1、上海市青浦区2023届高三下4月学业质量调研（二模）数学试卷一. 填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6每题4分，第7-12每题5分）.1若空间中两条直线a、b确定一个平面，则a、b的位置关系为_2已知复数满足，则_3已知向量和，则在方向上的投影是_4过点，与直线垂直的直线方程为_5已知集合，若，则实数的取值范围为_6已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，圆柱的体积为，则球的表面积为_7已知函数的图像如图所示，则不等式的解集是_8已知函数是定义在上的奇函数，且满足，则_9如图所示，要在两山顶间建一索道，需测量两山顶间的距离.已知两山的海拔高度分别是米和米，现选择海平面上一点为观测点，从
2、A点测得点的仰角点的仰角以及，则等于_米. 10已知数列满足，若满足且对任意，都有，则实数的取值范围是_11如图，已知，分别是椭圆的左、右焦点，M，N为椭圆上两点，满足，且，则椭圆C的离心率为_12已知函数的图像绕着原点按逆时针方向旋转弧度，若得到的图像仍是函数图像，则可取值的集合为_二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14每题4分，第15-16每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13设、是两个不平行的向量，则下列四组向量中，不能组成平面向量的一个基的是（ ）（A）和（B）和（C）和（D）和14已知n为正整数，则“n是3的倍数”
3、是“的二项展开式中存在常数项”的（ ）条件（A）充分非必要（B）必要非充分（C）充要（D）既不充分也不必要15某产品的广告费（单位：万元）与销售额（单位：万元）的统计数据如下表广告费（万元）2345销售额（万元）26394954根据上表可得回归方程中，据此模型可预测当广告费为6万元时，销售额约为（ ）（A）636万元（B）655万元（C）677万元（D）720万元16已知数列满足，存在正偶数n使得，且对任意正奇数n有，则实数的取值范围是（ ）（A）（B）（C）（D）三解答题（本大题共有5题,满分78分）.17.(本题满分14分，第1小题8分，第2小题6分)已知函数的表达式为.（1）求函数的最小
4、正周期及图像的对称轴的方程；（2）求函数在上的值域.ABCA1B1C1D18. (本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)如图，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，为侧棱的中点（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值19.(本题满分14分，第1小题2分，第2小题6分，第3小题6分)在全民抗击新冠疫情期间，某校开展了“停课不停学”活动，一个星期后，某校随机抽取了100名居家学习的高二学生进行问卷调查，得到学生每天学习时间（单位：）的频率分布直方图如下，若被抽取的这100名学生中，每天学习时间不低于8小时有30人（1）求频率分布直方图中实数a，b的值；（2）每天学习时间在的7名学生中，有4名男
5、生，3名女生，现从中抽2人进行电话访谈，已知抽取的学生有男生，求抽取的2人恰好为一男一女的概率；（3）依据所抽取的样本，从每天学习时间在和的学生中按比例分层抽样抽取8人，再从这8人中选3人进行电话访谈，求抽取的3人中每天学习时间在的人数X的分布和数学期望20.(本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分)如图，已知是抛物线上的三个点，且直线分别与抛物线相切，F为抛物线的焦点（1）若点C的横坐标为，用表示线段CF的长；（2）若，求点C的坐标；（3）证明：直线与抛物线相切21.(本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分)设是定义域为的函数，当时，记（1）已知在区间I上
6、严格增，且对任意，有，证明：函数在区间I上严格增；（2）已知，且对任意，当时，有，若当时，函数取得极值，求实数a的值；（3）已知，且对任意，当时，有，证明：参考答案一.填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.1平行或相交；2；3；4；5；6； 7；8；9. ；10. ；11；12. .二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13. ；14. ； 15 ；16. .三解答题（本大题满分74分）本大题共有5题
7、，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题8分，第（2）小题6分.解：（1）由已知 则函数的最小正周期为， 令，得，即函数的对称轴方程为； （2）由（1）， ，即在上的值域为. 18（本题满分14分）第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分.解：（1）因为底面是等腰直角三角形，且，所以， 因为平面，所以，又 所以，平面 （2）以为原点，直线，为，轴，建立空间直角坐标系，则， 由（1），是平面的一个法向量， ，设平面的一个法向量为，则有 即 令，则，所以， 设与的夹角为，则， 所以，所以，二面角的正弦值为 19.(本题满分1
8、4分）本题共2小题，第（1）小题2分，第（2）小题6分，第（3）小题6分.解：（1）由,解得 ,解得. （2）从7名学生中任选2人进行电话访谈种数:，记任选2人有男生为事件,则， 记任选2人有女生为事件,则， 则. （3）用按比例分层抽样的方式从每天学习时间在6.0,6.5)和的学生中抽取8人,抽中的8人每天学习时间在的人数为人.抽中的8人每天学习时问在的人数为人.设从8人中抽取的3人每天学习时间在的人数为,则 的分布为: 的数学期望为. 或 20.(本题满分16分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分. 解：（1）因为点C的横坐标为，所以，又的准线，（2）显然直
9、线的斜率都存在，设，过点C的抛物线的切线方程为，由得，令，则k的两个解分别为直线斜率 ， （3）设，直线，即由得， 已知直线与抛物线相切，所以 直线与抛物线相切，同理可得 又是方程，即的两根， 所以，即，这表明直线AB与抛物线相切 21.(本题满分18分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分.解：（1）不妨设，在I上严格增，对任意，有， 又，在区间I上严格增 （2）由（1）可知：当在区间I上严格增时，在I上严格增；当在区间I上严格减时，在I上严格减又当时，取得极值，当时，也取得极值 ，可得当时，在左右附近两侧异号，满足条件 （3）当时，由条件知， 当时，对任意，有，即，又的值域为， 当时，对任意，有，又值域为 综上可知，对任意，