1、2023年中考数学高频考点突破圆的切线的证明1如图，点A，B，C是半径为2的O上三个点，AB为直径，BAC的平分线交圆于点D，过点D作AC的垂线交AC得延长线于点E，延长线ED交AB得延长线于点F（1）判断直线EF与O的位置关系，并证明（2）若DF=，求tanEAD的值2如图，点C在以AB为直径的上，点D是半圆AB的中点，连接AC，BC，AD，BD，过点D作交CB的延长线于点H（1）求证：直线DH是的切线；（2）若，求AD，BH的长3如图，在中，以的边为直径作，交于点，过点作，垂足为点（1）试证明是的切线；（2）若的半径为5，求此时的长4如图，AB是圆O的直径，点D在直径AB上（D与A，B不重
2、合），CDAB，且CD=AB，连接CB与圆O交于点F，在CD上取一点E，使得EF=EC（1）求证：EF是圆O的切线；（2）若D是OA的中点，AB=4，求CF的长5如图，在中，以为直径的O交于点D，过点D的直线交于点F，交的延长线于点E，且（1）求证：是O的切线；（2）当时，求的长6如图，在四边形中，过点B的与边分别交于E，F两点，垂足为G，连接（1）若，试判断的形状，并说明理由；（2）若，求证：与相切于点A7已知：如图，AB是的直径，点为上一点，点D是上一点，连接并延长至点C，使与AE交于点F（1）求证：是的切线；（2）若平分，求证：8如图，在等腰中，点D是上一点，以为直径的过点A，连接，（1
3、）求证：是的切线；（2）若，求的半径9如图，在中，以斜边上的中线为直径作，与交于点，与的另一个交点为，过作，垂足为（1）求证：是的切线；（2）若的直径为5，求的长10如图，在平行四边形中，是对角线，以点为圆心，以的长为半径作，交边于点，交于点，连接（1）求证：与相切；（2）若，求阴影部分的面积11如图，AB为O的直径，C、D为O上的两个点，连接AD，过点D作DEAC交AC的延长线于点E（1）求证：DE是O的切线（2）若直径AB6，求AD的长12如图，在ABC中，D是边BC上一点，以BD为直径的O经过点A，且CAD=ABC（1）请判断直线AC是否是O的切线，并说明理由；（2）若CD=2，CA=4
4、，求弦AB的长13如图，ABC中，ACB90，BO为ABC的角平分线，以点O为圆心，OC为半径作O与线段AC交于点D（1）求证：AB为O的切线；（2）若tanA，AD2，求BO的长14如图，在平行四边形ABCD中，D60，对角线ACBC，O经过点A，B，与AC交于点M，连接AO并延长与O交于点F，与CB的延长线交于点E，ABEB（1）求证：EC是O的切线；（2）若AD2，求的长（结果保留）15如图，在中，以为直径的交于点弦交于点且（1）求证：是的切线；（2）求的直径的长度16如图，四边形内接于是直径，连接，过点的直线与的延长线相交于点，且（1）求证：直线是的切线；（2）若，求的长17如图，AB
5、是O的直径，AB6，OCAB，OC5，BC与O交于点D，点E是的中点，EFBC，交OC的延长线于点F（1）求证：EF是O的切线；（2）CGOD，交AB于点G，求CG的长18古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的圆”，请研究如下美丽的圆，如图，中，点O在线段上，且，以O为圆心为半径的O交线段于点D，交线段的延长线于点E（1）求证：是O的切线；（2）研究过短中，小明同学发现，回答小明同学发现的结论是否正确？如果正确，给出证明；如果不正确，说明理由参考答案1（1）直线与圆相切，证明详见解析；（2）【分析】（1）连接OD，由OAOD知OADODA，由AD平分EAF知DAEDAO，据此可得D
6、AEADO，继而知ODAE，根据AEEF即可得证；（2）根据勾股定理得到，根据平行线分线段成比例定理和三角函数的定义即可得到结论【解析】解：（1）直线与圆相切理由如下：连接平分由，得点在圆上是圆的切线（2）由（1）可得，在中，由勾股定理得即，得，在中，【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，角平分线的定义，圆周角定理，解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键2（1）见解析；（2），【分析】（1）连接，先根据是的直径，D是半圆的中点，得出，再根据，得出，即可证明；（2）连接，先证明是等腰直角三角形，求出AD的长，再根据AB，BC的长求出AC，根据四边形是圆内接四边形，推出，证明，得出，即可求出答案
7、【解析】证明：（1）连接，是的直径，D是半圆的中点，是的切线；（2）连接，是的直径，又D是半圆的中点，是等腰直角三角形，在中，四边形是圆内接四边形，由（1）知，即，解得【点评】本题考查了切线的判定，圆的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，灵活运用知识点是解题关键3（1）详见解析；（2）【分析】（1）连接，证出是等腰三角形，结合图形得出是的中位线，因为， ，证出即可得出是的切线；（2）由（1）可得，在中，由勾股定理求得BD的长度，证出，根据相似三角形对应边成比例可求得DE的长【解析】（1）证明：连接， 为的直径，又，是等腰三角形，又是边上的中线， 是的中位线， 又，是的切线 （2）由
8、（1）知，是边上的中线，得的半径为5，在中，在和中，即，解得【点评】本题考查了圆的切线判定定理以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握圆的切线判定以及相似三角形的判定是解题的关键4(1)见解析；(2) 【分析】(1)连接OF和AF，证明GFE=AGD，进而可证明OFE=90后即可求解；(2)先由AB=CD=4，BD=3，在RtBCD中结合勾股定理求出BC，再证明ABFCBD，由对应边成比例求出BF的长，最后用BC减去BF就是所求的CF的长【解析】解：(1)连接OF和AF，设AF与DC相交于点G，如下图所示：OA=OF，A=OFA，AB为圆O的直径，AFB=AFC=90，C+CGF=90，GFE+E
9、FC=90又EC=EF，C=EFC，CGF=GFE,又CGF=AGD，GFE=AGDOFE=OFA+GFE=A+AGD=180-ADG=180-90=90，OFEF，EF是圆O的切线(2)如下图所示，D是OA的中点，且AB=4，DO=1，BD=BO+DO=3，又AB=CD=4，在RtBCD中，BC=BD+CD=3+4=5，BC=5，又BDC=BFA=90，且B=B，ABFCBD，代入数据后得：，故答案为：【点评】本题考查了圆周角定理、圆的切线的判定定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，熟练掌握其定理及性质是解决此类题的关键5（1）见解析；（2）10【解析】（1）连接，
10、由是直径可得到，然后通过题中角的关系可推出，即可得证；（2）通过，得到，然后设，列分式方程即可解得，从而得到的长【解析】（1）证明：如图，连接，是直径，即又是的半径，是的切线（2）解：，设，解得经检验是所列分式方程的解【分析】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，熟练掌握切线的判定方法是解题的关键6（1）等腰直角三角形，理由见解析（2）见解析【分析】（1）根据题目中已知信息，可知，有，所以，都是等腰直角三角形，得到，即可得出是等腰直角三角形；（2）通过，可以等到，有，又因为，可以知道E与点A重合，再证明即可【解析】解：（1）是等腰直角三角形理由如下：，都是等腰直角三角形是等腰直角三角形
11、（2）证明：点E与点A重合以下有多种方法：方法一是的半径与相切于点A方法二，又G，A，O三点共线与相切于点A方法三：如图与之间距离：延长交的延长线交于点，与相切于点又点与点重合与相切于点【点评】（1）证明三角形形状需要找到边的关系以及角的大小，通过题目中的已知信息先判断出特殊三角形，再找到所求三角形与特殊三角形边与角的关系是解题的关键；（2）本题主要考查了全等三角形的性质以及如何求切线，通过三角形全等得到角的大小，从而可以证明点E与点A重合，再证明即可得与相切于点，其中证明点E与点A重合是解题的关键7（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）利用为直径，得出，利用得出，从而得出，进而得出结论；（
12、2）证出即可得出结论【解析】证明：（1）为直径，在中，又，即,，又为的直径，是的切线；（2）平分，又，又，【点评】本题考查了切线的判定，同弧所对的圆周角相等，三角形相似的判定和性质；证明切线有两种情况（1）有交点，作半径，证垂直；（2）无交点，作垂直，证半径8（1）证明见解析；（2）【分析】（1）连接OA，由圆的性质可得OA=OB，即OBA=OAB；再由AB=AC，即OBA=C，再结合，可得OAB=CAD,然后由BAD=90说明OAC=90即可完成证明；（2）根据等腰三角形的性质和圆的性质即可得到结论【解析】（1）证明：如图：连接OAOA=OBOBA=OABAB=ACOBA=COAB=COAB
13、=CADBD是直径BAD=90OAC=BAD-OAB+CAD=90是的切线；（2）解：由（1）可知AC是O的切线，OAC=90，AOD=2B，AB=AC，B=C，AOC+C=2B+C=3C=90，B=C=30，在RtABD中，O的半径为【点评】本题考查了圆的切线的判定，证得OAC=90是解答本题的关键9（1）见解析；（2）【分析】（1）欲证明MN为O的切线，只要证明OMMN（2）连接，分别求出BD=5，BE=，根据求解即可【解析】（1）证明：连接，在中，是斜边上的中线， ，是的切线（2）连接，易知，由（1）可知，故M为的中点，在中，在中，【点评】本题考查切线的判定和性质，等腰三角形的性质，解直
14、角三角形等知识；熟练掌握切线的判定定理是解题的关键10（1）见解析；（2）【分析】（1）证明：连接AE，根据平行四边形的性质得到AD=BC，ADBC，求得DAE=AEB，根据全等三角形的性质得到DEA=CAB，得到DEAE，于是得到结论；（2）根据已知条件得到ABE是等边三角形，求得AE=BE，EAB=60，得到CAE=ACB，得到CE=BE，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论【解析】（1）证明：连接 四边形是平行四边形，是的半径与相切（2）解：，是等边三角形，在中，【点评】本题考查了切线的判定和性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，扇形的面积的计算，熟练
15、掌握切线的判定定理是解题的关键11（1）见解析；（2）3【分析】（1）连接OD，根据已知条件得到BOD18060，根据等腰三角形的性质得到ADODAB30，得到EDA60，求得ODDE，于是得到结论；（2）连接BD，根据圆周角定理得到ADB90，解直角三角形即可得到结论【解析】（1）证明：连接OD，BOD18060，EADDABBOD30，OAOD，ADODAB30，DEAC，E90，EAD+EDA90，EDA60，EDOEDA+ADO90，ODDE，DE是O的切线；（2）解：连接BD，AB为O的直径，ADB90，DAB30，AB6，BDAB3，AD3【点评】本题考查了切线的证明，及线段长度的
16、计算，熟知圆的性质及切线的证明方法，以及含30角的直角三角形的特点是解题的关键12（1）见解析；（2）【分析】（1）如图，连接OA，由圆周角定理可得BAD=90=OAB+OAD，由等腰三角形的性质可得OAB=CAD=ABC，可得OAC=90，可得结论；（2）由勾股定理可求OA=OD=3，由面积法可求AE的长，由勾股定理可求AB的长【解析】（1）直线AC是O的切线，理由如下：如图，连接OA，BD为O的直径，BAD=90=OAB+OAD，OA=OB，OAB=ABC，又CAD=ABC，OAB=CAD=ABC，OAD+CAD=90=OAC，ACOA，又OA是半径，直线AC是O的切线；（2）过点A作AE
17、BD于E，OC2=AC2+AO2，(OA+2)2=16+OA2，OA=3，OC=5，BC=8，SOAC=OAAC=OCAE，AE=，OE=，BE=BO+OE=，AB=【点评】本题考查了切线的判定，圆的有关知识，勾股定理等知识，求圆的半径是本题的关键13（1）见解析；（2）3【分析】（1）过O作OHAB于H，根据角平分线的性质得到OHOC，根据切线的判定定理即可得到结论；（2）设O的半径为3x，则OHODOC3x，再解直角三角形即可得到结论【解析】（1）证明：过O作OHAB于H，ACB90，OCBC，BO为ABC的角平分线，OHAB，OHOC，即OH为O的半径，OHAB，AB为O的切线；（2）解
18、：设O的半径为3x，则OHODOC3x，在RtAOH中，tanA，AH4x，AO5x，AD2，AOOD+AD3x+2，3x+25x，x1，OA3x+25，OHODOC3x3，ACOA+OC5+38，在RtABC中，tanA，BCACtanA86，OB【点评】本题考查切线的判定、解直角三角形等内容，熟练运用圆中的性质定理是解题的关键14（1）见解析；（2）【分析】（1）证明：连接OB，根据平行四边形的性质得到ABCD60，求得BAC30，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质得到ABOOAB30，于是得到结论；（2）根据平行四边形的性质得到BCAD2，过O作OHAM于H，则四边形OBCH是矩形
19、，解直角三角形即可得到结论【解析】（1）证明：连接OB，四边形ABCD是平行四边形，ABCD60，ACBC，ACB90，BAC30，BEAB，EBAE，ABCE+BAE60，EBAE30，OAOB，ABOOAB30，OBC30+6090，OBCE，EC是O的切线；（2）四边形ABCD是平行四边形，BCAD2，过O作OHAM于H，则四边形OBCH是矩形，OHBC2，OA4，AOM2AOH60，的长度【点评】本题考查了切线的判定，锐角三角函数，平行四边形的性质，矩形的判定和性质，弧长的计算，正确的作出辅助线是解题的关键15（1）见解析；（2）的直径的长度为【分析】(1)先用勾股定理的逆定理证明AE
20、M为直角三角形，且AEM=90，再根据MNBC即可证明ABC=90进而求解；(2)连接BM，由AB是直径得到AMB=90，再分别在RtAMB和RtAEM中使用A的余弦即可求解【解析】解：(1)，为的直径，是的切线(2)如图，连接为的直径，又，即，的直径的长度为故答案为：【点评】本题考查了圆中切线的证明，圆周角定理，直角三角形中锐角的三角函数的求法，熟练掌握切线的性质和判定及锐角三角函数的定义是解决此类题的关键16（1）详见解析；（2）【分析】（1）连接，根据圆的半径相等得到OCD=ODC，因为AC是直径，所以ADC=90，根据EDA=ACD，得到ADO+ODC=EDA+ADO，从而可得EDO=
21、90，所以结论得证；（2）解法一：过点作于点，由圆周角定理得到，根据勾股定理得到AC=10，根据已知得到，利用正弦函数求出AB的值，利用圆周角定理得到，从而利用正弦函数得到AF的值，所以得到DF的值；解法二：过点作交延长线于点，所以，根据圆周角定理得到，可推出，再根据圆内接四边形的性质得到，因为AB=CB，利用ASA证明，从而得到，可得到DH的长，根据勾股定理可求出BD的长【解析】（1）证明：连接，如下图,，是直径，是半径，直线是的切线 （2）解：解法一：过点作于点，如下图，则，是直径，在中，在中，在中，在中，解法二：过点作交延长线于点，如下图,，是直径，四边形内接于，在ABD和CBH中，（A
22、SA），在中，即，【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，正弦函数等知识.解题的关键是正确作出辅助线17（1）见解析；（2）【分析】（1）由垂径定理可得OEBD，BHDH，由平行线的性质可得OEEF，可证EF是O的切线；（2）由勾股定理可求BC的长，由面积法可求OH的长，由锐角三角函数可求BH的长，由平行线分线段成比例可求解【解析】证明：（1）连接OE，交BD于H，点E是的中点，OE是半径，OEBD，BHDH，EFBC，OEEF，又OE是半径，EF是O的切线；（2）AB是O的直径，AB6，OCAB，OB3，BC，SOBCOBOCBCOH，OH，cosOBC，BH，BD2BH，CGOD，CG【点评】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理及切线的判定与性质18（1）见解析；（2）结论成立，见解析【分析】（1）过点O作于H，由勾股定理可求的长，由面积法可求，即可求结论（2）连接，通过证明，可得，由，可得结论【解析】解：（1）如图1，过点O作于H，且，是的切线；（2）结论成立，理由如下：连接，是直径，又，故小明同学发现的结论是正确的【点评】本题考查了相似三角形的判定，切线的判定与性质，勾股定理，圆的有关知识证明是解题的关键