1、2023年北京市中考数学冲刺专题练4二次函数一选择题（共14小题）1（2023海淀区校级二模）如图，用绳子围成周长为210m的矩形，记矩形的一边长为xm，它的邻边长为ym，矩形的面积为Sm2当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（）A一次函数关系，二次函数关系B反比例函数关系，二次函数关系C一次函数关系，反比例函数关系D反比例函数关系，一次函数关系2（2023丰台区校级模拟）如图，正方形ABCD和O的周长之和为20cm，设圆的半径为xcm，正方形的边长为ycm，阴影部分的面积为Scm2当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S
2、与x满足的函数关系分别是（）A一次函数关系，一次函数关系B一次函数关系，二次函数关系C二次函数关系，二次函数关系D二次函数关系，一次函数关系3（2023东城区校级模拟）二次函数y2（x3）2+1的图象的顶点坐标是（）A（2，3）B（2，1）C（3，1）D（3，1）4（2023东城区校级模拟）如图，用绳子围成周长为10m的矩形，记矩形的一边长为xm，它的邻边长为ym，矩形的面积为Sm2当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（）A一次函数关系，二次函数关系B正比例函数关系，二次函数关系C二次函数关系，正比例函数关系D二次函数关系，一次函数关系5（20
3、23东城区校级模拟）已知二次函数yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，关于a，c的符号判断正确的是（）Aa0，c0Ba0，c0Ca0，c0Da0，c06（2023东城区校级模拟）如图，一个边长为8cm的正方形，把它的边延长xcm得到一个新的正方形，周长增加了y1cm，面积增加了y2cm2当x在一定范围内变化时，y1和y2都随x的变化而变化，则y1与x，y2与x满足的函数关系分别是（）A一次函数关系，二次函数关系B反比例函数关系，二次函数关系C一次函数关系，一次函数关系D反比例函数关系，一次函数关系7（2023丰台区校级模拟）抛物线y（x1）2+2的顶点坐标是（）A（1，2）B（1，2）C（
4、1，2）D（1，2）8（2023海淀区校级模拟）抛物线y（x2）2+3的对称轴方程是（）Ax2Bx2Cx3Dx39（2023东城区校级模拟）根据下列表格中二次函数yax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，判断方程ax2+bx+c0（a0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（） x6.176.186.196.20yax2+bx+c0.030.010.020.04A6x6.17B6.17x6.18C6.18x6.19D6.19x6.2010（2022密云区二模）一辆经营长途运输的货车在高速公路某加油站加满油后匀速行驶，下表记录了该货车加满油之后油箱内剩余油量y（升）与行驶时间x（小时）之间
5、的相关对应数据，则y与x满足的函数关系是（）行驶时间x（小时）0122.5剩余油量y（升）100806050A正比例函数关系B一次函数关系C反比例函数关系D二次函数关系11（2022朝阳区二模）用绳子围成周长为10m的正x边形记正x边形的边长为ym，内角和为S当x在一定范围内变化时，y和S都随着x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（）A一次函数关系，二次函数关系B一次函数关系，反比例函数关系C反比例函数关系，二次函数关系D反比例函数关系，一次函数关系12（2022海淀区校级模拟）右图是一种古代计时装置（称为“漏刻”）的示意图：水从上面的贮水壶慢慢漏入下方的受水壶中，假设漏水量是
6、均匀的，受水壶中的浮子和标尺就会均匀升高，那么，就可以根据标尺上的刻度来反映浮子的高度从而计时现向贮水壶内注水，则在受水壶注满水之前，浮子的高度与对应注水时间满足的函数关系是（）A一次函数B二次函数C反比例函数D无法确定13（2022石景山区一模）已知二次函数yax2+bx+c的y与x的部分对应值如表：x1012y01.521.5根据表格中的信息，得到了如下的结论：二次函数yax2+bx+c可改写为ya（x1）22的形式二次函数yax2+bx+c的图象开口向下关于x的一元二次方程ax2+bx+c1.5的两个根为0或2若y0，则x3其中所有正确的结论为（）ABCD14（2022东城区校级模拟）某
7、市煤气公司要在地下修建一个容积为104立方米的圆柱形煤气储存室记储存室的底面半径为r米，高为h米，底面积为S平方米，当h，r在一定范围内变化时，S随h，r的变化而变化，则S与h，S与r满足的函数关系分别是（）A一次函数关系，二次函数关系B反比例函数关系，二次函数关系C一次函数关系，反比例函数关系D反比例函数关系，一次函数关系二填空题（共6小题）15（2023东城区校级模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2+bx+c的对称轴为直线x2，与x轴的一个交点为（1，0），则与x轴的另一个交点为 16（2023丰台区校级模拟）把抛物线y=12x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位
8、长度，得到的抛物线的解析式为 17（2023丰台区校级模拟）二次函数yax2+bx的图象如图所示，则ab 0（填“”“”或“”）18（2022西城区二模）将抛物线y2x2向下平移b（b0）个单位长度后，所得新抛物线经过点（1，4），则b的值为 19（2022西城区校级模拟）若二次函数ymx2+（m3）x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，则m的取值范围是 20（2022门头沟区二模）已知y是以x为自变量的二次函数，且当x0时，y的最小值为1，写出一个满足上述条件的二次函数表达式 三解答题（共9小题）21（2023海淀区校级模拟）一小球M从斜坡OA上的点O处抛出，球的抛出路线是抛物线的
9、一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数y=12x刻画若小球到达最高点的坐标为（4，8）（1）求抛物线的函数解析式（不写自变量x的取值范围）；（2）若要在斜坡OA上的点B处竖直立一个高4米的广告牌，点B与抛出点O的水平距离为2，请判断小球M能否飞过这个广告牌？通过计算说明理由；（3）直接写出小球M在飞行的过程中离斜坡OA的最大高度22（2023海淀区校级模拟）“城市轨道交通是现代大城市交通的发展方向，发展轨道交通是解决大城市病的有效途径”如图1，北京地铁（BeijingSubway）是中华人民共和国北京市的城市轨道交通系统，规划于1953年，始建于1965年，运营于1969年，
10、是中国第一个地铁系统小华了解到列车从慈寿寺站开往花园桥站时，在距离停车线256米处开始减速他想知道列车从减速开始，经过多少秒停下来，以及最后一秒滑行的距离为了解决这个问题，小华通过建立函数模型来描述列车离停车线的距离s（米）与滑行时间t（秒）的函数关系，再应用该函数解决相应的问题（1）建立模型收集数据r（秒）04812162024s（米）256196144100643616建立平面直角坐标系为了观察s（米）与t（秒）的关系，建立如图2所示的平面直角坐标系描点连线请在平面直角坐标系中将表中未描出的点补充完整，并用平滑的曲线依次连接选择函数模型观察这条曲线的形状，它可能是 函数的图象求函数解析式解
11、：设sat2+bt+c（a0），因为t0时，s256，所以c256，则sat2+bt+256请根据表格中的数据，求a，b的值验证：把a，b的值代入sat2+bt+256中，并将其余几对值代入求出的解析式，发现它们都满足该函数解析式（2）应用模型列车从减速开始经过 秒，列车停止；最后一秒钟，列车滑行的距离为 米23（2023东城区校级模拟）已知二次函数yax24ax+3（a0）（1）求此二次函数图象的对称轴；（2）设此二次函数的图象与x轴交于不重合两点M（x1，0）N（x2，0）（其中x1x2），且满足x232x1；直接写出x1+x2的值；求a的取值范围24（2023海淀区校级模拟）在平面直角坐
12、标系xOy中，点（x0，m），（a1，n），是抛物线yax22a2x上的点，x0a1（1）当x02，mn时，求a和n的值；（2）若4x03时，mn0，求a的取值范围25（2023东城区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，点A（3，m），B（x0，n）在抛物线yx2+（2a2）xa2+2a上（1）求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；（2）若存在1x01，使得mn，求a的取值范围26（2023丰台区校级模拟）跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一如图，运动员通过助滑道后在点A处起跳经空中飞行后落在着陆坡BC上的点P处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分这里OA表示起跳点A到地面OB的距离，OC
13、表示着陆坡BC的高度，OB表示着陆坡底端B到点O的水平距离建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y=-116x2+bx+c已知OA70m，OC60m，落点P的水平距离是40m，竖直高度是30m（1）点A的坐标是 ，点P的坐标是 ；（2）求满足的函数关系y=-116x2+bx+c；（3）运动员在空中飞行过程中，当他与着陆坡BC竖直方向上的距离达到最大时，直接写出此时的水平距离27（2023丰台区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2+bx+1过点（2，1）（1）求b（用含a的式子表示）；（2）抛物线过
14、点M（2，m），N（1，n），P（3，p），判断：（m1）（n1） 0（填“”“”或“”）；若M，N，P恰有两个点在x轴上方，求a的取值范围28（2022东城区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线yx2+2mx（m是常数）（1）直接写出该抛物线的对称轴的表达式（用含有m的代数式表示）；（2）A（a，y1），B（a+3，y2）都在该抛物线上；若当a0时，y1y2成立，求m的取值范围；对于任意满足0m2的m值，都有y1y2成立，求a的取值范围29（2022海淀区校级模拟）如图，排球运动场的场地长18m，球网高度2.24m，球网在场地中央，距离球场左、右边界均为9m一名球员在场地左侧边界练
15、习发球，排球的飞行路线可以看作是对称轴垂直于水平面的抛物线的一部分在球运行时，将球与场地左边界的水平距离记为x（米），与地面的高度记为y（米），经多次测试后，得到如下数据：x（米）0124678y（米）22.152.282.442.52.492.44（1）在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；（2）击球点的高度为 米，排球飞行过程中可达到的最大高度为 米；（3）求出y与x的函数解析式；（4）判断排球能否过球网，并说明理由参考答案解析一选择题（共14小题）1（2023海淀区校级二模）如图，用绳子围成周长为210m的矩形，记矩形的一边长为xm，它的邻边长为ym，矩
16、形的面积为Sm2当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（）A一次函数关系，二次函数关系B反比例函数关系，二次函数关系C一次函数关系，反比例函数关系D反比例函数关系，一次函数关系【解答】解：由题意得：2（x+y）210，整理得：yx+105（0x105），Sxyx（x+105）x2+105x，（0x105），y与x成一次函数的关系，S与x成二次函数的关系；故选：A2（2023丰台区校级模拟）如图，正方形ABCD和O的周长之和为20cm，设圆的半径为xcm，正方形的边长为ycm，阴影部分的面积为Scm2当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化
17、，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（）A一次函数关系，一次函数关系B一次函数关系，二次函数关系C二次函数关系，二次函数关系D二次函数关系，一次函数关系【解答】解：由题意得，4y+2x20，2y+x10，y=10-x2，即y与x是一次函数关系，Sy2x2，即满足二次函数关系，故选：B3（2023东城区校级模拟）二次函数y2（x3）2+1的图象的顶点坐标是（）A（2，3）B（2，1）C（3，1）D（3，1）【解答】解：根据二次函数的顶点式方程y2（x3）2+1知，该函数的顶点坐标是：（3，1）故选：D4（2023东城区校级模拟）如图，用绳子围成周长为10m的矩形，记矩形的一边长为xm，它的邻边
18、长为ym，矩形的面积为Sm2当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（）A一次函数关系，二次函数关系B正比例函数关系，二次函数关系C二次函数关系，正比例函数关系D二次函数关系，一次函数关系【解答】解：由题意得，2（x+y）10，x+y5，y5x，即y与x是一次函数关系，Sxyx（5x）x2+5x，矩形面积满足的函数关系为Sx2+5x，即满足二次函数关系，故选：A5（2023东城区校级模拟）已知二次函数yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，关于a，c的符号判断正确的是（）Aa0，c0Ba0，c0Ca0，c0Da0，c0【解答】解：抛物线开口向上，
19、a0，抛物线与y轴交点在x轴下方，c0，故选：B6（2023东城区校级模拟）如图，一个边长为8cm的正方形，把它的边延长xcm得到一个新的正方形，周长增加了y1cm，面积增加了y2cm2当x在一定范围内变化时，y1和y2都随x的变化而变化，则y1与x，y2与x满足的函数关系分别是（）A一次函数关系，二次函数关系B反比例函数关系，二次函数关系C一次函数关系，一次函数关系D反比例函数关系，一次函数关系【解答】解：由题意得：y14（8+x）484x，此函数是一次函数；y2（8+x）282x2+16x，此函数是二次函数，故选：A7（2023丰台区校级模拟）抛物线y（x1）2+2的顶点坐标是（）A（1，
20、2）B（1，2）C（1，2）D（1，2）【解答】解：y（x1）2+2的顶点坐标为（1，2）故选：A8（2023海淀区校级模拟）抛物线y（x2）2+3的对称轴方程是（）Ax2Bx2Cx3Dx3【解答】解：抛物线的解析式为：y（x2）2+3，抛物线的对称轴方程为：x2故选：A9（2023东城区校级模拟）根据下列表格中二次函数yax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，判断方程ax2+bx+c0（a0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（） x6.176.186.196.20yax2+bx+c0.030.010.020.04A6x6.17B6.17x6.18C6.18x6.19D6.19x6.
21、20【解答】解：由表格中的数据看出0.01和0.02更接近于0，故x应取对应的范围故选：C10（2022密云区二模）一辆经营长途运输的货车在高速公路某加油站加满油后匀速行驶，下表记录了该货车加满油之后油箱内剩余油量y（升）与行驶时间x（小时）之间的相关对应数据，则y与x满足的函数关系是（）行驶时间x（小时）0122.5剩余油量y（升）100806050A正比例函数关系B一次函数关系C反比例函数关系D二次函数关系【解答】解：从表格可看出，货车每行驶一小时，耗油量为20升，即余油量y与行驶时间x成一次函数关系故选：B11（2022朝阳区二模）用绳子围成周长为10m的正x边形记正x边形的边长为ym，
22、内角和为S当x在一定范围内变化时，y和S都随着x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（）A一次函数关系，二次函数关系B一次函数关系，反比例函数关系C反比例函数关系，二次函数关系D反比例函数关系，一次函数关系【解答】解：正多边形的周长是10m，边数是x，边长是ym，内角和为S，y=10x，S（x2）180180x360，y与x满足的函数关系是反比例函数；S与x满足的函数关系是一次函数故选：D12（2022海淀区校级模拟）右图是一种古代计时装置（称为“漏刻”）的示意图：水从上面的贮水壶慢慢漏入下方的受水壶中，假设漏水量是均匀的，受水壶中的浮子和标尺就会均匀升高，那么，就可以根据标尺上
23、的刻度来反映浮子的高度从而计时现向贮水壶内注水，则在受水壶注满水之前，浮子的高度与对应注水时间满足的函数关系是（）A一次函数B二次函数C反比例函数D无法确定【解答】解：漏水量是均匀的，受水壶中的浮子和标尺就会均匀升高，浮子的高度与对应注水时间成正比，浮子的高度与对应注水时间满足的函数关系是一次函数故选A13（2022石景山区一模）已知二次函数yax2+bx+c的y与x的部分对应值如表：x1012y01.521.5根据表格中的信息，得到了如下的结论：二次函数yax2+bx+c可改写为ya（x1）22的形式二次函数yax2+bx+c的图象开口向下关于x的一元二次方程ax2+bx+c1.5的两个根为
24、0或2若y0，则x3其中所有正确的结论为（）ABCD【解答】解：x1和x3时的函数值相同，都是1，抛物线的对称轴为直线x=0+22=1，当x1时，y2抛物线的顶点为（1，2），二次函数yax2+bx+c可改写为ya（x1）22的形式，所以正确；由表格可知x1时函数的值最小，抛物线的开口向上，故错误；x0与x2关于对称轴对称，x0时，y1.5，x2时，y1.5，关于x的一元二次方程ax2+bx+c1.5的两个根为0或2，故正确；抛物线的开口向上，对称轴为直线x1，x1时，y0，x3时，y0，若y0，则x3或x1，故错误；综上所述：其中正确的结论有故选：D14（2022东城区校级模拟）某市煤气公司
25、要在地下修建一个容积为104立方米的圆柱形煤气储存室记储存室的底面半径为r米，高为h米，底面积为S平方米，当h，r在一定范围内变化时，S随h，r的变化而变化，则S与h，S与r满足的函数关系分别是（）A一次函数关系，二次函数关系B反比例函数关系，二次函数关系C一次函数关系，反比例函数关系D反比例函数关系，一次函数关系【解答】解：根据题意得：S=104h，Sr2，S与h是反比例关系，S与r是二次函数关系，故选：B二填空题（共6小题）15（2023东城区校级模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2+bx+c的对称轴为直线x2，与x轴的一个交点为（1，0），则与x轴的另一个交点为 （3，0
26、）【解答】解：抛物线yax2+bx+c的对称轴为直线x2，与x轴的一个交点为（1，0），抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），故答案为：（3，0）16（2023丰台区校级模拟）把抛物线y=12x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为 y=12x2+x-32【解答】解：把抛物线y=12x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为：y=12（x+1）2+13，即y=12x2+x-32故答案为：y=12x2+x-3217（2023丰台区校级模拟）二次函数yax2+bx的图象如图所示，则ab0（填“”“”或“”）【解答】解：由图象可知
27、：a0，-b2a0，b0，ab0故答案为：18（2022西城区二模）将抛物线y2x2向下平移b（b0）个单位长度后，所得新抛物线经过点（1，4），则b的值为 6【解答】解：将抛物线y2x2向下平移b（b0）个单位长度后，所得新抛物线为y2x2b，新抛物线经过点（1，4），42b，b6，故答案为：619（2022西城区校级模拟）若二次函数ymx2+（m3）x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，则m的取值范围是 m1且m0【解答】解：当m0时，x0时，y1，该抛物线的开口方向向下，且过（0，1），二次函数ymx2+（m3）x+1的图象与x轴的交点一定有一个在原点的右侧，故符合题意；当m0
28、时，根据题意得：(m-3)2-4m0-m-32m0，0m1，综上m的取值范围为：m1或m0故答案为：m1且m020（2022门头沟区二模）已知y是以x为自变量的二次函数，且当x0时，y的最小值为1，写出一个满足上述条件的二次函数表达式 yx21【解答】解：y是以x为自变量的二次函数，且当x0时，y的最小值为1，二次函数对称轴是y轴，且顶点坐标为：（0，1），故满足上述条件的二次函数表达式可以为：yx21故答案为：yx21三解答题（共9小题）21（2023海淀区校级模拟）一小球M从斜坡OA上的点O处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数y=12x刻画
29、若小球到达最高点的坐标为（4，8）（1）求抛物线的函数解析式（不写自变量x的取值范围）；（2）若要在斜坡OA上的点B处竖直立一个高4米的广告牌，点B与抛出点O的水平距离为2，请判断小球M能否飞过这个广告牌？通过计算说明理由；（3）直接写出小球M在飞行的过程中离斜坡OA的最大高度【解答】解：（1）小球到达的最高的点坐标为（4，8），设抛物线的表达式为ya（x4）2+8，把（0，0）代入得，0a（04）2+8，解得：a=-12，抛物线的表达式为y=-12（x4）2+8；（2）小球M能飞过这个广告牌理由如下：把x2分别代y=12x和y=-12（x4）2+8，得到y1=12x1，y2=-12（x4）2
30、+86，615，54，小球M能飞过这个广告牌；（3）小球M在飞行的过程中离斜坡OA的高度h=-12（x4）2+8-12x=-12（x-72）2+498，小球M在飞行的过程中离斜坡OA的最大高度为 49822（2023海淀区校级模拟）“城市轨道交通是现代大城市交通的发展方向，发展轨道交通是解决大城市病的有效途径”如图1，北京地铁（BeijingSubway）是中华人民共和国北京市的城市轨道交通系统，规划于1953年，始建于1965年，运营于1969年，是中国第一个地铁系统小华了解到列车从慈寿寺站开往花园桥站时，在距离停车线256米处开始减速他想知道列车从减速开始，经过多少秒停下来，以及最后一秒滑
31、行的距离为了解决这个问题，小华通过建立函数模型来描述列车离停车线的距离s（米）与滑行时间t（秒）的函数关系，再应用该函数解决相应的问题（1）建立模型收集数据r（秒）04812162024s（米）256196144100643616建立平面直角坐标系为了观察s（米）与t（秒）的关系，建立如图2所示的平面直角坐标系描点连线请在平面直角坐标系中将表中未描出的点补充完整，并用平滑的曲线依次连接选择函数模型观察这条曲线的形状，它可能是 二次函数的图象求函数解析式解：设sat2+bt+c（a0），因为t0时，s256，所以c256，则sat2+bt+256请根据表格中的数据，求a，b的值验证：把a，b的值
32、代入sat2+bt+256中，并将其余几对值代入求出的解析式，发现它们都满足该函数解析式（2）应用模型列车从减速开始经过 32秒，列车停止；最后一秒钟，列车滑行的距离为 14米【解答】解：（1）如图，可能是二次函数图象，故答案为：二次；设sat2+bt+c（a0），因为t0时，s256，所以c256，则sat2+bt+256把（4，196）和（8，144）代入可得，196=16a+4b+256144=64a+8b+256，解得：a=14，b16，s=14t216t+256，当t12时，s=141441612+256100，当t16时，s=142561616+25664，当t20时，s=1440
33、01620+25636，当t24时，s=145761624+25616，其余几组数值都在函数图象上，减速阶段列车离停车线的距离s（米）与减速时间t（秒）的函数关系式为s=14t216t+256；（2）应用模型：S=14t216t+256=14(t-32)2，当s0时，14(t-32)2=0，解得t32，当t31时，s=14，当t32时，s0，14-0=14（m）故答案为：32，1423（2023东城区校级模拟）已知二次函数yax24ax+3（a0）（1）求此二次函数图象的对称轴；（2）设此二次函数的图象与x轴交于不重合两点M（x1，0）N（x2，0）（其中x1x2），且满足x232x1；直接写
34、出x1+x2的值；求a的取值范围【解答】解：（1）二次函数图象的对称轴为：x=-4a2a=2，二次函数图象的对称轴为直线：x2（2）由根与系数的关系得：x1+x2=-4aa=4，x232x1，x2+2x13，x2+x1+x13，4+x13，x11，x25，若a0时，当x1时，ya+4a+30，即a-35，16a212a0，即a34或a0，a34，若a0时，当x1时，ya+4a+30，即a-35，16a212a0，即a34或a0，a0综上所述：a34或a024（2023海淀区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，点（x0，m），（a1，n），是抛物线yax22a2x上的点，x0a1（1）当x02，
35、mn时，求a和n的值；（2）若4x03时，mn0，求a的取值范围【解答】解：（1）抛物线yax22a2x，抛物线的对称轴为直线x=-2a22a=a，x02，mn，点（2，m），（a1，n）关于抛物线的对称轴对称，抛物线的对称轴为直线x=2+a-12=a，a1，抛物线为yx22x，把点（0，n）代入得n0（2）抛物线yax22a2x，抛物线的对称轴为直线x=-2a22a=a，当x0时，y0，抛物线经过原点，抛物线过点（2a，0），当抛物线开口向下时，则a0，4x03时，mn0，m0，n0，2a-3a-12a，解得-32a1；当抛物线开口向上时，则a0，4x03时，mn0，m0，n0，a10，解得
36、a1；故a的取值范围是-32a-1或a125（2023东城区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，点A（3，m），B（x0，n）在抛物线yx2+（2a2）xa2+2a上（1）求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；（2）若存在1x01，使得mn，求a的取值范围【解答】解：（1）抛物线的对称轴为：x=-2a-22(-1)=a-1，（2）点A（3，m），B（x0，n）在抛物线yx2+（2a2）xa2+2a，当x3时，m93（2a2）a2+2aa24a3，当x1时，y1+（2a2）a2+2aa2+4a3，当x1时，y1（2a2）a2+2aa2+1，存在1x01，使得mn，a24a3a2+4a3且a24a
37、3a2+1，解得：a1且a0，a026（2023丰台区校级模拟）跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一如图，运动员通过助滑道后在点A处起跳经空中飞行后落在着陆坡BC上的点P处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分这里OA表示起跳点A到地面OB的距离，OC表示着陆坡BC的高度，OB表示着陆坡底端B到点O的水平距离建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y=-116x2+bx+c已知OA70m，OC60m，落点P的水平距离是40m，竖直高度是30m（1）点A的坐标是 （0，70），点P的坐标是 （40，30）；（2）
38、求满足的函数关系y=-116x2+bx+c；（3）运动员在空中飞行过程中，当他与着陆坡BC竖直方向上的距离达到最大时，直接写出此时的水平距离【解答】解：（1）根据题意得，A（0，70），P（40，30），故答案为：（0，70），（40，30）；（2）把A（0，70），P（40，30）代入y=-116x2+bx+c得：c=70-1161600+40b+c=30，解得b=32c=70，所以二次函数的表达式为y=-116x2+32x+70；（3）如图，作MNy轴分别交抛物线和BC于M、N两点，OC60m，C（0，60），设线段BC的关系式为ykx+m，则m=6040k+m=30，解得：k=-34m=
39、60，所以线段BC的关系式为y=-34x+60，设M（a，-116a2+32a+70），则N（a，-34a+60），则MN=-116a2+32a+70+34a60=-116a2+94a+10=-116（a18）2+30.25，-1160，当x18时，MN有最大值，最大值为30.25，答：运动员到坡面BC竖直方向上的最大距离时水平距离是18m27（2023丰台区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2+bx+1过点（2，1）（1）求b（用含a的式子表示）；（2）抛物线过点M（2，m），N（1，n），P（3，p），判断：（m1）（n1）0（填“”“”或“”）；若M，N，P恰有两个点在x轴
40、上方，求a的取值范围【解答】解：（1）将（2，1）代入抛物线表达式得：14a+2b+1，解得：b2a；（2）由（1）得，抛物线的表达式为：yax22ax+1，则抛物线的对称轴为直线x1，将点M、N、P的坐标代入抛物线表达式得：m4a+4a+18a+1，na+1，p3a+1，（m1）（n1）8a（a）8a20，故答案为：；当a0时，由点M、N、P的坐标知，点N的函数值最小，则点M、P在x轴上方，即3a+10且a+10，解得：a1；当a0时，同理可得：点N、P在x轴上方，即3a+10且8a+10，解得：-13a-18；综上，-13a-18或a128（2022东城区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中
41、，已知抛物线yx2+2mx（m是常数）（1）直接写出该抛物线的对称轴的表达式（用含有m的代数式表示）；（2）A（a，y1），B（a+3，y2）都在该抛物线上；若当a0时，y1y2成立，求m的取值范围；对于任意满足0m2的m值，都有y1y2成立，求a的取值范围【解答】解：（1）y（xm）2+m2，对称轴是直线xm（2）当a0时，y10，y26m9，y1y2，6m90，m32，抛物线开口向下，对称轴是直线xm，y1y2，maa+3m，2m2a+3，0m2，02m4，2a+34，a1229（2022海淀区校级模拟）如图，排球运动场的场地长18m，球网高度2.24m，球网在场地中央，距离球场左、右边界均为9m一名球员在场地左侧边界练习发球，排球的飞行路线可以看作是对称轴垂直于水平面的抛物线的一部分在球运行时，将球与场地左边界的水平距