当家里这种升降熨烫台的高度为时，两根支撑杆的夹角是，求该熨烫台支撑杆的长度 (参考数据：)21. 已知：如图1，中，（1）请你以为一边，在的同侧构造一个与全等的三角形，画出图形；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）参考（1）中构造全等三角形的方法解决下面问题：如图2，在四边形中；请在上述三条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个命
6、题试判断这个命题是否正确，并说明理由你选择的条件是_，结论是_（只要填写序号）22. 如图，是的直径，交于点，是弧的中点，与交于点，（1）求证：是的切线；（2）若，求的长23. 小红经营的网店以销售文具为主，其中一款笔记本进价为每本10元，该网店在试销售期间发现，每周销售数量（本）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，三对对应值如下表：销售单价（元）121416每周的销售量（本）500400300（1）求与之间的函数关系式；（2）通过与其他网店对比，小红将这款笔记本的单价定为元（，且为整数），设每周销售该款笔记本所获利润为元，当销售单价定为多少元时每周所获利润最大，最大利润是多少元？24. 已
7、知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE=DF，CE延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H（1）求证：BECBCH；（2）如果BE2=ABAE，求证：AG=DF25. 【阅读理解】设点在矩形内部，当点到矩形的一条边的两个端点距离相等时，称点为该边的“和谐点”例如：如图1矩形中，若，则称为边的“和谐点”【解题运用】已知点在矩形内部，且，（1）设是边的“和谐点”，则_边的“和谐点”（填“是”或“不是”）；（2）若是边的“和谐点”连接，当时，求的长度；（3）如图2，若是边和谐点”，连接，求的最大值26. 如图1,P为MON平分线OC上一点,以P为顶点的AP
8、B两边分别与射线OM和ON交于A. B两点,如果APB在绕点P旋转时始终满足OAOB=OP ，我们就把APB叫做MON的关联角.(1)如图2,P为MON平分线OC上一点,过P作PBON于B,APOC于P,那么APB MON的关联角(填“是”或“不是”).(2)如图3,如果MON=60，OP=2，APB是MON的关联角，连接AB，求AOB的面积和APB的度数；如果MON=(00)图象上一个动点，过点C的直线CD分别交x轴和y轴于A，B两点，且满足BC=2CA，直接写出AOB的关联角APB的顶点P的坐标2023江苏省泰州兴化市中考数学一模试卷一、选择题1. 下列运算正确的是（）A. 3a+3b=6
9、abB. a3a=a2C. （a2）3=a6D. a6a3=a2【答案】C【解析】【分析】分别根据合并同类项法则、幂的乘方、同底数幂除法法则逐项进行计算即可得.【详解】解：A、3a与3b不是同类项，不能合并，不符合题意；B、a3与a不是同类项，不能合并，不符合题意；C、（a2）3=a6，符合题意；D、a6a3=a3，不符合题意，故选C【点睛】本题考查了合并同类项、幂的乘方、同底数幂除法等运算，熟练掌握各运算的运算法则是关键.2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】将一个图形沿着一条直线翻折，直线两边完全重合，则该图形是轴对称图
10、形；一个图形绕一点旋转后与自身完全重合的图形是中心对称图形，根据定义判断【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；D、是轴对称图形，是中心对称图形，故符合题意；故选：D【点睛】此题考查了轴对称图形及中心对称图形的定义，正确掌握定义是解题的关键3. 下列计算正确的是（ ）A. B. C D. 【答案】B【解析】【分析】根据二次根式的加法与乘法运算法则判断即可【详解】A、不是同类二次根式，不能相加，故计算错误；B、，故计算正确；C、，故计算错误；D、，故计算错误；故选：B【点睛】
11、本题考查了二次根式的加法与乘法运算，掌握两种运算法则是关键4. 已知x1、x2是关于x的方程x22xm20的两根，下列结论中不一定正确的是（）A. x1+x20B. x1x20C. x1x2D. 方程必有一正根【答案】B【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，求出x1x2，x1x2的值，分析后即可判断A项，B项是否符合题意；再结合判别式，分析后即可判断C项，D项是否符合题意【详解】解：A、根据根与系数的关系可得出x1x220，结论A正确，不符合题意；B、根据根与系数的关系可得出x1x2m20，结论B不一定正确，符合题意；C、根据方程的系数结合根的判别式，可得出0，由此即可得出x1x2，
12、结论C正确，不符合题意；D、由x1x2m20，结合两根之和大于0可得出方程必有一正根，结论D正确，不符合题意故选：B【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，牢记“当0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键5. 如图，一次函数y=2x与反比例函数y=（k0）的图象交于A，B两点，点P在以C（2，0）为圆心，1为半径的C上，Q是AP的中点，已知OQ长的最大值为，则k的值为（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】如图，连接BP，由反比例函数的对称性质以及三角形中位线定理可得OQ=BP，再根据OQ的最大值从而可确定出BP长的最大值，由题意可知当BP过圆心C时，BP最长，过B作
13、BDx轴于D，继而根据正比例函数的性质以及勾股定理可求得点B坐标，再根据点B在反比例函数y=（k0）的图象上，利用待定系数法即可求出k的值.【详解】如图，连接BP，由对称性得：OA=OB，Q是AP的中点，OQ=BP，OQ长的最大值为，BP长的最大值为2=3，如图，当BP过圆心C时，BP最长，过B作BDx轴于D，CP=1，BC=2，B在直线y=2x上，设B（t，2t），则CD=t（2）=t+2，BD=2t，在RtBCD中，由勾股定理得： BC2=CD2+BD2，22=（t+2）2+（2t）2，t=0（舍）或t=，B（，），点B在反比例函数y=（k0）图象上，k=（-）=，故选C【点睛】本题考查的
14、是代数与几何综合题，涉及了反比例函数图象上点的坐标特征，中位线定理，圆的基本性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，确定出BP过点C时OQ有最大值是解题的关键.6. 如图，AB为O的直径，C为O上一点，点D为半圆AB的中点，CD交AB于点E，若AC8，BC6，则BE的长为（）A. 4.25B. C. 3D. 4.8【答案】B【解析】【分析】连接OD,作CHAB于H,先利用勾股定理算出AB的长度,再根据等面积法算出CH,进而算出BH,利用CHEDOE对应边成比例求出OE与EH的关系式,通过列式算出EH即可算出BE【详解】连接OD,作CHAB于H,如图,AB为O的直径,ACB90,AB1
15、0,CHABACBC,CH,在RtBCH中,BH,点D为半圆AB的中点,ODAB,ODCH,CHEDOE,EH：OECH：OD：524：25,OEEH,EH+EH+5EH,BEEH+BH+故选：B【点睛】本题考查勾股定理、相似的性质和判定、圆直径所对圆周角,关键在于结合图形灵活使用条件二、填空题7. 若分式的值为0，则x的值为_【答案】4【解析】【分析】根据分式的值为0的条件可直接进行求解【详解】解：由分式的值为0，则有：，故答案为4【点睛】本题主要考查分式的值为0，熟练掌握分式的值为0的条件是解题的关键8. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_【答案】【解析】【详解】解：根据题意，使二次根式
16、有意义，即x20，解得：x2故答案为：x2【点睛】本题主要考查使二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件是解题关键9. 2022年4月2日，海陵区对封控区、管控区、防范区内全部人员进行了第三轮核酸检测，共采样约343000人，检测结果均为阴性将数据343000用科学记数法表示为 _【答案】3.43105【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值10时，n是正数；当原数的绝对值1时，n是负数.【详解】解：用科学记数法表示：343000=3.43105.
17、故答案为：3.43105.【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法.解题的关键是熟记科学记数法的表示形式为a10n，其中1|a|10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值.10. 九章算术是我国古代数学名著，卷七“盈不足”中有题译文如下：“今有人合伙买羊，每人出5钱，会差45钱；每人出7钱，会差3钱问合伙人数、羊价各是多少？”则该题中合伙人数为_【答案】21【解析】【分析】设人数为，利用羊的总价相等列出方程运算即可【详解】解：设人数为则解得：故答案为：21【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，仔细分析题目从中获取等量关系是解题的关键11. 已知关于的方程的解是正数，则的取值范围
18、为_【答案】m1且m2【解析】【分析】先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是正数”建立不等式求m的取值范围【详解】原方程整理得：2x-m=x-1解得：x=m-1因为x0，所以m-10，即m1又因为原式是分式方程，所以，x1，即m-11，所以m2由可得，则m的取值范围为m1且m2故答案为：m1且m2【点睛】考核知识点：解分式方程.去分母，分母不等于0是注意点.12. 小丽计算数据方差时，使用公式，则公式中_.【答案】9【解析】【分析】根据方差的定义即可求解方差等于各个数据与平均数差的平方的平均数【详解】，这组数据为：5、8、13、14、5，故答案为：9【点睛】本题主要考查了方差的定义
19、，熟练地掌握“方差等于各个数据与平均数差的平方的平均数”是解题的关键13. 若一个圆锥的底面圆半径为3cm，其侧面展开图的圆心角为120，则圆锥的母线长是_【答案】9cm【解析】【分析】利用圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长即可求解【详解】解：设母线长为l，则=23，解得：l=9 cm故答案为：9 cm【点睛】本题考查圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长14. 如图，直线与x轴交于点B，与双曲线（x0）交于点A，过点B作x轴的垂线，与双曲线交于点C且ABAC，则k的值为_【答案】4【解析】【
20、分析】根据一次函数解析式可得点B坐标，即可用k表示出点C纵坐标，根据AC=AB可得点A在BC垂直平分线上，可表示出点A纵坐标，代入反比例函数解析式可求出点A横坐标，代入一次函数解析式求出k值即可【详解】直线与x轴交于点B，当时，点B坐标为，过点B作x轴的垂线，与双曲线交于点C，点C的坐标为，点A在线段的垂直平分线上，点A的纵坐标为，点A在双曲线上，点A的坐标为，点A在直线上，解得：【点睛】本题考查反比例函数与一次函数综合，根据垂直平分线的性质表示出点A的纵坐标是解题关键15. 若关于x的方程x22ax+a20的一个实数根为x11，另一个实数根x21，则抛物线yx2+2ax+2a的顶点到x轴距离
21、的最小值是_【答案】 【解析】【分析】由一元二次方程根的范围结合图形，即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出a的取值范围，由二次函数的性质可得出抛物线的顶点坐标，利用配方法即可求出抛物线y=-x2+2ax+2-a的顶点到x轴距离的最小值【详解】如图，关于x的方程x2-2ax+a-2=0的一个实数根为x11，另一个实数根x2-1， ，解得：-1a抛物线y=-x2+2ax+2-a的顶点坐标为（a，a2-a+2），a2-a+2=（a-）2+，当a=时，a2-a+2取最小值故答案为【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质以及二次函数的最值，通过解一元一次不等式组求出a的取值范围是解
22、题的关键16. 如图，ABC是等边三角形，AB=，点D是边BC上一点，点H是线段AD上一点，连接BH、CH当BHD=60，AHC=90时，DH=_【答案】【解析】【分析】如图，作AEBH于E，BFAH于F，利用等边三角形的性质得AB=AC，BAC=60，再证明ABH=CAH，则可根据“AAS”证明ABECAH，所以BE=AH，AE=CH，在RtAHE中利用含30度的直角三角形三边的关系得到HE=AH，AE=AH，则CH=AH，于是在RtAHC中利用勾股定理可计算出AH=2，从而得到BE=2，HE=1，AE=CH=，BH=1，接下来在RtBFH中计算出HF=，BF=，然后证明CHDBFD，利用相
23、似比得到=2，从而利用比例性质可得到DH的长【详解】作AEBH于E，BFAH于F，如图，ABC是等边三角形，AB=AC，BAC=60，BHD=ABH+BAH=60，BAH+CAH=60，ABH=CAH，在ABE和CAH中，ABECAH，BE=AH，AE=CH，在RtAHE中，AHE=BHD=60，sinAHE=，HE=AH，AE=AHsin60=AH，CH=AH，在RtAHC中，AH2+（AH）2=AC2=（）2，解得AH=2，BE=2，HE=1，AE=CH=，BH=BEHE=21=1，在RtBFH中，HF=BH=，BF=，BFCH，CHDBFD，=2，DH=HF=，故答案为：【点睛】本题考查
24、了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等，解题的关键是明确在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形三、解答题17. （1）计算：（2）解方程：【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先计算立方根，零次幂，负指数幂及绝对值，再计算加减法；（2）去分母化为整式方程，求解，再检验即可【详解】解：（1）；（2）去分母，得化简，得，检验：当时，是分式方程的解【点睛】此题考查了计算能力，正确掌握立方根，零次幂，负指数幂及绝对值的计算，分式方程的解法是解题的关键18. 对
25、某篮球运动员进行3分球投篮测试的结果如下表：投篮次数n1050100150200命中次数m4256590120命中率 0.40.50.65（1）将表格补充完整；（2）这个运动员投篮命中的概率约是_；（3）估计这个运动员3分球投篮15次能得多少分【答案】（1）0.6，0.6； （2）0.6 （3）27分【解析】【分析】（1）用对应的m除以n即可求解；（2）根据（1）的计算结论可估计这个运动员投篮3分球命中率约为0.6；（3）根据（2） 的估计得到投篮15次命中150.6= 9次，然后用9乘以3即可【小问1详解】解：投篮150次、200次相应的命中率分别为、，故答案为：0.6， 0.6；【小问2详
26、解】解：这个运动员投篮3分球命中率约是0.6；故答案为：0.6；【小问3详解】解：这个运动员3分球投篮15次大约命中150.69（次），这个运动员3分球投篮15次的得分大约为3927（分）【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率；用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，得到的值越来越精确，还考查了频率的计算公式19. 如图，在矩形ABCD中，AB3，BC4，P是边AD上一点，将ABP沿着直线PB折叠，得到EBP（1）请在备用
27、图上用没有刻度的直尺和圆规，在边AD上作出一点P，使BE平分PBC；（作图要求：保留作图痕迹，不写作法）（2）连接DE，则DE的最小值为_（直接写出答案）【答案】（1）见解析 （2）2【解析】【分析】（1）作等边，连接BG并延长交AD于P即可； （2）由点E在圆B上运动，且BE为定值，当BE+DE最小时，DE有最小值，即当B，E，D三点共线时，DE最小，进而可以解决问题【小问1详解】解：如图，以点B为圆心，BA长为半径画弧交BC于点F， 分别以点A，F为圆心，AB长为半径画弧交弧AF于点G，E， 连接BG并延长交AD于点P， 点P即为所求；【小问2详解】ABP与EBP关于BP成轴对称， BE=
28、BA=3， 点E在圆B上运动，且BE为定值， 当BE+DE最小时，DE有最小值， 即当B，E，D三点共线时，DE最小， 连接BD，根据勾股定理，得： ， DE=BD-BE=5-3=2， DE的最小值是2 故答案为：2【点睛】本题考查了作图-基本作图，等边三角形的性质，勾股定理的应用，矩形的性质，翻折变换，圆的基本性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法20. 有一种升降熨烫台如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整熨烫台的高度图2是这种升降熨烫台的平面示意图，和是两根相同长度的活动支撑杆，点是它们的连接点，表示熨烫台的高度（1）如图2-1，若，求的长(结果保留根号) ；（2）爱动脑
29、筋的小明发现，当家里这种升降熨烫台的高度为时，两根支撑杆的夹角是，求该熨烫台支撑杆的长度 (参考数据：)【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）过点O作BEAC于E，根据等腰三角形的性质得到AOE=60，根据三角函数的定义即可得到结论；（2）过点B作BFAC于F，根据等腰三角形的性质和三角函数的定义即可得到结论【详解】（1）过点作，垂足为，在中，答：的长为；（2）过点作，垂足为，则，在中，(cm)，答：支撑杆长【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键21. 已知：如图1，中，（1）请你以为一边，在的同侧构造一个与全等的三角形，画出图形；（要求：尺规
30、作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）参考（1）中构造全等三角形的方法解决下面问题：如图2，在四边形中；请在上述三条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个命题试判断这个命题是否正确，并说明理由你选择的条件是_，结论是_（只要填写序号）【答案】（1）作图见详解；（2）；【解析】【分析】（1）以点A为圆心AC为半径画弧，再以点C为圆心AD长为半径画弧，两个弧的交点为点E，连接AE，CE，即可；（2）延长DA至点E，使AE=CB，连接CE，证明，可得B=E，AB=CE，进而即可得到结论【详解】解：（1）如图所示：（2）选择的条件是，结论是，理由如下：延长DA至点E，使AE=CB，连
31、接CE，DAC+EAC=180，ACB=EAC，在和中，B=E，AB=CE，D=E，CD=CE，CD=AB，故答案是：；【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定定理，添加辅助线构造全等三角形，是解题的关键22. 如图，是的直径，交于点，是弧的中点，与交于点，（1）求证：是的切线；（2）若，求的长【答案】（1）见详解；（2）【解析】【分析】（1）连接AD，根据圆周角定理，由E是 的中点得到EABEAD，由于ACB2EAB，则ACB=DAB，再利用圆周角定理得到ADB90，于是根据切线的判定定理得到AC是O的切线；（2）先证明出EACAFD，进而利用三角函数的定义和勾股定理解
32、答即可【详解】（1）证明：连接AD，如图，E是的中点，DAB2EAB，ACB2EAB，ACBDAB，AB是O的直径，ADB90，DABABC90，ABC+ACB90，即BAC90，AC是O的切线；（2）EACEAB=90，DAEAFD=90，EAD=EAB，EAC=AFD，CF=AC=6，CD= AC=4，DF=2，AD2=AC2CD2=6242=20，AF=【点睛】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于条半径的直线是圆的切线要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可也考查了解直角三角形23. 小红经营的网店以销售文具为主，其中一款笔记本进价为每本1
33、0元，该网店在试销售期间发现，每周销售数量（本）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，三对对应值如下表：销售单价（元）121416每周销售量（本）500400300（1）求与之间的函数关系式；（2）通过与其他网店对比，小红将这款笔记本的单价定为元（，且为整数），设每周销售该款笔记本所获利润为元，当销售单价定为多少元时每周所获利润最大，最大利润是多少元？【答案】（1）；（2）销售单价为15元时，每周所获利润最大，最大利润是1750元【解析】【分析】（1）根据待定系数法解答即可；（2）根据每周销售利润=每本笔记本的利润每周销售数量可得w与x的二次函数关系式，再根据二次函数的性质即可求出结果【详解】
34、解：（1）设与之间的函数关系式是，把，和，代入，得，解得：，；（2）根据题意，得；，有最大值，且当时，随的增大而增大，为整数，时，有最大值，且w最大（元）答：销售单价为15元时，每周所获利润最大，最大利润是1750元【点睛】本题考查了二次函数的应用，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键24. 已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE=DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H（1）求证：BECBCH；（2）如果BE2=ABAE，求证：AG=DF【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】【分析】(1)先证明C
35、DFCBE，进而得到DCF=BCE，再由菱形对边CDBH，得到H=DCF，进而BCE=H即可求解(2) 由BE2=ABAE，得到=，再利用AGBC，平行线分线段成比例定理得到=，再结合已知条件即可求解【详解】解：(1)四边形ABCD是菱形，CD=CB，D=B，CDABDF=BE，CDFCBE(SAS)，DCF=BCECDBH，H=DCF，BCE=H且B=B，BECBCH(2)BE2=ABAE，=，AGBC，=，=，DF=BE，BC=AB，BE=AG=DF，即AG=DF【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于
36、中考常考题型25. 【阅读理解】设点在矩形内部，当点到矩形的一条边的两个端点距离相等时，称点为该边的“和谐点”例如：如图1矩形中，若，则称为边的“和谐点”【解题运用】已知点在矩形内部，且，（1）设是边的“和谐点”，则_边的“和谐点”（填“是”或“不是”）；（2）若是边的“和谐点”连接，当时，求的长度；（3）如图2，若是边的和谐点”，连接，求的最大值【答案】（1）是；（2）或；（3）【解析】【分析】（1）连接PB、PC，证BAPCDP（SAS），得PBPC，即可得出结论；（2）先由“和谐点”的定义得PBPC，PAPD，则点P在AD和BC的垂直平分线上，过点P作PEAD于E，PFAB于F，求出AE
37、PF3，再证APFPBF，得PF2AFBF，设AFx，则BF10x，解得x2或x8，再利用勾股定理，即可求解； （3）过点P作PNAB于N，先证出tanPABtanPBA，设ANx，则BN10x，得到关于x的二次函数，进而即可得出结论【详解】解：（1）P是边BC的“和谐点”，理由如下：连接PB、PC，如图1所示：P是边AD的“和谐点”，PAPD，PDAPAD，四边形ABCD是矩形，ABCD，CDABAD90，BAPCDP，在BAP和CDP中，BAPCDP（SAS），PBPC，P是边BC的“和谐点”，故答案为：是；（2）P是边BC的“和谐点”，由（1）可知：P也是边AD的“和谐点”，PBPC，P
38、APD，点P在AD和BC的垂直平分线上，过点P作PEAD于E，PFAB于F，如图3所示：则AEAD，PEAPFA90，四边形ABCD是矩形，BAD90，BCAD8，四边形AEPF是矩形，AE4，AEPF4，且P在矩形内部，APFBPF90，PFAB，AFPPFB90，APFPAF90，PAFBPF，APFPBF，AF：PFPF：BF，PF2AFBF，PF2AF（ABAF），设AFx，则BF10x，x（10x）42，解得：x2或x8，当AF2时，PA=，当AF8时，PA=，PA的值为：或；（3）过点P作PNAB于N，如图2所示：由（2）知：点P在AD和BC的垂直平分线上，PNBC4，tanPAB
39、，tanPBA，tanPAB tanPBA，=，设ANx，则BN10x，= x（10x）=（x5）2，当x5时，有最大值【点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的判定与性质、新定义“和谐点”的判定与性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数定义以及二次函数的应用等知识；本题综合性强，熟练掌握新定义“和谐点”的判定与性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型26. 如图1,P为MON平分线OC上一点,以P为顶点的APB两边分别与射线OM和ON交于A. B两点,如果APB在绕点P旋转时始终满足OAOB=OP ，我们就
40、把APB叫做MON的关联角.(1)如图2,P为MON平分线OC上一点,过P作PBON于B,APOC于P,那么APB MON的关联角(填“是”或“不是”).(2)如图3,如果MON=60，OP=2，APB是MON的关联角，连接AB，求AOB的面积和APB的度数；如果MON=(00)图象上一个动点，过点C的直线CD分别交x轴和y轴于A，B两点，且满足BC=2CA，直接写出AOB的关联角APB的顶点P的坐标【答案】(1) 是；(2)，150；msin；(3) 点(,)或(,)或(,),P2(,).【解析】【分析】（1）先判断出OBPOPA，即可；（2）先根据关联角求出OAOB=4，再利用三角形的面积
41、公式，以及相似，得到OAP=OPB，即可；根据三角形面积公式把和m代入即可；（3）根据条件分情况讨论，点B在y轴正半轴和负半轴，在负半轴时，经过计算，不存在，在正半轴时，由BC=2AC判断出点C是线段AB的一个三等分点，即可【详解】(1)P为MON平分线OC上一点，BOP=AOP，PBON于B，APOC于P，OBP=OPA，OBPOPA， ，OP=OAOB，APB是MON的关联角.故答案为是.(2)如图，过点A作AHOB，APB是MON的关联角，OP=2，OAOB=OP=4，在RtAOH中,AOH=90，sinAOH= ，AH=OAsinAOH，S = OBAH=OBOAsin60=OP = ，OP=OAOB， ，点P为MON的平分线上一点，AOP=BOP=MON=30，AOPPOB，OAP=OPB，APB=OPB+OPA=OAP+