1、2023年江苏省无锡市锡东片中考一模数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1. 2的相反数是（ ）A. 2B. 2C. 2D. 2. 下列计算中正确的是（ ）A. B. C. D. 3. 下列图案由正多边形拼成，其中既是轴对称图形又是中心对称图形是（ ）A. B. C. D. 4. 一组数据：1、2、2、3，若添加一个数据2，则发生变化的统计量是A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差5. 如图是用纸板制作了一个圆锥模型，它的底面半径为，高为，则这个圆锥的侧面积是（）A. B. C. D. 6. 如图，A、B、C、D是上四点，且点D是的中点，交于E，则（ ）A. B.
2、 C. D. 7. 如图，在平行四边形中，是对角线上的动点，且，分别是边，边上的动点下列四种说法：存在无数个平行四边形；存在无数个矩形；存在无数个菱形；存在无数个正方形其中正确的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 48. 如图，直线和与x轴分别交于点，点，则解集为( )A. B. C. 或D. 9. 如图，点A的坐标是（2，0），点C是以OA为直径的B上的一动点，点A关于点C的对称点为点P当点C在B上运动时，所有这样的点P组成的图形与直线y=kx3k（k0）有且只有一个公共点，则k的值为（ ）A. B. C. D. 10. 如图，点P是函数的图像上一点，过点P分别作x轴和y轴的垂线，垂足
3、分别为点A、B，交函数的图像于点C、D，连接、，其中，下列结论：；，其中正确的是（ ）A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每题3分，共24分不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）11. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是_12. 2023年3月11日，“探索一号”科考船搭载着“奋斗者”号载人潜水器，圆满完成国际首次环大洋洲载人深潜科考任务“奋斗者”号下潜63次，发现已知最深鲸落，深度达5609米数据5609用科学记数法可表示为_13. 分解因式：_14. 命题“如果，那么”的逆命题是_（填“真”或“假”）命题15. 若二元一次方程组的解为，则_16. 抛物
4、线与坐标轴的交点个数为_个17. 如图，在44的网格中，每个小正方形的边长为1，点A，B，C均在格点上，D是AB与网格线的交点，则的值是_18. 如图，已知四边形为矩形，点在上且，则_；若点为平面内一点，且，连接，当时，的值为_三、解答题（本大题共10小题，其中19、20每题8分，21-28题每题10分，共96 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19. 计算：（1）；（2）20 （1）解方程：（2）解不等式组：21. 如图，B、C在直线EF上，AEFD，AEFD，且BECF，（1）求证：ABEDCF；（2）连接AC、BD，求证：四边形ACDB是平行四边形22
5、. 3月12日，某初级中学组织学生开展了义务植树社会实践活动为了了解全校500名学生义务植树情况，小文同学开展了一次调查研究小文从每个班级随机抽取了5名学生进行调查，并将收集的数据（单位：棵）进行整理、描述，绘制成如下两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息解答下列问题：（1）小文一共随机抽取_名学生进行调查；在扇形统计图中，“4棵”所在的扇形的圆心角等于_度；（2）补全条形统计图；（3）随机抽取的这部分学生义务植树数量的中位数是_；（4）在这次社会实践活动中，学校授予义务植树数量不少于4棵的学生为“植树小能手”的称号，根据调查结果，估计该学校获得“植树小能手”称号的学生有_名23. 第二十四届
6、冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至2月20日在北京成功举办，北京成为历史上第一座既举办过夏奥会又举办过冬奥会的“双奥之城”北京冬奥会的项目有滑雪（如高山滑雪、单板滑雪等），滑冰（如速度滑冰、花样滑冰等），冰球，冰壶等如图，有4张形状、大小、质地均相同的卡片，正面分别印有速度滑冰、花样滑冰、高山滑雪、单板滑雪4种不同的图案，背面完全相同，其中速度滑冰、花样滑冰为冰上项目，高山滑雪、单板滑雪为雪上项目现将这4张卡片洗匀后正面向下放在桌子上（1）从中随机抽取1张，求抽出卡片上恰好是冰上项目图案的概率；（2）若印有速度滑冰、花样滑冰、高山滑雪、单板滑雪4种不同图案的卡片分别用A，B，C，D表示，
7、从中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，试用画树状图或列表的方法求出抽到的卡片均是冰上项目图案的概率24. 如图，已知AB是O的弦，C为O上一点，AD是O的切线（1）求证：CBAD；（2）若BDAB于点B，AD9，BD6，求O半径25. （1）如图1，在锐角的外部找一点D，使得点D在的平分线上，且，请用尺规作图的方法确定点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）中，若，则线段的长为 （如需画草图，请使用图2）26. 平安路上，多“盔”有你在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶80元，售价为每顶120元，平均每周可售出200顶商店计划将头盔降价销
8、售，每顶售价不高于108元，经调查发现：每降价1元，平均每周可多售出20顶（1）该商店若希望每周获利12000元，则每顶头盔应降价多少元？（2）当每顶头盔的售价为多少元，商店每周获得最大利润，最大利润是多少？27. 点是平面直角坐标系中一点且不在坐标轴上，过点向轴，轴作垂线段，若垂线段的长度的和为，则点叫做“垂距点”例如：下图中的是“垂距点”（1）在点，中，是“垂距点”的点为 ；（2）求函数图象上的“垂距点”的坐标；（3）的圆心的坐标为，半径为若上存在“垂距点”，则的取值范围是 28. 抛物线过点，点，顶点为（1）直接写出抛物线的表达式及点的坐标；（2）如图，点在抛物线上，连接并延长交轴于点，
9、连接，若是以为底的等腰三角形，求点的坐标；（3）如图，在（2）的条件下，点是线段上（与点，不重合）的动点，连接，作，边交轴于点，设点的横坐标为，求的最大值2023年江苏省无锡市锡东片中考一模数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1. 2的相反数是（ ）A 2B. 2C. 2D. 【答案】A【解析】【分析】根据相反数的定义直接解答即可.【详解】解：2的相反数是2故选：A【点睛】本题考查相反数，相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是02. 下列计算中正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】各项
10、分别计算得到结果，即可作出判断.【详解】A. ,故本选项错误.B，本选项错误；C. ,本选项正确；D. ,本选项错误.故选C.【点睛】本题考查学生的计算能力，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型3. 下列图案由正多边形拼成，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【详解】根据轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合因此，A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符
11、合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意故选B4. 一组数据：1、2、2、3，若添加一个数据2，则发生变化的统计量是A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差【答案】D【解析】【详解】解：A原来数据的平均数是2，添加数字2后平均数仍为2，故A与要求不符；B原来数据的中位数是2，添加数字2后中位数仍为2，故B与要求不符；C原来数据的众数是2，添加数字2后众数仍为2，故C与要求不符；D原来数据的方差=，添加数字2后的方差=，故方差发生了变化故选D5. 如图是用纸板制作了一个圆锥模型，它的底面半径为，高为，则这个圆锥的侧面积是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】勾股
12、定理求得母线长，然后根据圆锥的侧面积公式，即可求解【详解】解：圆锥的底面半径为，高为，圆锥的母线长为，这个圆锥的侧面积是，故选：B【点睛】本题考查了求圆锥侧面积，掌握圆锥的侧面积公式是解题的关键6. 如图，A、B、C、D是上四点，且点D是的中点，交于E，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据等弧所对的圆心角相等以及圆周角定理，得再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，得【详解】解：连接，是弧的中点，故选：A【点睛】本题考查了圆周角定理及其推论以及三角形的外角性质，熟练掌握圆周角定理及其推论是解决本题的关键7. 如图，在平行四边形中，是对角线上的动点，且，分别
13、是边，边上的动点下列四种说法：存在无数个平行四边形；存在无数个矩形；存在无数个菱形；存在无数个正方形其中正确的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后逐一分析即可【详解】如图，连接AC、与BD交于点O，连接ME，MF，NF，EN，MN，四边形ABCD是平行四边形OA=OC，OB=ODBE=DFOE=OF点E、F时BD上的点，只要M，N过点O，那么四边形MENF就是平行四边形存在无数个平行四边形MENF，故正确；只要MN=EF，MN过点O，则四边形MENF是矩形，点E、F是BD上的动点，存在无数个矩形MENF，故正确；只要MNEF，MN
14、过点O，则四边形MENF是菱形；点E、F是BD上的动点，存在无数个菱形MENF，故正确；只要MN=EF，MNEF，MN过点O，则四边形MENF是正方形，而符合要求的正方形只有一个，故错误；故选：C【点睛】本题考查正方形的判定、菱形的判定、矩形的判定、平行四边形的判定、解答本题的关键时明确题意，作出合适的辅助线8. 如图，直线和与x轴分别交于点，点，则解集为( )A. B. C. 或D. 【答案】D【解析】【分析】根据两条直线与x轴的交点坐标及直线的位置确定不等式组的解集即可【详解】解：直线和与x轴分别交于点，点，解集为，故选D【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的知识，解题的关键是能够结
15、合图象作出判断，难度不大9. 如图，点A的坐标是（2，0），点C是以OA为直径的B上的一动点，点A关于点C的对称点为点P当点C在B上运动时，所有这样的点P组成的图形与直线y=kx3k（k0）有且只有一个公共点，则k的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由点C的运动轨迹，可以推出点P的运动轨迹.然后根据当点C在B上运动时，所有这样的点P组成的图形与直线y=kx3k（k0）有且只有一个公共点，推出OPPD，然后根据勾股定理和等积法分别求出PE和OE，进而确定点P的坐标，然后代入直线y=kx3k（k0）即可求出k的值【详解】解：如图，连接OP，作过点P作PEx轴于点E，点P和
16、点A关于点C对称，点C的运动轨迹是以点B为圆心，半径为1的圆，点P的运动轨迹是以O为圆心，以AO为半径的圆当点C在B上运动时，所有这样的点P组成的图形与直线y=kx3k（k0）有且只有一个公共点，直线y=kx3k（k0）过定点D(3,0)，OPPD，OPD=90，在RtOPD中，OP=OA=2，OD=3，由勾股定理得：PD=由等积法，可得：ODPE=OPPD，即：3PE=2，解得：PE=在RtOPE中，OE=点P的坐标为(，)把点P的坐标代入y=kx3k，得:，解得:k=故选：C【点睛】本题主要考查了双动点模型：主动点运动轨迹是圆，从动点运动轨迹也是圆，圆与直线的位置关系，勾股定理，等积法熟记
17、相关模型，利用数形结合思想是解决此类问题的关键10. 如图，点P是函数的图像上一点，过点P分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为点A、B，交函数的图像于点C、D，连接、，其中，下列结论：；，其中正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设P（m，），分别求出A，B，C，D的坐标，得到PD，PC，PB，PA的长，判断和的关系，可判断；利用三角形面积公式计算，可得PDC的面积，可判断；再利用计算OCD的面积，可判断【详解】解：PBy轴，PAx轴，点P在上，点C，D在上，设P（m，），则C（m，），A（m，0），B（0，），令，则，即D（，），PC=，PD=，即，又DPC=BPA，
18、PDCPBA，PDC=PBC，CDAB，故正确；PDC的面积=，故正确；=，故错误；故选B【点睛】此题主要考查了反比例函数的图象和性质，k的几何意义，相似三角形的判定和性质，解题关键是表示出各点坐标，得到相应线段的长度二、填空题（本大题共8小题，每题3分，共24分不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）11. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是_【答案】【解析】【分析】若使二次根式在实数范围内有意义，被开方数必须大于等于零，由此可列出不等式，求解即可【详解】解：若使在实数范围内有意义，解得，故答案为：【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件：二次根式被开方数必须大于等于零12
19、. 2023年3月11日，“探索一号”科考船搭载着“奋斗者”号载人潜水器，圆满完成国际首次环大洋洲载人深潜科考任务“奋斗者”号下潜63次，发现已知最深鲸落，深度达5609米数据5609用科学记数法可表示为_【答案】【解析】【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数,且比原来的整数位数少1，据此判断即可【详解】解：，故答案为：【点睛】本题考查了科学记数法表示方法，用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少1，解题的关键是要正确确定和的值13. 分解因式：_【答案】【解析】【分析】先提取公因式3，再利用平方差公式进行因式分解即可【详解】解：原式，故
20、答案为：【点睛】本题考查了综合提公因式和公式法分解因式，熟练掌握平方差公式是解题的关键14. 命题“如果，那么”的逆命题是_（填“真”或“假”）命题【答案】假【解析】【分析】先把原命题的条件和结论互换写出对应的逆命题，然后判断真假即可【详解】解：命题“如果，那么”的逆命题为：“如果，那么”，这是一个假命题，故答案为：假【点睛】本题主要考查了判断命题真假，正确写出原命题的逆命题是解题的关键15. 若二元一次方程组的解为，则_【答案】【解析】【分析】把、的值代入方程组，再将两式相加即可求出的值【详解】解：将代入方程组，得：，得：，故答案为：【点睛】本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是观察两方程
21、的系数，从而求出的值16. 抛物线与坐标轴的交点个数为_个【答案】2【解析】【分析】当时，求出与轴交点的纵坐标；当时，求出关于的一元二次方程的解，即抛物线与轴的交点个数【详解】解：当时，则抛物线与轴交点坐标为，当时，解得，抛物线与轴的交点坐标为，所以抛物线与坐标轴有2个交点故答案为：2【点睛】本题考查了抛物线与坐标轴的交点问题，解题的关键是把求二次函数（，是常数，）与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程17. 如图，在44的网格中，每个小正方形的边长为1，点A，B，C均在格点上，D是AB与网格线的交点，则的值是_【答案】【解析】【分析】根据勾股定理逆定理可得ABC是直角三角形，再根据直角
22、三角斜边上的中线等于斜边的一半可得CD=AD=DB，结合等腰三角形的性质和三角形的外角的性质可得，由此可得【详解】解：根据题意由勾股定理得：AB2=AC2+BC2，ACBC，C=90，结合网格可知D分别为AB的中点，CD=AD=DB，B=DCB，又B+DCB=ADC，, ，故答案为： 【点睛】本题考查解直角三角形，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质关键是得出18. 如图，已知四边形为矩形，点在上且，则_；若点为平面内一点，且，连接，当时，的值为_【答案】 . 5 . 或【解析】【分析】设为，在中，勾股定理构造的方程，求解即可求出的长分情况讨论，当在左侧、在右侧两种情况，构造三
23、角形相似的“K型图”利用对应线段成比例即可求解【详解】解：设，则，在中，有，解得，；过点作于点，设，则，当点在左侧时，过点F作交、的延长线于点、（“K形图”），四边形为矩形，（舍去）或，当点在右侧时，过点F构造“K形图”，同理可得，(舍去)或，故答案为：5；或【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数及相似三角形的判定和性质，构造“K字”模型是解题的关键三、解答题（本大题共10小题，其中19、20每题8分，21-28题每题10分，共96 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19. 计算：（1）；（2）【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）利用二
24、次根式的化简、负整数指数幂、代入特殊角的三角函数值进行计算即可；（2）利用完全平方公式和平方差公式展开后合并同类项即可【小问1详解】；【小问2详解】【点睛】此题考查了实数的混合运算和整式的四则混合运算，熟练掌握运算法则和顺序是解题的关键20. （1）解方程：（2）解不等式组：【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解；（2）分别求出两个不等式的解集，即可求解【详解】解：两边同乘，得：解得：检验：当时，原方程的解是；（2）解：解不等式得：，解不等式得：原不等式组的解集为【点睛】本题主要考查了解分式方程，解一元一次不等式组，熟练
25、掌握相关运算法则是解题的关键21. 如图，B、C在直线EF上，AEFD，AEFD，且BECF，（1）求证：ABEDCF；（2）连接AC、BD，求证：四边形ACDB是平行四边形【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）根据SAS即可证明；（2）只要证明ABCD，ABCD即可解决问题【详解】证明：（1）AEDF，AEFDFE，AEBDFC，AEFD，BECF，AEBDFC（SAS）（2）连接AC、BDAEBDFC，ABCD，ABEDCF，ABDC，四边形ABDC是平行四边形【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型
26、22. 3月12日，某初级中学组织学生开展了义务植树社会实践活动为了了解全校500名学生义务植树情况，小文同学开展了一次调查研究小文从每个班级随机抽取了5名学生进行调查，并将收集的数据（单位：棵）进行整理、描述，绘制成如下两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息解答下列问题：（1）小文一共随机抽取_名学生进行调查；在扇形统计图中，“4棵”所在的扇形的圆心角等于_度；（2）补全条形统计图；（3）随机抽取的这部分学生义务植树数量的中位数是_；（4）在这次社会实践活动中，学校授予义务植树数量不少于4棵的学生为“植树小能手”的称号，根据调查结果，估计该学校获得“植树小能手”称号的学生有_名【答案】（1）
27、100，72 （2）见解析 （3）3 （4）175【解析】【分析】（1）根据“1棵”的人数及所占的百分比求出随机抽取的学生数，用总人数减去其他小组的人数即可求得植树棵数求出“4棵”的人数，根据“4棵”的人数及调查的学生数求出4棵”所在的扇形的圆心角的度数；（2）由（1）可知植树棵数为“4棵”的人数，再补全条形统计图即可；（3）利用中位数的定义求得中位数即可；（4）根据全校学生数及不少于4棵的学生所占的百分比求出该学校获得“植树小能手”称号的学生人数【小问1详解】1010%=100（名），植树量为4棵的人数为：100-10-15-40-10-5=20（人），360=72，故答案为：100，72；
28、【小问2详解】补全条形统计图如下：【小问3详解】因为共有100个数，把这组数据从小到大排列，最中间两个数的平均数是第50个数和第51个数的平均数，所以中位数是3，故答案为：3；【小问4详解】500=175（名），故答案为：175【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小23. 第二十四届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至2月20日在北京成功举办，北京成为历史上第一座既举办过夏奥会又举办过冬奥会的“双奥之城”北京冬奥会的项目有滑雪（如高山滑雪
29、、单板滑雪等），滑冰（如速度滑冰、花样滑冰等），冰球，冰壶等如图，有4张形状、大小、质地均相同的卡片，正面分别印有速度滑冰、花样滑冰、高山滑雪、单板滑雪4种不同的图案，背面完全相同，其中速度滑冰、花样滑冰为冰上项目，高山滑雪、单板滑雪为雪上项目现将这4张卡片洗匀后正面向下放在桌子上（1）从中随机抽取1张，求抽出的卡片上恰好是冰上项目图案的概率；（2）若印有速度滑冰、花样滑冰、高山滑雪、单板滑雪4种不同图案的卡片分别用A，B，C，D表示，从中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，试用画树状图或列表的方法求出抽到的卡片均是冰上项目图案的概率【答案】（1） （2）【解析】【分析】
30、（1）求得总的结果数以及目标事件的结果数，然后根据概率公式求解即可；（2）用列表法或树状图表示抽取的结果，求得总的结果数和目标事件的结果数，即可求解【小问1详解】解：因为速度滑冰、花样滑冰属于冬奥会上的冰上项目，从四张卡片中随机选一张，共有四种等可能结果，故恰好是冰上项日图案的概率；【小问2详解】解：列表分析如下：或用树状图表示，如下：共有12种等可能的结果，其中抽到的卡片均是冰上项目的图案有2种情况，抽到的卡片均是冰上项日的图案的概率：，即P（抽到的卡片均是冰上项目的图案）【点睛】本题考查了利用概率公式求概率，树状图或列表法求概率，解题的关键是正确求得结果总数以及目标事件的结果数，掌握概率公
31、式24. 如图，已知AB是O的弦，C为O上一点，AD是O的切线（1）求证：CBAD；（2）若BDAB于点B，AD9，BD6，求O半径【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）连接AO并延长交O于点E，连接BE，由AE为直径，可得EAB+E90由AD是O的切线，可得EAB+BAD90，可推出EBAD即可；（2）由BDAB，可得ABD90，可证D，B，E三点共线，由勾股定理AB，再证ADEBDA，可求AE即可【详解】（1）证明：如图，连接AO并延长交O于点E，连接BE，AE为直径，ABE90，EAB+E90AD是O的切线，DAE90，EAB+BAD90，EBAD，CE，CBAD；（2）解：
32、BDAB，ABD90，由（1）可知ABE90，DBE180，D，B，E三点共线，AD9，BD6，AB，ECBAD，DD，ADEBDA，AEO半径为【点睛】本题考查直径所对圆周角性质，同弧所对圆周角性质，切线性质，勾股定理，三角形相似判定与性质，掌握直径所对圆周角性质，同弧所对圆周角性质，切线性质，勾股定理，三角形相似判定与性质是解题关键25. （1）如图1，在锐角的外部找一点D，使得点D在的平分线上，且，请用尺规作图的方法确定点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）中，若，则线段的长为 （如需画草图，请使用图2）【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）作的平分线与的外接圆
33、相交于点D，点D即为所求；（2）过点D作于M，交的延长线于N利用全等三角形的性质证明，可求解【详解】解：（1）如图，点D即为所求作；（2）如图，过点D作于M，交的延长线于N和中，在和中，；【点睛】本题考查了作图作三角形的外接圆的圆心，线段的垂直平分线，角的平分线，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键26. 平安路上，多“盔”有你在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶80元，售价为每顶120元，平均每周可售出200顶商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于108元，经调查发现：每降价1元，
34、平均每周可多售出20顶（1）该商店若希望每周获利12000元，则每顶头盔应降价多少元？（2）当每顶头盔的售价为多少元，商店每周获得最大利润，最大利润是多少？【答案】（1）20元；（2）当每顶头盔的售价为105元，商店每周获得最大利润，最大利润是12500元【解析】【分析】（1）设每顶头盔降价元，从而可得平均每周可售出顶，再根据“每周获利12000元”建立方程，解方程即可得；（2）设商店每周获得最大利润元，每顶头盔的售价为元，从而可得平均每周可售出顶，再根据利润公式可得与的函数关系式，然后利用二次函数的性质求解即可得【详解】解：（1）设每顶头盔降价元，则平均每周可售出顶，由题意得：，解得或，当时
35、，售价为，不符题意，舍去，当时，售价为，符合题意，答：每顶头盔应降价20元；（2）设商店每周获得最大利润元，每顶头盔的售价为元，则平均每周可售出顶，且，由题意得：，整理得：，由二次函数的性质可知，在内，当时，取最大值12500，答：当每顶头盔的售价为105元，商店每周获得最大利润，最大利润是12500元【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用，正确建立方程和函数关系式是解题关键27. 点是平面直角坐标系中的一点且不在坐标轴上，过点向轴，轴作垂线段，若垂线段的长度的和为，则点叫做“垂距点”例如：下图中的是“垂距点”（1）在点，中，是“垂距点”的点为 ；（2）求函数的图象上的“垂距点”
36、的坐标；（3）的圆心的坐标为，半径为若上存在“垂距点”，则的取值范围是 【答案】（1）， （2）或 （3）【解析】【分析】（1）由题意利用“垂距点”的定义垂线段的长度的和为4，对点，进行分析判断；（2）由题意可知点横纵坐标的绝对值的和为4，依次列式求出“垂距点”的坐标；（3）设“垂距点”的坐标为，则，画出函数图像，分情况讨论即可解得【小问1详解】解：由题意得 ，垂线段的长度的和为4，故答案为：【小问2详解】解：设函数的图像上的“垂距点”的坐标 由题意得 当时，当时，（不合题意，舍）当时， 综上所述，函数y2x3的图像上的“垂距点”的坐标是，【小问3详解】解：设“垂距点”的坐标为，则当时，即；当
37、时，即；当时，即；当时，即；当与相切时，过点作直线于点，则为等腰直角三角形，当过点时，上不存在“垂距点”，此时若存在“垂距点”，则取值范围是故答案为：【点睛】本题考查平面直角坐标系相关，结合题干定义以及书本所学点到轴的距离即为横纵坐标的绝对值进行分析计算28. 抛物线过点，点，顶点为（1）直接写出抛物线的表达式及点的坐标；（2）如图，点在抛物线上，连接并延长交轴于点，连接，若是以为底的等腰三角形，求点的坐标；（3）如图，在（2）条件下，点是线段上（与点，不重合）的动点，连接，作，边交轴于点，设点的横坐标为，求的最大值【答案】（1）抛物线的表达式为；顶点 （2） （3）m的最大值为【解析】【分析
38、】（1）将的坐标代入解析式，待定系数法求解析式即可，根据顶点在对称轴上，求得对称轴，代入解析式即可的顶点的坐标；（2）设，根据是以为底的等腰三角形，根据，求得点的坐标，进而求得解析式，联立二次函数解析式，解方程组即可求得点的坐标；（3）根据题意，可得，设，根据相似三角形的性质，线段成比例，可得，根据配方法可得的最大值【小问1详解】解：抛物线过点，点，解得，代入，解得：，顶点【小问2详解】设， ,，是以为底的等腰三角形，即解得设直线的解析式为解得:直线的解析式为联立解得：，；【小问3详解】点的横坐标为，设，则，是以为底的等腰三角形，即整理得m的最大值为【点睛】本题考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，二次函数的性质，综合运用以上知识是解题的关键