1、江苏省扬州市江都区2021-2022学年高一下期中数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.）1. 已知复数，其中是虚数单位，则的实部为（ ）A. B. C. D. 2. 已知向量，且，那么实数( )A. B. C. D. 3. 函数的零点所在的区间为（ ）A B. C. D. 4. 已知平面向量，的夹角为，且，则的值为（ ）A. B. C. D. 5. 已知，则（ ）A. B. C. D. 6. “宝塔有湾湾有塔，琼花无观观无花”，这宝塔即为文峰宝塔，文峰塔是水陆交通进出扬州的标志，此塔最宜登高远眺，俯观塔下殿宇静谧安详，运河流淌，形成动静对比. 某个学生想要测量塔的高度
2、，选取与塔底在同一个水平面内的两个测量基点与，现测得，米，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高为（ ）米.A. B. C. D. 7. 已知菱形边长为，是中点，则的值为（ ）A. B. C. D. 8. 在中，是线段上一点，且，记 ，若，则（ ）A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.）9. （多选）已知函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，若，则在区间上（ ）A 方程没有实数根B. 方程至多有一个实数根C. 若函数单调，则必有唯一的实数根D. 若函数不单调，则至少有一个实数根
3、10. 下列三角表达式中，正确的是（ ）A. B. C. D. 11. 下列命题正确的是（ ）A. B. 已知向量与的夹角是钝角，则的取值范围是C. 已知不共线且，若三点共线，则D. 已知向量，则在上的投影向量是12. 在中，角所对的边分别是，下列说法正确的是（ ）A. 若，则的形状是等腰三角形B. ，若，则这样的三角形有两个C. 若，则面积的最大值为D. 若的面积，则的最大值为三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13. 实数满足，则_14. 化简：_15. 在年月日举行的北京冬奥会开幕式上，贯穿全场的雪花元素为观众带来了一场视觉盛宴，象征各国、各地区代表团的朵“小雪花”汇聚成
4、一朵代表全人类“一起走向未来”的“大雪花”的意境惊艳了全世界（如图），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形（如图）已知正六边形的边长为，点满足，则_；若点是其内部一点（包含边界），则的最大值是_16. 已知函数，若方程有三个不同的实数根，则的取值范围为_四、解答题（本大题共6小题，共70分.）17. 已知复数（其中，i为虚数单位）是纯虚数.（1）求实数的值；（2）若复数，求18. 已知为锐角，（1）求，的值；（2）若，求的值.19. 在， ， 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.已知在中，角、所对的边分别是、，_.（1）求角；（2）若，的面积为，求的周长.20. 已知中，是直角，点
5、是的中点，为上一点，且，设，（1）请用，来表示，；（2）若，求21. 江都种植花木，历史悠久，相传始于唐代，盛于清代，素有“花木之乡”之称，在国内外有较高的知名度某种植园准备将如图扇形空地分隔成三部分建成花卉观赏区，分别种植玫瑰花、郁金香和菊花；已知扇形的半径为米，圆心角为，动点在扇形的弧上，点在上，且（1）当米时，求的长；（2）综合考虑到成本和美观原因，要使郁金香种植区的面积尽可能的大；设，求面积的最大值22 已知函数.（1）求零点；（2）若在上有解，求的取值范围；（3）设，且在上的最小值为，求实数的值江苏省扬州市江都区2021-2022学年高一下期中数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，
6、每小题5分，共40分.）1. 已知复数，其中是虚数单位，则的实部为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由复数乘法运算可求得，根据实部定义可得结果.【详解】，的实部为.故选：B.2. 已知向量，且，那么实数( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据向量共线的坐标表示列出方程即可求解k的值【详解】，且，2(2)1k，解得k4故选：C3. 函数的零点所在的区间为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】判断函数的单调性，计算区间端点处函数值，由局零点存在定理即可判断答案.【详解】函数,是单调递增函数，当 时， ，故 故函数的零点所在的区间为，故选：
7、B4. 已知平面向量，的夹角为，且，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由展开计算得到的值，从而得到答案.【详解】因为平面向量，的夹角为，且，所以，所以.故选：A.5. 已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据，利用诱导公式和二倍角公式，转化为求解.【详解】因为，所以，.故选：B.6. “宝塔有湾湾有塔，琼花无观观无花”，这宝塔即为文峰宝塔，文峰塔是水陆交通进出扬州的标志，此塔最宜登高远眺，俯观塔下殿宇静谧安详，运河流淌，形成动静对比. 某个学生想要测量塔的高度，选取与塔底在同一个水平面内的两个测量基点与，现测得，米，在点处测得塔顶的仰角
8、为，则塔高为（ ）米. A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理求得，进而求得.【详解】在三角形中：，由正弦定理得，在中，米.故选：D7. 已知菱形边长为，是中点，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】以 为基底，将 用基底表示，再利用向量数量积的定义与运算律计算即可【详解】 故选：C8. 在中，是线段上一点，且，记 ，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理求解即可.【详解】如图所示：由正弦定理得：，因为，所以.故选：A二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符
9、合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.）9. （多选）已知函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，若，则在区间上（ ）A. 方程没有实数根B. 方程至多有一个实数根C. 若函数单调，则必有唯一的实数根D. 若函数不单调，则至少有一个实数根【答案】CD【解析】【分析】根据零点存在定理可得答案.【详解】由函数零点存在定理，知函数在区间上至少有一个零点，所以若函数不单调，则至少有一个实数根，若函数单调，则函数有唯一的零点，即必有唯一的实数根，故选：CD10. 下列三角表达式中，正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】AC【解析】【分析】根据三角函数的二倍角正弦公式，判断A;根据二倍角余
10、弦公式，判断B;根据两角和的正切公式，判断C;根据两角差的正弦公式，判断D.【详解】,故A正确；，故B错误；，故C正确；，故D错误；故选：AC11. 下列命题正确的是（ ）A. B. 已知向量与的夹角是钝角，则的取值范围是C. 已知不共线且，若三点共线，则D. 已知向量，则在上的投影向量是【答案】AD【解析】【分析】根据向量加法运算、向量的夹角、三点共线、投影向量的知识对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】A选项，A选项正确.B选项，当时，此时与的夹角是钝角矛盾，B选项错误.C选项，由于三点共线，所以，C选项错误.D选项，在上的投影向量是，D选项正确.故选：AD12. 在中，角所对的边分别
11、是，下列说法正确的是（ ）A. 若，则的形状是等腰三角形B. ，若，则这样的三角形有两个C. 若，则面积的最大值为D. 若的面积，则的最大值为【答案】ACD【解析】【分析】求得判定的形状是等腰三角形.选项A判断正确；求得角C有一个值.选项B判断错误；求得面积的最大值判断选项C；求得的最大值判断选项D.【详解】选项A：由，可得，化简得，则的形状是等腰三角形.判断正确；选项B：由，则有，由，可得，则则满足条件的三角形仅有一个.判断错误；选项C：由，可得则（当且仅当时等号成立），解之得则面积.判断正确；选项D：由的面积，可得化简得，又，则又，则，则，（当且仅当时等号成立）即的最大值为.判断正确.故选
12、：ACD三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13. 实数满足，则_【答案】1【解析】【分析】根据复数的除法运算化简，结合复数相等，求得答案.【详解】由得：，即 ，故，故答案：114. 化简：_【答案】-1【解析】【分析】利用平方关系和二倍角余弦公式求解.【详解】故答案为：-115. 在年月日举行的北京冬奥会开幕式上，贯穿全场的雪花元素为观众带来了一场视觉盛宴，象征各国、各地区代表团的朵“小雪花”汇聚成一朵代表全人类“一起走向未来”的“大雪花”的意境惊艳了全世界（如图），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形（如图）已知正六边形的边长为，点满足，则_；若点是其内部一点（包含边界），
13、则的最大值是_【答案】 . #0.5 . #1.5【解析】【分析】由题可得，利用向量的数量积的运算法则即得，然后利用数量积的定义结合正六边形的性质即得.【详解】由题可知，设向量的夹角为，设在直线的射影为，要使的最大则，因为，如图可知当在处时，最大，此时.故答案为：；.16. 已知函数，若方程有三个不同的实数根，则的取值范围为_【答案】【解析】【分析】将问题转化为函数与的图象有三个交点，数形结合即可求解.【详解】方程有三个不同的实数根等价于函数与的图象有三个交点不妨设，结合图象可得，则故答案：四、解答题（本大题共6小题，共70分.）17. 已知复数（其中，i为虚数单位）是纯虚数.（1）求实数的值
14、；（2）若复数，求【答案】（1） （2）18【解析】【分析】（1）由纯虚数的定义直接求即可；（2）先化简求出，再由共轭复数求出，即可求出.【小问1详解】因为为纯虚数，则，解得；【小问2详解】由（1）得，因为，所以， 则 ， .18. 已知为锐角，（1）求，的值；（2）若，求的值.【答案】（1）， （2）【解析】【分析】（1）由已知求得，根据二倍角公式可求得答案;（2）由（1）的结果求得，继而可求得的值，利用，结合两角差的正切公式，求得答案.【小问1详解】因为为锐角，且，则，所以， 【小问2详解】因为为锐角,，,所以， 所以， 又因为，所以.19. 在， ， 这三个条件中任选一个，补充在下面问题
15、中，并解答.已知在中，角、所对的边分别是、，_.（1）求角；（2）若，的面积为，求的周长.【答案】（1）条件选择见解析， （2）【解析】【分析】（1）选，利用正弦定理结合辅助角公式可得出，结合角的取值范围可求得角的值；选，利用余弦定理可求得的值，结合角的取值范围可求得角的值；选，利用辅助角公式可求得，结合角的取值范围可求得角的值；（2）利用三角形的面积公式可求得的值，利用余弦定理可求得的值，即可求得该三角形的周长.【小问1详解】解：选条件，根据正弦定理及得，因为、，则，则，即，因为，所以，故；选条件，由已知可得，则，由余弦定理可得，则；选条件，在中，所以，即，又，所以，所以.【小问2详解】解：
16、，得，根据余弦定理可得，所以，所以的周长为.20. 已知中，是直角，点是的中点，为上一点，且，设，（1）请用，来表示，；（2）若，求.【答案】（1）， （2）【解析】【分析】（1）结合平面向量的线性运算求得正确答案.（2）由得到，由此化简求得.【小问1详解】，由，.【小问2详解】因为中，是直角，可得，即，即，由（1）知：，又因为，所以，所以，即.21. 江都种植花木，历史悠久，相传始于唐代，盛于清代，素有“花木之乡”之称，在国内外有较高的知名度某种植园准备将如图扇形空地分隔成三部分建成花卉观赏区，分别种植玫瑰花、郁金香和菊花；已知扇形的半径为米，圆心角为，动点在扇形的弧上，点在上，且（1）当米
17、时，求的长；（2）综合考虑到成本和美观原因，要使郁金香种植区的面积尽可能的大；设，求面积的最大值【答案】（1）长为80米 （2）平方米【解析】【分析】（1）根据已知条件，结合余弦定理，即可求解（2）根据已知条件，结合正弦定理以及三角函数的恒等变换公式，即可求解【小问1详解】扇形的半径，因为圆心角为，所以，又，在中，由余弦定理可得，即解得或（舍去），所以的长为80米.【小问2详解】因为，在中，由正弦定理可得，所以， 所以的面积为， 故当，即时，的面积最大为平方米，所以此时种植郁金香的最大面积是平方米22. 已知函数.（1）求的零点；（2）若在上有解，求的取值范围；（3）设，且在上的最小值为，求实数的值【答案】（1） （2） （3）3【解析】【分析】（1）由求得的零点.（2）结合零点存在性定理列不等式组，由此求得的取值范围.（3）利用换元法化简化简，整理成二次函数顶点式，对进行分类讨论，结合在区间上的最小值来求得的值.【小问1详解】令，可得，解得.【小问2详解】因为，令，则在单调递增，因为在上有零点，由零点存在定理得，得，所以.【小问3详解】因为，令，因为，所以，所以，当时，在上为减函数，在上为增函数，所以，即，所以，解得，或（舍去）；当时，在上为增函数，所以，即，所以，解得（舍去），所以.