1、2023年江苏省常州市中考数学结课热身练习数学试卷一、选择题（共8小题，每小题2分，共16分）.1下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A正六边形B正五边形C平行四边形D等腰三角形2下列各式中计算正确的是（）Ax3+2x33x6Bm6m2m3C（2a）36a3Dx2x4x63如图，在ABC中，C90，AB13，BC5，则sinA的值是（）ABCD4某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“国”字所在面相对的面上的汉字是（）A厉B害C了D我5对于二次函数y（x1）2的图象的特征，下列描述正确的是（）A开口向上B经过原点C对称轴是y轴D顶点在x轴上6某药
2、品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为108元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（）A168（1x）2108B168（1x2）108C168（12x）108D168（1+x）21087如图，四边形ABCD内接于O，若C130，则BOD的度数为（）A50B100C130D1508现有函数y如果对于任意的实数n，都存在实数m，使得当xm时，yn，那么实数a的取值范围是（）A5a4B1a4C4a1D4a5二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分不需写出解答过程，请把答案直接填写在题中横线上）9因式分解：1x2 10要使二次根式有意义，则x的取值范围是 1
3、1已知x2时，二次三项式x22mx+4的值等于4，当x 时，这个二次三项式的值等于112比例尺1：300 0000的图上，图距为4cm的实际距离约为 米（科学记数法表示）13用一个半径为2的半圆作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为 14如图，E是平行四边形ABCD边BC的延长线上一点，BC2CE，则CF：DF 15如图，每个小正方形的边长都相等，A，B，C是小正方形的顶点，则ABC的度数为 16如图，O的半径OA2，B是O上的动点（不与点A重合），过点B作O的切线BC，BCOA，连接OC，AC当OAC是直角三角形时，其斜边长为 17某单位有10000名职工，想通过验血的方式筛查出某种病毒
4、的携带者如果对每个人的血样逐一化验，需要化验10000次统计专家提出了一种化验方法：随机地按5人一组分组，然后将各组5个人的血样混合再化验如果混合血样呈阴性，说明这5个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一个人呈阳性，就需要对这组的每个人再分别化验一次假设携带该病毒的人数占0.05%回答下列问题：（1）按照这种化验方法是否能减少化验次数 （填“是”或“否”）；（2）按照这种化验方法至多需要 次化验，就能筛查出这10000名职工中该种病毒的携带者18如图1，点P从ABC的顶点B出发，沿BCA匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M是曲线部分的最低
5、点，则ABC的面积是 三、解答题（本大题共10小题，共84分，如无特殊说明，解答应19（1）计算：（2）2+cos60（2）0；（2）解不等式组：20解下列方程：（1）；（2）x24x+2021教育部颁发的中小学教育惩戒规则（试行）并从2021年3月1日起实行，某校随机抽取该校部分家长，按四个类别：A表示“非常支持”，B表示“支持”，C表示“不关心”，D表示“不支持”，调查他们对该规则态度的情况，将结果绘制成如下两幅不完整的统计图根据图中提供的信息，解决下列问题：（1）这次共抽取了 名家长进行调查统计，扇形统计图中，D类所对应的扇形圆心角是 ；（2）将条形统计图补充完整；（3）该学校共有250
6、0名学生家长，请估计该学校家长表示“非常支持”的A类和表示“支持”的B人数共有多少名？22某校计划在下个月第三周的星期一至星期四开展社团活动（1）若甲同学随机选择其中的一天参加活动，则甲同学选择在星期三的概率为 （2）若乙同学随机选择其中的两天参加活动，请用画树状图（或列表）的方法求其中一天是星期二的概率23如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数（1）当m0时，请直接写出x的值；（2）当y8时，求n的值24“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目，其比赛器材由高、低两根平行杠及若干支架组成，运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离某兴趣小组根据高低杠器材
7、的一种截面图编制了如下数学问题，请你解答如图所示，底座上A，B两点间的距离为90cm低杠上点C到直线AB的距离CE的长为155cm，高杠上点D到直线AB的距离DF的长为234cm，已知低杠的支架AC与直线AB的夹角CAE为82.4，高杠的支架BD与直线AB的夹角DBF为80.3求高、低杠间的水平距离CH的长（结果精确到1cm，参考数据sin82.40.991，cos82.40.132，tan82.47.500，sin80.30.986，cos80.30.168，tan80.35.850）25如图，在66的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，且每个小正方形的顶点称为格点，OAB的顶点均在格点
8、上，按要求完成如图画图（要求仅用无刻度的直尺，且保留必要的画图痕迹）（1）在图1中，以BO为边，画出OBC，使OBCABO，C为格点；（2）在图2中，以点O为位似中心画出ODE，使ODE与OAB位似，且位似比，点D、E为格点；（3）在图3中，在OA边上找一个点F，且满足26已知MPN的两边分别与O相切于点A，B，O的半径为r（1）如图1，点C在点A，B之间的优弧上，MPN80，求ACB的度数；（2）如图2，点C在圆上运动，当PC最大时，要使四边形APBC为菱形，APB的度数应为多少？请说明理由；（3）若PC交O于点D，求第（2）问中对应的阴影部分的周长（用含r的式子表示）27我们知道，可以借助
9、于函数图象求方程的近似解如图（甲），把方程x21x的解看成函数yx2的图象与函数y1x的图象的交点的横坐标，求得方程x21x的解为x1.5（1）如图（乙），已画出了反比例函数在第一象限内的图象，借助于此图象求出方程2x22x10的正数解（要求画出相应函数的图象，结果精确到0.1）（2）选择：三次方程x3x22x+10的根的正负情况是 A，有两个负根，一个正根B有三个负根C有一个负根，两个正根D有三个正根28已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，线段AB的两个端点A（0，2），B（1，0）分别在y轴和x轴的正半轴上，点C为线段AB的中点，现将线段BA绕点B按顺时针方向旋转90得到线段BD，
10、抛物线yax2+bx+c（a0）经过点D（1）如图1，若该抛物线经过原点O，且a求点D的坐标及该抛物线的解析式；连接CD，问：在抛物线上是否存在点P，使得POB与BCD互余？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由；（2）如图2，若该抛物线yax2+bx+c（a0）经过点E（1，1），点Q在抛物线上，且满足QOB与BCD互余若符合条件的Q点的个数是4个，请直接写出a的取值范围参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A正六边形B正五边形C平行四边形D等腰三角形【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解解：
11、A、是轴对称图形，也是中心对称图形故正确；B、是轴对称图形，不是中心对称图形故错误；C、不是轴对称图形，是中心对称图形故错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形故错误故选：A【点评】掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；中心对称图形：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形2下列各式中计算正确的是（）Ax3+2x33x6Bm6m2m3C（2a）36a3Dx2x4x6【分析】根据合并同类项法则可判断选项A，根据同底数幂的除法法则可判断选项B，根据
12、幂的乘方和积的乘方法则可判断选项C，根据同底数幂的乘法法则可判断选项D解：Ax3+2x33x3，选项A不符合题意；Bm6m2m4，选项B不符合题意；C（2a）38a3，选项C不符合题意；Dx2x4x6，选项D符合题意；故选：D【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法，合并同类项，同底数幂的除法以及幂的乘方和积的乘方，熟练掌握各个运算法则是解题关键3如图，在ABC中，C90，AB13，BC5，则sinA的值是（）ABCD【分析】在RtABC中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答解：C90，AB13，BC5，sinA，故选：C【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的
13、关键4某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“国”字所在面相对的面上的汉字是（）A厉B害C了D我【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“的”与“害”是相对面，“了”与“厉”是相对面，“我”与“国”是相对面故选：D【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题5对于二次函数y（x1）2的图象的特征，下列描述正确的是（）A开口向上B经过原点C对称轴是y轴D顶点在x轴上【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向，顶点坐标
14、及对称轴，进而求解解：y（x1）2，抛物线开口向下，顶点为（1，0），对称轴为直线x1，故选：D【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数的顶点式，掌握二次函数图象与系数的关系6某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为108元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（）A168（1x）2108B168（1x2）108C168（12x）108D168（1+x）2108【分析】设每次降价的百分率为x，根据降价后的价格降价前的价格（1降价的百分率），则第一次降价后的价格是168（1x），第二次后的价格是168（1x）2，据此即可列方程求解解：设每次降价的百
15、分率为x，根据题意得：168（1x）2108故选：A【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程即可7如图，四边形ABCD内接于O，若C130，则BOD的度数为（）A50B100C130D150【分析】由于四边形ABCD内接于O，根据圆内接四边形的对角互补即可求得BAD的度数，而BAD、BOD是同弧所对的圆周角和圆心角，根据圆周角定理即可得到BOD的度数解：四边形ABCD内接于O，A+C180，而C130，A180C50，BOD2A100故选：B【点评】此题主要考查了圆内接四边形的性质和圆周角定理的综合应用
16、，熟练掌握相关知识点是解决问题的关键8现有函数y如果对于任意的实数n，都存在实数m，使得当xm时，yn，那么实数a的取值范围是（）A5a4B1a4C4a1D4a5【分析】观察图象即可求得a的取值范围解：yx22x（x1）21，函数yx22x的最小值为1，把y1代入yx+4得，1x+4，解得x5，由图象可知，当5a4时，对于任意的实数n，都存在实数m，使得当xm时，函数yn，故选：A【点评】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，数形结合是解题的关键二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分不需写出解答过程，请把答案直接填写在题中横线上）9因式分解：1x2（1x）（1+x）【分析】根据
17、平方差公式可以将题目中的式子进行因式分解解：1x2（1x）（1+x），故答案为：（1x）（1+x）【点评】本题考查因式分解运用公式法，解题的关键是明确平方差公式，会运用平方差公式进行因式分解10要使二次根式有意义，则x的取值范围是x3【分析】根据二次根式有意义的条件可得2x60，再解不等式即可解：由题意得：2x60，解得：x3，故答案为：x3【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握被开方数为非负数11已知x2时，二次三项式x22mx+4的值等于4，当x1或5时，这个二次三项式的值等于1【分析】当x2时，代数式的值等于4，把x2代入代数式之后可得到关于m的方程，进而求出m的值再令代
18、数式的值等于1，得到关于x的一元二次方程，解一元二次方程，就可以求出对应的x的值解：x2时，x2mx+44，（2）2m（2）+44，解得：m3，二次三项式为x+6x+4，令二次三项式的值为1得：x+6x+41，移项得：x+6x+50，（x+1）（x+5）0，x+10或x+50，解得x1或5故答案为：1或5【点评】本题考查代数式的值，一元一次方程和一元二次方程，解题关键是能根据代数式的值求出对应参数值，并能准确解一元二次方程12比例尺1：300 0000的图上，图距为4cm的实际距离约为1.2105米（科学记数法表示）【分析】科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|10，n是整数数位减
19、1有效数字的计算方法是：从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是有效数字，用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的a有关，与10的多少次方无关解：设实际距离约为x厘米，比例尺为1：300 0000，4：x1：3000000，x12000000厘米120000米1.2105米故答案为：1.2105【点评】此题考查科学记数法的表示方法，以及用科学记数法表示的数的有效数字的确定方法13用一个半径为2的半圆作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为 1【分析】设圆锥底面的半径为r，由于圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，则2r，然后解方程即可解：设圆锥底面的半径为r，根据题意
20、得2r，解得：r1故答案为：1【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长14如图，E是平行四边形ABCD边BC的延长线上一点，BC2CE，则CF：DF1：2【分析】根据平行四边形的性质得到ADBC，ADBC，易证CEFDAF，由相似三角形的性质即可求解解：四边形ABCD为平行四边形，ADBC，ADBC，CEFDAF，BC2CE，AD2CE，即，即CF：DF1：2故答案为：1：2【点评】本题主要考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的对应边成比例是解题关键15如图，每个小正方形的边长都相等，A，B，C
21、是小正方形的顶点，则ABC的度数为 45【分析】根据勾股定理得到AB，BC，AC的长度，再判断ABC是等腰直角三角形，进而得出结论解：如图，连接AC由题意，AC，BC，AB，ACBC，AB2AC2+BC2，ABC是等腰直角三角形，且ACB90，ABCCAB45，故答案为：45【点评】本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定与性质，判断出ABC是等腰直角三角形是解决本题的关键16如图，O的半径OA2，B是O上的动点（不与点A重合），过点B作O的切线BC，BCOA，连接OC，AC当OAC是直角三角形时，其斜边长为2或2【分析】当AOC90时，连接OB，根据切线的性质得到OBC90，根据勾
22、股定理得到AC2当OAC是直角三角形时，连接OB，根据切线的性质得到CBOOAC90，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论解：BC是O的切线，OBC90，BCOA，OBBC2，OBC是等腰直角三角形，BCO45，ACO45，当OAC是直角三角形时，AOC90，连接OB，OCOB2，AC2；当OAC是直角三角形时，OAC90，连接OB，BC是O的切线，CBOOAC90，BCOAOB，OBC是等腰直角三角形，故答案为：2或2【点评】本题考查了切线的性质勾股定理，正确的理解题意是解题的关键17某单位有10000名职工，想通过验血的方式筛查出某种病毒的携带者如果对每个人的血样逐一化验，需要化验1000
23、0次统计专家提出了一种化验方法：随机地按5人一组分组，然后将各组5个人的血样混合再化验如果混合血样呈阴性，说明这5个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一个人呈阳性，就需要对这组的每个人再分别化验一次假设携带该病毒的人数占0.05%回答下列问题：（1）按照这种化验方法是否能减少化验次数 是（填“是”或“否”）；（2）按照这种化验方法至多需要 2025次化验，就能筛查出这10000名职工中该种病毒的携带者【分析】（1）10000人5人化验一次，可化验2000次，比一人一次的少很多次；（2）根据题意可以知道有5人携带，最多次数的是这5人不在同一组，即第二轮有5组即25人要化验，即可求出结
24、果解：（1）是，100005+252025次10000次，明显减少；（2）100000.05%5人，故有5人是携带者，第一轮：1000052000次，至多化验次数，故而这5个人都在不同组，这样次数最多，第二轮有5个组需要化验，5525次，2000+252025次，故至多需要2025次化验【点评】本题考查统计与概率和不等式的应用，解本题的关键弄懂题意18如图1，点P从ABC的顶点B出发，沿BCA匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M是曲线部分的最低点，则ABC的面积是 84【分析】先分析出点P在BC和CA上运动时BP的大小变化，再结合函数图象得到相应线段
25、长解：由图象分析可得：当点P在BC上运动时，BP不断增大，到达C点时，BP达到最大值，此时BPBC15；当P在CA上运动时，BP先减小再增大，在此过程中，BPAC时，此位置记为P，BP有最小值为BP12，由勾股定理可得CP9，P点到达C点时，可得BA13，由勾股定理可得AP5，ACAP+CP5+914，84故答案为84【点评】本题考查了函数图象的理解和应用，等腰三角形的性质，把图形和图象结合理解得到线段长度是解决本题的关键三、解答题（本大题共10小题，共84分，如无特殊说明，解答应19（1）计算：（2）2+cos60（2）0；（2）解不等式组：【分析】（1）根据实数的运算法则结合负整数指数幂、
26、零指数幂、三角函数值计算可得；（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找，确定不等式组的解集解：（1）原式+1+1；（2）解不等式2x63x，得：x6，解不等式，得：x13，不等式组的解集为：6x13【点评】本题主要考查实数的运算能力和解不等式组的基本技能，熟练掌握实数的运算法则和解不等式组的基本步骤是关键20解下列方程：（1）；（2）x24x+20【分析】（1）先两边都乘以x2化分式方程为整式方程，解之求出x的值，再检验即可得出答案；（2）利用配方法求解即可解：（1）两边都乘以x2，得：3x5x2+1，解得x2，经检验x2是原方程的增根，所以原方程无解；（2）x24x+20，
27、x24x2，x24x+42+4，即（x2）22，x2或x2，解得x12+，x22【点评】本题主要考查解分式方程和一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键21教育部颁发的中小学教育惩戒规则（试行）并从2021年3月1日起实行，某校随机抽取该校部分家长，按四个类别：A表示“非常支持”，B表示“支持”，C表示“不关心”，D表示“不支持”，调查他们对该规则态度的情况，将结果绘制成如下两幅不完整的统计图根据图中提供的信息，解决下列问题：（1）这次共抽取了 60名家长进行调查统计，扇形统计图中，D类所
28、对应的扇形圆心角是 18；（2）将条形统计图补充完整；（3）该学校共有2500名学生家长，请估计该学校家长表示“非常支持”的A类和表示“支持”的B人数共有多少名？【分析】（1）从两个统计图可知，“C不关心”的频数为9人，占调查人数的15%，可求出调查人数，求出“D不支持”所占得百分比即可求出相应的圆心角的度数；（2）求出“A非常支持”的人数，即可补全条形统计图；（3）求出“A非常支持”“B支持”所占得百分比即可解：（1）915%60（名），36018，故答案为：60，18；（2）60369312（名），补全条形统计图如图所示：（3）25002000（名），答：该学校家长表示“支持”的（A类，B
29、类的和）人数大约有2000人【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图，掌握两个统计图中数量之间的关系是正确解答的前提22某校计划在下个月第三周的星期一至星期四开展社团活动（1）若甲同学随机选择其中的一天参加活动，则甲同学选择在星期三的概率为 （2）若乙同学随机选择其中的两天参加活动，请用画树状图（或列表）的方法求其中一天是星期二的概率【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）列表，共有12个等可能的结果，甲、乙两位同学选择的两天是连续两天的结果有6个，再由概率公式求解即可解：（1）若甲同学随机选择其中的一1天参加活动，则甲同学选择在星期三的概率为，故答案为：（2）把星期一、星期二、星期三、星期
30、四分别记为：A、B、C、D，根据题意列表如下：共有12个等可能的结果，乙同学随机选择其中的两天参加活动，其中一天是星期二的概率的结果有6个，其中一天是星期二的概率为【点评】此题考查了树状图法与列表法求概率解题的关键是根据题意列表或画树状图，注意列表法与树状图法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比23如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数（1）当m0时，请直接写出x的值；（2）当y8时，求n的值【分析】（1）直接利用上方相邻两数之和等于这两个数下方箭头共同指向的数，进而得出m与x的关系式；（2）利用运算规律得出n的值解：（1）由题意
31、可得：x2+2x0，x（x+2）0，则x0或x+20，解得x0或2；（2）由题意得：mx2+2x，n2x+3，m+n8，x2+2x+2x+38，整理得：x2+4x50，（x+5）（x1）0，则x+50或x10，解得x5或1，n7或5【点评】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，正确理解题意得出m与x之间关系是解题关键24“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目，其比赛器材由高、低两根平行杠及若干支架组成，运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题，请你解答如图所示，底座上A，B两点间的距离为90cm低杠上点C到直线AB的
32、距离CE的长为155cm，高杠上点D到直线AB的距离DF的长为234cm，已知低杠的支架AC与直线AB的夹角CAE为82.4，高杠的支架BD与直线AB的夹角DBF为80.3求高、低杠间的水平距离CH的长（结果精确到1cm，参考数据sin82.40.991，cos82.40.132，tan82.47.500，sin80.30.986，cos80.30.168，tan80.35.850）【分析】利用锐角三角函数，在RtACE和RtDBF中，分别求出AE、BF的长计算出EF通过矩形CEFH得到CH的长解：在RtACE中，tanCAE，AE21（cm）在RtDBF中，tanDBF，BF40（cm）EF
33、EA+AB+BF21+90+40151（cm）CEEF，CHDF，DFEF四边形CEFH是矩形，CHEF151cm答：高、低杠间的水平距离CH的长为151cm【点评】本题考查了锐角三角函数解直角三角形题目难度不大，注意精确度25如图，在66的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，且每个小正方形的顶点称为格点，OAB的顶点均在格点上，按要求完成如图画图（要求仅用无刻度的直尺，且保留必要的画图痕迹）（1）在图1中，以BO为边，画出OBC，使OBCABO，C为格点；（2）在图2中，以点O为位似中心画出ODE，使ODE与OAB位似，且位似比，点D、E为格点；（3）在图3中，在OA边上找一个点F，且满
34、足【分析】（1）根据相似三角形的判定与性质画出OBC，使OBCABO；（2）根据位似图形的性质以及相似三角形的性质即可画出ODE；（3）取格点P，Q，连接PQ，交AO于点F，则点F即为所求作的点解：（1）如图所示，OBC即为所求；（2）解：如图所示，ODE即为所求；（3）解：如图所示，取格点P，Q，连接PQ，交AO于点F，则点F即为所求作的点AQFOPF，【点评】本题主要考查了作图相似变换，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键26已知MPN的两边分别与O相切于点A，B，O的半径为r（1）如图1，点C在点A，B之间的优弧上，MPN80，求ACB的度数；（2）如图2，点C在圆上运动，当PC最
35、大时，要使四边形APBC为菱形，APB的度数应为多少？请说明理由；（3）若PC交O于点D，求第（2）问中对应的阴影部分的周长（用含r的式子表示）【分析】（1）连接OA，OB，由切线的性质可求PAOPBO90，由四边形内角和可求解；（2）当APB60时，四边形APBC是菱形，连接OA，OB，由切线长定理可得PAPB，APCBPC30，由“SAS”可证APCBPC，可得ACPBCP30，ACBC，可证APACPBBC，可得四边形APBC是菱形；（3）分别求出AP，PD的长，由弧长公式可求，即可求解解：（1）如图1，连接OA，OB，PA，PB为O的切线，PAOPBO90，APB+PAO+PBO+AO
36、B360，APB+AOB180，APB80，AOB100，ACB50；（2）如图2，当APB60时，四边形APBC是菱形，连接OA，OB，由（1）可知，AOB+APB180，APB60，AOB120，ACB60APB，点C运动到PC距离最大，PC经过圆心，PA，PB为O的切线，PAPB，APCBPC30，又PCPC，APCBPC（SAS），ACPBCP30，ACBC，APCACP30，APAC，APACPBBC，四边形APBC是菱形；（3）O的半径为r，OAr，OP2r，APr，PDr，AOP90APO60，的长度，阴影部分的周长r+r+r（+1+）r【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知
37、识，全等三角形的判定和性质，弧长公式，菱形的判定等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键27我们知道，可以借助于函数图象求方程的近似解如图（甲），把方程x21x的解看成函数yx2的图象与函数y1x的图象的交点的横坐标，求得方程x21x的解为x1.5（1）如图（乙），已画出了反比例函数在第一象限内的图象，借助于此图象求出方程2x22x10的正数解（要求画出相应函数的图象，结果精确到0.1）（2）选择：三次方程x3x22x+10的根的正负情况是 CA，有两个负根，一个正根B有三个负根C有一个负根，两个正根D有三个正根【分析】（1）根据题意可知，方程2x22x10的解可看作是函数y与函数y2x2
38、的交点坐标，所以根据图象可得正数解约为1.4；（2）方程x3x22x+10变形为x2x2，在坐标系中画出函数yx2x2与函数y的图象，根据图象的交点情况即可判断解：（1）x0，将2x22x10两边同时除以x，得2x20，即 2x2，把2x22x10的正数解视为由函数y与函数y2x2的图象在第一象限交点的横坐标如图：正数解约为1.4；（2）关于x的方程x3x22x+10变形为x2x2，在坐标系中画出函数yx2x2与函数y的图象如图：，由图象可知，函数yx2x2与函数y的交点在第三象限一个，第四象限两个，关于x的方程x3x22x+10有两个正根，一个负根，故选：C【点评】主要考查了反比例函数和一元
39、二次方程之间的关系一元二次方程的解都可化为一个反比例函数和一次函数的交点问题求解28已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，线段AB的两个端点A（0，2），B（1，0）分别在y轴和x轴的正半轴上，点C为线段AB的中点，现将线段BA绕点B按顺时针方向旋转90得到线段BD，抛物线yax2+bx+c（a0）经过点D（1）如图1，若该抛物线经过原点O，且a求点D的坐标及该抛物线的解析式；连接CD，问：在抛物线上是否存在点P，使得POB与BCD互余？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由；（2）如图2，若该抛物线yax2+bx+c（a0）经过点E（1，1），点Q在抛物线上，且满
40、足QOB与BCD互余若符合条件的Q点的个数是4个，请直接写出a的取值范围【分析】（1）过点D作DFx轴于点F，先通过三角形全等求得D的坐标，把D的坐标和a，c0代入yax2+bx+c即可求得抛物线的解析式；先证得CDx轴，进而求得要使得POB与BCD互余，则必须POBBAO，设P的坐标为（x，x2+x），分两种情况讨论即可求得；（2）若符合条件的Q点的个数是4个，则当a0时，抛物线交于y轴的负半轴，当a0时，最小值得1，解不等式即可求得解：（1）过点D作DFx轴于点F，如图1，DBF+ABO90，BAO+ABO90，DBFBAO，又AOBBFD90，ABBD，在AOB和BFD中，AOBBFD（
41、AAS）DFBO1，BFAO2，D的坐标是（3，1），根据题意，得a，c0，且a32+b3+c1，b，该抛物线的解析式为yx2+x；点A（0，2），B（1，0），点C为线段AB的中点，C（，1），C、D两点的纵坐标都为1，CDx轴，BCDABO，BAO与BCD互余，要使得POB与BCD互余，则必须POBBAO，设P的坐标为（x，x2+x），（）当P在x轴的上方时，过P作PGx轴于点G，如图2，则tanPOBtanBAO，即，解得x10（舍去），x2，x2+x，P点的坐标为（，）；（）当P在x轴的下方时，过P作PGx轴于点G，如图3则tanPOBtanBAO，即，解得x10（舍去），x2，x2+x，P点的坐标为（，）；综上，在抛物线上是否存在点P（，）或（，），使得POB与BCD互余（2）如图3，D（3，1），E（1，1），抛物线yax2+bx+c过点E、D，代入可得，解得，所以yax24ax+3a+1分两种情况：当抛物线yax2+bx+c开口向下时，若满足QOB与BCD互余且符合条件的Q点