1、北京市丰台区2021-2022学年高二下期中联考数学试题（B）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.1. 若三个数8，2成等差数列，则（ ）A. 5B. 4C. 5D. 42. 下列求导运算正确的是（ ）A. B. C D. 3. 设为数列的前n项和，且，则=（ ）A. 26B. 19C. 11D. 94. 已知函数，则（ ）A 2B. 4C. 3D. 15. 已知函数，其导函数的图象如图，则对于函数的描述正确的是A. 在上为减函数B. 在处取得最大值C. 在上为减函数D. 在处取得最小值6. 高二（1）班4名同学分别报名参加学校的排球队、足球队、羽毛球队，每人限报其中的一个运动队，不同
2、的报名种数是（ ）A. B. C. 6D. 247. 函数的最小值为A. B. C. D. 8. 已知a为函数f（x）=x312x的极小值点，则a=A 4B. 2C. 4D. 29. 在数列中，且，则（ ）A. 2B. -1C. D. 110. 张邱建算经是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄”其大意为：有一女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织5尺，最后一天织一尺，三十天织完.则该女子第11天织布（ ）A. 尺B. 尺C. 尺D. 尺二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 设某质点的位移x与时间t
3、的关系是，则质点在第3s时的瞬时速度等于_.12. 已知等比数列的前项和为，且，则等于_.13. 从2名教师和4名学生中，选出2人参加“我爱我的祖国”主题活动，要求入选的2人中恰有一名教师，则不同的选取方案的种数是_.14. 设集合，把集合中的元素按从小到大依次排列，构成数列，则_；数列的前20项和_.15. 已知函数，下列结论中正确的是_.函数有零点；函数有极大值，也有极小值；函数既无最大值，也无最小值；函数的图象与直线有3个交点.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 已知数列满足，等差数列满足，.（1）求数列，的通项公式；（2）求数列的前n项和.17
4、. 已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）求函数的极值.18. 已知数列满足，.（1）请写出数列的前5项；（2）证明数列是等比数列；（3）求数列的通项公式.19. 已知函数.（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）求函数的单调区间.20. 已知是等差数列，其前n项和为，再从条件条件这两个条件中选择一个作为已知，求：（1）数列的通项公式；（2）的最小值，并求取得最小值时n的值.条件：；条件：注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分.21. 某公司销售某种产品的经验表明，该产品每日的销售量Q（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式，其中.该产品的成本为3元/千克.（1）写出
5、该产品每千克的利润（用含x的代数式表示）；（2）将公司每日销售该商品所获得利润y表示为销售价格x的函数；（3）试确定x的值，使每日销售该商品所获得的利润最大.北京市丰台区2021-2022学年高二下期中联考数学试题（B卷）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.1. 若三个数8，2成等差数列，则（ ）A 5B. 4C. 5D. 4【答案】C【解析】【分析】根据等差中项公式求解即可【详解】三个数8，2成等差数列，则，所以故选：C2. 下列求导运算正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用常见函数的导数，对选项进行逐一求导即可.【详解】选项A. ,故选项A不正确.选项
6、B. ,故选项B不正确.选项C. ,故选项C不正确.选项D. ,故选项D正确.故选：D3. 设为数列的前n项和，且，则=（ ）A. 26B. 19C. 11D. 9【答案】D【解析】分析】先求得，然后求得.【详解】依题意，当时，当时，所以，所以.故选：D4. 已知函数，则（ ）A. 2B. 4C. 3D. 1【答案】B【解析】【分析】先求得导函数，然后求得【详解】，所以故选：B5. 已知函数，其导函数的图象如图，则对于函数的描述正确的是A. 在上为减函数B. 在处取得最大值C. 在上为减函数D. 在处取得最小值【答案】C【解析】【详解】分析：根据函数f（x）的导函数f（x）的图象可知f（0）=
7、0，f（2）=0，f（4）=0，然后根据单调性与导数的关系以及极值的定义可进行判定即可详解：根据函数f（x）的导函数f（x）的图象可知：f（0）=0，f（2）=0，f（4）=0当x0时，f（x）0，f（x）递增；当0x2时，f（x）0，f（x）递减；当2x4时，f（x）0，f（x）递增；当x4时，f（x）0，f（x）递减可知C正确，A错误；由极值的定义可知，f（x）在x=0处函数f（x）取到极大值，x=2处函数f（x）的极小值点，但极大值不一定为最大值，极小值不一定是最小值；可知B、D错误故选C点睛：由导函数图象推断原函数的性质，由f（x）0得增区间，由f（x）0得减区间，由f（x）=0得到的
8、不一定是极值点，需判断在此点左右f（x）的符号是否发生改变.6. 高二（1）班4名同学分别报名参加学校的排球队、足球队、羽毛球队，每人限报其中的一个运动队，不同的报名种数是（ ）A. B. C. 6D. 24【答案】A【解析】【分析】先求每一个同学报名的方法数，再由分步计数原理求4个同学不同的报名总数.【详解】每个同学报各都有3种情况，共有4个同学，则有3333= 种报名方法故选：A7. 函数的最小值为A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】函数的定义域为，再根据函数单调求得最小值【详解】由题得，令解得，则当时f(x)为减函数，当时，f(x)为增函数，所以点处的函数值为最小值，代入函
9、数解得，故选C【点睛】本题考查用导数求函数最值，解此类题首先确定函数的定义域，其次判断函数的单调性，确定最值点，最后代回原函数求得最值8. 已知a为函数f（x）=x312x的极小值点，则a=A. 4B. 2C. 4D. 2【答案】D【解析】【详解】试题分析：，令得或，易得在上单调递减，在上单调递增，故的极小值点为2，即，故选D.【考点】函数的导数与极值点【名师点睛】本题考查函数的极值点在可导函数中，函数的极值点是方程的解，但是极大值点还是极小值点，需要通过这个点两边的导数的正负性来判断，在附近，如果时，时，则是极小值点，如果时，时，则是极大值点.9. 在数列中，且，则（ ）A. 2B. -1C
10、. D. 1【答案】C【解析】【分析】根据给定条件推导出数列的周期，再借助周期性计算得解.【详解】解：数列中，则，于是得数列是周期数列，周期为3，又，所以，所以，所以.故选：C.10. 张邱建算经是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄”其大意为：有一女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织5尺，最后一天织一尺，三十天织完.则该女子第11天织布（ ）A. 尺B. 尺C. 尺D. 尺【答案】B【解析】【分析】女子每天的织布数成等差数列，根据首项和末项以及项数可求公差，从而可得第11天的织布数.【详解】设女子每天的织
11、布数构成的数列为，由题设可知为等差数列，且，故公差，故，故选：B.第卷（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 设某质点的位移x与时间t的关系是，则质点在第3s时的瞬时速度等于_.【答案】【解析】【分析】求出函数的导数，计算时，的值即可【详解】解：，则时，故质点在第3s时的瞬时速度为，故答案为：1012. 已知等比数列的前项和为，且，则等于_.【答案】51【解析】【分析】由已知条件求出等比数列的公比，再利用等比数列的求和公式即可求解.【详解】解：因数列为等比数列，且，所以，解得，所以，故答案为：51.13. 从2名教师和4名学生中，选出2人参加“我爱我的祖国”主题
12、活动，要求入选的2人中恰有一名教师，则不同的选取方案的种数是_.【答案】8【解析】【分析】根据乘法计数原理和组合公式即可求解【详解】从2名教师和4名学生中，选的2人中恰有一名教师有种选法，故答案为：814. 设集合，把集合中的元素按从小到大依次排列，构成数列，则_；数列的前20项和_.【答案】 . 3 . 660【解析】【分析】由等差数列和等比数列的通项公式，可得，由不在集合A中，在集合A中，也在集合中，推得不在数列的前20项内，则数列的前20项中包括的前18项和数列中的3和27，结合等差数列的求和公式，即可求解.【详解】由题意，集合A构成数列是首项为1，公差为4的等差数列，集合构成数列是首项
13、为1，公比为3的等比数列，可得，又由不在集合A中，在集合A中，也在集合中，因为，解得，此时，所以不在数列的前20项内，则数列的前20项的和为 .故答案为：3；660.15. 已知函数，下列结论中正确的是_.函数有零点；函数有极大值，也有极小值；函数既无最大值，也无最小值；函数的图象与直线有3个交点.【答案】【解析】【分析】由确定正确，结合导数判断其他项的正确性【详解】，所以选项正确，所以在区间上递增，在区间上递减，所以当时，有极大值，当时，有极小值，所以选项正确，因为恒成立，所以是的最小值，选项错误，画出的大致图象如下图所示，由图可知函数的图象与直线y=1有3个交点，选项正确故答案为：三、解答
14、题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 已知数列满足，等差数列满足，.（1）求数列，的通项公式；（2）求数列的前n项和.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）依题意为等比数列，由等比数列的通项公式计算可得；由，求出公差，进而得到；（2）求得，利用分组求和法，结合等差数列和等比数列的求和公式，可得所求和【详解】解：（1）由，可得；设等差数列公差为，由，可得，则；（2），可得数列的前项和为17. 已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）求函数的极值.【答案】（1）增区间：，减区间：.（2）极大值，极小值.【解析】【分析】（1）利用导数求得单调区间.（2）结合单
15、调区间求得的极值.【详解】（1），所以在区间上递增，在区间上递减.所以增区间：，减区间：.（2）由（1）得的极大值为，极小值为.18. 已知数列满足，.（1）请写出数列的前5项；（2）证明数列是等比数列；（3）求数列的通项公式.【答案】（1），； （2）证明见解析； （3）.【解析】【分析】（1）代入已知的递推式计算可得答案；（2）利用数列的递推公式证明出为非零常数，即可证明出数列是等比数列；（3）确定等比数列的首项和公比，求出数列的通项公式，即可求出.【小问1详解】解：因为数列满足，.所以，所以数列的前5项为：，；【小问2详解】解：，因此，数列是等比数列；【小问3详解】解：由于，所以，数列是
16、以为首项，以为公比的等比数列，因此，.19. 已知函数.（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）求函数的单调区间.【答案】（1） （2）答案见解析【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可，（2）求出函数的定义域，对函数求导数，然后分和两种情况通过判断导函数的正负可求得函数的单调区间【小问1详解】时，则，故切线方程为，即.【小问2详解】函数的定义域为；，当时，则函数在上单调递增；当时，时，则函数在上单调递增；时，则函数在上单调递减.综上所述，当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为；单调递减区间为.20. 已知是等差数列，其前n项和为，再从条件条件这两个条件中选择一个作为已
17、知，求：（1）数列的通项公式；（2）的最小值，并求取得最小值时n的值.条件：；条件：.注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）若选，若选；（2）若选当时有最小值且最小值为，若选当或时有最小值且最小值为【解析】【分析】若选择条件：根据；组成方程组可解出首项和，从而可得与，再根据二次函数的性质可求出的最小值以及取得最小值时的值若选择条件：；组成方程组可解出首项和，从而可得与，再根据二次函数的性质可求出的最小值以及取得最小值时的值【详解】解：若选择条件：（1）设等差数列的公差为，由，得；又，得，即联立，解得、，所以（2）由（1）可知：，所以，根据二次函数的性质可得当时有最小值
18、且最小值为若选择条件：（1）设等差数列的公差为，由，得；又，得即联立，解得、，所以（2）由（1）可知：，由于，所以当或时有最小值且最小值为21. 某公司销售某种产品的经验表明，该产品每日的销售量Q（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式，其中.该产品的成本为3元/千克.（1）写出该产品每千克的利润（用含x的代数式表示）；（2）将公司每日销售该商品所获得的利润y表示为销售价格x的函数；（3）试确定x的值，使每日销售该商品所获得的利润最大.【答案】（1）；（2），（）.（3）销售价格为元时，每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为元.【解析】【分析】（1）根据利润销售价格成本即可求解.（2）利润等于销售价格乘以销售量，即可得出函数关系.（3）由（2）利用导数求出函数的最大值即可.【详解】（1）由题意可得产品每千克的利润为.（2），（）.（3）由（2）可得，令，解得或，令，解得或，令，解得，所以函数在上单调递增；在上单调递减，所以当，（元）故销售价格为元时，每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为元.