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江苏省常州市金坛区2021-2022学年高二下期中数学试卷(含答案解析)

1、江苏省常州市金坛区2021-2022学年高二下期中数学试题一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.1. 如图是三个正态分布,的密度曲线,则三个随机变量X,Y,Z对应曲线的序号分别依次为( ).A B. C. D. 2. 安排A,B,C三名义工照顾甲,乙,丙三位老人,每位义工照顾一位老人,考虑到义工与老人住址距离问题,义工A不安排照顾老人甲,义工B不安排照顾老人乙,则安排的方法共有( )种.A. 1B. 2C. 3D. 43. 若的展开式中第项与第项的二项式系数相等,则展开式中系数为无理数的项数为( )A. B. C. D. 4. 某人参加驾照考试,共考6个科目,假设他通过各科考试的事件

2、是相互独立的,并且概率都是,且,若此人通过的科目数的方差是,则( )A 2B. 3C. 4D. 55. 如图,在平行六面体中,底面是边长为1的正方形,若,且,则的长为( )A. B. C. D. 6. 现有4名疫情防控志愿者全员参与三个不同的防控岗位,每位志愿者只能参与一个岗位的工作,且每个岗位至少有一名志愿者参与,则参与防控的情况共有( )种.A. 24B. 36C. 48D. 507. 已知随机变量,若函数为偶函数,则( )A. 2B. 1C. 0D. 8. 以等腰直角三角形斜边上高为折痕,把和折成120的二面角.若,其中,则的最小值为( )A. B. C. D. 二、选择题:本题共4小题

3、,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9. 对且,下列等式一定恒成立的是( ).A. B. C. D. 10. 能被7整除,则整数的值可以是( )A. 4B. 6C. 11D. 1311. 下列命题中,正确的命题是( ).A. 已知随机变量服从二项分布,若,则B. 将一组数据中的每个数据都扩大为原来的2倍后,则方差也随之扩大为2倍C. 设随机变量服从正态分布,若,则D. 若随机变量服从二项分布,则变量的标准差为12. 如图,在边长为的正方体中,点在线段上运动,则下列结论正确的是( )A. B. 的最小值为C. 异面

4、直线与的距离是定值D. 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13. 的展开式中,常数项为_.14. 如果一条直线与一个平面平行,那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”.过长方体的任意两个顶点的直线与长方体的6个表面构成的“平行线面组”的个数是_(用数字作答).15. 已知是所在平面外一点,且,则实数的值为_.16. 甲袋中装有5个红球,2个白球和3个黑球,乙袋中装有4个红球,3个白球和3个黑球,且所有球的大小和质地均相同.先从甲袋中随机取出一球放入乙袋中,再从乙袋中随机取出一球,则从乙袋中取出的球是红球的概率是_.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或

5、演算步骤.17. 某地区3000名高三学生在某次模拟考试中的总分服从正态分布,参考数据:,.(1)求;(2)请判断学生总分落在区间的人数.18. 若.(1)求的值;(2)求的值.19. 如图,已知正方形和矩形所在平面互相垂直,是线段的中点.(1)求证:平面;(2)试在线段上确定一点,使与所成角是60.20. 设甲、乙两人上班,每天之前到班概率均为,假定甲、乙两人到班的情况互不影响,且任意一人每天到班的情况相互独立.(1)用表示乙四天中之前到班的天数,求随机变量的分布列和数学期望;(2)记事件为“到班的四天中,甲在之前到班的天数比乙在之前到班的天数恰好多天”,求事件发生的概率.21. 在一次抛硬

6、币游戏中,甲乙两人依次抛掷,每次抛掷出现正面向上和反面向上的概率都是.甲先抛,若抛掷正面向上记1分,抛掷反面向上记-1分.设甲抛掷的得分记为数列,乙抛掷的得分记为数列,数列,的前项和分别为和.(1)求满足“”的事件的概率.(2)求满足“,且”事件的概率.22. 如图,四边形是梯形,点是平面外一点,直线与平面所成角的大小为45,且平面平面.(1)求证:;(2)求点到平面的距离;(3)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.江苏省常州市金坛区2021-2022学年高二下期中数学试题一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.1. 如图是三个正态分布,的密度曲线,则三个随机变量X,Y,Z对应曲线的序号

7、分别依次为( ).A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先利用正态分布求出三个变量的标准差,再利用当较小时,峰值高,正态曲线“瘦高”进行判定.【详解】由题意,得,因为当较小时,峰值高,正态曲线“瘦高”,且,所以三个随机变量X,Y,Z对应曲线的序号分别依次为,.故选:A.2. 安排A,B,C三名义工照顾甲,乙,丙三位老人,每位义工照顾一位老人,考虑到义工与老人住址距离问题,义工A不安排照顾老人甲,义工B不安排照顾老人乙,则安排的方法共有( )种.A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】用列举法写出所有安排方法【详解】由题意三名义工按甲乙丙顺序的安排方法为:,共三种故

8、选:C3. 若的展开式中第项与第项的二项式系数相等,则展开式中系数为无理数的项数为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由第项与第项的二项式系数相等可求得,由此可得展开式通项公式,令即可知展开式的系数为无理数,由此可得结论.【详解】展开式中第项与第项的二项式系数相等,解得:;展开式的通项公式为:;则当,时,展开式中的系数为无理数,共项.故选:B.4. 某人参加驾照考试,共考6个科目,假设他通过各科考试的事件是相互独立的,并且概率都是,且,若此人通过的科目数的方差是,则( )A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】【分析】由已知得此人通过的科目数,根据二项分布的方差公

9、式建立方程可求得,再运用二项分布的期望公式计算可得答案.【详解】解:因为他通过各科考试的事件是相互独立的,并且概率都是,所以此人通过的科目数,又此人通过的科目数的方差是,所以,解得(舍去),所以,故选:C.5. 如图,在平行六面体中,底面是边长为1的正方形,若,且,则的长为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】将作为基底,利用空间向量基本定理用基底表示,然后对其平方化简后,再开方可求得结果【详解】由题意得,因为,所以,所以,故选:C6. 现有4名疫情防控志愿者全员参与三个不同的防控岗位,每位志愿者只能参与一个岗位的工作,且每个岗位至少有一名志愿者参与,则参与防控的情况共有(

10、)种.A. 24B. 36C. 48D. 50【答案】B【解析】【分析】把4名志愿者按112分三组,然后安排到三个即可得【详解】由题意有一个岗位是两个人,方法数为故选:B7. 已知随机变量,若函数为偶函数,则( )A. 2B. 1C. 0D. 【答案】B【解析】【分析】根据偶函数和正态分布的性质进行求解即可.【详解】因为函数为偶函数,所以,因此,故选:B8. 以等腰直角三角形斜边上的高为折痕,把和折成120的二面角.若,其中,则的最小值为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据二面角平面角的定义得是和折成120的二面角的平面角,解三角形求得,由已知得点P在平面ABC内,则的

11、最小值为点D到平面ABC的距离,设点P到平面ABC的距离为h,运用等体积法可求得答案.【详解】解:由已知得,所以是和折成120二面角的平面角,所以,又,所以,所以,因为,其中,所以点P在平面ABC内,则的最小值为点D到平面ABC的距离,设点P到平面ABC的距离为h,因为,所以平面BDC,所以AD是点A到平面BDC的距离,所以,又中,所以,所以,则,所以,解得,所以最小值为,故选:C.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9. 对且,下列等式一定恒成立的是( ).A. B. C. D. 【答案

12、】ABC【解析】【分析】根据组合数、排列数的定义判断【详解】,A正确;,B正确;,C正确;,D错故选:ABC10. 能被7整除,则整数的值可以是( )A. 4B. 6C. 11D. 13【答案】BD【解析】【分析】先将化为,再利用二项式定理解决整除问题.【详解】因为,且能被7整除,所以是7的倍数,经验证和符合题意.故选:BD.11. 下列命题中,正确的命题是( ).A. 已知随机变量服从二项分布,若,则B. 将一组数据中的每个数据都扩大为原来的2倍后,则方差也随之扩大为2倍C. 设随机变量服从正态分布,若,则D. 若随机变量服从二项分布,则变量的标准差为【答案】ACD【解析】【分析】由二项分布

13、的期望公式和方差公式判定选项A正确,利用判定选项B错误,利用正态曲线的对称性判定选项C正确,利用二项分布的方差公式和标准差公式判定选项D正确.【详解】对于A:由题意,得,解得,即选项A正确;对于B:由,得:将一组数据中的每个数据都扩大为原来的2倍后,则方差也随之扩大为4倍,即选项B错误;对于C:由题意,得,由正态曲线的对称性,得,即选项C正确;对于D:由题意,得,其标准差为,即选项D正确.故选:ACD.12. 如图,在边长为的正方体中,点在线段上运动,则下列结论正确的是( )A. B. 的最小值为C. 异面直线与的距离是定值D. 【答案】ABD【解析】【分析】建立空间直角坐标系,利用空间向量法

14、逐项判断.【详解】建立如图所示空间直角坐标系:则,所以,设,则,因为,故,故A正确;,当时,取得最小值为,故B正确;因为,平面,平面,则平面,所以点到平面的距离为异面直线与的距离,设平面 的一个法向量为,则,即,取,所以,故C错误;因为,所以,则,因为,则,故D正确;故选:ABD三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13. 的展开式中,常数项为_.【答案】16【解析】【分析】结合二项式展开式的通项公式求得常数项,【详解】的展开式中,常数项为.故答案为:14. 如果一条直线与一个平面平行,那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”.过长方体的任意两个顶点的直线与长方体的6个表面构成的“平

15、行线面组”的个数是_(用数字作答).【答案】36【解析】【分析】作出图形,先找出一个表面“平行线面组”的个数,进而可求得“平行线面组”的个数.【详解】如下图所示:若平面为长方体的表面上的某一个面,如底面,则与底面平行的且由该长方体的两个顶点确定的直线有:、,共条;长方体有6个面,每个面都有6条直线组成“平行线面组”,所以有个故答案为:.15. 已知是所在平面外一点,且,则实数的值为_.【答案】【解析】【分析】由可得出关于的表达式,再利用空间向量的减法可求得、的值,即可得解.【详解】因为,则,所以,所以,因此,.故答案为:.16. 甲袋中装有5个红球,2个白球和3个黑球,乙袋中装有4个红球,3个

16、白球和3个黑球,且所有球的大小和质地均相同.先从甲袋中随机取出一球放入乙袋中,再从乙袋中随机取出一球,则从乙袋中取出的球是红球的概率是_.【答案】【解析】【分析】设从甲袋取出红球为事件A,再从乙袋取出红球为事件B,求解,再计算,从而得.【详解】设从甲袋取出红球为事件A,再从乙袋取出红球为事件B,则,.,所以.故答案为:四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 某地区3000名高三学生在某次模拟考试中的总分服从正态分布,参考数据:,.(1)求;(2)请判断学生总分落在区间的人数.【答案】(1)0.8185 (2)471【解析】【分析】(1)利用正态曲线对

17、称性和原则进行求解;(2)先利用正态曲线的对称性和原则求出落在该区间上的概率,再求人数即可.【小问1详解】解:因为考生成绩,所以,所以;【小问2详解】解:因为,所以考生总分落在区间的人数为.18. 若.(1)求的值;(2)求的值.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)通过赋值,令和,代入分别求系数,即可求解;(2)令和,求系数的和,再结合平方差公式,即可求解.【详解】解:(1),令,可得,令,可得,.(2),令,可得,令,可得,结合可得,.19. 如图,已知正方形和矩形所在平面互相垂直,是线段的中点.(1)求证:平面;(2)试在线段上确定一点,使与所成角是60.【答案】(1)证明见解析

18、 (2)点应在线段的中点处【解析】【分析】(1)设,连接,通过证明即可得出;(2)以原点建立空间直角坐标系,利用向量关系可求出.【小问1详解】设,连接,因为是正方形,所以是中点,又因为是矩形,是线段的中点,所以,所以四边形为平行四边形,所以,因为平面,平面,所以平面;【小问2详解】如图,以为原点建立空间直角坐标系,依题意设,则,因为,与所成角是,所以,即,化简得,解得或(不合题意舍去),从而,因此点应在线段的中点处20. 设甲、乙两人上班,每天之前到班的概率均为,假定甲、乙两人到班的情况互不影响,且任意一人每天到班的情况相互独立.(1)用表示乙四天中之前到班的天数,求随机变量的分布列和数学期望

19、;(2)记事件为“到班的四天中,甲在之前到班的天数比乙在之前到班的天数恰好多天”,求事件发生的概率.【答案】(1)分布列见解析,数学期望 (2)【解析】【分析】(1)易知,由此可计算出所有可能的取值对应的概率,由此可得分布列;由二项分布期望公式可求得数学期望;(2)由题意知,由独立事件概率公式可知所求概率为,由此计算可得所求概率.【小问1详解】乙四天中到班的情况相互独立,且每天之前到班的概率为,由题意知:所有可能的取值为,;的分布列为:数学期望.【小问2详解】设甲四天中之前到班的天数为,则,且.由题意知:事件与互斥,且事件与,事件与均相互独立,由(1)知:事件发生的概率为.21. 在一次抛硬币

20、游戏中,甲乙两人依次抛掷,每次抛掷出现正面向上和反面向上的概率都是.甲先抛,若抛掷正面向上记1分,抛掷反面向上记-1分.设甲抛掷的得分记为数列,乙抛掷的得分记为数列,数列,的前项和分别为和.(1)求满足“”的事件的概率.(2)求满足“,且”的事件的概率.【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)根据题意得出和的所有取值,进而分别求出事件概率;(2)根据题意得或-2,进而求出概率.【小问1详解】的可能取值为2,0,-2,同理的可能取值也为2,0,-2,成立时仅有,或者,两种情况故答:满足“”的事件的概率为【小问2详解】,即前两次是正正或反反,所以或-2,当,即后六次中三次正面和三次反面,此时概

21、率,当,即后六次中五次正面和一次反面,此时概率,由可知,所求概率为,所以满足“,且”的事件的概率为.22. 如图,四边形是梯形,点是平面外一点,直线与平面所成角的大小为45,且平面平面.(1)求证:;(2)求点到平面的距离;(3)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析 (2) (3)【解析】【分析】(1)取的中点,连接,得四边形是矩形,得是等边三角形,取的中点,连接,可证平面,得证;(2)证明平面,就是直线与平面所成的角,从而可得,由余弦定理求得以为坐标原点,、分别为轴、轴和轴的正方向,建立空间直角坐标系,由空间向量法计算点面距;(3)在(2)基础上,由空间向量法求二面角【小问1详解】证明:如图,取的中点,连接,因为,与平行且相等,是平行四边形,所以四边形是矩形,所以.连接,所以,则是等边三角形.取的中点,连接,则.连接,因为,所以,因为,平面,所以平面,所以.【小问2详解】解:因为平面平面,平面平面,平面,所以平面.连接,则就是直线与平面所成的角,所以,所以.在中,所以,所以.如图,以为坐标原点,、分别为轴、轴和轴的正方向,建立空间直角坐标系,则,.由,可得.所以.因为平面的一个法向量为,故点到平面的距离;【小问3详解】设平面的一个法向量为,由,得.可取,则.因为平面的一个法向量为,所以,所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.