1、浙江省台州市九校联盟2021-2022学年高二下期中联考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1. 已知，则（ ）A. 1B. -1C. 2D. -22. （ ）A. 9B. 18C. 28D. 363. 某中学抽取了1600名同学进行身高调查，已知样本身高（单位：cm）服从正态分布若身高在165cm到175cm的人数占样本总数的，则样本中不高于165cm的同学数目约为（ ）A. 80B. 160C. 240D. 3204. 下列各式正确的是（ ）A. B. C. D. 5. 已知的展开式中的系数为80，则m的值为（ ）A. B. 2C. D. 16. 已知随机变量的分布列为
2、,则等于A. B. C. D. 7. 某市抽调5位医生分赴4所医院支援抗疫，要求每位医生只能去一所医院，每所医院至少安排一位医生.由于工作需要，甲乙两位医生必须安排在不同的医院，则不同的安排种数是（ ）A. 90B. 216C. 144D. 2408. 若，则a，b，c与1的大小关系是（ ）A. B. C. D. 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9. 为庆祝中国共产党成立100周年，某单位组织开展党史知识竞赛活动某支部在5道党史题中(有3道选择题和2道填空题)，不放回地依次随机抽取2道题
3、作答，设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B为“第2次抽到选择题”，则下列结论中正确的是( )A. B. C. D. 10. 函数的图象如图所示，则以下结论正确的有（ ）A. B. C. D. 11. 对任意的实数x，有，则以下结论成立的是（ ）A. B. C. D. 12. 定义：在区间上，若函数是减函数，且是增函数，则称在区间上是“弱减函数”.根据定义可得（ ）A. 在上是“弱减函数”B. 在上“弱减函数”C. 若在上是“弱减函数”，则D. 若在上是“弱减函数”，则非选择题部分（共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 已知随机变量，若，则的值为_.14. 已知是函数
4、极值点，则_15. 随着北京冬残奥会的开幕，吉祥物“雪容融”火遍国内外，现有3个完全相同的“雪容融”，甲乙丙3位运动员要与这3个“雪容融”站成一排拍照留念，则有且只有2个“雪容融”相邻的排队方法数为_16. 已知函数，若恒成立，则a的取值范围是_四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 求下列方程中的n值：（1）；（2）18 已知函数（1）求函数的单调增区间；（2）求函数在上的最大值和最小值19. 某公司生产了两箱产品，甲箱产品中有4个正品和3个次品，乙箱的产品中有5个正品和3个次品（1）从甲乙箱中各取1个产品，求这2个产品都是次品的概率；（2）若先从甲箱
5、中任取2个产品放入乙箱中，再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率20. 已知.(1)讨论的单调性；(2)当有最大值，且最大值大于时，求的取值范围.21. 为迎接年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过小时免费，超过小时的部分每小时收费标准为元（不足1小时的部分按小时计算）.有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过小时离开的概率分别为、；小时以上且不超过小时离开的概率分别为、；两人滑雪时间都不会超过小时.（1）求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；（2）设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量（单位：元），求的分布列与数学
6、期望，方差.22. 已知函数（1）若，求曲线在处的切线方程；（2）若在（1，）上恒成立，求a的值.浙江省台州市九校联盟2021-2022学年高二下期中联考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1. 已知，则（ ）A. 1B. -1C. 2D. -2【答案】C【解析】【分析】由题，利用基本初等函数的导数公式可求得导函数，代入即可求得结果【详解】由题，故，故选：C2 （ ）A. 9B. 18C. 28D. 36【答案】B【解析】【分析】根据组合数公式计算出正确答案.【详解】.故选：B3. 某中学抽取了1600名同学进行身高调查，已知样本的身高（单位：cm）服从正态分布若身高在16
7、5cm到175cm的人数占样本总数的，则样本中不高于165cm的同学数目约为（ ）A. 80B. 160C. 240D. 320【答案】B【解析】【分析】首先根据正态分布曲线得到，再求样本中不高于165cm的同学的人数即可.【详解】，则样本中不高于165cm的同学数目约为人.故选：B4. 下列各式正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用基本初等函数的导数公式及导数的四则运算即可求解.【详解】对于A，故A正确；对于B，故B不正确；对于C，故C不正确；对于D，故D不正确.故选：A.5. 已知的展开式中的系数为80，则m的值为（ ）A. B. 2C. D. 1【答案】A【
8、解析】【分析】根据题意可得，利用二项式展开式的通项公式求出的项的系数，进而得出结果.【详解】，在的展开式中，由，令，得r无解，即的展开式没有的项；在的展开式中，由，令，解得r=3，即的展开式中的项的系数为，又的展开式中的系数为80，所以，解得.故选：A.6. 已知随机变量的分布列为,则等于A. B. C. D. 【答案】D【解析】【详解】分析：先求期望，再求方差，详解：期望，所以，由方差的线性计算公式，解得故选D点睛：若，方差的线性计算公式，与无关7. 某市抽调5位医生分赴4所医院支援抗疫，要求每位医生只能去一所医院，每所医院至少安排一位医生.由于工作需要，甲乙两位医生必须安排在不同的医院，则
9、不同的安排种数是（ ）A. 90B. 216C. 144D. 240【答案】B【解析】【分析】先将5为医生分为四组且甲、乙两位医生不在同一组，再将他们分配到四个医院即可.详解】完成这件事情，可以分两步完成，第一步，先将5为医生分为四组且甲、乙两位医生不在同一组，共有种方案；第二步，再将这四组医生分配到四所医院，共有种不同方案，所以根据分步乘法计数原理得共有种不同安排方案.故选：B.【点睛】本题考查分组分配问题和分步乘法计数原理,考查逻辑推理能力,是中档题.本题解题的关键在于根据分组分配的方法先将5为医生分为四组且甲、乙两位医生不在同一组，再将四组医生分别分配到医院.8. 若，则a，b，c与1的
10、大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据条件构造函数，并求其导数，判断该函数的单调性，据此作出该函数的大致图象，由图象可判断a，b，c与1的大小关系.【详解】令，则当时，当时，即函数在上单调递减，在上单调递增,而 ，由可知 ，故作出函数大致图象如图：由图象易知，故选：C.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9. 为庆祝中国共产党成立100周年，某单位组织开展党史知识竞赛活动某支部在5道党史题中(有3道选择题和2道填空题)，不放回地依次随机抽取2道题作答，设事件A
11、为“第1次抽到选择题”，事件B为“第2次抽到选择题”，则下列结论中正确的是( )A. B. C. D. 【答案】ABC【解析】【分析】第1次抽到选择题的概率为，根据古典概型即可计算；第1次抽到选择题且第2次抽到选择题时概率为，根据古典古典概型即可计算；在第1次抽到选择题的条件下，第2次抽到选择题的概率为，根据条件概率计算公式即可计算；在第1次没有抽到选择题的条件下，第2次抽到选择题的概率为，根据条件概率计算公式即可计算【详解】第1次抽到选择题时，则，故A正确；第1次抽到选择题且第2次抽到选择题时，则，故B正确；在第1次抽到选择题的条件下，第2次抽到选择题，则，故C正确；在第1次没有抽到选择题的
12、条件下，第2次抽到选择题，则，故D错误故选：ABC10. 函数的图象如图所示，则以下结论正确的有（ ）A. B. C. D. 【答案】BC【解析】【分析】由的图象得到函数的单调区间与极值，求出函数的导函数，即可得到和为方程的两根且，利用韦达定理即可表示出、，从而得解；【详解】解：由的图象可知在和上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值，在处取得极小值，又，所以和为方程的两根且；所以，所以，所以；故选：BC11. 对任意的实数x，有，则以下结论成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】CD【解析】【分析】利用二项式定理的通项和赋值法依次判断选项即可得到答案.【详解】对选项A，令，则，故A错误
13、.对选项B，令，解得，所以，故B错误.对选项C，令得：，故C正确.对选项D，所以均为负数，均为正数，因为，所以，故D正确.故选：CD12. 定义：在区间上，若函数是减函数，且是增函数，则称在区间上是“弱减函数”.根据定义可得（ ）A. 在上是“弱减函数”B. 在上是“弱减函数”C. 若在上是“弱减函数”，则D. 若在上是“弱减函数”，则【答案】BCD【解析】【分析】利用“弱减函数”的概念逐项分析即得.【详解】对于A，在上单调递减，不单调，故A错误；对于B，在上，函数单调递减，在单调递增，故B正确；对于C，若在单调递减，由，得，在单调递增，故C正确；对于D，在上单调递减，在上恒成立，令，令，在上
14、单调递减，在上单调递减，在上单调递增，在上恒成立，令，在上单调递增，综上：，故D正确故选：BCD.非选择题部分（共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 已知随机变量，若，则的值为_.【答案】【解析】【分析】根据数学期望与方差的公式列出式子，进行计算即可.【详解】由题可知：所以为故答案为：【点睛】本题考查离散型随机变量的数学期望与方差，重在考查计算以及公式记忆，属基础题.14. 已知是函数极值点，则_【答案】1【解析】【分析】由题意可得，从而可求出的值，再检验即可【详解】由题意可知，由，得，因为是函数的极值点，所以，即，解得或（舍去），得，则，当时，当时，所以是函数的极小
15、值点，所以符合题意，故答案为：115. 随着北京冬残奥会的开幕，吉祥物“雪容融”火遍国内外，现有3个完全相同的“雪容融”，甲乙丙3位运动员要与这3个“雪容融”站成一排拍照留念，则有且只有2个“雪容融”相邻的排队方法数为_【答案】【解析】【分析】先对甲、乙、丙3位运动员进行排列，再利用插空法，即可求解.【详解】由题意，甲、乙、丙3位运动员站成一排，有种不同的排法；在三位运动员形成的4个空隙中选两个，一个插入2个“雪容融”，一个插入1个“雪容融”，共有种排法.故答案为：.16. 已知函数，若恒成立，则a的取值范围是_【答案】【解析】【分析】由题，求出导函数，讨论其单调性得出其零点即为的最小值点，即
16、可由恒成立得，解不等式，即可得出结果.（注意验证等号成立的条件）【详解】由题，在上单调递增，当时，；当时，所以存在唯一零点，使得，即，且该为函数的极小值点即最小值点，故，所以，易得当时，即时，等号成立，故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 求下列方程中的n值：（1）；（2）【答案】（1）5 （2）4【解析】【分析】（1）利用排列数公式求解；（2）组合数的性质和组合数和排列数公式求解.【小问1详解】解：因为，所以，化简得：，且，解得：；【小问2详解】因为，所以，则，化简得：解得：.18. 已知函数（1）求函数的单调增区间；（2）求函数在上的最大
17、值和最小值【答案】（1） （2）最小值为0，最大值为【解析】【分析】（1）由导数得出函数的单调增区间；（2）由单调性得出最值.【小问1详解】解：由已知，得令，可得，即令，可得，即故函数上单调递增，在上单调递减.即函数的单调增区间为.【小问2详解】解：由（1）已知，得函数在上单调递增，在上单调递减故函数在处取得极大值，又因为，所以函数在上的最小值为0，最大值为19. 某公司生产了两箱产品，甲箱的产品中有4个正品和3个次品，乙箱的产品中有5个正品和3个次品（1）从甲乙箱中各取1个产品，求这2个产品都是次品的概率；（2）若先从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正
18、品的概率【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）利用古典概型的概率求解；（2）设事件“从乙箱中取1个正品”，事件“从甲箱中取出2个产品都是正品”，事件“从甲箱中取出1个正品1个次品”，事件“从甲箱中取出2个产品都是次品”，由 求解.【小问1详解】解：从甲箱中取1个产品的事件数为，取1个次品的事件数为；从乙箱中取1个产品的事件数为，取1个次品的事件数为所以2个产品都是次品的概率为【小问2详解】设事件“从乙箱中取1个正品”，事件“从甲箱中取出2个产品都是正品”，事件“从甲箱中取出1个正品1个次品”，事件“从甲箱中取出2个产品都是次品”，则事件、事件、事件彼此互斥，所以，.20. 已知.(1)讨
19、论的单调性；(2)当有最大值，且最大值大于时，求的取值范围.【答案】(1) 时 ,在是单调递增；时,在单调递增，在单调递减.（2）.【解析】【详解】试题分析：（）由,可分,两种情况来讨论；（II）由（I）知当时在无最大值,当时最大值为因此.令,则在是增函数,当时,当时,因此a的取值范围是.试题解析：（）的定义域为,若,则,在是单调递增；若,则当时,当时,所以在单调递增,在单调递减.（）由（）知当时在无最大值,当时在取得最大值,最大值为因此.令,则在是增函数,于是,当时,当时,因此a的取值范围是.考点：本题主要考查导数在研究函数性质方面的应用及分类讨论思想.21. 为迎接年北京冬奥会，推广滑雪运
20、动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过小时免费，超过小时的部分每小时收费标准为元（不足1小时的部分按小时计算）.有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过小时离开的概率分别为、；小时以上且不超过小时离开的概率分别为、；两人滑雪时间都不会超过小时.（1）求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；（2）设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量（单位：元），求的分布列与数学期望，方差.【答案】（1）；（2）分布列见解析，.【解析】【分析】（1）甲、乙两人所付费用相同即为、，求出相应的概率，利用互斥事件的概率公式，可求出甲、乙两人所付租车费用相同的概率；（2）确定随机变
21、量的可能取值，求出相应的概率，即可得出随机变量的分布列，然后利用数学期望公式和方差公式求出和.【详解】（1）两人所付费用相同，相同的费用可能为、元，两人都付元的概率为，两人都付元的概率为，两人都付元的概率为.则两人所付费用相同的概率为；（2）设甲、乙所付费用之和为，可能取值为、，则，.所以，随机变量的分布列为.【点睛】本题考查概率的计算，考查离散型随机变量分布列和数学期望以及方差的计算，考查运算求解能力，属于中等题.22. 已知函数（1）若，求曲线在处的切线方程；（2）若在（1，）上恒成立，求a的值.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）求导，利用导数的几何意义求出切线的斜率，进而求出切线方程；（2）求定义域，求导，对进行分类讨论，求解不同取值范围下函数的单调性，进而确定符合题意的a的值.【小问1详解】因为，所以，又，所以曲线在处的切线方程为【小问2详解】定义域为，因为，所以若，则恒成立，所以f（x）在（0，+）上单调递增.故当时，不合题意，舍去；若，则，所以当时，；当时：，则f（x）的单调递减区间为和，单调递增区间为故当时，不合题意；若，则，所以f（x）在（0，+）上单调递减.故当时，符合题意；若，则，所以当时，：当时，则f（x）的单调递减区间为和，单调递增区间为故当，不合题意综上所述：