1、2023年河南省洛阳市宜阳县九年级第一次学情诊断数学试题一、选择题（每小题3分，共30分）1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ）A. B. C. D. 2. “抛一枚均匀硬币，落地后正面朝上”这一事件【 】A. 必然事件B. 随机事件C. 确定事件D. 不可能事件3. 如图，在平面直角坐标系中，将以原点为位似中心放大后得到，若，则与的面积的比是（ ）A 1：2B. 1：3C. 1：9D. 9：14. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ）A. B. C. D. 5. 如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，
2、然后折叠成一个无盖的长方体纸盒若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，求剪去的小正方形的边长设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意可列方程为（）A. 10646x=32B. （102x）（62x）=32C. （10x）（6x）=32D. 1064x2=326. 如图，AB是O的直径，C=15，则BAD的度数为（ ）A. 45B. 55C. 60D. 757. 如图，在中，分别是的中点，是上一点，连接，若，则的长度为（ ） A. 10B. 12C. 13D. 168. 对于一元二次方程，当时，方程有两个相等实数根若将c的值在的基础上减小，则此时方程根的情况是（ ）A. 没有实数根B. 有两
3、个相等的实数根C. 有两个不相等的实数根D. 无法确定9. 如图，在ABC中，ABCC，将ABC绕点B逆时针旋转得DBE，点E在AC上，若ED3，EC1，则EB（ ）A. B. C. D. 210. 如图，在中，直线经过点，且垂直于将直线从点处开始，沿方向以的速度向点平移，平移过程中与交于点，与或交于，当直线平移到点时停止若直线的平移时间是，平移过程中的面积是，则与之间函数关系的图象大致是A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分）11. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_12. 某商场举行有奖竞猜活动，有A，B，C，D四个问题，其中A，B为体育类问题，C，D为文化类
4、问题，小华从四个问题中不重复地选择两个，则两个问题类型相同的概率为_13. 设，是一元二次方程的两个根，则_14. 如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当拱顶（拱桥洞的最高点）离水面时，水面宽，当水面下降时，水面的宽度为_15. 将三角形纸片(ABC)按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B，折痕为EF已知ABAC3，BC4，若以点B，F，C为顶点的三角形与ABC相似，则BF的长度是_三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16. （1）计算：；（2）解方程：17. 已知关于x的一元二次方程（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个根大于2，求k的取值范围18. 为庆祝中
5、国共青团成立100周年，某校开展四项活动：项参观学习，项团史宣讲，项经典诵读，项文学创作，要求每名学生在规定时间内必须且只能参加其中一项活动该校从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们参加活动意向，将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图（1）本次调查的样本容量是_，项活动所在扇形的圆心角的大小是_，条形统计图中项活动的人数是_；（2）若该校约有2000名学生，请估计其中意向参加“参观学习”活动的人数19. 如图，中，点D，G分别在边上，与交于点F（1）求证：；（2）若，求证：平分20. 为落实国家精准扶贫政策，某地扶贫办决定帮助扶贫对象推销当地特色农产品，该农产品成本价为18元每千克，
6、销售单价y（元）与每天销售量x（千克）（x为正整数）之间满足如图所示的函数关系，其中销售单价不得低于成本价（1）求出y与x之间所满足的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当销售量为多少时，获利最大？最大利润是多少？21. 应天门是隋唐洛阳城中轴建筑群上著名的“七天建筑”之一，是古代举行重大国事庆典与外交活动的重要场所问题提出：如何测量应天门东阙楼的高度？方案设计：如图，某数学课题研究小组通过调查研究和实地测量，他们在B处测得东阙楼楼顶的仰角为，沿向前走了至点处（三点在同一水平线上），测得东阙楼楼顶的仰角为问题解决：根据上述方案和数据，求应天门东阙楼的高度（结果精确到，参考数据：，）22
7、. 如图，抛物线与x轴交于点，点A在点B的右侧，与y轴交于点C（1）若直线AC的解析式为，求抛物线的解析式；（2）在（1）的条件下，过点B的直线与抛物线交于另一点P若直线AC与直线BP平行，求点P的坐标；（3）点，为平面直角坐标系内两点，连结MN若抛物线与线段MN只有一个公共点，直接写出c的取值范围23. 在阿基米德全集中的引理集中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理：如图1，是的弦，点P在上，于点C，点D在弦上且，在上取一点Q，连接，则（1）如图2，小亮尝试说明，于是他连接了，请你帮助他完成下列证明求证：；求证：（2）如图3，将材料中的“弦”改为“直径”，作直线l与相切于点Q过点
8、P作直线l于点G，其余条件不变，连接，若，求的半径的长2023年河南省洛阳市宜阳县九年级第一次学情诊断数学试题一、选择题（每小题3分，共30分）1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据最简二次根式的概念判断即可【详解】解：A、=，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；B、是最简二次根式，符合题意；C、=，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；D、=，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；故选：B【点睛】本题考查了最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做
9、最简二次根式2. “抛一枚均匀硬币，落地后正面朝上”这一事件是【 】A. 必然事件B. 随机事件C. 确定事件D. 不可能事件【答案】B【解析】【详解】随机事件.根据随机事件的定义，随机事件就是可能发生，也可能不发生的事件，即可判断：抛1枚均匀硬币，落地后可能正面朝上，也可能反面朝上，故抛1枚均匀硬币，落地后正面朝上是随机事件.故选B.3. 如图，在平面直角坐标系中，将以原点为位似中心放大后得到，若，则与的面积的比是（ ）A. 1：2B. 1：3C. 1：9D. 9：1【答案】C【解析】【分析】根据位似三角形定义及性质，得到，由相似三角形面积比等于相似比平方即可得到答案【详解】解：在平面直角坐
10、标系中，将以原点为位似中心放大后得到，即，故选：C【点睛】本题考查位似三角形定义与性质，熟练掌握位似三角形是相似三角形，相似三角形面积比等于相似比平方是解决问题的关键4. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据抛物线平移变化规律左加右减，上加下减求解即可【详解】解：抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为，即，故选：A【点睛】本题考查了抛物线的平移，解题关键是明确平移变化规律左加右减自变量，上加下减常数项5. 如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角
11、各剪去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，求剪去的小正方形的边长设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意可列方程为（）A. 10646x=32B. （102x）（62x）=32C. （10x）（6x）=32D. 1064x2=32【答案】B【解析】【分析】设剪去的小正方形边长是xcm，则纸盒底面的长为（102x）cm，宽为（62x）cm，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解【详解】解：设剪去的小正方形边长是xcm，则纸盒底面的长为（102x）cm，宽为（62x）cm，
12、根据题意得：（102x）（62x）32故选B【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键6. 如图，AB是O的直径，C=15，则BAD的度数为（ ）A. 45B. 55C. 60D. 75【答案】D【解析】【分析】连接BD，根据圆周角定理得到ADB=90，B=C=15，然后利用互余计算BAD的度数【详解】解：连接BD，如图，AB是O的直径，ADB=90，B=C=15，BAD=90-15=75故选：D【点睛】本题考查了圆周角定理，熟悉圆周角定理的内容是解答的关键.7. 如图，在中，分别是的中点，是上一点，连接，若，则的长度为（ ） A. 10B.
13、12C. 13D. 16【答案】A【解析】【分析】根据在中，分别是的中点，得到是的中位线，由中位线性质得到，从而得到，再由，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到【详解】解：在中，分别是的中点，由中位线定义可知，在中，为斜边上的中线，则，故选：A【点睛】本题考查三角形中位线的定义与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，根据题意，结合性质与定义，数形结合是解决问题的关键8. 对于一元二次方程，当时，方程有两个相等的实数根若将c的值在的基础上减小，则此时方程根的情况是（ ）A. 没有实数根B. 有两个相等的实数根C. 有两个不相等的实数根D. 无法确定【答案】C【解析】【分析】根据
14、一元二次方程根的判别式求解即可得【详解】解：由题意可知：，当时，当时，该方程有两个不相等的实数根，故C正确故选：C【点睛】本题考查一元二次方程利用根的判别式判断根的情况，解题的关键是熟练运用根的判别式进行求解9. 如图，在ABC中，ABCC，将ABC绕点B逆时针旋转得DBE，点E在AC上，若ED3，EC1，则EB（ ）A. B. C. D. 2【答案】A【解析】【分析】根据ABCBEC，CC，即可判定ABCBEC，再根据相似三角形的性质，即可得到BC的长，进而得到BE的长【详解】解：由旋转可得，ABCDBE，BCBE，DEAC3，CBEC，又ABCC，ABCBEC，又CC，ABCBEC，即BC
15、2CECA，BC，BE，故选：A【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用10. 如图，在中，直线经过点，且垂直于将直线从点处开始，沿方向以的速度向点平移，平移过程中与交于点，与或交于，当直线平移到点时停止若直线的平移时间是，平移过程中的面积是，则与之间函数关系的图象大致是A. B. C D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意，利用三角形面积公式，分段求出的面积，由表达式看图逐项验证即可求解【详解】解：过点作于，如图所示：在中，为直角三角形，则，当，如图1所示：，即，该函数为开口
16、向上的抛物线，且对称轴为轴，位于轴的右侧抛物线的一部分；当时，与的交点也为，如图2所示：在中，在中，即，该函数为开口向下的抛物线的一部分，对称轴为；故选：B【点睛】本题考查的是动点图象问题，涉及到解直角三角形等知识，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解二、填空题（每小题3分，共15分）11. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_【答案】x3【解析】【分析】本题考查二次根式是否有意义以及分式是否有意义，按照对应自变量要求求解即可【详解】因为二次根式有意义必须满足被开方数为非负数所以有又因为分式分母不为零所以故综上： 则：故答案为：x3【点睛】二次根式以及分式
17、的结合属于常见组合，需要着重注意分母不为零的隐藏陷阱12. 某商场举行有奖竞猜活动，有A，B，C，D四个问题，其中A，B为体育类问题，C，D为文化类问题，小华从四个问题中不重复地选择两个，则两个问题类型相同的概率为_【答案】【解析】【分析】根据列表法可进行求解概率【详解】解：由题意可列表如下：ABCDABCD由表可知一共有12种不同的选择，其中两个问题类型相同的有4种情况，所以小华从四个问题中不重复地选择两个，则两个问题类型相同的概率为；故答案【点睛】本题主要考查概率，熟练掌握利用列表法进行求解概率是解题的关键13. 设，是一元二次方程的两个根，则_【答案】【解析】【分析】先根据根与系数的关系
18、写出，再将变形，代入计算即可【详解】，是一元二次方程两个根故答案为：【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握知识点是解题的关键14. 如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当拱顶（拱桥洞的最高点）离水面时，水面宽，当水面下降时，水面的宽度为_【答案】【解析】【分析】由题意，建立坐标系，设抛物线表达式为，由当拱顶（拱桥洞的最高点）离水面时，水面宽，得到在抛物线上，即，解得，从而得出抛物线的表达式为，当水面下降时，即，解即可得到答案【详解】解：建立平面直角坐标系，如图所示：设抛物线表达式为，当拱顶（拱桥洞最高点）离水面时，水面宽，在抛物线上，即，解得，抛物线的表达式为，当水面下降时，即
19、，解得或，当水面下降时，水面的宽度为，故答案为：【点睛】本题考查二次函数图像与性质，涉及待定系数法确定二次函数关系式，读懂题意，熟记二次函数图象与性质是解决问题的关键15. 将三角形纸片(ABC)按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B，折痕为EF已知ABAC3，BC4，若以点B，F，C为顶点的三角形与ABC相似，则BF的长度是_【答案】2或【解析】【分析】设BF=，根据折叠的性质用x表示出BF和FC，然后分两种情况进行讨论（1）BFCABC和BFCBAC，最后根据两三角形相似对应边成比例即可求解【详解】设BF=，则由折叠的性质可知：BF=，FC=，（1）当BFCABC时，有，即：，
20、解得：；（2）当BFCBAC时，有，即：，解得：；综上所述，可知：若以点B，F，C为顶点的三角形与ABC相似，则BF的长度是2或故答案为2或【点睛】本题考查了三角形相似的判定和性质，解本题时，由于题目中没有指明BFC和ABC相似时顶点的对应关系，所以根据C是两三角形的公共角可知，需分：（1）BFCABC；（2）BFCBAC；两种情况分别进行讨论，不要忽略了其中任何一种三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16. （1）计算：；（2）解方程：【答案】（1）；（2），【解析】【分析】（1）根据特殊角的三角函数值及二次根式的性质，进行运算，即可求解；（2）采用配方法解此方程，即可求解【详解】解：
21、（1）；（2）移项，得配方，得，即由此可得，故原方程的解为，【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值及二次根式的性质，配方法解一元二次方程，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键17. 已知关于x的一元二次方程（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个根大于2，求k的取值范围【答案】（1）方程总有两个实数根；（2）【解析】【分析】(1)根据判别式与二元一次方程根的关系，判断判别式的大小即可得到答案；(2)根据求根公式得到两根的表达式，再根据有一个根大于2求解即可得到答案；【详解】解：（1）依题意，得=，方程总有两个实数根（2）解：由求根公式，得， ， 该方程有一个根大于2， ， k的取
22、值范围是【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的个数与判别式的关系、公式法求解二元一次方程，掌握判别式0，方程有两个实数根是解题的关键18. 为庆祝中国共青团成立100周年，某校开展四项活动：项参观学习，项团史宣讲，项经典诵读，项文学创作，要求每名学生在规定时间内必须且只能参加其中一项活动该校从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们参加活动的意向，将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图（1）本次调查的样本容量是_，项活动所在扇形的圆心角的大小是_，条形统计图中项活动的人数是_；（2）若该校约有2000名学生，请估计其中意向参加“参观学习”活动的人数【答案】（1）80，20 （2）大约有8
23、00人【解析】【分析】（1）根据“总体=部分对应百分比”与“圆心角度数=360对应百分比”可求得样本容量及B项活动所在扇形的圆心角度数，从而求得C项活动的人数；（2）根据“部分=总体对应百分比”，用总人数乘以样本中“参观学习”的人数所占比例可得答案【小问1详解】解：样本容量：1620%=80（人），B项活动所在扇形的圆心角：，C项活动的人数：80321216=20（人）；故答案为：80，54，20；【小问2详解】解：（人），答：该校意向参加“参观学习”活动的学生大约有800人【点睛】本题主要考查了条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，读懂图，找出对应数据，熟练掌握总体、部分与百分比之间的关系
24、是解题的关键19. 如图，在中，点D，G分别在边上，与交于点F（1）求证：；（2）若，求证：平分【答案】（1）见解析 （2）见解析【解析】【分析】（1）只需要证明得到，即可证明；（2）由相似三角形的性质得到，进而可证明得到，即可证明平分【小问1详解】证明：，；【小问2详解】证明：，平分【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键20. 为落实国家精准扶贫政策，某地扶贫办决定帮助扶贫对象推销当地特色农产品，该农产品成本价为18元每千克，销售单价y（元）与每天销售量x（千克）（x为正整数）之间满足如图所示的函数关系，其中销售单价不得低于成本价（1）求出y
25、与x之间所满足的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当销售量为多少时，获利最大？最大利润是多少？【答案】（1）；（2）当时，获利最大，最大利润是512元【解析】【分析】（1）当0x20且x为整数时，y40；当x20时，设ykx+b，由待定系数法求得函数解析式；（2）设所获利润为w（元），分两种情况：当0x20且x为整数时，当20x64且x为整数时，分别得出w的表达式，并分别得出w的最大值，然后两者比较即可得出答案【详解】解：（1）当且为整数时，；当时，设，代入和得：，解得当时，代入，得且为整数，综上所述，与之间所满足的函数关系式为（2）设所获利润为w（元），当且x为整数时，y40，22
26、0，w随着x的增大而增大，则当x20时，w有最大值，最大值为440；当且x为整数时，当x32时，w最大，最大值为512元，当x32时，获利最大，最大利润是512元【点睛】本题主要考查了一次函数与二次函数实际应用问题中的销售问题，利用二次函数的性质求得最值以及数形结合思想是解题的关键21. 应天门是隋唐洛阳城中轴建筑群上著名的“七天建筑”之一，是古代举行重大国事庆典与外交活动的重要场所问题提出：如何测量应天门东阙楼的高度？方案设计：如图，某数学课题研究小组通过调查研究和实地测量，他们在B处测得东阙楼楼顶的仰角为，沿向前走了至点处（三点在同一水平线上），测得东阙楼楼顶的仰角为问题解决：根据上述方案
27、和数据，求应天门东阙楼的高度（结果精确到，参考数据：，）【答案】【解析】【分析】设，在中，得到，从而有，在中，得到，代值列方程求解即可得到答案详解】解：设，在中，在中，即，解得，答：应天门东阙楼的高度约为【点睛】本题考查三角函数测高，熟练掌握解直角三角形的方法步骤是解决问题的关键22. 如图，抛物线与x轴交于点，点A在点B的右侧，与y轴交于点C（1）若直线AC的解析式为，求抛物线的解析式；（2）在（1）的条件下，过点B的直线与抛物线交于另一点P若直线AC与直线BP平行，求点P的坐标；（3）点，为平面直角坐标系内两点，连结MN若抛物线与线段MN只有一个公共点，直接写出c的取值范围【答案】（1）
28、（2） （3）或【解析】【分析】（1）根据求出点坐标，然后将点坐标代入即可；（2）求出点坐标，设直线为，并将点坐标代入，然后联立解析式即可求出坐标；（3）分类讨论：为两个临界点，分别代入即可；抛物线顶点在线段上，顶即点纵坐标为；【小问1详解】解：解：在中，令，得点抛物线与y轴交于点C，抛物线的解析式为【小问2详解】解：在中，令，得解得，点A在点B的右侧，点直线AC与直线BP平行，直线AC的解析式为，设直线BP的解析式为直线BP经过点，解得直线BP的解析式为令解得（舍去），把代入，得点【小问3详解】解：将，分别代入中得：，当顶点坐标的纵坐标为时，也只有一个交点，即：，解得：，c的取值范围为或【点
29、睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合，相关知识点有：求二次函数表达式、求图象与轴的交点坐标、抛物线与直线的交点数量等，熟悉二次函数的相关知识点是解题关键23. 在阿基米德全集中的引理集中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理：如图1，是的弦，点P在上，于点C，点D在弦上且，在上取一点Q，连接，则（1）如图2，小亮尝试说明，于是他连接了，请你帮助他完成下列证明求证：；求证：（2）如图3，将材料中的“弦”改为“直径”，作直线l与相切于点Q过点P作直线l于点G，其余条件不变，连接，若，求的半径的长【答案】（1）见解析；见解析 （2）【解析】【分析】（1）根据题中条件，可知垂直平分线段，得到，根据圆内接四边形的性质，可知，再结合角之间的替换，即可证出；根据等弧对等弦，再结合，可得，再结合中结论，即可证出（2）连接、，根据题中条件证明，可得，再根据，切线性质，可证，最后即可求出答案【小问1详解】证明：，垂直平分线段，四边形为的内接四边形，由知，即，【小问2详解】如图，连接，直线l与相切于点O，与（1）同理，可得，的半径【点睛】本题考查了关于圆的知识点，涉及到圆内接四边形的性质、切线的性质、垂直平分线的性质，灵活运用所学知识是解题关键