1、第5章二次函数知识点梳理（1）二次函数的概念一般地，形如yax2bxc（a0，a，b，c为常数）的函数是二次函数若b0，则yax2c；若c0，则yax2bx；若bc0，则yax2这三种形式都是二次函数的特殊形式，而yax2bxc（a0）是二次函数的一般式二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：yax2（a0）；yax2k（a0）；ya(xh)2（a0）；ya(xh)2k（a0），其中h，k；yax2bxc（a0）特别说明：如果yax2bxc（a0，a, b, c为常数），那么y叫做x的二次函数这里，当a0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零a的绝对值越大，抛物线的开口越小
2、（2）二次函数式的表示方法1、一般式：yax2bxc（a，b，c为常数，a0）；2、顶点式：ya(xh)2k（a，h，k为常数，a0）；3、两根式（交点式）：ya(xx1)(xx2)（a0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）特别说明：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b24ac0时，抛物线的式才可以用交点式表示二次函数式的这三种形式可以互化（3）二次函数式的图像和性质1、二次函数yax2（a0）的图像及性质二次函数yax2（a0）的图像用描点法画出二次函数yax2（a0）的图像，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的
3、曲线叫做抛物线因为抛物线yx2关于y轴对称，所以y轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，从图上看，抛物线yx2的顶点是图像的最低点。因为抛物线yx2有最低点，所以函数yx2有最小值，它的最小值就是最低点的纵坐标二次函数yax2（a0）的图像的画法用描点法画二次函数yax2（a0）的图像时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x的值，然后计算出对应的y值，这样的对应值选取越密集，描出的图像越准确特别说明：用描点法画二次函数yax2（a0）的图像，该图像是轴对称图形，对称轴是y轴yax2（a0）是最简单的二次函数，把yax2（a0）的图像左右、上下平行移动可以得到yax2bx
4、c（a0）的图像画草图时应抓住以下几点：1）开口方向，2）对称轴，3）顶点，4）与x轴的交点，5）与y轴的交点二次函数yax2（a0）的图像的性质二次函数yax2（a0）的图像的性质，见下表： 函数图像开口方向顶点坐标对称轴函数变化最值yax2（a0）向上（0，0）y轴x0时，y随x增大而增大；x0时，y随x增大而减小当x0时，y最小值0yax2（a0）向下（0，0）y轴x0时，y随x增大而减小；x0时，y随x增大而增大当x0时，y最大值0特别说明：顶点决定抛物线的位置，几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同a相同，抛物线的开口大小
5、、形状相同；a越大，开口越小，图像两边越靠近y轴；a越小，开口越大，图像两边越靠近x轴2、二次函数yax2k（a0）的图像及性质 xOyyax2k（k0）kyxOkyax2k（k0）二次函数yax2k（a0）的图像1）a0yxOkyax2k（k0）yxOkyax2k（k0）2）a0二次函数yax2k（a0）的图像的性质关于二次函数yax2k（a0）的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减性以及函数的最值等方面来研究下面结合图像，将其性质列表归纳如下：函数yax2k（a0，k0）yax2k（a0，k0）图像开口方向向上向下顶点坐标（0，k）（0，k）对称轴y轴y轴函数变化当x0
6、时，y随x增大而增大；当x0时，y随x增大而减小当x0时，y随x增大而增小；当x0时，y随x增大而减大最值当x0时，y最小值k当x0时，y最大值k二次函数yax2（a0）与yax2k（a0）之间的关系（上加下减）函数yax2k（a0）的图像是由函数yax2（a0）的图像向上（或向下）平移k个单位得到的，顶点坐标为（0，k）特别说明：抛物线yax2k（a0）的对称轴是y轴，顶点坐标是（0，k），与抛物线yax2（a0）的形状相同抛物线yax2（a0）的对称轴、最值与顶点密不可分，其对称轴即为过顶点且与x轴垂直的一条直线，其顶点横坐标x0，抛物线平移不改变抛物线的形状，即a的值不变，只是位置发生变
7、化而已3、函数ya(xh)2（a0）与函数ya(xh)2k（a0）的图像与性质函数ya(xh)2（a0）的图像与性质a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a0向上（h，0）xh当xh时，y随x的增大而增大；当xh时，y随x的增大而减小；当xh时，y有最小值0a0向下（h，0）xh当xh时，y随x的增大而增小；当xh时，y随x的增大而减大；当xh时，y有最大值0函数ya(xh)2k（a0）的图像与性质a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a0向上（h，k）xh当xh时，y随x的增大而增大；当xh时，y随x的增大而减小；当xh时，y有最小值ka0向下（h，k）xh当xh时，y随x的增大而增小；当xh时，y
8、随x的增大而减大；当xh时，y有最大值k特别说明：二次函数ya(xh)2k（a0）的图像常与直线、三角形、面积问题结合在一起，借助它的图像与性质，运用数形结合、函数、方程思想解决问题4、二次函数的平移平移步骤：(1) 将函数解析式转化成顶点式ya(xh)2k，确定其顶点坐标（h，k）；(2) 保持抛物线yax2的形状不变，将其顶点平移到（h，k）处，具体平移方法如下： 平移规律：在原有函数的基础上“h值为正右移，为负左移；k值为正上移，为负下移”概括成八个字就是“左加右减，上加下减”特别说明：(1) yax2bxc沿y轴平移：向上（下）平移m个单位，变成yax2bxcm（或yax2bxcm）；
9、(2) yax2bxc沿x轴平移：向左（右）平移m个单位，变成ya(xm)2b(xm)c（或ya(xm)2b(xm)c）5、二次函数yax2bxc（a0）与ya(xh)2k（a0）之间的相互关系顶点式化成一般式从函数式ya(xh)2k（a0）我们可以直接得到抛物线的顶点（h，k），所以我们称ya(xh)2k为顶点式，将顶点式ya(xh)2k去括号，合并同类项就可化成一般式yax2bxc一般式化成顶点式对照ya(xh)2k，可知h，k 抛物线yax2bxc的对称轴是直线x，顶点坐标是（，）特别说明：(1) 抛物线yax2bxc的对称轴是直线x，顶点坐标是（，），可以当作公式加以记忆和运用(2)
10、求抛物线yax2bxc的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用6、二次函数yax2bxc（a0）的图象的画法一般方法：列表、描点、连线；简易画法：五点定形法(1) 先根据函数式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴(2) 求抛物线yax2bxc与坐标轴的交点，当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称轴的对称点D，将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来特别说明：当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及
11、对称点D，由C、M、D三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、B，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象7、二次函数yax2bxc（a0）的图象与性质二次函数yax2bxc（a0）图象与性质函数二次函数yax2bxc（a0，a，b，c为常数）图象a0a0开口方向向上向下对称轴直线x直线x顶点坐标（，）（，）增减性在对称轴的左侧，即当x时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x时，y随x的增大而增大简记：左减右增在对称轴的左侧，即当x时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x时，y随x的增大而减小简记：左增右减最值抛物线有最低点，当x
12、时，y有最小值，y最小值抛物线有最高点，当x时，y有最大值，y最大值二次函数yax2bxc（a0）图象的特征与a、b、c及b24ac的符号之间的关系项目字母字母的符号图象的特征aa0开口向上a0开口向下bab0(a，b同号)对称轴在y轴左侧ab0(a，b异号)对称轴在y轴右侧cc0图象过原点c0与y轴正半轴相交c0与y轴负半轴相交b24acb24ac0与x轴有唯一交点b24ac0与x轴有两个交点b24ac0与x轴没有交点8、求二次函数yax2bxc（a0）的最大（小）值的方法如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当x时，y最值特别说明：如果自变量的取值范围是x
13、1xx2，那么首先要看是否在自变量的取值范围内，若在此范围内，则当x时，y最值，若不在此范围内，则需要考虑函数在x1xx2范围内的增减性：如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当xx2时，y最大值ax22bx2c；当xx1时，y最小值ax12bx1c；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当xx1时，y最大值ax12bx1c；当xx2时，y最小值ax22bx2c；如果在此范围内，y值有增有减，则需考察xx1，xx2，x三种情况下y值的情况9、用待定系数法求二次函数表达式的方法步骤如下：第一步，设：设二次函数的表达式，如yax2bxc或ya(xh)2k或ya(xx1)(xx2)，其中a0；第二步
14、，代：根据题中所给条件，代入二次函数的式中，得到关于式中待定系数的方程(组)；第三步，解：解此方程或方程组，求出待定系数；第四步，还原：将求出的待定系数还原到所设的表达式中特别说明：在设函数的式时，一定要根据题中所给条件选择合适的形式：当已知抛物线上的三点坐标时，可设函数的式为yax2bxc；当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时，可设函数的式为ya(xh)2k；当已知抛物线与x轴的两个交点（x1，0），（x2，0）时，可设函数的式为ya(xx1)(xx2)10、二次函数与一元二次方程的关系二次函数图像与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况求二次函数yax2bxc（a0）的图像与x
15、轴的交点坐标，就是令y0，求ax2bxc0中x的值的问题此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴交点的个数，它们的关系如下表：判别式b24ac二次函数yax2bxc（a0）一元二次方程ax2bxc0（a0）图像与x轴的交点坐标根的情况0a0抛物线yax2bxc（a0）与x轴交于（x1，0），（x2，0）两点（x1x2），且x1,2-bb2-4ac2a，此时称抛物线与x轴相交一元二次方程ax2bxc0（a0）有两个不相等的实数根x1,2-bb2-4ac2aa00a0抛物线yax2bxc（a0）与x轴交切于（，0）这一点，此时称抛物线与x轴相切一元二次方程ax2
16、bxc0（a0）有两个相等的实数根x1x2a00a0抛物线yax2bxc（a0）与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离一元二次方程ax2bxc0（a0）在实数范围内无解（或称无实数根）a0特别说明：二次函数图像与x轴的交点的个数由b24ac的值来确定的(1) 当二次函数的图像与x轴有两个交点时，b24ac0，方程有两个不相等的实根；(2) 当二次函数的图像与x轴有且只有一个交点时，b24ac0，方程有两个相等的实根；(3) 当二次函数的图像与x轴没有交点时，b24ac0，方程没有实根抛物线与直线的交点问题抛物线与x轴的两个交点的问题实质就是抛物线与直线的交点问题，我们把它延伸到求二次函数抛物线与
17、y轴交点和二次函数与一次函数ykxb1（k0）的交点问题：抛物线yax2bxc（a0）与y轴的交点是（0，c）抛物线yax2bxc（a0）与一次函数ykxb1（k0）交点个数由方程组ykxb1yax2bxc解的个数决定：(1) 当方程组有两组不同的解时两函数图像有两个交点；(2) 当方程组有两组相同的解时两函数图像只有一个交点；(3) 当方程组无解时两函数图像没有交点总之，探究直线与抛物线的交点的问题，最终是讨论方程(组)的解的问题特别说明：求两函数图像交点的问题主要运用转化思想，即将函数的交点问题转化为求方程组解的问题或者将求方程组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题11、利用二次函数图
18、像求一元二次方程的近似解用图像法解一元二次方程ax2bxc0（a0）的一般步骤：(1)作二次函数yax2bxc（a0）的图像，由图像确定交点个数，即方程解的个数；(2)确定一元二次方程ax2bxc0（a0）的根的取值范围，即确定抛物线yax2bxc（a0）与x轴交点的横坐标的大致范围；(3)在(2)确定的范围内，用计算器进行探索，即在(2)确定的范围内，从大到小或从小到大依次取值，用表格的形式求出相应的y值；(4)确定一元二次方程ax2bxc0（a0）的近似根，在(3)中最接近0的y值所对应的x值即是一元二次方ax2bxc0（a0）的近似根特别说明：求一元二次方程ax2bxc0（a0）的近似解
19、的三种方法（图像法）：法一：直接作出函数yax2bxc的图像，则图像与x轴交点的横坐标就是方程ax2bxc0的根；法二：先将方程变为ax2bxc，再在同一坐标系中画出抛物线yax2bx和直线yc，图像交点的横坐标就是方程ax2bxc0的根；法三：将方程化为x2x0，移项后得x2x，设y1x2和y2x，在同一坐标系中画出抛物线y1x2和直线y2x的图像，图像交点的横坐标即为方程ax2bxc0的根12、抛物线与x轴的两个交点之间的距离公式当0时，设抛物线yax2bxc与x轴的两个交点为A(x1，0)，B(x2，0)，则x1、x2是一元二次方程ax2bxc0的两个根由根与系数的关系得x1x2，x1x
20、2 即 （0）13、抛物线与不等式的关系二次函数yax2bxc（a0）与一元二次不等式ax2bxc0（a0）及ax2bxc0（a0）之间的关系如下（x1x2）：判别式a0抛物线yax2bxc与x轴的交点不等式ax2bxc0的解集不等式ax2bxc0的解集0xx1或xx2x1xx20xx1（或xx2）无解0全体实数无解注：a0的情况请同学们自己完成特别说明：抛物线yax2bxc在x轴上方的部分，点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式ax2bxc0的解集；在x轴下方的部分，点的纵坐标都为负，所对应的x的所有值就是不等式ax2bxc0的解集不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号14、用二
21、次函数解决问题列二次函数解应用题列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式对于应用题要注意以下步骤：(1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)(2)设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确(3)列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，也就是二次函数(4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题(5)检验所得解是否符合实际，即是否为所提问题的答案(6)写出答案特别说明：常见的问
22、题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式建立二次函数模型求解实际问题一般步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；(2)将已知条件转化为点的坐标；(3)合理地设出所求函数关系式；(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式；(5)利用关系式求解问题特别说明：(1)利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图像及性质去研究问题在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义(2)由低到高处理好如下三个方面的问题：首先必须了解二次函数的基本性质；学会从实际问题中建立二次函数的模型；借助二次函数的性质来解决实际问题