1、上海市杨浦区2023届高三下学期4月模拟质量调研（二模）数学试卷一填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分。1.集合，则_.2.复数的虚部是_.3.已知等差数列中，则通项公式为_.4.设，则_.5.函数的导数是_.6.若圆锥的侧面积为，高为4，则圆锥的体积为_.7.由函数的观点，不等式的解集是_.8.某中学举办思维竞赛，现随机抽取50名参赛学生的成绩制作成频率分布直方图（如图），估计：学生的平均成绩为_分.9.内角的对边是，若，则_.10.，分别是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于两点若为等边三角形，则双曲线的离心率为_.11.若存在实数，
2、使函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围为_.12.已知非零平面向量，满足，且，则的最小值是_.二、 选择题（本题共有4题，满分18分，13、14每题4分，15、16每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.已知，则 “” 是 “” 的 （ ）A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件.14.对成对数据用最小二乘法求回归方程是为了使（ ）A. B. C.最小 D. 最小.15.下列函数中，既是偶函数，又在区间上严格递减的是 （ ）A. B. C. D. .16.如图，一个由四根细铁杆、组成的支架（
3、、按照逆时针排布），若，一个半径为1的球恰好放在支架上与四根细铁杆均有接触，则球心到点的距离是 （ ）A. B. C. 2 D. .三、解答题（本大题满分78分）本大题共5题17. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知一个随机变量的分布为：.（1） 已知，求的值；（2） 记事件：为偶数；事件：. 已知，求，并判断是否相互独立？18. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.四边形是边长为1的正方形，与交于点，平面，且二面角的大小为.（1）求点到平面的距离；（2）求直线与平面所成的角.19. （本题满分14分）本题共有2个小
4、题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，某国家森林公园的一区域为人工湖，其中射线，为公园边界. 已知，以点为坐标原点，以为轴正方向，建立平面直角坐标系（单位：千米），曲线的轨迹方程为: . 计划修一条与湖边相切于点的直路（宽度不计），直路与公园边界交于点两点，把人工湖围成一片景区.（1）若点坐标为，计算直路的长度; （精确到0.1千米）（2）若为曲线（不含端点）上的任意一点，求景区面积的最小值. （精确到0.1平方千米）20 （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知椭圆的右焦点为，直线.（1）若到直线的距离为，求;（2）若直线与椭圆交
5、于两点，且的面积为，求;（3）若椭圆上存在点，过作直线的垂线，垂足为，满足直线和直线的夹角为，求的取值范围.21. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知数列是由正实数组成的无穷数列，满足，（为正整数）（1）写出数列前4项的所有可能取法；（2）判断：是否存在正整数，满足，并说明理由;（3）为数列的前项中不同取值的个数，求的最小值.参考答案一填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分。1 2 3 4 80 5 6 7 8107 9 10 11 12 三、 选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只
6、有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分. 13C 14 D 15 A 16 B三、解答题（本大题满分76分）本大题共5题17. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.解：（1）由可得： （2分）由，可得： （2分） 联立 解得：， （2分）（2）由可得：，所以； （2分）由，可得：； （2分），； （2分）因为，所以事件不是相互独立. （2分）18. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.【解】（1）作于. （2分）E ，. .，为到平面的距离. （2分）根据二面角定义，则.，.
7、解得. （2分）（2）作于，连接 （2分） . F.为与平面所成的角. （2分）中， （2分）得，. （2分）19. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.【解】（1）相切于点的切线斜率 （2分）切线 （2分）解得， . （2分）答：直路的长度为5.6千米（2）如图设，相切于点的切线斜率为，切线 （2分），有. （2分），为驻点. 在上是严格减函数，在为严格增函数. （2分）. （2分）答：景观区最小面积为平方千米.20.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.【解】（1） （2分）解得 （0舍）. （2分）（
8、2）设直线与轴交于点，与椭圆交于，得. （2分）由 得 （2分），解得，验证判别式大于0成立. （2分）（3）若，直线经过，此时直线和直线的夹角为（舍）； 若，直线和直线的夹角为且 或不存在 直线或，代入得：或 （2分）直线或，代入椭圆方程得： 或 （2分）由 或，解得或. （2分）综上且. （2分，各1分）21. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.【解】（1）3，7，10，17或 3，7，10，3或 3，7，4，11 （4分） （2）不存在. （2分）先证：.由题设，得或. 若，此时若，得；若，得. 若，则.此时若，得；若.（舍）综上，. （2分）于是， 证毕 （2分）（3）由，得. 对于任意，均可以使用递推，只有满足，才可以使用递推；若 ，显然，则下一次只能使用递推，即，即不能连续使用. （2分）记 （且） 若 则 若 则 所以 综合 得 （且） （2分）中至少有共51项，即举例如下：3，7，10，3，13，10，23，13，36，23，此时 （2分）所以最小值为51. （2分） （直接猜出结果得2分）