1、浙江省宁波市六校联盟2021-2022学年高二下期中联考数学试题一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1. 若函数，则的值为（ ）A. 12B. 16C. 18D. 242. 某校高一开设4门选修课，有4名同学选修，每人只选1门，恰有2门课程没有同学选修，则不同的选课方案有（ ）A. 96种B. 84种C. 78种D. 16种3. 函数在定义域内可导，图像如图所示，记的导函数为，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 4. 设随机变量服从标准正态分布，已知，则（ ）A. B. C. D. 5. 已知二项式，且，则A. B. C. D. 6. 已知随机变量X的分布列是：若，则（
2、 ）A. B. C. D. 7. 从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有A. 40种B. 60种C. 100种D. 120种8. 函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）9. 对于函数，下列选项正确的是（ ）A. 函数极小值为，极大值为B. 函数单调递减区间，单调递增区为C. 函数最小值为为，最大值D. 函数存在两个零点1
3、和10. 某市为了研究该市空气中的PM2.5浓度和浓度之间的关系，环境监测部门对该市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5浓度和浓度（单位：），得到如下所示的列联表：PM2.564161010经计算，则可以推断出（ ）附：0.0500.0100.0013.8416.63510.828A. 该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且浓度不超过150的概率估计值是0.64B. 若列联表中的天数都扩大到原来的10倍，的观测值不会发生变化C. 有超过99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与浓度有关D. 在犯错的概率不超过1%的条件下，认为该市一天空气中PM2.5浓度与浓度无关11
4、. 下列结论正确的是（ ）A. 若随机变量服从两点分布，则B 若随机变量服从二项分布，则C. 若随机变量服从二项分布，则D. 若随机变量方差，则12. 如图，在某城市中，两地之间有整齐的方格形道路网，其中，是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处.今在道路网，处的甲乙两人分别要到，处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达，处为止，则下列说法正确的有（ ）A. 甲从到达处的走法种数为20B. 甲从必须经过到达处走法种数为9C. 甲乙两人能在处相遇的走法种数36D. 甲，乙两人能相遇的走法种数为162非选择题部分三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13
5、. 已知，则_14. 函数在区间最小值是_.15. 从班委会 5 名成员中选出 3 名， 分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有_种.(用数字作答）16. 已知函数，若，使成立，则a的取值范围为_四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 已知的展开式中，只有第6项的二项式系数最大（1）求n的值；（2）求展开式中含的项18. 已知函数.（1）求导函数；（2）当时，求函数的图像在点处的切线方程.19. 某科研机构为了了解气温对蘑菇产量的影响，随机抽取了某蘑菇种植大棚12月份中5天的日产量y（单位：kg
6、）与该地当日的平均气温x（单位：）的数据，得到如下散点图：其中A（3，2），B（5，10），C（8，11），D（9，13），E（10，14）（1）求出y关于x的线性回归方程；（2）若该地12月份某天的平均气温为6，用（1）中所求的回归方程预测该蘑菇种植大棚当日的产量附：线性回归直线方程中，20. 设函数（，）.（1）若函数在处取得极值，求，的值；（2）若函数在区间内单调递增，求的取值范围.21. 设和分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量表示方程实根的个数（重根按一个计）.（1）求的分布列和数学期望；（2）求在先后两次出现的点数中有的条件下，方程有实根的概率.22. 已知函数（1）若，求
7、的单调区间；（2）若在上有两个极值点，（）（i）求实数a的取值范围；（ii）求证：浙江省宁波市六校联盟2021-2022学年高二下期中联考数学试题一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1. 若函数，则的值为（ ）A. 12B. 16C. 18D. 24【答案】B【解析】【分析】求函数得导数，将x=-2代入，即可求得答案。【详解】由函数得：，故，则，故选：B2. 某校高一开设4门选修课，有4名同学选修，每人只选1门，恰有2门课程没有同学选修，则不同的选课方案有（ ）A. 96种B. 84种C. 78种D. 16种【答案】B【解析】【详解】先确定选的两门: ,再确定学生选: ,所以不同
8、的选课方案有选B. 3. 函数在定义域内可导，图像如图所示，记的导函数为，则不等式的解集为（ ）A B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】的解集即为单调递增区间，结合图像理解判断【详解】的解集即为单调递增区间结合图像可得单调递增区间为则的解集为故选：C4. 设随机变量服从标准正态分布，已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据变量符合正态分布，且对称轴为，得到应用所给条件即可求出结果.【详解】服从标准正态分布，故选：C5. 已知二项式，且，则A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】把二项式化为，求得其展开式的通项为，求得，再令，求得，进而即可求解【详解
9、】由题意，二项式展开式的通项为，令，可得，即，解得，所以二项式为，则，令，即，则，所以【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答中把二项式，利用二项式通项，合理赋值求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题6. 已知随机变量X的分布列是：若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用已知条件求出、的值，利用方差公式可求得的值.【详解】由已知可得，解得，因此，.故选：C.7. 从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有A. 40种B. 60种C. 100种D.
10、 120种【答案】B【解析】【详解】根据题意，首先从5人中抽出两人在星期五参加活动，有种情况，再从剩下的3人中，抽取两人安排在星期六、星期日参加活动，有种情况，则由分步计数原理，可得不同的选派方法共有 =60种.故选B8. 函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先判断出当时，的取值范围，当时，结合的值域为，利用导数求得的取值范围.【详解】当时，由于的值域为，所以当时，的最小值不大于，时，所以在上递减，在上，递增.所以当时，则.故选：D【点睛】利用导数求函数的单调区间时，要注意定义域.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题
11、给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）9. 对于函数，下列选项正确的是（ ）A. 函数极小值为，极大值为B. 函数单调递减区间为，单调递增区为C. 函数最小值为为，最大值D. 函数存在两个零点1和【答案】AD【解析】【分析】先求得的奇偶性，当时，利用导数求得的单调区间和极值，即可判断A、B、C的正误；令，可得零点，即可判断D的正误，即可得答案.【详解】的定义域为，所以，所以为奇函数，当时，令，解得，当时，则为单调递增函数，当时，则为单调递减函数，因为为奇函数，图象关于原点对称，所以在上单调递减，在是单调递增，所以的极小值为，极大值为，故A正确；
12、的单调递减区间为，单调递增区为，故B错误；在无最值，故C错误；令，解得，结合的单调性可得，存在两个零点1和，故D正确.故选：AD10. 某市为了研究该市空气中的PM2.5浓度和浓度之间的关系，环境监测部门对该市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5浓度和浓度（单位：），得到如下所示的列联表：PM2.564161010经计算，则可以推断出（ ）附：0.0500.0100.0013.8416.63510.828A. 该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且浓度不超过150概率估计值是0.64B. 若列联表中的天数都扩大到原来的10倍，的观测值不会发生变化C. 有超过99%的把握认
13、为该市一天空气中PM2.5浓度与浓度有关D. 在犯错的概率不超过1%的条件下，认为该市一天空气中PM2.5浓度与浓度无关【答案】AC【解析】【分析】对于A选项，根据表格，进行数据分析，直接求概率；对于B，C，D选项，进行独立性检验，计算后对照参数下结论.【详解】解：补充完整列联表如下：PM2.5合计641680101020合计7426100对于A选项，该市一天中，空气中PM2.5浓度不超过，且浓度不超过的概率估计值为，故A正确；对于B选项，故B不正确；因为，根据临界值表可知，在犯错的概率不超过的条件下，即有超过的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与浓度有关，故C正确，D错误.故选：AC.11
14、. 下列结论正确的是（ ）A. 若随机变量服从两点分布，则B. 若随机变量服从二项分布，则C. 若随机变量服从二项分布，则D. 若随机变量的方差，则【答案】BC【解析】【分析】根据两点分布，二项分布的方差公式判断A，B，根据方差的性质判断D，根据二项分布的性质判断C.【详解】若随机变量服从两点分布，则，A错，若随机变量服从二项分布，则，B对，若随机变量服从二项分布，则，C对，若随机变量的方差，则，D错，故选：BC.12. 如图，在某城市中，两地之间有整齐的方格形道路网，其中，是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处.今在道路网，处的甲乙两人分别要到，处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相
15、同的速度同时出发，直到到达，处为止，则下列说法正确的有（ ）A. 甲从到达处的走法种数为20B. 甲从必须经过到达处的走法种数为9C. 甲乙两人能在处相遇的走法种数36D. 甲，乙两人能相遇的走法种数为162【答案】AB【解析】【分析】由到的最短路径向上3步，向右3步，问题为6步中任选3步向上或向右走，根据各选项的描述，同理分析各种走法的种数，即可确定答案.【详解】A：从到达只需向上、向右各走3步，即共走6步，走法种数为种，正确；B：从到的走法有，再到达的走法有，共有种，正确；C：由上，甲经过的走法有9种，同理乙经过的走法有9种，此处相遇共有81种走法，错误；D：要使甲乙以相同的速度相遇，则相
16、遇点，中的一个，而在、相遇各有1种走法，在，相遇各有81种走法，故甲、乙相遇的走法有种，错误.故选：AB非选择题部分三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13. 已知，则_【答案】【解析】【分析】根据已知条件及组合数公式求得，再利用组合数的性质递推关系及组合数公式即可求解【详解】由，得，解得.所以.故答案为：.14. 函数在区间的最小值是_.【答案】【解析】【分析】根据导数判断单调性，进而可得最小值.【详解】由，得，令，解得，单调递减极小值单调递增极大值单调递减又，所以函数的最小值为，故答案为：.15. 从班委会 5 名成员中选出 3 名， 分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委
17、员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有_种.(用数字作答）【答案】36【解析】【详解】先从班委会除了甲、乙的另外3名成员中选出1名担任文娱委员有,再从剩余的4人中选出两人分别担任学习委员和体育委员有，共有种选法16. 已知函数，若，使成立，则a的取值范围为_【答案】【解析】【分析】求出函数在时的取值范围，集合，再求出在时取值范围，由可得参数范围【详解】，因为，所以，（其中时，即时，的取值范围是，时，（1）时，则，在上单调递增，时，时，所以时，的取值范围是，满足题意；（2）时，时，递增，时，递减， 所以，因为，因此同样有时，这样要满足题意，必须有，即，解得，综上，的取值范围是故答案
18、为：四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 已知的展开式中，只有第6项的二项式系数最大（1）求n的值；（2）求展开式中含的项【答案】（1）10； （2）；【解析】【分析】(1)利用二项式系数的性质即可求出的值；(2)求出展开式的通项公式，然后令的指数为即可求解【小问1详解】的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，展开后一共有11项，则，解得；【小问2详解】二项式的展开式的通项公式为，令，解得，展开式中含的项为18. 已知函数.（1）求导函数；（2）当时，求函数的图像在点处的切线方程.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据基本初等函数的导
19、数和导数的运算法则，准确运算，即可求解；（2）由（1）分别求得和，结合导数的几何意义，即可求解.【小问1详解】解：由题意，函数，可得.【小问2详解】解：当时，可得，由（1）得，所以，所以函数的图像在点处的切线方程，即.19. 某科研机构为了了解气温对蘑菇产量的影响，随机抽取了某蘑菇种植大棚12月份中5天的日产量y（单位：kg）与该地当日的平均气温x（单位：）的数据，得到如下散点图：其中A（3，2），B（5，10），C（8，11），D（9，13），E（10，14）（1）求出y关于x的线性回归方程；（2）若该地12月份某天的平均气温为6，用（1）中所求的回归方程预测该蘑菇种植大棚当日的产量附：线性
20、回归直线方程中，【答案】（1）； （2）8.5kg.【解析】【分析】（1）利用最小二乘法即求；（2）利用回归直线方程即得.【小问1详解】由已知数据可得，所以，所以.【小问2详解】当时，预测该蘑菇种植大棚当日的产量为8.5kg20. 设函数（，）.（1）若函数在处取得极值，求，的值；（2）若函数在区间内单调递增，求取值范围.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）先对函数求导，由已知条件，可由求解出，的值；（2）先对函数求导，判定其单调递增区间，在根据已知条件函数在区间内单调递增，即可确定的取值范围.【小问1详解】因为函数（，），所以（，），由函数在处取得极值，可得，即，解得，经验符合题意.
21、【小问2详解】由（1），知（，），所以时，单调递增，由题意，得，所以，故的取值范围为.21. 设和分别是先后抛掷一枚骰子得到点数，用随机变量表示方程实根的个数（重根按一个计）.（1）求的分布列和数学期望；（2）求在先后两次出现的点数中有的条件下，方程有实根的概率.【答案】（1）分布列见解析，1 （2）【解析】【分析】（1）根据题意先求出基本事件的总数，再利用古典概型分析求解即可；（2）记“先后两次出现的点数中有”为事件，“方程 有实根”为事件，分别求出，再利用条件概率求解即可.【小问1详解】根据题意得，试验发生包含的基本事件总数为；当有两个实根时，即，包含的基本事件有：，共个；当有个实根时，即
22、，包含的基本事件有：，共个；所以当没有实根时，即，包含的基本事件有：；由题意知，则， 故的分布列为：012的数学期望【小问2详解】记“先后两次出现的点数中有”为事件，“方程 有实根”为事件，则，则.22. 已知函数（1）若，求的单调区间；（2）若在上有两个极值点，（）（i）求实数a的取值范围；（ii）求证：【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为 （2）（i）；（ii）证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数求得的单调区间.（2）（i）求得，根据在有两个极值点，对进行分类讨论，由此求得的取值范围.（ii）由（i）得，由建立的关系式，通过构造函数法，结合导数来证得.【小问1详解】，令，所以，
23、所以，当，单调递减；当时，单调递增，所以，所以当时，当时，所以的单调递减区间为，单调递增区间为【小问2详解】（i）因为，要使在上有两个极值点，则在上有两个变号的零点，时，则，由（1）知，所以，所以在上没有两个变号的零点，不合题意，舍去.当时，因为，则在上单调递减，故最多只有一个零点，不合题意，舍去.当时，因为，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，解得，所以实数a的取值范围为（ii）由（i）知，即，所以，所以，令，即，所以，故在上单调递增，所以当时，即，所以，所以，而，所以，因为在上单调递增，因为，所以，所以，即：，因为，所以【点睛】利用导数求解函数的单调区间，关键是研究清楚导函数在具体区间上的符号，对于导函数比较复杂的情况，可借助二次求导来进行研究.如本题中，含有“”，这部分需要利用构造函数法，结合导数来研究.