1、2023年中考数学高频考点突破：圆的切线的证明1如图，在等腰中，以为直径的与相交于点，过点作交的延长线于点，垂足为点(1)判断与的位置关系，并说明理由(2)若的半径，求的长2如图，是半圆O的直径，C为半圆O上的点（不与A，B重合），连接，的角平分线交半圆O于点D，过点D作的垂线，垂足为E，连接交于点F(1)求证：是半圆O的切线；(2)若，半圆O的半径为4，求的长3已知：如图，等腰的一腰为的直径，底边与交于点，过作于(1)求证：为的切线；(2)若，求的长4如图，在中，点是边上一点，以为直径的与交于点，连接并延长交的延长线于点，且(1)求证：为的切线；(2)若，求的半径的长5如图，四边形内接于，是
2、的直径，过点作的平行线交延长线于点，连接(1)求证：是的切线；(2)当t，时，求的长6如图，半径为3的与相交于点、，连结、，平分，(1)求证：与相切；(2)若，求弧的长（结果保留）7如图1所示，为的外接圆，为直径，、分别与相切于点D、C（）.E在线段上，连接并延长与直线相交于点P，B为中点.(1)证明：是的切线.(2)如图2，连接，求证：.8如图，为的直径，交于点E，(1)判断与的位置关系，并说明理由；(2)若，求的长9如图，在中，为的直径，点在上，为的中点，连接，并延长交于点连接，在的延长线上取一点，连接，使(1)求证：为的切线；(2)若，求的半径10如图，是的外接圆的直径，点在延长线上，且
3、满足(1)求证：是的切线；(2)若，求的长11如图，在中，是的平分线，是上一点，以为半径的经过点(1)求证：是切线；(2)若，求的长12如图，已知圆O是的外接圆，是圆O的直径，C是圆上的一点，D是延长线上的一点，交的延长线于点E，且平分(1)求证：是圆O的切线(2)若，求和的长13如图，直线交于、两点，是的直径，点为上一点，且平分，过作，垂足为(1)求证：为的切线；(2)若，求的长14如图，在中，以边为直径作交于点，过点作交于点，交的延长线于点(1)求证：是的切线；(2)若，且，求的长15如图，是的直径，点C在上，连接，且与相交于点E(1)求证：与相切；(2)若，求的值16如图，在中，平分交于
4、点E，点D在上，是的外接圆，交于点F(1)求证：是的切线；(2)若的半径为10，求17如图，PB为的切线，B为切点，过B作OP的垂线BA，垂足为C，交于点A，连接PA、AO，并延长AO交于点E，与PB的延长线交于点D(1)求证：PA是的切线；(2)若，且，求PA的长和的值18如图，在中，点在上，以点为圆心，长为半径的圆与、分别交于点、，且(1)求证：是的切线；(2)若，求的长参考答案1(1)与相切，见解析(2)【分析】（1）连接，证明，由，可得结论；（2）根据题意得到，即可得到，由得到，根据相似三角形的性质即可得到结论【解析】（1）解：与相切，理由：连接，在上，是的切线；（2）解：，【点评】本
5、题考查了直线与圆的位置关系，等腰三角形的性质、解直角三角形以及三角形相似的判定和性质当题中已有垂直时，证直线为圆的切线，通常选用平行来进行证明2(1)见解析(2)【分析】（1）连接，根据角平分线与等腰三角形可得，即可得切线（2）连接，可得，列出比例式可求，在根据勾股定理即可求得【解析】（1）解：如图，连接，平分，是半圆O的切线（2）解：如图，连接，是半圆O的直径，平分，在中，【点评】本题考查了切线的判定，相关知识点有：相似三角形的性质与判定、等腰三角形的判定、平行线的判定、勾股定理等，辅助线的补充是解题关键3(1)见解析(2)【分析】（1）连接，根据三角形中位线定理得到，进而得出，根据切线的判
6、定定理证明结论；（2）根据圆周角定理得到，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式计算，得到答案【解析】（1）连接，为半径为的切线（2）连结为的直径，即，根据勾股定理，可得【点评】本题考查的是切线的判定定理、圆周角定理、等腰三角形的判定定理、勾股定理、三角形的面积计算，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键4(1)见解析(2)【分析】（1）连接，证明，根据，即可证明，即为的切线；（2）连接，证明，根据相似三角形的性质得出，进而即可求解【解析】（1）证明：如图，连接，为半径，为的切线；（2）解：如图，连接，是直径，又，的半径【点评】本题考查了切线的判定，相似三角形的性质与判
7、定，已知正切求边长，综合运用以上知识是解题的关键5(1)见解析(2)【分析】（1）连接，根据直径所对的圆周角是直角得出，根据圆周角定理得：，进而得出，则，得出，即可得证；（2）由，得出，根据切线的性质得出，进而在中，勾股定理即可求解【解析】（1）证明：如图，连接，是的直径，由圆周角定理得：，是的半径，是的切线；（2）解：，是的切线， ，即，【点评】本题考查了切线的性质与判定，圆周角定理，已知正切求边长，勾股定理，综合运用以上知识是解题的关键6(1)见解析(2)【分析】（1）连接，证明即可；（2）连接，先求出，再利用弧长公式计算即可【解析】（1）连接平分半径与相切（2）连接，弧的长【点评】本题考
8、查与圆有关的计算及圆的性质，解题的关键是掌握弧长公式及圆的切线的判定7(1)见解析(2)见解析【分析】（1）连接，根据直角三角形斜边上的中线的性质以及等边对等角得出，进而根据为切线， ，得出，即可得证；（2）根据、分别与相切于点D、E、C，根据切线长定理得出，则，即可得出，进而即可得证【解析】（1）证明：连接，为直径，.在中，B为中点，又为切线，.即，是的切线.（2）证明：、分别与相切于点D、E、C， ， ，；【点评】本题考查了切线的性质与切线长定理，掌握切线的判定方法以及切线长定理是解题的关键8(1)与O相切，见解析(2)8【分析】（1）由可得，结合可得，即，然后根据切线的判定定理即可解答；
9、（2）先根据圆周角定理及中位线的性质说明，然后根据三角函数的定义即可解答【解析】（1）解：与相切，理由如下：，又，为的直径，是的切线（2）解：如图：连接，为的直径，即，解得：【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系、垂径定理和、三角函数的定义等知识点，正确地作出辅助线、构造直角三角形是解题的关键9(1)见解析(2)3【分析】（1）连接，由圆周角定理可得，由等弧对等角可得，再进行等量代换可得便可证明；（2）连接，由圆周角定理可得，于是，由可得，再代入求值即可【解析】（1）如图，连接，是圆的直径，则，为的中点，则，是的半径，是的切线；（2）如图，连接，是圆的直径，则，又，则，的半径为【点评】本题考
10、查了圆周角定理，切线的判定，相似三角形的判定和性质；正确作出辅助线是解题关键10(1)见解析(2)6【分析】（1）先判断出，进而判断出，即可得出结论；（2）先证明，进而判断出，得出比例式即可求解【解析】（1）证明是的直径，是的切线；（2），【点评】此题主要考查了圆的切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，判断出是解本题的关键11(1)见解析(2)【分析】（1）连接，根据圆周角定理和角平分线平分角，易证，得到，得到，从而得到，即可得出结论；（2）过点作，可得，利用所对的直角边是斜边的一半，以及勾股定理，求出的长，进而求出的长，利用所对的直角边是斜边的一半，求出的长，进而求出的长，再用勾股
11、定理求出即可【解析】（1）解：连接，,，是的平分线，是切线；（2）解：过点作，交于点，是的平分线，或（舍掉），【点评】本题考查切线的判定，角平分线的性质，含的直角三角形以及勾股定理熟练掌握切线的判定方法，角平分线上的点到角两边的距离相等，是解题的关键12(1)见解析(2)，【分析】（1）要证是的切线，只要连接，再证即可（2）已知两边长，求其它边的长，可以用三角形相似，对应边成比例来求【解析】（1）证明：如图，连接，平分，；又在圆中，是的切线；（2）解：，是圆O的直径，又，由勾股定理得： 【点评】本题考查了切线的判定、相似三角形的性质和勾股定理的运用解决问题的关键是掌握切线的判定定理：经过半径的
12、外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线13(1)见解析(2)【分析】（1）连接，根据题意可得，再由角平分线性质得，从而推出，即可证为的切线；（2）根据直径所对的圆周角等于得到，再根据直角三角形的两个锐角互余和角平分线性质得出，最后根据勾股定理求解即可【解析】（1）如图，连接，则，平分，又为半径，为的切线；（2）是的直径，平分，在中，【点评】本题考查了圆的综合，熟练运用切线定理，直角三角形的两个锐角互余，直径所对的圆周角等于，勾股定理和角所对的直角边是斜边的一半是解题的关键14(1)见解析(2)【分析】（1）连接，易得，根据，得到，进而得到，得到，进而推出，即可得证；（2）设，分别解，用含的代数式
13、表示，利用，求出的值，进而得到的长，利用勾股定理求出的长即可【解析】（1）证明：连接，则：，是的切线；（2）解：在中，设，则：，在中，【点评】本题考查切线的判定，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形熟练掌握切线的判定方法，以及锐角三角函数的定义，是解题的关键15(1)见解析(2)【分析】（1）连接，易证，由于，所以，即，从而可证与相切；（2）过点O作，交于点F，交于点G，由于，所以，即，设，易证，所以，所以，根据锐角三角函数即可求出的值【解析】（1）证明：连接，为的直径，即，是的半径，是的切线；（2）解：过点O作，交于点F，交于点G，而，即，设，由垂径定理可知：点G为的中点，是的中位线，【点评
14、】本题考查圆的综合问题，涉及相似三角形的判定与性质，圆的切线判定与性质，平行线的性质，以及锐角三角函数等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用所学知识16(1)见解析(2)【分析】（1）连接，由得到，为直径，则，进一步证明，由即可得到，结论得证；（2）证明得到，求得，根据三角函数的定义得到答案【解析】（1）解：连接，为直径，平分，是的切线（2），【点评】此题考查了圆的切线的判定、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的定义等知识，熟练掌握圆的切线的判定和相似三角形的判定是解题的关键17(1)见解析(2)，【分析】（1）连接，得到，再证，从而证得，证明是切线（2）先证，根据对应线段成比例求出的长；再
15、根据，设，分别表示出、，利用对应线段成比例建立方程求出x的值，进而求出OD的长度，即可求解【解析】（1）证明：连接为的切线，是的垂直平分线，是的切线；（2）解：，且，在Rt与Rt中，为公共角，有，设，有则，【点评】本题考查了全等三角形的判断和性质，切线的性质和判定，做好本题要明确两点：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线18(1)见解析(2)【分析】（1）连接，根据得到，根据得到，结合即可得到答案；（2）连接，根据，得到，即可得到，即可得到答案；【解析】（1）证明：证明：连接，点在上，即，点在上，是的切线；（2）解：连接，即，【点评】本题考查切线证明及相似三角形判定与性质，解题的关键是作出辅助线得到角度相等的条件