1、2023年山东省聊城市临清市中考一模数学试卷一、选择题（共12小题，每小题3分）1. 的倒数是（ ）A B. 25C. D. 2. 1微米，一根头发丝的直径约为50微米，50微米用科学记数法可以表示为（ ）A. B. C. D. 3. 下列图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ）A. B. C. D. 5. 已知点A（12x，x1）在第二象限，则x取值范围在数轴上表示正确的是（）A. B. C. D. 6. 一个由完全相同的小正方体组成的几何体的三视图如图所示，若在这个几何体的基础上增加几个相同的小正方体，将其补成一个大正方体，则需要增
2、加的小正方体的个数最少为（ ）A. 6个B. 5个C. 4个D. 3个7. 若，是方程的两个实数根，则代数式的值为（ ）A B. C. 2011D. 20238. 某中学对学生最喜欢的课外活动进行了随机抽样调查，要求每人只能选择其中的一项根据得到的数据，绘制的不完整统计图如下，则下列说法中不正确的是（ ）A. 这次调查的样本容量是200B. 全校1600名学生中，估计最喜欢体育课外活动的大约有500人C. 扇形统计图中，科技部分所对应的圆心角是D. 被调查的学生中，最喜欢艺术课外活动的有50人9. 如图，中，弦，相交于点P，若，则等于（ ）A. B. C. D. 10. 二次函数的图象如图所示
3、，那么一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）A. B. C. D. 11. 如图，在平行四边形中，E为上一点，且，与相交于点F，则为（ ）A 9B. 12C. 27D. 3612. 将两个等腰直角三角形与（其中，）如图放置在一起，点在上，与交于点，连接，且，下列结论：垂直平分；为等边三角形；正确的结论是（ ）A. 只有B. 只有C. 只有D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分，只要求填出最后结果）13. 分解因式：4aa3_14. 如图，在中，将绕点顺时针旋转到的位置，点E恰好落在边上，且，则的度数为_15. 如图，将半径为的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，用
4、剩下的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），这个圆锥的高是_16. 看了田忌赛马故事后，小杨用数学模型来分析：齐王与田忌的上中下三个等级的三匹马记分如表，每匹马只赛一场，两数相比，大数为胜，三场两胜则赢已知齐王的三匹马出场顺序为10，8，6若田忌的三匹马随机出场，则田忌能赢得比赛的概率为_马匹姓名下等马中等马上等马齐王6810田忌57917. 如图，点，是正方形的两个顶点，以对角线为边作正方形，再以对角线为边作正方形，依此规律，点的坐标是_三、解答题（本大题共8小题，共69分，写出必要的运算、推理过程）18. 化简求值：，其中19. 为庆祝中国共产党建党100周年，某校举行了“红色华诞，党旗
5、飘扬”党史知识竞赛为了解竞赛成绩，抽样调查了七，八年级部分学生的分数，过程如下：（1）收集数据从该校七八年级学生中各随机抽取20名学生的分数，其中八年级的分数如下：81 83 84 85 86 87 87 88 89 9092 92 93 95 95 95 99 99 100 100（2）整理、描述数据按如下分段整理描述样本数据：分数人数年级七年级4628八年级347（3）分析数据两组样本数据的平均数、中位数、众数、方差如下表所示：年级平均数中位数众数方差七年级91899740.9八年级9133.2根据以上提供的信息，解答下列问题：填空：_，_，_；样本数据中，七年级甲同学和八年级乙同学的分数
6、都为90分，_同学的分数在本年级抽取的分数中从高到低排序更靠前（填“甲”或“乙”）：从样本数据分析来看，分数较整齐的是_年级（填“七”或“八”）；如果七年级共有400人参赛，则该年级约有_人的分数不低于95分20. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AFCE（1）求证：BAEDCF；（2）若BDEF，连接DE、BF，判断四边形EBFD的形状，并说明理由21. 昌云中学计划为地理兴趣小组购买大、小两种地球仪，若购买1个大地球仪和3个小地球仪需要136元；若购买2个大地球仪和1个小地球仪需要132元（1）求每个大地球仪和每个小地球仪各多少元；（2）昌云中学决定购买以上两种地球仪
7、共30个，总费用不超过960元，那么昌云中学最多可以购买多少个大地球仪22. 数学兴趣小组到一公园测量塔楼高度如图所示，塔楼剖面和台阶的剖面在同一平面，在台阶底部点A处测得塔楼顶端点E的仰角，台阶AB长26米，台阶坡面AB的坡度，然后在点B处测得塔楼顶端点E的仰角，则塔顶到地面的高度EF约为多少米（参考数据：，）23. 如图，矩形的顶点O与坐标原点重合，点C在x轴上，点A在对角线OB上，且，反比例函数的图象经过点A，交，于点M，N，连接，（1）求反比例函数的解析式及点N的坐标；（2）若点P在x轴上，且的面积与四边形的面积相等，求点P的坐标24. 如图，的弦，交于点E，连接，延长到点P，连结，与
8、相切，且（1）求证：点A是中点；（2）若，求的长25. 抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为，抛物线的对称轴为，直线AD交抛物线于点（1）求抛物线和直线的解析式；（2）如图1，点Q是线段上一动点，过点Q作，交于点E，连接，若点Q的坐标为，求的面积S与m的函数表达式，并写出S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值，并直接写出此时点E的坐标；（3）如图2，直线交y轴于点F，点M为抛物线对称轴上的动点，点N在x轴上，当四边形周长取最小值时，求出满足条件的点M和点N的坐标2023年山东省聊城市临清市中考一模数学试卷一、选择题（共12小题，每小题3分）1. 的倒数是（ ）A. B.
9、25C. D. 【答案】D【解析】【分析】先化简，再计算倒数【详解】解：，25的倒数是故选：D【点睛】本题考查了倒数，有理数的乘方，熟练掌握相关知识是解题的关键2. 1微米，一根头发丝的直径约为50微米，50微米用科学记数法可以表示为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值时，n是非负数；当原数的绝对值时，n是负数【详解】解：1微米，微米，故选：C【点睛】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关
10、键要正确确定a的值以及n的值3. 下列图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解把一个图形绕某一点旋转180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形【详解】解：A是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；B既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；C不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；D是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意.故选：
11、B【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，熟记相关定义是解答本题的关键4. 下列运算正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据幂的运算公式，完全平方公式，二次根式运算法则等逐项判断即可【详解】A、，故此项正确；B、 ，故此项错误；C、 不能进行计算，故此项错误；D、，故此项错误故选：A【点睛】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键5. 已知点A（12x，x1）在第二象限，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先分别求出每一个不等式的解集，再根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小
12、无解了确定不等式组的解集【详解】解：根据题意，得： ，解不等式，得：x，解不等式，得：x1，不等式组的解集为x1，故选：B【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，关键要掌握解一元一次不等式的方法，牢记确定不等式组解集方法6. 一个由完全相同的小正方体组成的几何体的三视图如图所示，若在这个几何体的基础上增加几个相同的小正方体，将其补成一个大正方体，则需要增加的小正方体的个数最少为（ ）A. 6个B. 5个C. 4个D. 3个【答案】C【解析】【分析】根据三视图，该几何体的主视图以及俯视图可确定该几何体共有两层两列，故得出该几何体的小正方体的个数【详解】解：综合三视图可知，这个组合体的底层有3个小
13、正方体，第二层有1个小正方体，搭成这个几何体的小正方体的个数为3+1 =4个，若在这个几何体的基础上增加几个相同的小正方体，将其补成一个大正方体，则需要增加的小正方体的最少个数为4故选：C【点睛】本题考查了三视图和空间想象能力，解题的关键是求出原来的几何体及搭成的大正方体共有多少个小立方块7. 若，是方程的两个实数根，则代数式的值为（ ）A. B. C. 2011D. 2023【答案】C【解析】【分析】先根据方程根的定义得到，则，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算【详解】解：是方程的根，即，是方程的两个实数根，故选：C【点睛】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，
14、也考查了一元二次方程根的定义8. 某中学对学生最喜欢的课外活动进行了随机抽样调查，要求每人只能选择其中的一项根据得到的数据，绘制的不完整统计图如下，则下列说法中不正确的是（ ）A. 这次调查的样本容量是200B. 全校1600名学生中，估计最喜欢体育课外活动的大约有500人C. 扇形统计图中，科技部分所对应的圆心角是D. 被调查的学生中，最喜欢艺术课外活动的有50人【答案】B【解析】【分析】由折线统计图和扇形图可知：喜欢播音的人数是10人，占调查人数的5%，可以计算出这次调查的样本容量；用全校1600名学生中的总人数，乘以喜欢体育课外活动的所占总人数的百分比估计最喜欢体育课外活动的人数；先计算
15、被调查的学生中，最喜欢艺术课外活动的人数，再用总人数减去各项人数就可以算出喜欢科技的人数，扇形统计图中，从而可以计算出科技部分所对应的圆心角；被调查的学生中，最喜欢艺术课外活动的人数就是用200乘艺术课外活动占调查人数的百分比；【详解】由折线统计图和扇形图可知：喜欢播音的人数是10人，占调查人数的5%，这次调查的样本容量是105%=200（人），故A选项正确；全校1600名学生中，估计最喜欢体育课外活动大约有：1600 =400（人）故B选项错误；被调查的学生中，最喜欢艺术课外活动的有20025%=50（人）可以算出喜欢科技的人数为：200-50-50-10-70=20人扇形统计图中，科技部分
16、所对应的圆心角是，故C正确；被调查的学生中，最喜欢艺术课外活动的有20025%=50（人）故D正确；故选：B【点睛】本题考查折线统计图，扇形统计图，理解两个统计图中的数量之间的关系是正确解答的前提9. 如图，中，弦，相交于点P，若，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】欲求的度数，需求出同弧所对的圆周角的度数；中，已知了及外角的度数，即可由三角形的外角性质求出的度数，由此得解【详解】解：是的外角，；，；则由圆周角定理得：；故选：C【点睛】此题主要考查了圆周角定理的应用及三角形的外角性质熟练掌握定理及性质是解题的关键10. 二次函数的图象如图所示，那么一次函数与反比例函数
17、在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先根据二次函数的图象开口向下可知，再由函数图象经过原点可知，由对称轴在轴左侧可知，利用排除法即可得出正确答案【详解】解：二次函数的图象开口向下，反比例函数的图象必在二、四象限，故C错误；二次函数的图象经过原点，对称轴在轴左侧，即：、符号相同，经过原点且呈下降趋势，故B、D错误故选：A【点睛】本题考查是二次函数的图象与系数的关系，反比例函数及一次函数的性质，熟知以上知识是解答此题的关键11. 如图，在平行四边形中，E为上一点，且，与相交于点F，则为（ ）A. 9B. 12C. 27D. 36【答案】D【解析
18、】【分析】根据平行四边形性质得到，证明得到，再证明，即可得到，则【详解】解：四边形是平行四边形，即，故选D【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，证明，得到是解题的关键12. 将两个等腰直角三角形与（其中，）如图放置在一起，点在上，与交于点，连接，且，下列结论：垂直平分；为等边三角形；正确的结论是（ ）A. 只有B. 只有C. 只有D. 【答案】B【解析】【分析】利用等腰直角三角形的性质得出即可判断；再用等腰直角三角形的内角的关系即可得出，即可判断，判断出即可判断，设出，利用等腰直角三角形和等边三角形的性质即可得出，最后用三角形的面积公式即可判断【详解】解：和是等腰直角
19、三角形，垂直平分，正确，垂直平分，是等边三角形，正确；，在中，正确；设，在中， ，在中，在中，错误，综上所述，正确的有，故选：B【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质和判定，含的直角三角形的性质，线段的垂直平分线的性质和判定，勾股定理，解本题的关键是灵活运用特殊三角形的性质第卷（非选择题 共84分）二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分，只要求填出最后结果）13. 分解因式：4aa3_【答案】a（2+a）（2a）【解析】【分析】利用提取公因式和平方差公式进行因式分解即可解答.【详解】解：4aa3a（4a2）a（2+a）（2a）故答案为a（2+a）
20、（2a）【点睛】本题考查了利用提取公因式和平方差公式进行因式分解，熟练掌握是解题的关键.14. 如图，在中，将绕点顺时针旋转到的位置，点E恰好落在边上，且，则的度数为_【答案】【解析】【分析】由旋转的性质得：，进而得到，利用平行线的性质推出，即，利用等边对等角结合三角形内角和定理即可求出的度数【详解】解：由旋转的性质得：，即，故答案为：【点睛】本题考查旋转的性质、平行线的性质和三角形内角和定理的应用，熟练掌握旋转的性质是解题的关键旋转前、后的图形全等，即旋转前后图形的大小和形状没有改变15. 如图，将半径为的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，用剩下的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），这个圆锥的
21、高是_【答案】【解析】【分析】设圆锥的底面圆半径为，先利用圆的周长公式计算出剩下的扇形的弧长，然后把它作为圆锥的底面圆的周长进行计算即可【详解】解：设圆锥底面圆半径为，半径为的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，剩下的扇形的弧长，圆锥的高为故答案为：【点睛】本题考查了圆锥的有关计算：圆锥的侧面展开图为扇形，圆锥的底面圆的周长等于扇形的弧长也考查了圆的周长公式16. 看了田忌赛马故事后，小杨用数学模型来分析：齐王与田忌的上中下三个等级的三匹马记分如表，每匹马只赛一场，两数相比，大数为胜，三场两胜则赢已知齐王的三匹马出场顺序为10，8，6若田忌的三匹马随机出场，则田忌能赢得比赛的概率为_马匹姓名下等马中等
22、马上等马齐王6810田忌579【答案】【解析】【分析】通过列表法或树状图把所有可能的情况列出来，再利用概率公式求出事件发生的概率即可【详解】解：由于田忌的上、中等马分别比齐王的中、下等马强，当齐王的三匹马出场顺序为10，8，6时，田忌的马按5，9，7的顺序出场，田忌才能赢得比赛，当田忌的三匹马随机出场时，双方马的对阵情况如下：齐王的马上中下上中下上中下上中下上中下上中下田忌的马上中下上下中中上下中下上下上中下中上双方马的对阵中，共有6种等可能的结果，只有一种对阵情况田忌能赢，田忌能赢得比赛的概率为，故答案为：【点睛】本题考查了用列表法与树状图求概率，列表法适应于两步完成的事件概率的求法，树状图
23、法适应于两步或两步以上完成的事件概率的求法17. 如图，点，是正方形的两个顶点，以对角线为边作正方形，再以对角线为边作正方形，依此规律，点的坐标是_【答案】【解析】【分析】根据正方形的性质找出点的坐标，根据坐标的变化可找出变化规律，依此规律即可求出点的坐标【详解】解：由题意可知：由正方形性质可知其对角线长度为边长倍，则，且点依次在第一象限角平分线上，轴正半轴，第四象限角平分线上，轴负半轴，第三象限角平分线上，轴负半轴，第二象限角平分线上，轴正半轴，以8为周期循环，当在各象限角平分线上时，到坐标的距离均为：，再根据各象限的符号可得坐标：，则（n为自然数）（n为自然数），点的坐标为故答案为：【点睛
24、】本题考查了规律型：点的坐标，根据点的坐标的变化找出变化规律“（n为自然数）”是解题的关键三、解答题（本大题共8小题，共69分，写出必要的运算、推理过程）18. 化简求值：，其中【答案】，【解析】【分析】首先进行分式的混合运算，化成最简分式，再把x的值代入化简后的式子计算，即可求解【详解】解：当时，原式【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握和运用分式化简求值的方法是解决本题的关键19. 为庆祝中国共产党建党100周年，某校举行了“红色华诞，党旗飘扬”党史知识竞赛为了解竞赛成绩，抽样调查了七，八年级部分学生的分数，过程如下：（1）收集数据从该校七八年级学生中各随机抽取20名学生的分数，其中八
25、年级的分数如下：81 83 84 85 86 87 87 88 89 9092 92 93 95 95 95 99 99 100 100（2）整理、描述数据按如下分段整理描述样本数据：分数人数年级七年级4628八年级347（3）分析数据两组样本数据的平均数、中位数、众数、方差如下表所示：年级平均数中位数众数方差七年级91899740.9八年级9133.2根据以上提供的信息，解答下列问题：填空：_，_，_；样本数据中，七年级甲同学和八年级乙同学的分数都为90分，_同学的分数在本年级抽取的分数中从高到低排序更靠前（填“甲”或“乙”）：从样本数据分析来看，分数较整齐的是_年级（填“七”或“八”）；如
26、果七年级共有400人参赛，则该年级约有_人的分数不低于95分【答案】6，91，95；甲；八；160【解析】【分析】、整理八年级20名同学的分数即可补全表格；、七年级学生分数的中位数为89，七年级甲同学的成绩在中位数之前，名次靠前；八年级的学生分数的中位数为91，八年级乙同学的成绩在中位数以后，名次靠后，故甲同学的分数在本年级抽取的分数中从高到低排序更靠前；、比较数据波动情况：八年级学生分数的方差小于七年级学生分数的方差，故八年级的分数较整齐；、抽取的七年级20名同学中分数不低于95分的人有8人，所占比为，故400名七年级学生分数不低于95分的学生约有：人.【详解】解：、整理八年级20名学生的分
27、数，分数在85x90中的有：85、86、87、87、88、89，故a=6；将20名学生成绩从低到高排列，第10名和第11名的成绩为90、92，中位数为；20名学生成绩中出现次数最多的为95，故众数为95.、七年级学生分数的中位数为89，七年级甲同学的成绩在中位数之前，名次靠前；八年级的学生分数的中位数为91，八年级乙同学的成绩在中位数以后，名次靠后，故甲同学的分数在本年级抽取的分数中从高到低排序更靠前；、八年级学生分数的方差小于七年级学生分数的方差，故八年级的分数较整齐；、抽取的七年级20名同学中分数不低于95分的人有8人，所占比为，故400名七年级学生分数不低于95分的学生约有：人.【点睛】
28、本题考查统计表，众数，中位数，方差的综合运用，解题的关键是需要认真仔细的对数据分析，理解众数、中位数、方差的定义20. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AFCE（1）求证：BAEDCF；（2）若BDEF，连接DE、BF，判断四边形EBFD的形状，并说明理由【答案】（1）见解析 （2）四边形BEDF是菱形，理由见解析【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得出BA=DC，BADC，AOCO，根据平行线的性质可得BAE=DCF，根据线段的和差求出，继而根据全等三角形的判定定理推出即可；（2）先推出四边形BEDF是平行四边形，再根据菱形的判定得出即可求证【小问1详解】证明：四
29、边形ABCD是平行四边形，BA=DC，BADC，AOCO，BAE=DCF，AFCE，即，在BAE和DCF中，【小问2详解】四边形BEDF是菱形，理由：由（1）知，BADC，即，BEDF，四边形BEDF是平行四边形，BDEF，四边形BEDF是菱形，【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和菱形的判定，得出对角线的数量关系并证得是解此题的关键21. 昌云中学计划为地理兴趣小组购买大、小两种地球仪，若购买1个大地球仪和3个小地球仪需要136元；若购买2个大地球仪和1个小地球仪需要132元（1）求每个大地球仪和每个小地球仪各多少元；（2）昌云中学决定购买以上两种地球仪共30个，总费用
30、不超过960元，那么昌云中学最多可以购买多少个大地球仪【答案】（1）每个大地球仪52元，每个小地球仪28元；（2）昌云中学最多可以购买5个大地球仪【解析】【分析】（1）设每个大地球仪x元，每个小地球仪y元，根据题意列出方程组求解即可；（2）设昌云中学可以购买m个大地球仪，则购买小地球仪(30-m)个，根据题意列出不等式求解即可【详解】解：（1）设每个大地球仪x元，每个小地球仪y元，由题意可得，解得：，答：每个大地球仪52元，每个小地球仪28元；（2）设昌云中学可以购买m个大地球仪，则购买小地球仪(30-m)个，根据题意得52m+28(30-m)960解得m5昌云中学最多可以购买5个大地球仪【点
31、睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用和一元一次不等式的实际应用，根据题意列出式子是解题关键22. 数学兴趣小组到一公园测量塔楼高度如图所示，塔楼剖面和台阶的剖面在同一平面，在台阶底部点A处测得塔楼顶端点E的仰角，台阶AB长26米，台阶坡面AB的坡度，然后在点B处测得塔楼顶端点E的仰角，则塔顶到地面的高度EF约为多少米（参考数据：，）【答案】塔顶到地面的高度EF约为47米【解析】【分析】延长EF交AG于点H，则，过点B作于点P，则四边形BFHP为矩形，设，则，根据解直角三角形建立方程求解即可【详解】如图，延长EF交AG于点H，则，过点B作于点P，则四边形BFHP为矩形，由，可设，则，由可得，解
32、得或（舍去），设米，米，在中，即，则在中，即由得，答：塔顶到地面的高度EF约为47米【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键23. 如图，矩形的顶点O与坐标原点重合，点C在x轴上，点A在对角线OB上，且，反比例函数的图象经过点A，交，于点M，N，连接，（1）求反比例函数的解析式及点N的坐标；（2）若点P在x轴上，且的面积与四边形的面积相等，求点P的坐标【答案】（1）反比例函数的解析式为，点N的坐标为 （2）点P的坐标为或【解析】【分析】（1）作轴于点E，由点的坐标与图形的性质求得点，代入反比例函数解析式求得该双曲线方程；由点M的坐标易得点B的坐标，再由
33、此设点N的坐标为，代入求得n的值即可；（2）设点P的坐标为，由“的面积与四边形的面积相等”可得，由此求得p的值即可【小问1详解】解：作轴，由，可得，点A的坐标为反比例函数的解析式为，由，可得点M的坐标为由，可得点B的坐标为 设点N的坐标为，代入中，得 点N的坐标为【小问2详解】解： 设点P的坐标为由，得 点P的坐标为或【点睛】本题考查了反比例函数综合题，涉及到了待定系数法求反比例函数解析式，矩形的面积公式，三角形的面积公式，锐角三角函数的定义以及反比例函数图象上点的坐标特征等知识点，综合性比较强，但是难度不是很大24. 如图，的弦，交于点E，连接，延长到点P，连结，与相切，且（1）求证：点A是
34、的中点；（2）若，求的长【答案】（1）见解析 （2）【解析】【分析】（1）连接、，根据切线的性质可证得，根据等腰三角形及对顶角的性质，可证得，即可证得，再根据垂径定理，即可证得结论；（2）首先根据圆周角定理可证得，再根据相似三角形的性质，可证得，据此即可解答【小问1详解】证明：如图：连接、，与相切，点A是的中点；【小问2详解】解：，点A是的中点，又，解得【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，切线的性质，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键25. 抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为，抛物线的对称轴为，直线AD交抛物线于点（
35、1）求抛物线和直线的解析式；（2）如图1，点Q是线段上一动点，过点Q作，交于点E，连接，若点Q的坐标为，求的面积S与m的函数表达式，并写出S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值，并直接写出此时点E的坐标；（3）如图2，直线交y轴于点F，点M为抛物线对称轴上的动点，点N在x轴上，当四边形周长取最小值时，求出满足条件的点M和点N的坐标【答案】（1）， （2），的最大值是3， （3）存在点的坐标为，点的坐标为【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）如图1，作轴，根据相似三角形的性质得到，求得，根据二次函数的性质即可得到结论，可得此时点纵坐标为2，求出直线的解析式代入即可得点坐标；（3）
36、过点作关于轴的对称点，即，连接交对称轴于，轴于，由条件可知，点，是关于对称轴对称，则，得到四边形的最短周长为：，此时直线的解析式为：，从而得到满足条件的点和点的坐标【小问1详解】解：根据题意得，解得：，抛物线的解析式为：；，对称轴为，在抛物线的解析式，设直线的解析式为，解得：，直线的解析式为；【小问2详解】如图1，作轴，即，解得：，即：，当时，有最大值，的最大值是3；此时，则，即：点纵坐标为2，设直线的解析式为，解得：，直线的解析式为；当时，；【小问3详解】抛物线，当时，则如图2，由，的解析式为：，当时，即点的坐标为：，过点作关于轴的对称点，即，由坐标可知，点，是关于对称轴x=1对称，连接交对称轴于，轴于，则，则，则四边形的周长，即四边形的最短周长为：设直线的解析式为，解得：，直线解析式为；当时，即；当时，即；所以存在点的坐标为，点的坐标为【点睛】此题是二次函数的综合题，考查了待定系数求函数解析式，相似三角形的判定和性质，勾股定理，轴对称的性质等知识综合性很强，难度较大，解题的关键是利用数形结合思想，方程思想与分类讨论思想，注意辅助线的作法