1、2023年重庆市中考数学冲刺专题练5三角形一选择题（共8小题）1（2023黔江区一模）如图，直线l1l2，ABC是等边三角形150，则2的大小为（）A60B80C70D1002（2022南岸区校级模拟）已知ABC的三条边分别是a、b、c，则下列条件中不能判断ABC是直角三角形的是（）Aa：b：c3：4：5BCA+BCA：B：C1：5：6DA：B：C3：4：53（2022南岸区校级模拟）我们知道，三个正整数a、b、c满足a2+b2c2，那么，a、b、c成为一组勾股数；如果一个正整数m能表示成两个非负整数x、y的平方和，即mx2+y2，那么称m为广义勾股数，则下面的结论：7是广义勾股数；13是广义
2、勾股数；两个广义勾股数的和是广义勾股数；两个广义勾股数的积是广义勾股数；若xm2n2，y2mn，zm2+n2，其中x，y，z，m，n是正整数，则x，y，z是一组勾股数其中正确的结论是（）ABCD4（2022南岸区校级模拟）如图，ABDE，BDEF，添加下列哪个条件，不能证明ABCDEF的是（）AADBBCEFCACDFDACDF5（2022永川区模拟）如图，在ABC和BAD中，ACBD，要使ABCBAD，则需要添加的条件是（）ABADABCBBACABDCDACCBDDCD6（2022渝中区模拟）如图，点F，B，E，C在同一条直线上，ABCDEF，若A36，F24，则DEC的度数为（）A50B
3、60C65D1207（2022南岸区校级模拟）如图，点B、E、C、F四点共线，BDEF，BECF，添加一个条件，不能判定ABCDEF的是（）AADBABDECACDFDACDF8（2022重庆模拟）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是数形结合的重要纽带数学家欧几里得利用如图验证了勾股定理：以直角三角形ABC的三条边为边长向外作正方形ACHI，正方形ABED，正方形BCGF，连接BI，CD，过点C作CJDE于点J，交AB于点K设正方形ACHI的面积为S1，正方形BCGF的面积为S2，长方形AKJD的面积为S3，长方形KJEB的面积为S4，下列结论：BICD；2SACDS1；S1+S
4、4S2+S3；S1+S2=S3+S4其中正确的结论有（）A1个B2个C3个D4个二填空题（共2小题）9（2022沙坪坝区模拟）清代数学家梅文鼎在勾股举隅一书中，用四个全等的直角三角形拼出正方形ABCD的方法证明了勾股定理（如图）连结CE，若CE5，BE4，则正方形ABCD的边长为 10（2022大渡口区模拟）如图，将ABC沿BC边上的中线AD平移到ABC的位置，已知ABC的面积为18，阴影部分三角形的面积为2若AD2，则AA等于 三解答题（共13小题）11（2023沙坪坝区校级模拟）在ABC中，ACB90，点D是线段AC上一点，连接BD，过点C作CFBD，垂足为点E，过点A作AFCF于点F（1
5、）如图1，如果设CF交AB于点G，且G为AB的中点，若AF=3，ABC60，求线段AD的长；（2）如图2，如果ACBC，点E是线段CF的中点，过点E作EHAC，垂足为点H，连接FH，求证：AH+HC2=2FH；（3）如图3，如果ACBC4，求FE的最大值12（2023潼南区一模）在ABC中，ABAC，D为射线BC上一点，DBDA，E为射线AD上一点，且AECD，连接BE（1）如图1，若ADB120，AC=3，求DE的长；（2）如图2，若BE2CD，连接CE并延长，交AB于点F，求证：CE2EF；（3）如图3，若BEAD，垂足为点E，猜想AE、AD、BE的数量关系，并证明13（2023黔江区一模
6、）如图，ACB和ECD都是等腰直角三角形，CACB，CECD，ACB的顶点A在ECD的斜边DE上，连接DB（1）证明：EACDBC；（2）当点A在线段ED上运动时，猜想AE、AD和AC之间的关系，并证明（3）在A的运动过程中，当AE=2，AD=6时，求ACM的面积14（2023黔江区一模）如图，RtABC中，ACB90，AC6，BC8点D为斜边AB的中点，EDAB，交边BC于点E，点P为射线AC上的动点，点Q为边BC上的动点，且运动过程中始终保持PDQD（1）求证：ADPEDQ；（2）设APx，BQy求y关于x的函数解析式，并写出该函数的定义域；（3）联结PQ，交线段ED于点F当PDF为等腰三
7、角形时，求线段AP的长15（2022大渡口区校级模拟）在ABC中，ABBC，B45，AD为BC边上的高，M为线段AB上一动点（1）如图1，连接CM交AD于Q，若ACM45，AB=2求线段DQ的长度；（2）如图2，点M，N在线段AB上，且AMBM，连接CM，CN分别交线段AD于点Q、P，若点P为线段CN的中点，求证：AQ+2CDAB；（3）如图3，若AD410，当点M在运动过程中，射线DB上有一点G，满足BM=2DG，AG+55MG的最小值16（2022大足区模拟）在ABC中，点D在边BC上，连接AD（1）如图1，已知ABAC点D为BC中点，CEAD于点E若AD7，CE43，求AE的长度；（2）
8、如图2，当B45，ACAD时，过点C作CEAD交AD于点E，交AB于点F，连接DF，求证：DC=2BF（3）如图3，当B45，AC12，点D是边BC中点时，过点D作DNAC交AC于点N，当线段DN取最大值时，请直接写出AD2的值17（2022两江新区模拟）已知ABC中，ABAC，点D是BC延长线上的一点，E是AB上一点，连接DE交AC于点G，使得AED2ADC（1）如图1，若DEAB，ADG30，CD32，求线段AD的长（2）如图2，过点C作CFAB交DE于点F，在EG上取一点N，使得GNGC，连接AN，求证：AEDF（3）如图3，若点D是平面内任意一点，且满足ADC45，AC6，直接写出AC
9、D面积的最大值18（2022重庆模拟）在ABC中，点D在边AB上，AECD于F交BC于E，AECD，ACD2BAE（1）如图1，若ACE为等边三角形，CD2，求AB的长；（2）如图2，作EGAB，求证：AD=2BE；（3）如图3，作EGAB，当点D与点G重合时，连接BF，请直接写出BFCE的值19（2022秀山县模拟）如图，ABC中，BAC90，ABAC4BDE中，BDE90，DBDE（1）图1中，点D是AC上一点，若AD1，求BE的长；（2）图2中，点D是AC上一点，点M是BE的中点，求证：BD=2CM；（3）图3中，点N是AB的中点，点D是平面内一个动点，若AD1，当CNE的度数最大时，N
10、E的长是多少？20（2022南川区模拟）如图，在RtABC中，ABBC，ABC90，点P是RtABC斜边AC上一动点（不与A，C重合），连接BP，分别过点A、C作直线BP的垂线，垂足分别为点E、F，Q是AC的中点，连接QF（1）如图，当点P在线段AC上，且AP12AC时，若BF5，CF9，求EF的长；（2）在（1）的条件下，求证：EF=2QF；（3）如图，连接BQ，当点P在线段CA的延长线上时，若QF22，请直接写出四边形AEBQ的面积21（2022大渡口区模拟）如图，ABC中，ABC90，ABBCCDE中，CDE90，DCDE（1）图1中，点D是AB上一点，ABBC4，BD1，求CE的长；（
11、2）图2中，点D是AB上一点，点F是CE的中点，求证：CD=2AF；（3）图3中，ABBC4，点M是BC的中点，点D是平面内一个动点，BD1，当AME的度数最大时，直接写出ME的长度22（2022开州区模拟）在等腰ABC和等腰DBE中，ABAC，DBDE，BACBDE120（1）如图1，点D在线段BC上，且AB5，BD23时，求CE的长；（2）如图2，连接AD，BE，CD，CE，若BE经过CD的中点F，且CEDE时，求证：BFCE=3AD；（3）如图3，若AB5，BD23，点F为CD的中点，连接AD，AF，当AF最短时，求ADF的面积23（2022永川区模拟）已知：在ABC中，ABC90，点D
12、为直线BC上一点，连接AD并延长，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E（1）如图1，若BAC60，tanEAC=12，AB1，求线段AE的长度；（2）如图2，若ACEC，点F是线段BA延长线上一点，连接EF与BC交于点H，且BADACF，求证：AF2BH；（3）如图3，AB2，BC6，点M为AE中点，连接BM，CM，当|CMBM|最大时，直接写出BMC的面积参考答案解析一选择题（共8小题）1（2023黔江区一模）如图，直线l1l2，ABC是等边三角形150，则2的大小为（）A60B80C70D100【解答】解：如图，ABC是等边三角形，A60，150，31+A50+60110，直线l1l2，
13、2+3180，2180370，故选：C2（2022南岸区校级模拟）已知ABC的三条边分别是a、b、c，则下列条件中不能判断ABC是直角三角形的是（）Aa：b：c3：4：5BCA+BCA：B：C1：5：6DA：B：C3：4：5【解答】解：A、32+4252，ABC为直角三角形，不符合题意；B、CA+B，且A+B+C180，C90，故ABC为直角三角形，不符合题意；C、A：B：C1：5：6，C=61+5+618090，故ABC是直角三角形，不符合题意；D、A：B：C3：4：5，C=53+4+518075，故ABC不是直角三角形，符合题意故选：D3（2022南岸区校级模拟）我们知道，三个正整数a、b
14、、c满足a2+b2c2，那么，a、b、c成为一组勾股数；如果一个正整数m能表示成两个非负整数x、y的平方和，即mx2+y2，那么称m为广义勾股数，则下面的结论：7是广义勾股数；13是广义勾股数；两个广义勾股数的和是广义勾股数；两个广义勾股数的积是广义勾股数；若xm2n2，y2mn，zm2+n2，其中x，y，z，m，n是正整数，则x，y，z是一组勾股数其中正确的结论是（）ABCD【解答】解：7不能表示为两个正整数的平方和，7不是广义勾股数，故结论错误；1322+32，13是广义勾股数，故结论正确；两个广义勾股数的和不一定是广义勾股数，如5和10是广义勾股数，但是它们的和不是广义勾股数，故结论错误
15、；512+22，1322+32，65513，65是广义勾股数，两个广义勾股数的积是广义勾股数，如2和2都是广义勾股数，但224，4不是广义勾股数，故结论正确；x2+y2（m2n2）2+（2mn）2m4+2m2n2+n4，z2（m2+n2）2m4+2m2n2+n4，x2+y2z2，又知x，y，z，m，n是正整数，则x，y，z是一组勾股数故结论正确；依次正确的是故选：D4（2022南岸区校级模拟）如图，ABDE，BDEF，添加下列哪个条件，不能证明ABCDEF的是（）AADBBCEFCACDFDACDF【解答】解：ABDE，BDEF，若添加AD，则ABCDEF（ASA），故A不符合题意；若添加BE
16、CF，则BCEF，则ABCDEF（SAS），故B不符合题意；若添加ACDF，则ABC和DEF不一定全等，故C符合题意；若添加ACDF，则ACBDFE，则ABCDEF（AAS），故D不符合题意；故选：C5（2022永川区模拟）如图，在ABC和BAD中，ACBD，要使ABCBAD，则需要添加的条件是（）ABADABCBBACABDCDACCBDDCD【解答】解：ACBD，ABBA当添加BACABD时，可根据“SAS”判定ABCBAD故选：B6（2022渝中区模拟）如图，点F，B，E，C在同一条直线上，ABCDEF，若A36，F24，则DEC的度数为（）A50B60C65D120【解答】解：ABCD
17、EF，A36，DA36，F24，DECD+F36+2460故选：B7（2022南岸区校级模拟）如图，点B、E、C、F四点共线，BDEF，BECF，添加一个条件，不能判定ABCDEF的是（）AADBABDECACDFDACDF【解答】解：BECF，BE+ECCF+EC，即BCEF，AAD，BDEF，BECF，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出ABCDEF，故本选项不符合题意；BABDE，BDEF，BECF，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出ABCDEF，故本选项不符合题意；CACDF，ACBF，BDEF，BECF，ACBF，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出ABCDEF，故本选项不符
18、合题意；DACDF，BECF，BDEF，不符合全等三角形的判定定理，不能推出ABCDEF，故本选项符合题意；故选：D8（2022重庆模拟）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是数形结合的重要纽带数学家欧几里得利用如图验证了勾股定理：以直角三角形ABC的三条边为边长向外作正方形ACHI，正方形ABED，正方形BCGF，连接BI，CD，过点C作CJDE于点J，交AB于点K设正方形ACHI的面积为S1，正方形BCGF的面积为S2，长方形AKJD的面积为S3，长方形KJEB的面积为S4，下列结论：BICD；2SACDS1；S1+S4S2+S3；S1+S2=S3+S4其中正确的结论有（）A1
19、个B2个C3个D4个【解答】解：四边形ACHI和四边形ABED都是正方形，AIAC，ABAD，IACBAD90，IAC+CABBAD+CAB，即IABCAD，在ABI和ADC中，AI=ACIAB=CADAB=AD，ABIADC（SAS），BICD，故正确；过点B作BMIA，交IA的延长线于点M，BMA90，四边形ACHI是正方形，AIAC，IAC90，S1AC2，CAM90，又ACB90，ACBCAMBMA90，四边形AMBC是矩形，BMAC，SABI=12AIBM=12AIAC=12AC2=12S1，由知ABIADC，SACDSABI=12S1，即2SACDS1，故正确；过点C作CNDA交D
20、A的延长线于点N，CNA90，四边形AKJD是矩形，KADAKJ90，S3ADAK，NAKAKC90，CNANAKAKC90，四边形AKCN是矩形，CNAK，SACD=12ADCN=12ADAK=12S3，即2SACDS3，由知2SACDS1，S1S3，在RtACB中，AB2BC2+AC2，S3+S4S1+S2，又S1S3，S1+S4S2+S3，即正确；在RtACB中，BC2+AC2AB2，S3+S4S1+S2，S1+S2=S3+S4，故错误；综上，共有3个正确的结论，故选：C二填空题（共2小题）9（2022沙坪坝区模拟）清代数学家梅文鼎在勾股举隅一书中，用四个全等的直角三角形拼出正方形ABC
21、D的方法证明了勾股定理（如图）连结CE，若CE5，BE4，则正方形ABCD的边长为 17【解答】解：如图所示：由四个全等的直角三角形可得，BECF4，AEBF，由勾股定理得，EF=CE2-CF2=52-42=3，BFBEEF431，由勾股定理得，AB=AE2+BE2=12+42=17，故答案为：1710（2022大渡口区模拟）如图，将ABC沿BC边上的中线AD平移到ABC的位置，已知ABC的面积为18，阴影部分三角形的面积为2若AD2，则AA等于 4【解答】解：SABC18、SAEF2，且AD为BC边的中线，SADE=12SAEF1，SABD=12SABC9，将ABC沿BC边上的中线AD平移得
22、到ABC，AEAB，DAEDAB，则（ADAD）2=SADESABD，即（2AD）2=19，解得AD6（负值舍去），AAADAD624，故答案为：4三解答题（共13小题）11（2023沙坪坝区校级模拟）在ABC中，ACB90，点D是线段AC上一点，连接BD，过点C作CFBD，垂足为点E，过点A作AFCF于点F（1）如图1，如果设CF交AB于点G，且G为AB的中点，若AF=3，ABC60，求线段AD的长；（2）如图2，如果ACBC，点E是线段CF的中点，过点E作EHAC，垂足为点H，连接FH，求证：AH+HC2=2FH；（3）如图3，如果ACBC4，求FE的最大值【解答】（1）解：G为AB的中点
23、，ACB90，AGBGCG，ABC60，BGC是等边三角形，BCBGGC，ABCBCG60，BACACF30，AFCACB90，AC2AF23，AC=3BC，BC2，BCG是等边三角形，BDCG，CBG30，BC=3CD，CD=233，ADACCD23-233=433；（2）证明：如图，过点F作FNFH，交直线HE交于点N，连接AE，ABCAFC90BEC，ACF+BCE90ACF+CAF，CAFBCE，又BCAC，ACFCBE（AAS），CEAF，点E是线段CF的中点，EFEC，AFEFCE=12CF，FAEFEA45，EHAC，AHEAFE90，点A，点F，点E，点H四点共圆，FHEFAE
24、45，FNFH，FNH是等腰直角三角形，FNFH，NH=2FH，NFHEFA90，NFEHFA，又FNFH，EFFA，AFHEFN（SAS），AHNE，tanACF=AFCF=EHCH=12，EH=12CH，AH+12CHEN+EHNH=2FH；（3）解：AFC90CED，点F在以AC为直径的半圆上运动，点E在以CD为直径的半圆上运动，当点E与点C重合时，点F与点A重合时，EF有最大值为AC的长，EF的最大值为412（2023潼南区一模）在ABC中，ABAC，D为射线BC上一点，DBDA，E为射线AD上一点，且AECD，连接BE（1）如图1，若ADB120，AC=3，求DE的长；（2）如图2，
25、若BE2CD，连接CE并延长，交AB于点F，求证：CE2EF；（3）如图3，若BEAD，垂足为点E，猜想AE、AD、BE的数量关系，并证明【解答】（1）解：DADB，ADB120，ABCBAD30，ABAC，ABCC30，CAD90，ADACtan301，AECD2AD2，DEAEAD1，（2）证明：如图，过A作AGBC交CF的延长线于点GDBDA，ABAC，BADABC，ABCACB，BADACB，AECD，ABECAD，BEAD，BE2CD，AD2CD2AE，AEDE，AGBC，GDCE，GAECDE，AGEDCE，GECE，AGCDAE，AGE为等腰三角形，GAFABCBAD，F为GE的
26、中点，CEEG2EF（3）解：结论：AE2+14BE2=14AD2理由：如图3，取BE中点M，延长AM至N，使MNAM，连接BN，EN，四边形ABNE是平行四边形，AEBN，NBCD，ABAC，DBDA，ABCACBBAD，BACDNBC，BANNBC+ABC，ACDBAC+ABC，ABNACD，BNAECD，ABAC，ABNACD，ADAN2AM，BEAD，AE2+ME2AM2，AE2+（12BE）2（12AN）2，AE2+14BE2=14AD213（2023黔江区一模）如图，ACB和ECD都是等腰直角三角形，CACB，CECD，ACB的顶点A在ECD的斜边DE上，连接DB（1）证明：EAC
27、DBC；（2）当点A在线段ED上运动时，猜想AE、AD和AC之间的关系，并证明（3）在A的运动过程中，当AE=2，AD=6时，求ACM的面积【解答】（1）证明：ACB和ECD都是等腰直角三角形，ACBECD90，ACBACDECDACD，即BCDECA在EAC和DBC中，AC=BCECA=BCDEC=CD，EACDBC（SAS）；（2）解：作AFEC交EC于点F，CED45，故设AFEFa，设FCb，则ECa+b，AE=2AF=2a，ECD是等腰直角三角形，ED=2EC=2(a+b)，AD=ED-AE=2(a+b)-2a=2b，AFC是直角三角形，由勾股定理可得：AC=AF2+FC2=a2+b
28、2，AD22b2，AE2a2，AC2a2+b2，AD2+AE22AC2；（3）解：作AFEC交EC于点F，AE=2，AD=6，ECD是等腰直角三角形，EC=CD=22ED=(3+1)，CED45，EF=AF=22EA=1，EC=(3+1)，FC=EC-EF=3，在RtAFC中，AC2AF2+FC2，即AC=12+32=2，ACF30，作MGAC交AC于点G，ECD90，ACF30，ACM60，CAB45，AGGM，故设AGGMx，则GCACAG2x，ACM60，tan60=GMGC=x2-x=3，解得：x=3-3，SACM=12MGAC=12(3-3)2=3-314（2023黔江区一模）如图，
29、RtABC中，ACB90，AC6，BC8点D为斜边AB的中点，EDAB，交边BC于点E，点P为射线AC上的动点，点Q为边BC上的动点，且运动过程中始终保持PDQD（1）求证：ADPEDQ；（2）设APx，BQy求y关于x的函数解析式，并写出该函数的定义域；（3）联结PQ，交线段ED于点F当PDF为等腰三角形时，求线段AP的长【解答】（1）证明：ACB90，A+B90，EDAB，EDB90，DEQ+B90，ADEQ，又PDQD，PDQ90，EDQ+PDEADP+PDE90，EDQADP，ADPEDQ；（2）解：ACB90，AC6，BC8，AB=62+82=10，点D为斜边AB的中点，ADBD=1
30、2AB5，EDBACB90，BB，EDBACB，EDAC=EBAB=BDBC，即ED6=EB10=58，解得：ED=154，EB=254，由（1）得：ADPEDQ，APEQ=ADED，即xEQ=5154=43，解得：EQ=34x，BQBEEQ=254-34x，即y=254-34x，AP0，x0，BQ0，254-34x0，x253，y=254-34x（0x253）；（3）解：由（1）得：ADPEDQ，EQAP=EDAD=EDBD，PDQD，PDQ90，tanQPD=DQDP=EDAD=EDBD=tanB，QPDB，又PDQBDE90，PDFBDQ，PDFBDQ，PDF为等腰三角形时，BDQ也为等
31、腰三角形，若DQBQ，过Q作QGBD于G，如图所示：则DGBG=12BD=52，cosB=BGBQ=BCAB=810=45，52254-34x=45，解得：x=256，即AP=256；若BQBD，则254-34x5，解得：x=53，即AP=53；若DQDB，则BDQB，B+DQB+BDQ2B+BDQ180，此种情况舍去；综上所述，当PDF为等腰三角形时，线段AP的长为256或5315（2022大渡口区校级模拟）在ABC中，ABBC，B45，AD为BC边上的高，M为线段AB上一动点（1）如图1，连接CM交AD于Q，若ACM45，AB=2求线段DQ的长度；（2）如图2，点M，N在线段AB上，且AM
32、BM，连接CM，CN分别交线段AD于点Q、P，若点P为线段CN的中点，求证：AQ+2CDAB；（3）如图3，若AD410，当点M在运动过程中，射线DB上有一点G，满足BM=2DG，AG+55MG的最小值【解答】（1）解：过点M作MHBC于H，如图，ABBC=2，B45，AD为BC边上的高，BDAD1，CD=2-1，AC212+（2-1）2422，B45，ACM45，ACMB，又BACCAM，BACCAM，AB：ACAC：AM，AM=AC2AB=22-2，BM=2-（22-2）2-2，在RtBHM中，BHMH=2-1，CH1，又MHBC，AD为BC边上的高，ADMH，CDQCHM，DQ：MHCD
33、：CH，DQ322；（2）证明：延长AP至R，使PRAP，连接CR、BR、NR，如图，点P为线段CN的中点，PNPC，四边形ANRC为平行四边形，ANCR，ANCR，DCRABC45，CR=2CDAMBN，ANBMCR=2CD，BMCR，BMCR，四边形BMCR为平行四边形，CMBR，AMQABR，AM：ABAQ：AR，又ADBD，CDDR，ARBCAB，AMAQ，ABAM+BMAQ+2CD，即AQ+2CDAB；（3）解：过点M作MKBC于K，如图，设DGx，则BMDG=2x，由已知得BMK为等腰直角三角形，BKMK=22BMx，AG+55MG=AD2+DG2+55MK2+KG2=(410)2
34、+x2+55x2+(410-2x)2 =(410)2+x2+(x-8105)2+(4105)2，AG+55MG的最小值相当于在x轴上找一点P（x，0）到Q（0，410）和R（8105，4105）的距离和最小，作点R关于x轴的对称点R，连接QR交x轴于点P，连接PQ，此时QP+PR最小，最小值等于QR的长，R（8105，-4105），Q（0，410），QR=(8105)2+(24105)2=16AG+55MG的最小值为1616（2022大足区模拟）在ABC中，点D在边BC上，连接AD（1）如图1，已知ABAC点D为BC中点，CEAD于点E若AD7，CE43，求AE的长度；（2）如图2，当B45，
35、ACAD时，过点C作CEAD交AD于点E，交AB于点F，连接DF，求证：DC=2BF（3）如图3，当B45，AC12，点D是边BC中点时，过点D作DNAC交AC于点N，当线段DN取最大值时，请直接写出AD2的值【解答】解：（1）如图1，过点B作BFAD于F，D为BC的中点，BDCD，FCED90，BDFCDE，BFDCED（AAS），DFDE，BFCE43，设DEa，则DFa，AE7a，ABAC，BAF+CAE90，CAE+ACE90，ACEBAF，tanACEtanBAF，AECE=BFAF，即7-a43=437+a，a1或1（舍），AE7a716；（2）如图2，过点A作AHBC于H，过点F
36、作FGBC于G，ACAD，DHCH，B45，BFG是等腰直角三角形，FG=22BF，CFAD，AEC90，AECAHC90，AOECOH，EAOFCG，AFCB+BCF45+BCF，BACBAH+CAH45+CAH，AFCBAC，ACCFAD，AHDCGF90，CGFAHD（AAS），FGDH，12CD=22BF，CD=2BF；（3）如图3，作ABC的外接圆O，连接OA，OC，OD，B45，AOC90，OAOC，AC12，OAOC62，D是BC的中点，ODBC，ODC90，点D在以OC为直径的圆I上运动，当DN过圆心I时，DN的值最大，OC62，OIICID32，NCI45，CNI是等腰直角三
37、角形，NICN3，DN的最大值3+32，AN1239，由勾股定理得：AD2AN2+DN292+（3+32）2108+18217（2022两江新区模拟）已知ABC中，ABAC，点D是BC延长线上的一点，E是AB上一点，连接DE交AC于点G，使得AED2ADC（1）如图1，若DEAB，ADG30，CD32，求线段AD的长（2）如图2，过点C作CFAB交DE于点F，在EG上取一点N，使得GNGC，连接AN，求证：AEDF（3）如图3，若点D是平面内任意一点，且满足ADC45，AC6，直接写出ACD面积的最大值【解答】（1）解：如图1，作CHAD于H，设BAC，在RtADE中，DAE90ADE60，C
38、ADBADBAC60，ADE90，AED2ADC，ADC45，ACBADC+CAD45+（60）105，ABAC，ABCACB105，在ABC中，ABC+ACB+BAC180，2（105）+180，30，CAD30，在RtCDH中，CHDHCDsinADC32sin453222=3，在RtACH中，AH=CHtanCAH=333=33，ADDH+AH3+33；（2）证明：如图2，在AG上截取GHGF，连接NH，EH，设ABCACB，ADC，则AED2，AEDABC+BDE，2+BDE，BDE2，ADEADCBDE（2），ACBADC+DAC，+DAC，DAC，ADEDAC，AGDG，DGCAGN，CGGN，DGCAGN（SAS），AGDG，DCGANG，同理