1、2023届崇明区高三二模数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中16题每题4分，712题每题5分）【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果】1若不等式，则x的取值范围是 2设复数z满足（i为虚数单位），则 3已知集合，若，则实数 4已知函数，的最小正周期为1，则 5已知正实数a、b满足，则的最小值等于 6在的展开式中常数项是 （用数字作答）7以下数据为参加某次数学竞赛的15人的成绩（单位：分），分数从低到高依次是：56，70，72，78，79，80，81，83，84，86，88，90，91，94，98，则这15人成绩的第80百分位数是 8某单位为了了解用电量y度与气温x之间的
2、关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温气温（）141286用电量（度）22363438由表中数据所得回归直线方程为，据此预测当气温为5时，用电量的度数约为 9已知抛物线上的两个不同的点A、B的横坐标恰好是方程的根，则直线AB的方程为 10在一个十字路口，每次亮绿灯的时长为30秒，那么，每次绿灯亮时，在一条直行道路上能有多少汽车通过？这个问题涉及车长、车距、车速、堵塞的干扰等多种因素，不同型号车的车长是不同的，驾驶员的习惯不同也会使车距、车速不同，行人和非机动车的干扰因素则复杂且不确定面对这些不同和不确定，需要作出假设例如小明发现虽然通过路口的车辆各种各样，但多数是小轿车，因此小明给出如下假设
3、：通过路口的车辆长度都相等，请写出一个你认为合理的假设 11设平面向量，满足：，则的取值范围是 12若函数的图像上点A与点B、点C与点D分别关于原点对称，除此之外，不存在函数图像上的其它两点关于原点对称，则实数a的取值范围是 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中13-14题每题4分，15-16题每题5分）【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分】13下列函数在其定义域上既是严格增函数，又是奇函数的是A；B；C；D14设两个正态分布和的正态密度函数图像如图所示，则A，B，C，D，15九章算术中将底面为直角三角形且侧棱垂直于
4、底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”如图，在堑堵中，且下列说法错误的是A四棱锥为“阳马”；B四面体为“鳖臑”；C四棱锥体积的最大值为；D过A点作于点E，过E点作于点F，则平面AEF16已知数列是各项为正数的等比数列，公比为q，在，之间插入1个数，使这3个数成等差数列，记公差为，在，之间插入2个数，使这4个数成等差数列，公差为，在，之间插入n个数，使这个数成等差数列，公差为，则A当时，数列严格减；B当时，数列严格增；C当时，数列严格减；D当时，数列严格增三、解答题（本大题共有5题，满分78分）【解答下列各题必须在
5、答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤】17（本题满分14分，本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分）如图，已知点P在圆柱的底面圆O的圆周上，AB为圆O的直径，圆柱的表面积为20，（1）求直线与平面ABP所成角的大小；（2）求点A到平面的距离18（本题满分14分，本题共有2个小题，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分）在ABC中，a、b、c分别是内角A，B，C的对边，（1）求角B大小；（2）设，当时，求的最小值及相应的x的值19（本题满分15分，本题共有3个小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分5分）某校工会开展健身健步走活动，要求教职
6、工上传3月1日至3月7日的微信运动步数信息，下图是职工甲和职工乙微信运动步数情况：（1）从3月2日至3月7日中任选一天，求这一天职工甲和职工乙微信运动步数都不低于10000的概率；（2）从3月1日至3月7日中任选两天，记职工乙在这两天中微信运动步数不低于10000的天数为X，求X的分布列及数学期望；（3）下图是校工会根据3月1日至3月7日某一天的数据制作的全校200名教职工微信运动步数的频率分布直方图已知这一天甲和乙微信记步数在单位200名教职工中排名（按照从大到小排序）分别为第68和第142，请指出这是根据哪一天的数据制作的频率分布直方图（不用说明理由）20（本题满分17分，本题共有3个小题
7、，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分7分）已知椭圆：，点A、B分别是椭圆与y轴的交点（点A在点B的上方），过点且斜率为k的直线l交椭圆于E、G两点（1）若椭圆焦点在x轴上，且其离心率是，求实数m的值；（2）若，求BEG的面积；（3）设直线AE与直线交于点H，证明：B、G、H三点共线21（本题满分18分，本题共有3个小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分8分）已知定义域为D的函数，其导函数为，满足对任意的都有（1）若，求实数a的取值范围；（2）证明：方程至多只有一个实根：（3）若，是周期为2的周期函数，证明：对任意的实数，都有参考答案一、填空
8、题1230；42；54；645；790.5；840；910等待时，前后相邻两辆车的车距都相等（或绿灯亮后，汽车都是在静止状态下匀加速启动；或前一辆车启动后，下一辆车启动的延时时间相等；或车辆行驶秩序良好，不会发生堵塞，等等）；11；1211【答案】【解析】由题意得因为，设，得到，又因为，所以可以另，得终点轨迹在小圆上所以，所以12【答案】【解析】若有两组点关于原点对称，则在的图像关于原点对称后与的图像有两个交点由时，；得其关于原点对称后的解析式为问题转化为与在上有两个交点，即方程有两根，化简得，即与在上有两个交点对于，求导，令，解得：，即：当时，单调递增；令，解得：即：当时，单调递减，为其极大
9、值点，时，；画出其大致图像：欲使与在时有两个交点，则，即二、选择题13D；14A；15C；16D；15【答案】C【解析】底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，在堑堵中，侧棱平面ABC，A选项，又，且，则BC平面，四棱锥为“阳马”，故A正确；B选项，由，即，又且，平面，则为直角三角形，又由BC平面，得为直角三角形，山“堑堵”的定义可得为直角三角形，为直角三角形，四面体为“鳖膈”，故B正确；C选项，在底面有，即，当且仅当时取等号，最大值为，故C错误；D选项，因为，所以平面AEF，故D正确；故选：C16【答案】D【解析】数列是各项为正数的等比数列，则公比为，由题意，得时，有，数列单调
10、递增，A选项错误；时，若数列单调递增，则，即，由，需要，故B选项错误；时，解得，时，由，若数列单调递减，则，即，而不能满足恒成立，C选项错误；时，解得或，由AB选项的解析可知，数列单调递增，D选项正确故选：D三、解答题17【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题意知，直线与平面ABP的夹角，即为，易知，又，故，进而有，由圆柱的表面积为，可得，故，故直线与平面ABP的夹角为（2）设点A到平面的距离为h，则，因为平面ABP，所以BP平面，即，在中，故，所以，即点A到平面的距离为18【答案】（1）；（2）当时，有最小值2【解析】（1）由已知条件得，由正弦定理得，即，则，又，；（2），则的最小值2，其
11、中，即当时，有最小值219【答案】（1）；（2）分布列见解析，；（3）3月3日【解析】（1）令时间A为“职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000”，从3月2日至3月7日这6天中，3月2日、5日、7日这3天中，甲乙微信记步数都不低于10000，故（2）由（1）知：，1，2，X的分布列为：X012P（3）根据频率分步直方图知：微信记步数落在，（单位：千步）区间内的人数依次为人，人，人，人，人，由甲微信记步数排名第68，可知当天甲微信记步数在15000到20000万之间，根据折线图知：只有3月2日，3月3日，3月7日由乙微信记步数排名第142，可知当天乙微信记步数在5000到10000万之间，根据折线图知：只有3月3日和3月6日，所以3月3日符合要求20（1）（2）；（3）略；21【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析【解析】（1）由题意知，故，在恒成立，解得：（2）令，故，即函数是严格减函数，故至多只有一个实根；（3）设的最大值为M，最小值为m在一个周期内，函数值必能取到最大值与最小值设，因为函数是周期为2，且，则若，则成立若，可设，则所以成立综上可知，对任意实数，都成立，原式得证