1、杭州“六县九校”联盟2021-2022学年高一下期中联考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 2. 已知i是虚数单位，则复数在复平面上对应的点的坐标为（ ）A. B. C. D. 3. 已知向量，若，则（ ）A B. C. D. 64. 设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则（ ）A. B. C. D. 5. 如图所示，已知正方形的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则其原图形的周长为（ ）A. 8B. C. 4D. 6. 在同一直角坐标系中，函数的图像可能是（ ）A. B. C. D. 7. 若非零平面
2、向量，满足，则向量与的夹角余弦值为（ ）A. B. C. D. 8. 已知函数，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分9. 下列命题中，真命题为（ ）A. 复数为纯虚数的充要条件是B. 复数的共轭复数为C. 复数的虚部为D. 复数，则10. 下列有关平面向量的命题中，不正确的是（ ）A. 若，则B. 已知，则C. 若非零向量，满足，则D. 若，则且11. 已知圆锥底面半径，母线长为2，则（ ）A. 圆锥侧面积为B. 圆锥的侧面展开图中，扇形的圆心角为
3、C. 圆锥的体积为D. 过顶点的截面三角形的面积最大值为12. 如图，分别是空间四边形各边上的点（不与各边的端点重合），且，则下列结论一定正确的是（ ）A. 共面B. C. 面D. 若直线与有交点，则交点直线上非选择题部分三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 设复数z满足（其中i是虚数单位），则_14. 已知，则_15. 已知三棱锥中，侧棱PA，PB，PC两两垂直，则三棱锥的外接球表面积为_16. 如图在直角梯形中，点E，F为线段BC上两点，满足，则取值范围为_四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 已知（1）求的值；（2）求向量与夹角
4、的余弦值18 已知，（1）求函数的最小正周期；（2）求函数在上的最大值和最小值19. 某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A、B、C三地位于同一水平面上，在C处进行该仪器的垂直弹射，观测点A、B两地相距100米，BAC60，在A地听到弹射声音的时间比在B地晚秒. A地测得该仪器弹至最高点H时的仰角为30.（1）求A、C两地的距离；（2）求该仪器的垂直弹射高度CH.(声音的传播速度为340米/秒)20. 如图在四棱锥中，M，N分别是AB，CD的中点，（1）求证：平面AED；（2）若点F在棱AD上且满足，平面CEF，求的值21. 请从这三个条件中选择一个，补充在
5、下面试题的横线上，并完成试题解答；设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知的面积为，且_（1）求角B；（2）求b的最小值22. 已知，函数.（1）当时，函数在上单调递增，求实数的取值范围；（2）当时，对任意的，都有恒成立，求的最大值.杭州“六县九校”联盟2021-2022学年高一下期中联考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据集合的交集运算，可求得答案.【详解】集合,故，故选：D2. 已知i是虚数单位，则复数在复平面上对应的点的坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据
6、复数的几何意义，即可得到结果.【详解】由复数的几何意义可知复数在复平面上对应的点的坐标为.故选：C.3. 已知向量，若，则（ ）A. B. C. D. 6【答案】A【解析】【分析】利用向量平行的条件列方程即可求解.【详解】因为，且，所以，解得：.故选：A4. 设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由三角形内角和求得角，再根据正弦定理求得答案.【详解】由题意可得 ，故由正弦定理得： ,则，故选：C5. 如图所示，已知正方形的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则其原图形的周长为（ ）A. 8B. C. 4D. 【答案
7、】A【解析】【分析】将直观图复原为原图，根据斜二测画法的规则求得原图中线段的长，可得答案。【详解】将直观图复原为原图，如图：则 ,故，所以原图形的周长为 ，故选：A6. 在同一直角坐标系中，函数的图像可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】通过分析幂函数和对数函数的特征可得解.【详解】函数，与，答案A没有幂函数图像，答案B.中，中，不符合，答案C中，中，不符合，答案D中，中，符合，故选D.【点睛】本题主要考查了幂函数和对数函数的图像特征，属于基础题.7. 若非零平面向量，满足，则向量与的夹角余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据，两边分别乘以
8、向量得到三个式子，化简可得，根据向量的夹角公式可求得答案.【详解】由题意可得：，；三式联立消去和可得：，结合得：，故 ，故选：B8. 已知函数，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据函数解析式，判断函数为奇函数，判断其单调性以及函数值的正负情况，令，可得，即，排除B,C;令，可根据函数值情况，排除A，即可得答案.【详解】由题意，由于，故 为奇函数，当时， 递增，故递增，故当时， 递增，而 ，故函数在上单调递增，且时，时，故对于，当 时，即为，即，矛盾，即0不是不等式的解，故选项B,C错误；当时，不等式即，由于，故不成立,说明不是不等式的解，故A错误,故选：
9、D二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分9. 下列命题中，真命题为（ ）A. 复数为纯虚数的充要条件是B. 复数的共轭复数为C. 复数的虚部为D. 复数，则【答案】BCD【解析】【分析】对A,根据纯虚数的定义，可知，故A错.根据共轭复数，虚部的定义，可判断B,C.运用复数的四则运算，可判断D.【详解】复数为纯虚数的充要条件是,故A错.复数的共轭复数为,复数的虚部为,故B,C对.复数，则,，故D对.故选:BCD10. 下列有关平面向量的命题中，不正确的是（ ）A. 若，则B. 已知，则C. 若非零
10、向量，满足，则D. 若，则且【答案】ABC【解析】【分析】A选项，当且方向相同，才有，故A错误，D正确；B选项可以举出反例，C选项利用向量数量积推导出，故C错误.【详解】A选项，但向量方向可能不同，故A错误；若，则满足，但可能不平行，故B错误；若，即，因为，均为非零向量，所以，故不一定成立，C错误；若，则且，D正确.故选：ABC11. 已知圆锥底面半径为，母线长为2，则（ ）A. 圆锥侧面积B. 圆锥的侧面展开图中，扇形的圆心角为C. 圆锥的体积为D. 过顶点的截面三角形的面积最大值为【答案】AB【解析】【分析】由题意可知圆锥的侧面展开图是半径为，弧长为，利用扇形面积公式即可判断A是否正确；根
11、据，即可求出圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角的大小，即可判断B是否正确；根据题意易知圆锥的高，再根据圆锥的体积公式，即可判断C是否正确；根据题意可知圆锥的轴截面的顶角为，设过过顶点的截面三角形，其中，根据三角形面积公式可得，根据三角函数的性质，可知当时面积最大，由此即可D是否正确.【详解】由题意可知，该圆锥的侧面展开图是半径为，弧长为，所以圆锥侧面积为，故A正确；设圆锥的侧面展开图中，扇形的圆心角为，又因为扇形的面积为，所以，故B正确；如图所示，圆锥的高为，圆锥的体积为，故C错误；如图，在中，所以， 所以轴截面三角形中，设过过顶点的截面三角形，其中，如下图所示：过顶点的截面三角形的面积为，当时，
12、过顶点的截面三角形的面积最大值为，故D错误.故选：AB.12. 如图，分别是空间四边形各边上的点（不与各边的端点重合），且，则下列结论一定正确的是（ ）A. 共面B. C. 面D. 若直线与有交点，则交点在直线上【答案】AD【解析】【分析】由可证得四点共面，知A正确；由A可知若，则B不成立；结合线面平行性质，根据未必成立可知C错误；根据平面的性质可判断D正确.【详解】对于A，；同理可得：，四点共面，A正确；对于B，由A知：四点共面，若，则与为相交直线，B错误；对于C，若面，平面，平面平面，此条件未必成立，C错误；对于D，平面，平面，与有交点，与的交点必在平面与平面的交线上，平面平面，与的交点在
13、直线上，D正确.故选：AD.非选择题部分三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 设复数z满足（其中i是虚数单位），则_【答案】【解析】【分析】根据复数的除法运算化简，根据复数的模的计算公式求得答案.【详解】,故，故答案为：14. 已知，则_【答案】【解析】【分析】根据角的范围求得，利用两角和的正弦公式求得答案.【详解】由已知，可得，故，故，故答案为：15. 已知三棱锥中，侧棱PA，PB，PC两两垂直，则三棱锥的外接球表面积为_【答案】【解析】【分析】以、为棱构造一个长方体，三棱锥的外接球就是长方体的外接球，表示棱长，求得外接球半径，由此能求得该球的表面积【详解】三棱锥的侧棱，两两
14、垂直，且长度分别为，且，都在同一个球面上（如图所示），以、为棱构造一个长方体，这个球就是长方体的外接球，设正方体的相邻三条棱长分别为x,y,z,则 ，故，设三棱锥外接球半径为R，则，该球的表面积为故答案为：16. 如图在直角梯形中，点E，F为线段BC上两点，满足，则的取值范围为_【答案】【解析】【分析】根据梯形的几何性质，建立平面直角坐标系，表示出向量的坐标，根据数量积的坐标运算，求得其表达式，结合二次函数的性质，求得答案.【详解】由题意，以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，建立平面直角坐标系，梯形ABCD中，作 于G,则 ,设 ，则 ，即 ，则 ，故，所以，由，此时为增函数，故，即，故答
15、案为：四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 已知（1）求的值；（2）求向量与夹角的余弦值【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）根据即可求；（2）设向量与大角为,.【小问1详解】，；小问2详解】,，,，设向量与大角为,.18. 已知，（1）求函数的最小正周期；（2）求函数在上的最大值和最小值【答案】（1） （2）最大值为；最小值为【解析】【分析】（1）根据向量数量积坐标运算，结合二倍角和辅助角公式可化简得到，由此可得最小正周期；（2）利用的范围可求得的范围，根据正弦型函数值域的求法可求得值域，进而得到最值.【小问1详解】，的最小正周期.【小问
16、2详解】当时，；的最大值为；最小值为.19. 某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A、B、C三地位于同一水平面上，在C处进行该仪器的垂直弹射，观测点A、B两地相距100米，BAC60，在A地听到弹射声音的时间比在B地晚秒. A地测得该仪器弹至最高点H时的仰角为30.（1）求A、C两地的距离；（2）求该仪器的垂直弹射高度CH.(声音的传播速度为340米/秒)【答案】(1)420m;(2)140.【解析】【详解】分析：（1）设，由题意已知两边及一角用余弦定理，列出关于的方程式求解（2）在直角三角形中，由（1）解出，可得的值详解：（1）由题意，设ACx，则BCx3
17、40x40. 在ABC中，由余弦定理，得BC2BA2AC22BAACcosBAC， 即(x40)210 000x2100x，解得x420. A、C两地间的距离为420m. （2）在RtACH中，AC420，CAH30，所以CHACtanCAH140. 答:该仪器的垂直弹射高度CH为140米 点睛：正弦定理，余弦定理，直角三角形的正切值，我们要灵活应用，千万不要只纠结于正余弦定理，直角三角形中的几何性质也可以应用进来20. 如图在四棱锥中，M，N分别是AB，CD的中点，（1）求证：平面AED；（2）若点F在棱AD上且满足，平面CEF，求的值【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）取
18、BE的中点为Q，证明面MNQ面ADE，即可得到平面AED；（2）根据已知，将线面平行转化得到线线平行，再用三角形相似即可得到的值.【小问1详解】取BE的中点为Q，连接NQ，MQ，N，Q分别为CD、BE的中点；，又面AED，面AED，面AED又M为BA的中点，面AED，面AED，面AED，面面AED，面AED【小问2详解】设BD交CE于点G，连接FG面CEF，面面ABDFG，面ABD，在直角梯形BCDE中，21. 请从这三个条件中选择一个，补充在下面试题的横线上，并完成试题解答；设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知的面积为，且_（1）求角B；（2）求b的最小值【答案】（1） （2）【解
19、析】【分析】(1)选，利用正弦定理通过边角互化，再由余弦定理求 B，选利用正弦定理通过化边为角，再求B，选利用正弦定理通过化边为角，再求B，(2)由三角形面积公式求,再由余弦定理和基本不等式求b的最小值【小问1详解】若选择； 又 若选择即 又 若选择； 又 【小问2详解】由余弦定理知，当且仅当时取等号，当时，取最小值，.22. 已知，函数.（1）当时，函数在上单调递增，求实数的取值范围；（2）当时，对任意的，都有恒成立，求的最大值.【答案】(1) (2) 【解析】【详解】分析：（1）把函数转化为分段函数形式，利用二次函数对称性明确分段的单调性即可;（2）对任意的，都有恒成立等价于 ，转求最值即可.详解：（1）当时， .由函数在上单调递增，得，化简得.实数的取值范围.（2）当且时，由得，化简得： ，解得.实数的最大值是.点睛：研究分段函数单调性注意两点：（1）分析各段的单调性；（2）注意端点处取值的大小；恒成立问题处理手段首选变量分离，然后转最值即可.