1、2020-2021学年江苏省南通市高一下期中数学试卷一、单项选择题：本题共7小题，每小题5分，共40分.1. 若纯虚数满足，则实数的值为（ ）A. B. C. D. 2. 在中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，若，则B=（ ）A. 或B. C. D. 或3. 算数书竹简于上世纪八十年代出土在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当与给出了由圆锥底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式，实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取3.那么近似公式，相当于将圆锥体积公式中的近似取值为（ ）A. B
2、. C. D. 34. 若复数，则复数（ ）A. B. C. D. 5. 给出下列关于直线a，b和平面的四个命题中，正确命题的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则6. 的三个内角的对边分别为，若，则的形状是（ ）A. 等腰非直角三角形B. 直角非等腰三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形7. 三个内角，的对边分别为，若三角形中，且，则（ ）A. 3B. C. 2D. 4二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有项选错得0分.8. 已知的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列条件
3、中只有一解的选项是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，9. 已知函数的定义域为，值域为，则的值可能为（ ）A. B. C. D. 10. 1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式（e是自然对数的底，i是虚数单位），这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被普为“数学中的天桥”.下列说法正确的是（ ）A. B. C. D. 11. 如图一张矩形白纸ABCD，E，F分别为AD，BC中点，现分别将，沿BE，DF折起，且A，C在平面BFDE的同侧，下列命题正确的是（ ）A. 当平面平面CDF时，B. 当平面平面CDF时，平面BFDEC. 当A，C重合于点P时，D. 当
4、A，C重合于点P时，三棱锥外接球表面积为150.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.12. i是虚数单位，_.13. 市面上出现某种如图所示的冰激凌，它的下方可以看作个圆台，上方可以看作一个圆锥组成的组合图形，经过测量，圆台上底面的半径为4，下底半径为为2，深为6，上方的圆锥高为9，则此冰激凌的体积为_.14. 已知，则_15. 由两块直角三角形拼成如图所示的空间立体图形，其中，当时，此时四点外接球的体积为_；异面直线所成角的余弦为_.四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.
5、中，三个内角、的对边分别为、，点为边上一点，若，.（1）若，求边的值；（2）若，求的长.17. 在正四棱柱中，M为BB1的中点.（1）求证：平面平面；（2）求证：平面.18. 如图，在多面体中，.（1），且，点为的中点，求证：平面；（2）若是等边三角形，在线段上，且，求与平面所成角正弦值的大小.19. 三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c.；.（1）在上述三个条件中任选一个，求B；（2）在（1）所选定的条件下，若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.20. 如图，在四棱锥中，经过AB平面与PDPC分别交于点E与点F，且平面平面PCD，平面ABFE.（1）求证：；（2）求证：平面平面PCD.2
6、1. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，EF为PD的两个三等分点.（1）求证：平面ACF；（2）若平面平面PCD，PC与平面ABCD所成角为，求二面角的正弦值.2020-2021学年江苏省南通市高一下期中数学试卷一、单项选择题：本题共7小题，每小题5分，共40分.1. 若纯虚数满足，则实数的值为（ ）A B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用复数的除法化简复数，根据题意可得出关于实数的等式，进而可求得实数的值.【详解】由题意得，则，解得，故选：D.2. 在中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，若，则B=（ ）A. 或B. C. D. 或【答案】C【解析
7、】【分析】利用正弦定理求出的值，结合大边对大角可求出B的范围，根据特殊角的三角函数值即可解得B的值.【详解】因为，由正弦定理，得，又ba，所以，所以.故选：C3. 算数书竹简于上世纪八十年代出土在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当与给出了由圆锥底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式，实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取3.那么近似公式，相当于将圆锥体积公式中的近似取值为（ ）A. B. C. D. 3【答案】A【解析】【分析】因为圆锥的体积为，故而，由可得的近似值.【详解】设圆锥的底面半径
8、为，则圆锥的底面周长，所以，所以.令，得.故选：A.4. 若复数，则复数（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出结果.详解】由得，故选：A5. 给出下列关于直线a，b和平面的四个命题中，正确命题的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】B【解析】【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一分析四个选项可得答案【详解】解：若ab，b，则a或a，故A错误；若，b，则b，又a，则ab，故B正确；若a，b，则ab或a与b异面，故C错误；若a，则a或a或a与相交，相交也不一定垂直，故D错误故选：B6. 的三
9、个内角的对边分别为，若，则的形状是（ ）A. 等腰非直角三角形B. 直角非等腰三角形C 等边三角形D. 等腰直角三角形【答案】D【解析】【分析】由已知结合余弦定理及正弦定理进行边角互化化简，即可判断.【详解】解：，整理得，即，由正弦定理得，即，由正弦定理得，故，故为等腰直角三角形.故选：D.7. 的三个内角，的对边分别为，若三角形中，且，则（ ）A. 3B. C. 2D. 4【答案】D【解析】【分析】易知，利用两角差的正弦公式化简原等式，可推出，从而知和的值，再结合三角形的内角和定理与两角和的正弦公式，求得的值，然后由正弦定理，知，最后由，得解【详解】，且，即，由正弦定理知，即，故选：D二、多
10、项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有项选错得0分.8. 已知的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列条件中只有一解的选项是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】AC【解析】【分析】根据判断解的公式，即可判断选项.【详解】A.，所以只有一解，故成立；B.，且，所以有两解，故不成立；C.，所以只有一解，故成立；D.，所以无解，故不成立.故选：AC9. 已知函数的定义域为，值域为，则的值可能为（ ）A. B. C. D. 【答案】ABC【解析】【分析】由三角恒等变换得，作出函数的图象，在一个周期内考
11、虑，可得或，即可得解.【详解】 作出函数的图象，如图所示，在一个周期内考虑问题，若要使函数的值域为，则或，所以的值可以为区间内的任意实数，所以A、B、C可能，D不可能.故选：ABC10. 1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式（e是自然对数的底，i是虚数单位），这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被普为“数学中的天桥”.下列说法正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题设中的公式和复数运算法则，逐项计算后可得正确的选项.【详解】对于A，当时，因为，所以，故不一定成立，选项A错误；对于B，所以B错误；对于C，由，所以,得出,选项C
12、正确；对于D，由C选项的分析得，得出，选项D错误.故选：C.11. 如图一张矩形白纸ABCD，E，F分别为AD，BC的中点，现分别将，沿BE，DF折起，且A，C在平面BFDE的同侧，下列命题正确的是（ ）A. 当平面平面CDF时，B. 当平面平面CDF时，平面BFDEC. 当A，C重合于点P时，D. 当A，C重合于点P时，三棱锥外接球的表面积为150.【答案】BD【解析】【分析】由题意分两类画出图形，利用线面平行的判定和性质判断A；利用反证法判断B；求出线段长度，根据不满足勾股定理判断C；求出三棱锥中的直角三角形，利用补形法求得外接球的表面积判断D.【详解】A：当平面平面CDF，如图1所示，假
13、设，则四边形AEDC为平面图形，由，得，所以四边形GHDE为平行四边形，所以，这与矛盾，所以假设不成立，故A不正确；B：在矩形ABCD中，AB=10，AD=，E、F分别为AD、BC的中点，则，且，所以平面AGH，平面CHG.由，可得平面AGH与平面CHG重合，即四边形AGHC为平面四边形，又平面平面CDF，所以，又，故四边形AGHC为平行四边形，所以，所以平面BFDE，故B正确；C：当A、C重合于点P时，如图2所示，不满足，所以PG与PD不垂直，故C错误；D：在三棱锥中，所以为直角三角形，所以为直角三角形，又为直角三角形，由补形法可知，三棱锥外接球的直径为，则三棱锥外接球的表面积为，故D正确.
14、故选：BD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.12. i是虚数单位，_.【答案】1【解析】【分析】根据复数的除法和乘方计算【详解】，故答案为：1另解：故答案为：113. 市面上出现某种如图所示的冰激凌，它的下方可以看作个圆台，上方可以看作一个圆锥组成的组合图形，经过测量，圆台上底面的半径为4，下底半径为为2，深为6，上方的圆锥高为9，则此冰激凌的体积为_.【答案】104【解析】【分析】根据圆台和圆锥体积公式，即可计算.【详解】设圆台上底面半径，下底面半径，圆台的体积，圆锥的体积，所以冰激凌的体积.故答案为：14. 已知，则_【答案】【解析】【分析
15、】注意综合已知条件，进一步缩小的范围，以及的范围，利用同角三角函数关系和二倍角公式正确求出，, 的值，由，利用两角差的正弦公式计算.【详解】，又，,又，又，,故答案为：.【点睛】综合，进一步缩小的范围是关键，由求是常用的思想方法，要熟练掌握.15. 由两块直角三角形拼成如图所示的空间立体图形，其中，当时，此时四点外接球的体积为_；异面直线所成角的余弦为_.【答案】 . ； . .【解析】【分析】求得，取的中点，由得点是四面体外接球的球心，外接球半径，进而可得外接球的体积；证得平面，建系如图，由空间向量的夹角公式可得结果.【详解】依题意可知，当时，则，取的中点，则；又，则，所以，即点是四面体外接
16、球的球心，外接球半径，故外接球的体积.依题意，当时，则，又，且，所以平面. 以点为原点，为轴，轴建立空间直角坐标系如图.过点作于点，由得，则，所以，又，则，.设异面直线，所成的角为，则.故答案为：；.四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16. 中，三个内角、的对边分别为、，点为边上一点，若，.（1）若，求边的值；（2）若，求的长.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）在中，利用余弦定理可得出关于的二次方程，可求得边的值，然后在中，利用余弦定理可求得边的值；（2）求得的大小，利用余弦定理可得出关于的二次方程，进而可求得的
17、长.【详解】（1）在中，由余弦定理可得，即，解得，在中，由余弦定理可得，因此，；（2）在中，所以，在中，由余弦定理可得，所以，解得.17. 在正四棱柱中，M为BB1的中点.（1）求证：平面平面；（2）求证：平面.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由正四棱柱的性质得证得平面，同理平面，从而得证面面平行；（2）利用勾股定理逆定理证明，从而证得线面垂直【详解】（1）在正四棱柱中，由，得：四边形为平行四边形，平面，平面，平面同理可证平面，平面，平面平面；（2）连接，同理，平面平面18. 如图，在多面体中，.（1），且，点为的中点，求证：平面；（2）若是等边三角形，在线段
18、上，且，求与平面所成角正弦值的大小.【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）利用中位线定理证出四边形为平行四边形即可.（2）先证出平面，则为与面所成的角，再通过解三角形即可求出.【小问1详解】取的中点，连接，；点为的中点，且，又，且，且，四边形平行四边形，又面，面，平面；【小问2详解】在中，由余弦定理有.，即，又，面，面，平面，为与平面所成的角，为等边三角形，在中，由余弦定理有，与平面所成角的正弦值的大小为.19. 的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c.；.（1）在上述三个条件中任选一个，求B；（2）在（1）所选定的条件下，若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.【答案】（1
19、）条件选择见解析，；（2）.【解析】【分析】（1）选，由诱导公式变形，再由正弦定理化边为角，然后由二倍角公式变形后可得；选，由正弦定理化角为边，然后由余弦定理得角；选，先由余弦定理化角为边，然后再由余弦定理求得角；（2）求出三角形面积，由正弦定理化为角的表达式，然后然后由诱导公式，两角和的正弦公式，同角关系式化为的代数式，再由角范围得结论【详解】（1）选由正弦定理得：在三角形中得，选.由正弦定理得：在三角形中，选.在三角形中，（2）由正弦定理，由锐角三角形，所以.20. 如图，在四棱锥中，经过AB的平面与PDPC分别交于点E与点F，且平面平面PCD，平面ABFE.（1）求证：；（2）求证：平面
20、平面PCD.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由线面平行的性质定理得，得证线线平行；（2）由面面垂直的性质定理得线面垂直，再由面面垂直的判定定理得证面面垂直【详解】（1）平面ABFE，平面PCD，平面平面同理.（2）由（1）知，平面平面PCD，平面平面，平面ABFE平面PCD，又平面PAD中，平面平面.21. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，EF为PD的两个三等分点.（1）求证：平面ACF；（2）若平面平面PCD，PC与平面ABCD所成角为，求二面角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】(1)连接、OF，BD交AC
21、于点O，可得，结合线面平行的判定定理即可；(2)过A作于H，由题意和面面垂直的性质可得平面PCD，进而有，过A作可得平面，进而有，可得为所求二面角的平面角，结合题意解三角形即可.【详解】(1)连接，交AC于点O，由底面ABCD是平行四边形得：点O是线段BD的中点，在中，F为线段DE的中点，点O是线段BD的中点，又平面，平面ACF平面（2）平面ABCD，PC与平面ABCD所成角即为由平面可知：都为直角三角形，在平面PAC中，过点A作，垂足为H，且平面PAD中，过点A作，垂足为M，连接HM，且平面平面PCD平面平面，平面PAC平面PCD，又平面，平面，平面，即为所求二面角的平面角在中，二面角的正弦值.