1、湖南省岳阳市2023届高三下二模数学试题一选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1. 设集合，则（ ）A. B. C. D. 2. 已知直线和平面，若且，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴查合，点A是角的终边与单位圆的交点，若点的横坐标为，则（ ）A. B. C. D. 4. 某学校为落实“双减”政策，在课后服务时间开设了“球类”“棋类”“书法”“绘画”“舞踩”等五项活动.若甲同学准备从这五项活动中随机选三项，则“书法”和“绘画”这两项中至多有一项被选中的概率为（ ）A.
2、 0.9B. 0.7C. 0.6D. 0.35. 已知函数是定义在上的奇函数，则函数的图像在点处的切线的斜率为（ ）A. B. C. D. 6. 如图为陕西博物馆收藏的国宝唐金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作.该杯的主体部分可以近似看作是离心率为的双曲线的右支与轴及平行于轴的两条直线围成的曲边四边形ABMN绕轴旋转一周得到的几何体，若P为C右支上的一点，F为C的左焦点，则与P到C的一条渐近线的距离之和的最小值为（ ） A. 2B. 3C. 4D. 57. 已知函数的最小正周期，将函数的图像向右平移个单位长度，所得图像关于原点对称，则下列关于函数的说法
3、错误的是（ ）A. 函数的图像关于直线对称B. 函数在上单调递减C. 函数在上有两个极值点D. 方程在上有3个解8. 若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 二多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 2022年6月，某学校为宣传我国第三艘航空母舰“中国人民解放军海军福建舰”下水试航，增强学生国防意识，组织了一次“逐梦深蓝，山河荣耀”国防知识竞赛，对100名学生的参赛成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，为进一步了解学生的答题情况，通过
4、分层抽样，从成绩在区间内的学生中抽取6人，再从这6人中先后抽取2人的成绩作分析，下列结论正确的是（ ）A. 频率分布直方图中的B. 估计100名学生成绩的中位数是85C. 估计100名学生成绩的80%分位数是95D. 从6人中先后抽取2人作分析时，若先抽取的学生成绩位于，则后抽取的学生成绩在的概率是10. 设函数在上的最小值为，函数在上的最大值为，若，则满足条件的实数可以是（ ）A. B. C. D. 11. 已知拋物线的焦点与圆上点的距离的最小值为2，过点的动直线与抛物线交于两点，以为切点的抛物线的两条切线的交点为，则下列结论正确的是（ ）A. B. 当与相切时，的斜率是C. 点在定直线上D
5、. 以为直径的圆与直线相切12. 在中国共产党第二十次全国代表大会召开期间，某学校组织了“喜庆二十大，永远跟党走，奋进新征程，书画作品比赛.如图，本次比赛的冠军奖杯由一个铜球和一个托盘组成，若球的体积为；如图，托盘由边长为4的正三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠而成，则下列结论正确的是（ ）A. 直线与平面所成的角为B. 经过三个顶点的球的截面圆的面积为C. 异面直线与所成的角的余弦值为D. 球离球托底面的最小距离为三填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 设复数，其中为虚数单位，则_.14. 在的展开式中项的系数是_.15. 已知函数，数列满足，给出下列两个条件：函数是递减函
6、数；数列是递减数列.试写出一个满足条件但不满足条件的函数的解析式：_.16. 定义是与实数的距离最近的整数（当为两相邻整数的算术平均值时，取较大整数），如，令函数，数列的通项公式为，其前项和为，则_；_.四解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17. 在中，.（1）求A；（2）若的内切圆半径，求的最小值.18. 已知数列的前项和为（1）证明数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）设，若对任意正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围.19. 在中，过点作，交线段于点（如图1），沿将折起，使（如图2），点分别为棱的中点.（1）求证：；（2）在图1中，图1中，图2中
7、三棱锥的体积最大.这三个条件中任选一个，补充下面问题中，再解答问题.问题：已知_，试在棱上确定一点，使得，并求平面与平面的夹角的余弦值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.20. 国家发改委和住建部等六部门发布通知，提到：2025年，农村生活垃圾无害化处理水平将明显提升.现阶段我国生活垃圾有填埋焚烧堆肥等三种处理方式，随着我国生态文明建设的不断深入，焚烧处理已逐渐成为主要方式.根据国家统计局公布的数据，对2013-2020年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数y（单位：座）进行统计，得到如下表格：年份20132014201520162017201820192020年份代码123456
8、78垃圾焚烧无害化处理厂的个数 y166188220249286331389463（1）根据表格中的数据，可用一元线性回归模型刻画变量与变量之间的线性相关关系，请用相关系数加以说明（精确到0.01）；（2）求出关于经验回归方程，并预测2022年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数；（3）对于2035年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数，还能用（2）所求的经验回归方程预测吗？请简要说明理由.参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为参考数据：，21. 已知点，点分别为椭圆的左右顶点，直线交于点是等腰直角三角形，且.（1）过椭圆的上顶点引两条互相垂直的直线，记上任一点到两直线
9、的距离分别为，求的最大值；（2）过点且斜率不为零的直线与椭圆相交于两点试问：是否存在轴上的定点，使得.若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由.22. 已知函数f(x)=lnxx+1.（1）求f(x)的最大值；（2）设函数g(x)=f(x)+a(x1)2，若对任意实数b(2，3)，当x(0，b时，函数g(x)的最大值为g(b)，求a的取值范围；（3）若数列an各项均为正数，a1=1，an+1=f(an)+2an+1(nN+).求证：an2n1.湖南省岳阳市2023届高三下二模数学试题一选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1. 设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】
10、【分析】由一元二次不等式的解法以及对数函数的单调性解不等式，再求并集.【详解】因为.所以.故选：B2. 已知直线和平面，若且，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】由面面垂直的性质、线面垂直的定义结合充分必要条件的定义判断即可.【详解】当时，由且，得；当时，因为，所以，所以.即“”是“”的充要条件.故选：C3. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴查合，点A是角的终边与单位圆的交点，若点的横坐标为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据任意角三角函数的定义和二倍角的余弦公
11、式求解.【详解】因为点的横坐标为，所以，所以，故选:D.4. 某学校为落实“双减”政策，在课后服务时间开设了“球类”“棋类”“书法”“绘画”“舞踩”等五项活动.若甲同学准备从这五项活动中随机选三项，则“书法”和“绘画”这两项中至多有一项被选中的概率为（ ）A. 0.9B. 0.7C. 0.6D. 0.3【答案】B【解析】【分析】先求样本空间的样本点，再求事件“书法”和“绘画”这两项中至多有一项被选中所包含的样本点，并利用古典概型概率公式求概率.【详解】随机试验从五项活动中随机选三项样本空间共有个样本点，“书法”和“绘画”这两项活动至多有一项被选中”分两种情况：都没有被选中，有种情况；两项活动只
12、有一项被选中，有种情况，则所求概率为，故选：B5. 已知函数是定义在上的奇函数，则函数的图像在点处的切线的斜率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先由奇函数的性质求，再由导数的几何意义求切线的斜率.【详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以，即，所以，所以，所以，故，所以，所以函数的图像在点处的切线的斜率为.故选：D.6. 如图为陕西博物馆收藏的国宝唐金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作.该杯的主体部分可以近似看作是离心率为的双曲线的右支与轴及平行于轴的两条直线围成的曲边四边形ABMN绕轴旋转一周得到的几何体，若P为C右支上的一点，
13、F为C的左焦点，则与P到C的一条渐近线的距离之和的最小值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】【分析】根据双曲线的离心率求得双曲线的方程，求得双曲线右焦点到渐近线的距离，结合双曲线的定义求得所求的最小值.【详解】由题意可知，双曲线方程为，一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为，与P到C的一条渐近线的距离之和的最小值为，所以与P到C的一条渐近线的距离之和的最小值为.故选：C7. 已知函数的最小正周期，将函数的图像向右平移个单位长度，所得图像关于原点对称，则下列关于函数的说法错误的是（ ）A. 函数的图像关于直线对称B. 函数在上单调递减C. 函数在上有两个极值点D. 方程在上
14、有3个解【答案】D【解析】【分析】由题可得，.A选项，将代入，验证其值是否为可判断选项；B选项，由在上的单调性可判断选项；C选项，由在上的极值点可判断选项；D选项，验证在上是否有3个解可判断选项.【详解】由题.的图像向右平移个单位长度后对应的解析式为，因其过原点，则，结合，可得.A选项，则的图像关于直线对称，故A正确；B选项，时，因，在上单调递减，则在上单调递减，故B正确.C选项，时，.令，因，则函数在上有两个极值点，故C正确；D选项，时，.由，可得，则方程在上有2个解，故D错误.故选：D8. 若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】将
15、问题转化为函数与图象有两个不同的交点，根据换元法将函数转化为，利用导数讨论函数的单调性求出函数的值域，进而得出参数的取值范围.【详解】函数定义域为，设，则，令，令，所以函数在上单调递减，在上单调递增，且，所以，所以，函数有两个不同的零点等价于方程有两个不同的解，则，等价于函数与图象有两个不同的交点.令，则，设，则，令，令，所以函数在上单调递减，在上单调递增，且g(1)=e，所以，且趋向于0时，趋向于正无穷；趋向于正无穷时，趋向于正无穷，所以，解得.故选：A.【点睛】方法点睛：与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点，从而判断函数的大致图象，讨论其图象与
16、x轴的位置关系，进而确定参数的取值范围；或通过对方程等价变形转化为两个函数图象的交点问题对于不适合分离参数的等式，常常将参数看作常数直接构造函数，常用分类讨论法，利用导数研究单调性、最值，从而得出参数范围.二多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 2022年6月，某学校为宣传我国第三艘航空母舰“中国人民解放军海军福建舰”下水试航，增强学生的国防意识，组织了一次“逐梦深蓝，山河荣耀”国防知识竞赛，对100名学生的参赛成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，为进一步了解学
17、生的答题情况，通过分层抽样，从成绩在区间内的学生中抽取6人，再从这6人中先后抽取2人的成绩作分析，下列结论正确的是（ ）A. 频率分布直方图中的B. 估计100名学生成绩的中位数是85C. 估计100名学生成绩的80%分位数是95D. 从6人中先后抽取2人作分析时，若先抽取的学生成绩位于，则后抽取的学生成绩在的概率是【答案】AC【解析】【分析】根据频率之和为1可判断A,根据中位数为面积在0.5的位置可判断B,根据百位数的计算可判断C，根据条件概率的计算公式可判断D.【详解】对于A：根据学生的成绩都在50分到100分之间的频率和为1，可得，解得，故A正确；对于B：全校学生成绩的中位数为，故中位数
18、位于之间，故中位数为，故B错误，对于C：全校学生成绩的样本数据的分位数约为分，故C正确对于D：在被抽取的学生中，成绩在区间，和的学生人数之比为，故抽取了2人，中抽取了4人，先抽取的学生成绩位于，则第二次抽取时，是在5个人中抽取，而此时学生成绩在的个数有4个，故概率为，故D不正确，故选：AC10. 设函数在上的最小值为，函数在上的最大值为，若，则满足条件的实数可以是（ ）A. B. C. D. 【答案】BD【解析】【分析】根据对数函数和正弦函数的图象，对a分类讨论，结合对数函数、正弦函数的单调性求解即可.【详解】函数和的图象，如图，当时，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，函数在上单调递增，所
19、以，所以，解得；当时，函数在上单调递增，所以，由图可知，函数在上，有，得所以，解得，结合选项，实数a可以是和.故选：BD.11. 已知拋物线的焦点与圆上点的距离的最小值为2，过点的动直线与抛物线交于两点，以为切点的抛物线的两条切线的交点为，则下列结论正确的是（ ）A. B. 当与相切时，的斜率是C. 点在定直线上D. 以为直径的圆与直线相切【答案】ACD【解析】【分析】根据题意求出p的值，判断A；根据直线和圆相切求出直线的斜率，判断B；设直线方程，联立抛物线方程，可得根与系数的关系，求出以为切点的抛物线的两条切线的方程，结合根与系数的关系求得点P坐标，判断C；求出弦的长以及弦的中点到抛物线准线
20、的距离，即可判断D.【详解】对于A，由题意拋物线的焦点与圆上点的距离的最小值为2，即F与圆上的点的距离为2，则，A正确；对于B，过点的动直线与相切时，斜率必存在，设l的方程为，则，解得，B错误；对于C，设，由可得，联立 消掉x得，所以，设在点的切线斜率分别为，则，所以抛物线在点A点的切线方程为，即，同理可得在点B的切线方程为 ，由可得，将代入得，所以P点坐标为，即点P在定直线上，C正确；对于D，由题意知，的中点的横坐标为，可得的中点到抛物线准线的距离为，则以线段为直径的圆与抛物线C的准线相切，故D正确，故选：ACD12. 在中国共产党第二十次全国代表大会召开期间，某学校组织了“喜庆二十大，永远
21、跟党走，奋进新征程，书画作品比赛.如图，本次比赛的冠军奖杯由一个铜球和一个托盘组成，若球的体积为；如图，托盘由边长为4的正三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠而成，则下列结论正确的是（ ）A. 直线与平面所成的角为B. 经过三个顶点的球的截面圆的面积为C. 异面直线与所成的角的余弦值为D. 球离球托底面的最小距离为【答案】CD【解析】【分析】如图1，根据题意和面面垂直的性质可得平面，同理平面，由平行四边形的判定方法可知四边形、为平行四边形，结合线面角的定义与外接圆的定义即可判断AB；如图1易知异面直线AD与CF所成的角或其补角，结合余弦定理计算即可判断C；根据球的体积公式求出球的半径，结合图
22、形2计算即可判断D.【详解】A：如图1，取DE、EF、DF的中点N、M、K，取MF的中点H，连接BK、BH、KH、BM、AN、MN、DM，由为正三角形，得，又平面平面，平面平面，平面，平面，由，得平面，同理平面，则，且，所以四边形为平行四边形，由，得，所以四边形为平行四边形，得，即为直线AD与平面所成的角，所以，故A错误；B：如图1，连接AB、BC、AC，由选项A的分析知，同理，所以经过三个顶点A、B、C的球的截面圆为的外接圆，其半径为，面积为，故B错误；C：连接AM，由，得四边形是平行四边形，则，所以异面直线AD与CF所成的角或其补角，在中，由余弦定理，得，故C正确；D：设球的半径为，由球的
23、体积为，得，解得.如图2，所以球离球托底面DEF的最小距离为，故D正确.故选：CD.三填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 设复数，其中为虚数单位，则_.【答案】【解析】【分析】求复数的代数形式，再由复数的模的公式求解.【详解】因为，所以，所以，所以，故答案为：.14. 在的展开式中项的系数是_.【答案】-10【解析】【分析】写出的通项公式，在与相乘，即可求得展开式中含项的系数.【详解】在的展开式中，设的通项公式为则在的展开式中含项的系数为：故答案为：-1015. 已知函数，数列满足，给出下列两个条件：函数是递减函数；数列是递减数列.试写出一个满足条件但不满足条件的函数的解析式：
24、_.【答案】（答案不唯一，均可）【解析】【分析】若函数是递减函数，则恒成立，由此可得不是递减函数的条件为，后结合任意，函数，可得满足题意的的范围.【详解】若函数是递减函数，则在恒成立.则.则若在上不是递减函数，可得；数列是递减数列，等价于对任意，函数，又，则在上单调递减.则可使满足：，则取即可满足，不满足.故答案：（答案不唯一，均可）16. 定义是与实数的距离最近的整数（当为两相邻整数的算术平均值时，取较大整数），如，令函数，数列的通项公式为，其前项和为，则_；_.【答案】 . 3 . 【解析】【分析】根据数列新定义可知，数列重新分组可得，且满足第组有个数，且每组中所有数之和为，即可求解.【详
25、解】因为所以；根据，当时，则，当时，则，当时，则，当时，则，以此类推，将重新分组如下，第组有个数，且每组中所有数之和为，设在第组中，则，可得解得，所以，故答案为：3;.四解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17. 在中，.（1）求A；（2）若的内切圆半径，求的最小值.【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）根据已知条件、三角形的内角和定理及两角和的正弦公式，再结合解三角方程即可求解.（2）由题意可知，利用三角形的等面积法及余弦定理得出含有和的关系式，再利用基本不等式的变形即可求得的最小值.【小问1详解】在中,，整理得，即，于是所以，因为，所以，即，所
26、以，又因为，所以，所以，解得.所以.【小问2详解】令，（1）知.由，得，即，由余弦定理及（1）知，得，所以，即，于是当且仅当时取等号所以，或又的内切圆半径， ，的最小值为.18. 已知数列的前项和为（1）证明数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）设，若对任意正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）证明见解析，； （2）或.【解析】【分析】（1）由递推关系变形可得，结合等差数列定义证明结论，利用等差数列通项公式求出数列的通项公式，再根据和的关系求数列的通项公式；（2）由（1）计算，判断数列 的单调性，令的最大值小于即可求解.【小问1详解】由得，又，所以数列是以为首项，公差为1的
27、等差数列，即当时，又不满足上式，所以；【小问2详解】由（1）知，当时，；当时，即所以的最大值为，依题意，即，解得或.19. 在中，过点作，交线段于点（如图1），沿将折起，使（如图2），点分别为棱的中点.（1）求证：；（2）在图1中，图1中，图2中三棱锥的体积最大.这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，再解答问题.问题：已知_，试在棱上确定一点，使得，并求平面与平面的夹角的余弦值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）证明见解析 （2）.【解析】【分析】（1）根据线面垂直的判定定理与性质可得，结合中位线的性质可得，即可证明；（2）选：由二倍角的正切公式求出，进而求出BD
28、，选：根据向量的线性运算求出BD，选：设，利用线面垂直的判定定理和性质可得平面，则，利用导数求出体积的最大值，求出BD.分别建立如图空间直角坐标系，利用向量法求出面面角即可；【小问1详解】，平面，平面平面.又分别为的中点，.【小问2详解】选，在图1所示的中，由，解得或（舍去）.设，在Rt中，解得.以点为原点，分别为轴建立如图所示的坐标系，则.设，则.，即，解得，当（即是的靠近的一个四等分点）时，.设平面的一个法向量为，且，由得令，则，取平面CBN的一个法向量，则，平面BMN与平面的夹角的余弦值为.选，在图1所示的中，设，则，又，由平面向量基本定理知，即.以点为原点，分别为轴建立如图所示的空间直
29、角坐标系，则.设，则，即，解得，当（即是的靠近的一个四等分点）时，.设平面的一个法向量为，且，由得令，则.取平面的一个法向量，则，平面与平面的夹角的余弦值为.选，在图1所示的中，设，则，为等腰直角三角形，.折起后，且，平面，平面，又，令，当时，；当时，时，三棱锥的体积最大.以点为原点，分别为轴建立如图所示直角坐标系，则，设，则.，即，解得，当（即是的靠近的一个四等分点）时，.设平面的一个法向量为，且，由得令，则.取平面的一个法向量，则，平面与平面的夹角的余弦值为.20. 国家发改委和住建部等六部门发布通知，提到：2025年，农村生活垃圾无害化处理水平将明显提升.现阶段我国生活垃圾有填埋焚烧堆肥
30、等三种处理方式，随着我国生态文明建设的不断深入，焚烧处理已逐渐成为主要方式.根据国家统计局公布的数据，对2013-2020年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数y（单位：座）进行统计，得到如下表格：年份20132014201520162017201820192020年份代码12345678垃圾焚烧无害化处理厂的个数 y166188220249286331389463（1）根据表格中的数据，可用一元线性回归模型刻画变量与变量之间的线性相关关系，请用相关系数加以说明（精确到0.01）；（2）求出关于的经验回归方程，并预测2022年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数；（3）对于2035年全国生活垃圾焚
31、烧无害化处理厂的个数，还能用（2）所求的经验回归方程预测吗？请简要说明理由.参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为参考数据：，【答案】（1）答案见解析 （2），513 （3）答案见解析【解析】【分析】（1）根据相关系数的公式，即可代入求值，根据相关系数的大小即可作出判断，（2）利用最小二乘法即可计算求解，（3）根据相关关系不是确定的函数关系，而受多因素影响，即可求解.【小问1详解】相关系数因为与的相关系数，接近1，所以与的线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合与的关系.【小问2详解】所以与的线性回归方程为又2022年对应的年份代码，当时，所以预测2022年全国生活垃
32、圾焚烧无害化处理厂的个数为513.【小问3详解】对于2035年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数，不能由（2）所求的线性回归方程预测，理由如下（说出一点即可）：线性回归方程具有时效性，不能预测较远情况；全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数有可能达到上限，一段时间内不再新建；受国家政策的影响，可能产生新的生活垃圾无害化处理方式.21. 已知点，点分别为椭圆的左右顶点，直线交于点是等腰直角三角形，且.（1）过椭圆的上顶点引两条互相垂直的直线，记上任一点到两直线的距离分别为，求的最大值；（2）过点且斜率不为零的直线与椭圆相交于两点试问：是否存在轴上的定点，使得.若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理
33、由.【答案】（1） （2）存在定点满足条件，理由见解析.【解析】【分析】（1）由条件先求，再求的坐标，代入椭圆方程求，可得椭圆方程，由矩形性质可得，结合两点距离公式和二次函数性质求的最大值即可；（2）假设存在轴上的定点满足条件，设直线的方程为，联立方程组，利用设而不求法结合条件关系列方程求即可.【小问1详解】由是等腰直角三角形，得，.设，则由，得，代入椭圆方程得，所以椭圆的方程为.由几何关系可知：，设，则且于是当时，的最大值是；【小问2详解】设点的坐标为，点的坐标为.假设存在轴上的定点，使得，即由题意可知直线斜率不为0，所以可设直线的方程为.联立方程消去得，且直线的斜率为，直线的斜率为由得：，
34、即恒成立.解得即存在轴上的定点使得.【点睛】关键点点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题22. 已知函数f(x)=lnxx+1.（1）求f(x)的最大值；（2）设函数g(x)=f(x)+a(x1)2，若对任意实数b(2，3)，当x(0，b时，函数g(x)的最大值为g(b)，求a的取值范围；（3）若数列an的各项均为正数，a1=1，an+1=f(an)+2an+1(nN+).求证：an2n1.【答案】（1）；（2）；（
35、3）证明见解析.【解析】分析】（1）求出导函数，由导函数确定单调性，最大值（2）求出，若，由函数在上的单调性知不合题意在时，得出的解，和，分类讨论，和，确定单调性和最值，得出不等关系后可得所求结论；（3）数列递推是，利用（1）中函数的单调性得这样数列的递推等式关系变为递推故，利用此不等式让逐步缩小到1可证明结论成立【详解】（1）的定义域为，当时单调递增；当时单调递减，所以（2）由题意当时，函数上单调递增，在上单调递减，此时，不存在实数，使得当时，函数的最大值为.当时，令有，(i)当时，函数在上单调递增，显然符合题意.(ii)当，即时，函数在和上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值，且，要使对任意实数当时，函数的最大值为，只需，解得，又，所以此时实数的取值范围是.(iii)当，即时，函数在和上单调递增，在上单调递减，要对任意实数当时，函数的最大值为需代入化简得，令，因为恒成立，故恒有，所以时，式恒成立，综上，实数的取值范围是.（3）由题意，正项数列满足：由（1）知：，即有不等式由已知条件知故从而当时，所以有，对也成立，所以有【点睛】本题考查用导数求函数的最值，证明不等式成立，考查数列的递推关系解题关键是用导数确定函数的单调性，得极值，再由最值定义确定最值而不等式的证明的关键是利用题中函数不等式进行放缩，化简递推关系