1、北京市丰台区2021-2022学年高一下期中联考数学试题（B）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.1 等于（ ）A. B. C. 0D. 12. 在复平面内，复数，则z对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 已知，则（）A. B. C. D. 4. 已知，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则实数等于（ ）A. B. C. D. 5. 如图，菱形ABCD中，下列结论中正确的是（ ）A. B. C. D. 6. 复平面内复数z对应的向量为，且，则等于（ ）A. B. 3C. 5D. 7. 在中，若，则c的值为（ ）A. 1B. 4C. 1或4D.
2、 无解8. 在中，已知，那么一定（ ）A. 等腰直角三角形B. 等腰三角形C 直角三角形D. 等边三角形9. 已知向量，且，那么向量在向量上的投影向量为（ ）A. B. C. D. 10. 有下列三个命题：若，且，则；若非零向量满足，则与的夹角为60；在中，若，则是锐角三角形.其中正确命题的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 若向量，则向量_.12. _.13. 在中，若，则_.14. 若是关于x的方程的一个根，则实数_.15. 如图，在中，向量，且，则_.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 已
3、知非零向量，满足，且.（1）求；（2）求向量与的夹角；（3）求的值.17. 已知，.（1）求，的值；（2）求的值.18. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，梯形ABCD四个顶点分别为，且.（1）若，求点D的坐标；（2）若，求点D的坐标；（3）若点P是平面内任意一点，且，写出的最大值.（只需写出结论）19. 某校学生利用解三角形有关知识进行数学实践活动.A处有一栋大楼，某学生选，两处作为测量点，测得的距离为m，在处测得大楼楼顶的仰角为.（1）求两点间的距离；（2）求大楼的高度.（第（2）问不计经纬仪的高度，计算结果精确到m.参考数据：，）20. 已知函数.（1）求；（2）当时，求最小值以及取得最
4、小值时x的值.21. 在中，.（1）求证：是等腰三角形；（2）从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使三角形存在且唯一，并求出此三角形的面积.条件：；条件：；条件：.北京市丰台区2021-2022学年高一下期中联考数学试题（B）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.1. 等于（ ）A. B. C. 0D. 1【答案】B【解析】【分析】由两角和的余弦展开式和二倍角公式可得答案.【详解】.故选：B.2. 在复平面内，复数，则z对应点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】利用复数除法运算化简复数即可求解.【详解】，所以z对应的点为
5、，位于第四象限，故选：D.3. 已知，则（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用正切的二倍角公式展开后，代入tana值即可求出.【详解】，故选B.【点睛】本题考查正切函数二倍角公式的运用，属于基础题.4. 已知，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则实数等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用共线向量定理列式求解即可【详解】依题意（）则解之得故选：A5. 如图，菱形ABCD中，下列结论中正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据相等向量的定义、向量的加、减法法则和向量的几何意义，结合菱形依次判断选项即可.【详解】A：由图形可
6、知，故A错误；B：由平面向量的减法法则可知，故B错误；C：由平面向量的加、减法法则可知，又菱形的对角线互相垂直，所以，即，故C正确；D：根据选项C的分析可知，在菱形中，所以，故D错误.故选：C.6. 复平面内复数z对应的向量为，且，则等于（ ）A. B. 3C. 5D. 【答案】A【解析】【分析】根据复数的模即为其对应的向量的模，根据模的计算公式，直接求得答案.【详解】由题意，复数的模即为其对应的向量的模，故，故选：A7. 在中，若，则c的值为（ ）A. 1B. 4C. 1或4D. 无解【答案】B【解析】【分析】根据题意和余弦定理计算即可得出结果.【详解】由题意知，由余弦定理，得，即，整理，得
7、，由，解得.故选：B.8. 在中，已知，那么一定是（ ）A. 等腰直角三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 等边三角形【答案】B【解析】【分析】利用正弦函数进行边化角，再利用正弦函数的两角和公式求解即可【详解】解：已知，则：，整理得：，则：，所以：.故选：B9. 已知向量，且，那么向量在向量上的投影向量为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】向量在向量上的投影向量的定义计算即可.【详解】解：因为向量，且，那么，所以向量在向量上投影向量为， 故选：C.10. 有下列三个命题：若，且，则；若非零向量满足，则与的夹角为60；在中，若，则是锐角三角形.其中正确命题的个数是（ ）
8、A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】根据数量积的定义与运算律一一判断即可；【详解】解：对于：若，则，因为，即，所以，故错误；对于：非零向量满足，则，所以，因为，所以，即以与为邻边的平行四边形为菱形，且，所以与的夹角为60，故正确；对于： ，所以，则，即为钝角，所以是钝角三角形，故错误；故选：B二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 若向量，则向量_.【答案】【解析】【分析】直接应用平面向量的坐标计算公式求解【详解】因为，所以故答案为：12. _.【答案】【解析】【分析】直接利用两角差的余弦公式求解即可.【详解】解：，故答案为：.13. 在中，若，则_.【答案】6
9、0#【解析】【分析】利用余弦定理计算可得；【详解】解：由余弦定理，因为，所以；故答案为：14. 若是关于x的方程的一个根，则实数_.【答案】2【解析】【分析】由也是方程的根，再由韦达定理可得【详解】解：因为是关于x的方程的根， 所以也是关于x的方程的根，所以，所以故答案为：15. 如图，在中，向量，且，则_.【答案】1【解析】【分析】利用图形关系进行平面向量的线性运算求出，即可得出结果.【详解】由题意知，所以，所以，则，故.故答案为：1.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 已知非零向量，满足，且.（1）求；（2）求向量与的夹角；（3）求的值.【答案】（
10、1） （2） （3）【解析】【分析】（1）根据数量积的运算律计算可得；（2）根据计算可得；（3）由根据平面向量数量积的运算律计算可得；小问1详解】解：因为，所以，即，所以，所以；【小问2详解】解：，又因为，所以；【小问3详解】解：.17. 已知，.（1）求，的值；（2）求的值.【答案】（1）， （2）【解析】【分析】（1）先由已知条件利用同角三角函数的关系求出，然后利用二倍角公式可求出，的值；（2）由求出的值，然后利用两角差的正弦公式求解即可【小问1详解】因为，所以，；小问2详解】因为，所以；所以.18. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，梯形ABCD的四个顶点分别为，且.（1）若，求点D的坐
11、标；（2）若，求点D的坐标；（3）若点P是平面内任意一点，且，写出的最大值.（只需写出结论）【答案】（1） （2） （3）3【解析】【分析】(1)根据平面向量的坐标运算和相等向量的定义列出关于x、y的方程组，解之即可；(2)根据平面垂直、共线向量的坐标表示列出关于x、y的方程组，解之即可；(3)根据平面向量的几何意义直接得出结果.【小问1详解】因为梯形ABCD中，所以，即，所以，所以；【小问2详解】因为，所以，则，由，得，即，又，所以，有，解得，即；【小问3详解】的最大值为3.19. 某校学生利用解三角形有关知识进行数学实践活动.A处有一栋大楼，某学生选，两处作为测量点，测得的距离为m，在处测
12、得大楼楼顶的仰角为.（1）求两点间的距离；（2）求大楼的高度.（第（2）问不计经纬仪的高度，计算结果精确到m.参考数据：，）【答案】（1） （2）m【解析】【分析】（1）先用三角形内角和定理解出，再利用正弦定理即可求出（2）在中，利用两角和的正切公式求出的值，代入即得所求【小问1详解】因为，在中，因为，所以【小问2详解】在中，因为，所以，又因为，所以，答：楼高为m.20. 已知函数.（1）求；（2）当时，求的最小值以及取得最小值时x的值.【答案】（1） （2），【解析】【分析】（1）直接代入利用特殊角的三角函数值计算可得；（2）利用二倍角公式公式、辅助角公式将函数化简，再根据的取值范围求出的范
13、围，最后根据正弦函数的性质计算可得；【小问1详解】解：因为所以，【小问2详解】解：，因为，所以，所以，当，即时，所以的最小值为，此时.21. 在中，.（1）求证：是等腰三角形；（2）从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使三角形存在且唯一，并求出此三角形的面积.条件：；条件：；条件：.【答案】（1）证明见解析 （2）选；不能选；选【解析】【分析】（1）利用余弦定理，化简即得所证（2）选结合（1）的结论，可以求出三边，代面积公式即可；选，利用正弦定理，角化边之后得出矛盾的结论，故不能选；选，先求得三个内角大小，进而求出与，代面积公式即可【小问1详解】证明：在中，因为，所以，所以，所以是等腰三角形.【小问2详解】选因为，所以，所以，面积.选因为，又因为，所以，又因为，所以矛盾.不能选.选因为，所以，所以，所以，所以，面积.