1、江苏省南通市重点中学2021-2022学年高二下期中数学试题一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 设、，向量，且，则（ ）A. B. C. D. 2. （ ）A. B. C. D. 3. 对图中的A，B，C三个区域染色，每块区域染一种颜色，有公共边的区域不同色，现有红、黄、蓝三种不同颜色可以选择，则不同的染色方法共有（ ）ABCA. 22种B. 18种C. 12种D. 6种4. 中国南北朝时期的著作孙子算经中，对同余除法有较深的研究设a，b，为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为若，则b的值可以是（ ）A. 2022B. 2021C. 2020D. 20195
2、. 已知空间中三点，则点C到直线AB距离为（ ）A. B. C. D. 6. 在四面体OABC中记，若点M、N分别为棱OA、BC的中点，则（ ）A. B. C. D. 7. 已知在6个电子元件中，有2个次品，4个合格品，每次任取一个测试，测试完后不再放回，直到两个次品都找到为止，则经过2次测试恰好将2个次品全部找出的概率（ ）A. B. C. D. 8. 若将整个样本空间想象成一个边长为1的正方形，任何事件都对应样本空间的一个子集，且事件发生的概率对应子集的面积则如图所示的阴影部分的面积表示（ ）A. 事件A发生的概率B. 事件B发生的概率C. 事件B不发生条件下事件A发生的概率D. 事件A、
3、B同时发生的概率二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 我国南宋数学家杨辉1261年所著的详解九章算法就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.以下关于杨辉三角的猜想中正确的有（ ）A. 由“与首末两端等距离的两个二项式系数相等”猜想：B. 由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和”猜想：C. 由“第行所有数之和”猜想：D 由“，”猜想10. 已知空间向量，则下列结论正确的是（）A. B. C. D. 与夹角的余弦值为11. 下列说法中，正确的选项是（ ）A. 所有元素完全相同的两个排列为相同排列B. C. 若组合式，则成立D. 1
4、2. 有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起已知第1，2，3台车床的零件数分别占总数的30%，30%，40%，则下列选项正确的有（ ）A. 任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为0.06B. 任取一个零件是次品的概率为0.053C. 如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为D. 如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若，则_14. 若直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则直线l与平面所成角的正弦值为_15. 将某商场某区域的行走路线图抽象为一个的长
5、方体框架（如图），小红欲从A处行走至B处，则小红行走路程最近的路线共有_（结果用数字作答）16. 将5个不同小球装入编号为1，2，3，4的4个盒子，不允许有空盒子出现，共_种放法；若将5个相同小球放入这4个盒子，允许有空盒子出现，共_种放法（结果用数字作答）四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 如图所示，四边形ABCD为矩形，四边形BCEF为直角梯形，平面平面BCEF.（1）求证：平面CDE；（2）平面ADE与平面BCEF所成锐二面角的大小.18. （1）解方程：；（2）解不等式：19. 已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第2项的二项式系数的比为5：2（1）求n的值；（2）求含
6、的项的系数；（3）求展开式中含项的系数.20. 今年春季新型冠状病毒肺炎疫情又有爆发趋势，上海医疗资源和患者需求之间也存在矛盾，海安决定支持上海市.在接到上级通知后，某医院部门马上召开动员会，迅速组织队伍，在报名请战的6名医生（其中男医生4人、女医生2人）中，任选3人奔赴上海新冠肺炎防治一线（1）求所选3人中恰有1名女医生概率；（2）设“男医生甲被选中”为事件A，“女医生乙被选中”为事件B，求和21. 如图，正三角形 与菱形所在的平面互相垂直，是的中点（1）求证：；（2）求点 到平面 的距离；（3）已知点P在线段EC上，且直线AP与平面ABE所成的角为45，求出的值22. 请先阅读：在等式的两
7、边求导，得：，由求导法则，得，化简得等式：利用上述的想法，结合等式（，正整数）（1）求的值（2）求证：江苏省南通市重点中学2021-2022学年高二下期中数学试题一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 设、，向量，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用空间向量垂直与共线的坐标表示求出、的值，求出向量的坐标，利用空间向量的模长公式可求得结果.【详解】因为，则，解得，则，因为，则，解得，即，所以，因此，.故选：D.2. （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用排列数公式可组合数公式可求得结果.【详解】.故选：C.3. 对图中的A，B，C三个区
8、域染色，每块区域染一种颜色，有公共边的区域不同色，现有红、黄、蓝三种不同颜色可以选择，则不同的染色方法共有（ ）ABCA. 22种B. 18种C. 12种D. 6种【答案】C【解析】【分析】根据染色的规则排列组合即可.【详解】先给A选色，有 种方法；再给B选色，有 种方法；再给C选色，有 种方法；共有 种方法；故选：C.4. 中国南北朝时期的著作孙子算经中，对同余除法有较深的研究设a，b，为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为若，则b的值可以是（ ）A. 2022B. 2021C. 2020D. 2019【答案】B【解析】【分析】利用二项式定理可得，再利用二项式定理展开
9、即可得解.【详解】因为,四个选项中，只有时，除以10余数是1故选：B5. 已知空间中三点，则点C到直线AB的距离为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据点到直线的向量坐标公式计算即可求解【详解】依题意得则点C到直线AB的距离为故选：A6. 在四面体OABC中记，若点M、N分别为棱OA、BC的中点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据空间向量的线性运算，即得.【详解】由题意得：.故选：B.7. 已知在6个电子元件中，有2个次品，4个合格品，每次任取一个测试，测试完后不再放回，直到两个次品都找到为止，则经过2次测试恰好将2个次品全部找出的概率（ ）A
10、. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】把6个产品编号，用列举法写出两次测试的所有可能，计数后由概率公式计算可得【详解】2个次品编号为1，2，4个合格品编号为，不考虑前后顺序时两次测试的可能情形是：共15种，考虑前后顺序时两次测试的可能情形有30种，其中12，21这两种情形表示经过2次测试恰好将2个次品全部找出，因此概率为故选：A8. 若将整个样本空间想象成一个边长为1的正方形，任何事件都对应样本空间的一个子集，且事件发生的概率对应子集的面积则如图所示的阴影部分的面积表示（ ）A. 事件A发生的概率B. 事件B发生的概率C. 事件B不发生条件下事件A发生的概率D. 事件A、B同时发生的
11、概率【答案】A【解析】【分析】理解条件概率和的含义，可得阴影部分面积表示的含义.【详解】由题意可知：表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，表示在事件B不发生的条件下，事件A发生的概率，结合在一块就是事件A发生的概率.故选：A.二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 我国南宋数学家杨辉1261年所著的详解九章算法就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.以下关于杨辉三角的猜想中正确的有（ ）A. 由“与首末两端等距离的两个二项式系数相等”猜想：B. 由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和”猜想：C. 由“第行所有数之和为”猜想
12、：D. 由“，”猜想【答案】ABC【解析】【分析】根据杨辉三角的性质结合二项式定理即可判断.【详解】由杨辉三角的性质以及二项式定理可知A、B、C正确；，故D错误.故选：ABC.【点睛】本题考查杨辉三角的性质和二项式定理，属于基础题.10. 已知空间向量，则下列结论正确的是（）A. B. C. D. 与夹角的余弦值为【答案】BCD【解析】【分析】由空间向量平行的性质及空间向量模长，数量积，夹角的坐标运算进行判断即可.【详解】对于A选项：，不存在，使得，故A错误；对于B选项：，故B正确；对于C选项：，则，故C正确；对于D选项：，所以，故D正确；故选：BCD.11. 下列说法中，正确的选项是（ ）A
13、. 所有元素完全相同的两个排列为相同排列B. C. 若组合式，则成立D. 【答案】BD【解析】【分析】根据排列的而定义判断A;根据排列数公式判断B;根据组合数的性质判断C，D.【详解】对于A，因为排列是有顺序的，因此元素相同顺序可能不同，这样的排列是不同的排列，故A错误；对于B，根据排列数的公式，正确；对于C，组合式，则或 ，故C错误；对于D，故D正确，故选：BD12. 有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起已知第1，2，3台车床的零件数分别占总数的30%，30%，40%，则下列选项正确的有（ ）A. 任取一个零件是第1
14、台生产出来的次品概率为0.06B. 任取一个零件是次品概率为0.053C. 如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为D. 如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为【答案】BCD【解析】【分析】记事件：车床加工的零件为次品，记事件：第台车床加工的零件，则，再依次求选项中的概率即可【详解】记事件：车床加工的零件为次品，记事件：第台车床加工的零件，则，对于选项，任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为，故错误；对于选项，任取一个零件是次品概率为，故正确；对于选项，如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为，故正确；对于选项，如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为，故正
15、确；故选：三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若，则_【答案】-1【解析】【分析】运用赋值法，令x=0即可求解.【详解】令x=0，则 ， ，故答案为：-1.14. 若直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则直线l与平面所成角的正弦值为_【答案】【解析】【分析】利用空间向量的夹角公式，即可求出直线与平面所成角的正弦值【详解】直线的方向向量为，平面的一个法向量为，直线与平面所成的角的正弦值为,故答案为：15. 将某商场某区域的行走路线图抽象为一个的长方体框架（如图），小红欲从A处行走至B处，则小红行走路程最近的路线共有_（结果用数字作答）【答案】210【解析】【分析】由题意分析得路
16、线应该是3次向上,2次向右,2次向前，从而得到答案.【详解】由题意,最近的路线应该是3次向上,2次向右,2次向前,一共走7次,所以路线共有,故答案为：21016. 将5个不同小球装入编号为1，2，3，4的4个盒子，不允许有空盒子出现，共_种放法；若将5个相同小球放入这4个盒子，允许有空盒子出现，共_种放法（结果用数字作答）【答案】 . 240 . 56【解析】【分析】5个不同的球按个数1，1，1，2分成四组，放入4个不同盒子可得第一空答案；第二空由于5个球相同，不同放法只是球的个数不同，因此可先借4个球，相当于9个球，用隔板法分成四组后放入盒子，用组合数定义可得【详解】5个不同小球分成4组，每
17、组个数分别为1，1，1，2，不同的分组情况有种方法，再将4组球放入4个不同盒子，共种方法.5个相同小球放入4个盒子，若允许有空盒子，可先借4个小球，共9个小球，再用隔板法分成4组放入盒子，共种方法故答案为：240；56四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 如图所示，四边形ABCD为矩形，四边形BCEF为直角梯形，平面平面BCEF.（1）求证：平面CDE；（2）平面ADE与平面BCEF所成锐二面角的大小.【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，求得，求出平面CDE的一个法向量，计算，即可证明结论；（2）求得平面ADE的一个法向量，再求得平面BCEF一
18、个法向量，根据向量的夹角公式求得答案.【小问1详解】证明：四边形BCEF为直角梯形，四边形ABCD为矩形，又平面平面BCEF，且平面平面，平面BCEF以C为原点，CB所在直线为x轴，CE所在直线为y轴，CD所在直线为z轴建立如图所示空间直角坐标系根据题意可得以下点的坐标：，则，CD、平面CDE，平面CDE，为平面CDE一个法向量 又，且平面CDE，平面CDE【小问2详解】设平面ADE的一个法向量为，则，令，可取得，平面BCEF，平面BCEF一个法向量为，设平面ADE与平面BCEF所成锐二面角的大小为，则，因此，平面ADE与平面BCEF所成锐二面角的大小为18. （1）解方程：；（2）解不等式：
19、【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）根据组合数的性质，得到关于的方程，解得的值；（2）根据排列数的公式，得到关于的分式不等式，解出的范围，再结合，得到答案【详解】解：因为,所以或,解得或,解原不等式即，整理得，即，所以所以得到，而故或原不等式的解集为【点睛】本题考查解组合数方程和排列数不等式，属于中档题.19. 已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第2项的二项式系数的比为5：2（1）求n的值；（2）求含的项的系数；（3）求展开式中含的项的系数.【答案】（1） （2）60 （3）147【解析】【分析】（1）利用二项式系数的比值求出n；（2）在第一问求出的n的基础上，写出展开式的通项公式
20、，求出含的项的系数；（3）利用通项公式分别写出与的符合题意得项，相乘再相加即可.【小问1详解】，【小问2详解】设的展开式的通项为，则，令含的项的系数为；【小问3详解】由（1）知：展开式中含项系数为：所以展开式中含项的系数为14720. 今年春季新型冠状病毒肺炎疫情又有爆发趋势，上海医疗资源和患者需求之间也存在矛盾，海安决定支持上海市.在接到上级通知后，某医院部门马上召开动员会，迅速组织队伍，在报名请战的6名医生（其中男医生4人、女医生2人）中，任选3人奔赴上海新冠肺炎防治一线（1）求所选3人中恰有1名女医生的概率；（2）设“男医生甲被选中”为事件A，“女医生乙被选中”为事件B，求和【答案】（1
21、） （2），【解析】【分析】（1）根据古典概型的概率公式即可求出；（2）根据古典概型的概率公式以及条件概率的概率公式即可求出【小问1详解】设所选3人中恰有1名女医生为事件M，故所选3人中恰有1名女医生的概率为.【小问2详解】，21. 如图，正三角形 与菱形所在的平面互相垂直，是的中点（1）求证：；（2）求点 到平面 的距离；（3）已知点P在线段EC上，且直线AP与平面ABE所成的角为45，求出的值【答案】（1）证明见解析 （2） （3）【解析】【分析】（1）由面面垂直可得线面垂直,进而可得线线垂直.（2）根据空间向量求点面距离.（3）在空间直角坐标系中，利用空间向量求解线面角，进而可知点的位置
22、，进而可求解.【小问1详解】，是AB的中点，平面平面，平面平面，平面ABE，平面ABCD，平面ABCD，.【小问2详解】由（1）知平面ABCD，平面ABCD，菱形ABCD中，所以是正三角形， 两两垂直建立如图所示空间直角坐标系M-xyz则，设是平面ACE的一个法向量，则，令，得，设点B到平面EAC的距离为d，则，点B到平面EAC的距离为小问3详解】因为轴垂直平面,所以设平面的法向量为 ，设，则，直线AP与平面ABE所成的角为45，由，解得，22. 请先阅读：在等式的两边求导，得：，由求导法则，得，化简得等式：利用上述的想法，结合等式（，正整数）（1）求的值（2）求证：【答案】（1） （2）证明见解析【解析】【分析】（1）在等式两边对求导，然后令，可求得所求代数式的值；（2）由（1）可得出，在此等式两边对求导，然后令可证得结论成立.【小问1详解】解：在等式（，正整数），两边对求导得：，令，可得.【小问2详解】证明：式两边同时乘以x得，式两边对求导得：，令，得.