1、 2023年中考数学高频考点突破训练圆的综合1如图，在ABC中，AB=AC，以AB为直径的O分别交BC，AC于点D，E，DGAC于点G，交AB的延长线于点F（1）求证：直线FG是O的切线；（2）若AC=10，cosA=，求CG的长2如图，在RtABC中，ACB=90，E是BC的中点，以AC为直径的O与AB边交于点D，连接DE（1）求证：ABCCBD；（2）求证：直线DE是O的切线3如图，AB是O的直径，BC切O于点B，OC平行于弦AD，过点D作DEAB于点E，连结AC，与DE交于点P求证：（1）PE=PD；（2）ACPD=APBC4如图，在ABC中，C=90，AC+BC=8，点O是斜边AB上一
2、点，以O为圆心的O分别与AC，BC相切于点D，E（1）当AC=2时，求O的半径；（2）设AC=x，O的半径为y，求y与x的函数关系式5如图，已知四边形ABCD是平行四边形，AD与ABC的外接圆O恰好相切于点A，边CD与O相交于点E，连接AE，BE（1）求证：AB=AC；（2）若过点A作AHBE于H，求证：BH=CE+EH6如图，四边形ABCD是O的内接四边形，ABC=2D，连接OA、OB、OC、AC，OB与AC相交于点E（1）求OCA的度数；（2）若COB=3AOB，OC=，求图中阴影部分面积（结果保留和根号）7已知在ABC中，B=90o，以AB上的一点O为圆心，以OA为半径的圆交AC于点D，
3、交AB于点E（1）求证：ACAD=ABAE；（2）如果BD是O的切线，D是切点，E是OB的中点，当BC=2时，求AC的长8如图，AB是O的切线，B为切点，圆心O在AC上，A30，D为的中点求证：(1)ABBC；(2)四边形BOCD是菱形9已知：如图，AB是O的弦，O的半径为10，OE、OF分别交AB于点E、F，OF的延长线交O于点D，且AE=BF，EOF=60（1）求证：OEF是等边三角形；（2）当AE=OE时，求阴影部分的面积（结果保留根号和）10如图，AB为O的直径，弦CD与AB相交于E，DE=EC，过点B的切线与AD的延长线交于F，过E作EGBC于G，延长GE交AD于H（1）求证：AH=
4、HD；（2）若cosC=，DF=9，求O的半径11如图，AC是O的直径，P是O外一点，连结PC交O于B，连结PA、AB，且满足PC=50，PA=30，PB=18（1）求证：PABPCA；（2）求证：AP是O的切线12如图，ABCD是边长为1的正方形，其中、的圆心依次是点A、B、C（1）求点D沿三条圆弧运动到G所经过的路线长；（2）判断直线GB与DF的位置关系，并说明理由13已知等边ABC和M.（1）如图l，若M与BA的延长线AK及边AC均相切，求证： AMBC;（2）如图2，若M与BA的延长线AK、BC的延长线CF及边AC均相切，求证：四边形ABCM是平行四边形14已知，如图，在梯形ABCD中
5、，ADBC，DA=DC，以点D为圆心，DA长为半径的D与AB相切于A，与BC交于点F，过点D作DEBC，垂足为E（1）求证：四边形ABED为矩形；（2）若AB=4，求CF的长15如图，中，在斜边上选一点O为圆心画圆，此圆恰好经过点A，且与直角边相切于点D，连接、 (1)求证：；(2)若，求阴影部分图形的周长16如图，的直径为，为的切线，点F是上一点，过点F的直线与交于C，D两点，与交于点E、(1)求证：；(2)若，求的长17如图，为的直径，C为上一点，D为延长线上一点，(1)求证：为的切线；(2)若的半径为5，求的长18如图，点O在的平分线上，与相切于点C(1)判断与的位置关系，并说明理由；(
6、2)的延长线与交于点E若的半径为3，求弦的长参考答案1（1）证明见解析；（2）3【分析】（1）先得出ODAC，有ODG=DGC，再由DGAC，得到DGC=90，ODG=90，得出ODFG，即可得出直线FG是O的切线（2）先得出ODFAGF，再由cosA=，得出cosDOF=；然后求出OF、AF的值，即可求出AG、CG的值【解析】解：（1）如图1，连接OD，AB=AC，C=ABC，OD=OB，ABC=ODB，ODB=C，ODAC，ODG=DGC，DGAC，DGC=90，ODG=90，ODFG，OD是O的半径，直线FG是O的切线；（2）如图2，AB=AC=10，AB是O的直径，OA=OD=102=
7、5，由（1），可得：ODFG，ODAC，ODF=90，DOF=A，在ODF和AGF中，DOF=A，F=F，ODFAGF，cosA=，cosDOF=，OF=，AF=AO+OF=，解得AG=7，CG=ACAG=107=3，即CG的长是3【点评】本题考查切线的判定；相似三角形的判定与性质；综合题2（1）见解析；（2）见解析【解析】试题分析：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可也考查了直角三角形斜边上的中线性质和相似三角形的判定与性质（1）根据AC为O的直径，得出BCD为Rt，通过已知条
8、件证明BCDBAC即可；连结DO，如图，根据直角三角形斜边上的中线性质，由BDC=90，E为BC的中点得到DE=CE=BE，则利用等腰三角形的性质得EDC=ECD，ODC=OCD，由于OCD+DCE=ACB=90，所以EDC+ODC=90，即EDO=90，于是根据切线的判定定理即可得到DE与O相切试题解析：（1）证明：AC为O的直径，ADC=90，BDC=90，又ACB=90，ACB=BDC，又B=B，BCDBAC；（2）连结DO，如图，BDC=90，E为BC的中点，DE=CE=BE，EDC=ECD，又OD=OC，ODC=OCD，而OCD+DCE=ACB=90，EDC+ODC=90，即EDO=
9、90，DEOD，DE与O相切考点：切线的判定；相似三角形的判定与性质3（1）详见解析；（2）详见解析【解析】试题分析： （1）根据题目中的条件易证DEBC，即可得AEPABC，根据相似三角形对应边的比相等可得；再根据ADOC可判定AEDOBC，所以，由这两个比例式可得ED=2EP，所以PE=PD（2）根据（1）可得AEPABC，根据相似三角形对应边的比相等可得；又因据PE=PD，所以，即可得ACPD=APBC试题解析：解：（1）AB是O的直径，BC是切线，ABBC，DEAB，DEBC，AEPABC，又ADOC，DAE=COB，AEDOBC，由，可得ED=2EP，PE=PD（2）AB是O的直径，
10、BC是切线，ABBC，DEAB，DEBC，AEPABC，PE=PD，ACPD=APBC考点： 切线的性质；相似三角形的判定及性质4（1）；（2）【分析】（1）连接OD，OE，先证四边形OECD是正方形，在ADO中，解直角三角形即可得到半径（2）由题意可知，ODBC，AOD=B，则两角正切值相等，进而列出关系式【解析】（1）连接OE，OD，在ABC中，C=90，AC+BC=8，AC=2，BC=6，以O为圆心的O分别与AC，BC相切于点D，E，四边形OECD是正方形，tanB=tanAOD=，解得OD=，圆的半径为；（2）AC=x，BC=8x，在直角三角形ABC中，tanB=，以O为圆心的O分别与
11、AC，BC相切于点D，E，四边形OECD是正方形，tanAOD=tanB=，解得【点评】本题考查了切线的性质，解直角三角形的应用，二次函数与几何图形等问题，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键5（1）证明见试题解析；（2）证明见试题解析【解析】试题分析：（1）由弦切角定理、圆周角定理即可证明ABC=ACB，从而得到答案；（2）作AFCD于F，证明AEHAEF，有EH=EF，根据ABHACF，得到答案试题解析：（1）AD与ABC的外接圆O恰好相切于点A，ABE=DAE，又EAC=EBC，DAC=ABC，ADBC，DAC=ACB，ABC=ACB，AB=AC；（2）作AFCD于F，
12、四边形ABCE是圆内接四边形，ABC=AEF，又ABC=ACB，AEF=ACB，又AEB=ACB，AEH=AEF，在AEH和AEF中，AHE=AFE，AEH=AEF，AE=AE，AEHAEF，EH=EF，CE+EH=CF，在ABH和ACF中，ABH=ACF，AHB=AFC，AB=AC，ABHACF，BH=CF，BH=CE+EH考点：1切线的性质；2平行四边形的性质；3和差倍分；4综合题6（1）30；（2）【解析】试题分析：（1）圆内接四边形性质得到ABC+D=180，根据ABC=2D得到D+2D=180，从而求得D=60，由OA=OC得到OAC=OCA=30；（2）由COB=3AOB得到AOB
13、=30，从而有COB为直角，然后利用S阴影=S扇形OBCSOEC求解试题解析：（1）四边形ABCD是O的内接四边形，ABC+D=180，ABC=2D，D+2D=180，D=60，AOC=2D=120，OA=OC，OAC=OCA=30；（2）COB=3AOB，AOC=AOB+3AOB=120，AOB=30，COB=AOCAOB=90，在RtOCE中，OC=，OE=OCtanOCE=tan30=2，SOEC=OEOC=，S扇形OBC=3，S阴影=S扇形OBCSOEC=考点：1扇形面积的计算；2圆内接四边形的性质；3解直角三角形7（1）证明见解析；（2）AC=4.【分析】（1）连接DE，由题意可得A
14、DE=90，ABC=90，又A是公共角，从而可得ADEABC，由相似比即可得；（2）连接OB，由BD是切线，得ODBD，有E为OB中点，则可得OE=BE=OD，从而可得OBD=BAC=30，所以AC=2BC=4；【解析】（1）连接DE，AE是直径，ADE=90o，ADE=ABC，在RtADE和RtABC中，A是公共角，ADEABC，即ACAD=ABAE（2）连接OD，BD是圆O的切线，则ODBD，在RtOBD中，OE=BE=ODOB=2OD，OBD=30，同理BAC=30，在RtABC中，AC=2BC=22=4.考点：1.圆周角定理；2.相似三角形的判定与性质；3.切线的性质；4.30的直角三
15、角形的性质.8（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）由AB是O的切线，A=30，易求得OCB的度数，继而可得A=OCB=30，又由等角对等边，证得AB=BC；（2）首先连接OD，易证得BOD与COD是等边三角形，可得OB=BD=OC=CD，即可证得四边形BOCD是菱形试题解析：（1）AB是O的切线，OBAB，A=30，AOB=60，OB=OC，OCB=OBC=AOB=30，A=OCB，AB=BC；（2）连接OD，AOB=60，BOC=120，D为的中点，BOD=COD=60，OB=OD=OC，BOD与COD是等边三角形，OB=BD=OC=CD，四边形BOCD是菱形考点：1
16、、切线的性质，2、等腰三角形的性质，3、菱形的判定，4、等边三角形的判定与性质9（1）见解析；（2）【分析】（1）作OCAB于点C，由OCAB可知AC=BC，再根据AE=BF可知EC=FC，因为OCEF，所以OE=OF，再由EOF=60即可得出结论（2）在等边OEF中，因为OEF=EOF=60，AE=OE，所以A=AOE=30，故AOF=90，再由AO=10可求出OF的长，根据S阴影=S扇形AODSAOF即可得出结论【解析】解：（1）证明：作OCAB于点C，OCAB，AC=BCAE=BF，EC=FCOCEF，OE=OFEOF=60，OEF是等边三角形；（2）在等边OEF中，OEF=EOF=60
17、，AE=OE，A=AOE=30AOF=90AO=10，OF= , 10解：（1）证明：AB为O的直径，DE=EC，ABCDC+CBE=90EGBC，C+CEG=90CBE=CEGCBE=CDA，CEG=DEH，CDA=DEHHD=EHA+ADC=90，AEH+DEH=90，AH=EHAH=HD（2）AB为O的直径，ADB=90BDF=90BF是O的切线，DBF=CcosC=，DF=9，设BD=4k，则BF=5k，由勾股定理，得DF=3k3k=9， k=3BD=4k=12A=C，sinA=O的半径为10【解析】试题分析：（1）由AB为O的直径，DE=EC，根据垂径定理的推论，从而可证得ABCD，
18、又由EGBC，易证得CDA=DEH，即可得HD=EH，继而可证得AH=EH，则可证得结论（2）由AB为O的直径，可得BDF=90，由BF是切线，可得DBF=C，然后由三角函数的性质，求得BD的长，继而求得答案11见解析【分析】（1）根据PAB与PCA的对应边成比例，夹角相等证得结论（2）欲证明AP是O的切线，只需证得PAC=90【解析】证明：（1）PC=50，PA=30，PB=18，又APC=BPA，PABPCA（2）AC是O的直径，ABC=90ABP=90又PABPCA，PAC=ABPPAC=90PA是O的切线12详见解析【分析】本题考查的是弧长公式以及全等三角形的判定求出FDCGBC【解析
19、】（1）AD = 1，DAE = 90o，的长，同理，的长，的长，所以，点D运动到点G所经过的路线长（2）直线GBDF理由如下：延长GB交DF于HCD = CB，DCF = BCG，CF = CG，FDCGBCF =G又F + FDC = 90o，G + FDC = 90o，即GHD = 90o，故 GBDF13证明见解析【解析】证明：（1）连接AM，ABC是等边三角形，B=BAC=60KAC=180BAC=120M与BA的延长线AK及边AC均相切，KAM=CAM=KAC=120=60KAM=B=60AMBC（2）ABC是等边三角形，B=BAC=ACB=60KAC=180BAC=120，FCA
20、=120M与BA的延长线AK、BC的延长线CF及边AC均相切，KAM=CAM=KAC=120=60，FCM=ACM=FCA=120=60KAM=B=60，FCM=B=60AMBC，CMAB，四边形ABCM是平行四边形（1）由等边ABC，即可得B=BAC=60，求得KAC=120，又由M与BA的延长线AK及边AC均相切，利用切线长定理，即可得KAM=60，然后根据同位角相等，两直线平行，证得AMBC（2）根据（1），易证得AMBC，CMAB，从而可证得四边形ABCM是平行四边形14（1）证明见解析（2）2【分析】（1）根据ADBC和AB切圆D于A，求出DAB=ADE=DEB=90，即可推出结论；
21、（2）根据矩形的性质求出AB=DE=4，根据垂径定理求出CF=2CE，设AD=3k，则BC=4k，BE=3k，EC=k，DC=AD=3k，在DEC中由勾股定理得出一个关于k的方程，求出k的值，即可求出答案【解析】（1）证明：D与AB相切于点A，ABADADBC，DEBC，DEADDAB=ADE=DEB=90四边形ABED为矩形（2）解：四边形ABED为矩形，DE=AB=4DC=DA，点C在D上D为圆心，DEBC，CF=2EC，设AD=3k（k0）则BC=4kBE=3k，EC=BCBE=4k3k=k，DC=AD=3k由勾股定理得DE2EC2=DC2，即42k2=（3k）2，k2=2k0，k=CF
22、=2EC=2【点评】本题考查勾股定理，切线的判定和性质，矩形的判定，垂径定理等知识点的应用，解题关键是数学思想中的方程思想15(1)见解析(2)【分析】（1）连接，由题意易知，证得，可得，可证得，即可证得结论；（2）由（1）可知，可知，证得为等边三角形，易得，可得，进而可得，求得的长度，结合阴影部分图形的周长为即可求解【解析】（1）证明：连接，由题意可知，为直径，则，与相切于点D，则，又，；（2）解：，由（1）可知，则，为等边三角形，则，又，则，阴影部分图形的周长为：【点评】本题考查相似三角形的判定，圆周角定理，切线的性质，等边三角形的判定及性质，弧长公式，连接圆心与切点是解决问题的关键16(
23、1)见解析(2)【分析】（1）根据切线的性质可得，再由，可得，从而得到，即可求证；（2）连接，先证明，可得，在中， 根据勾股定理可得，再证明，即可求解【解析】（1）证明：为的切线，；（2）解：如图，连接，的直径为，在中， ，即，【点评】本题主要考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握切线的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键17(1)证明见解析(2)【分析】（1）如图所示，连接，由直径所对的圆周角是直角得到，则，再根据等边对等角和已知条件证明，推出，由此即可证明为的切线；（2）先解，得到 ，证明，得到，设，
24、则，利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案【解析】（1）证明：如图所示，连接，为的直径，又，即，为的切线；（2）解：在中，即，设，则，在中，由勾股定理得：，解得（不合题意的值舍去），【点评】本题主要考查了切线的判定，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的性质与判定，等边对等角等等，正确作出辅助线是解题的关键18(1)与相切，理由见解析(2)【分析】（1）连接，过点作，交于点，根据角平分线的性质，可得，即可得到与相切；（2）设交于点，连接，证明，求出的长，利用相似比，得到，再利用勾股定理，进行求解即可【解析】（1）解：与相切，理由如下：连接，与相切于点C，过点作，交于点，点O在的平分线上，点在上，与相切（2）设交于点，连接，则：，即：，的半径为3，或（舍去）；，在中：，即：，【点评】本题考查圆的综合应用，主要考查了切线的判定和性质，角平分线的性质，相似三角形的判定和性质，以及勾股定理熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键