1、山东省滨州市2023届高三第一次模拟考试数学模拟试题一、单选题1已知集合，则（）ABCD2已知复数，i为虚数单位，则z的共轭复数为（）ABCD3在平行四边形中，设为线段上靠近的三等分点，为线段上靠近的三等分点，则向量（）ABCD4九章算术卷5商功记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺 .问积几何？答曰：二千一百一十二尺.术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”.这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”. 就是说：圆堡瑽（圆柱体）的体积为(底面圆的周长的平方高)，则由此可推得圆周率的取值为ABCD5从名大学毕业生中选人担任村长助理，则甲、乙至少有人入选，而丙没
2、有入选的不同选法的种数为（）ABCD6已知函数，直线为的图象的一条对称轴，且在上单调，则下列结论正确的是A的最小正周期为B为的一个零点C在上的最小值为D的单调递增区间为7已知则之间的大小关系是ABCD无法比较8已知，在区间上存在三个不同的实数，使得以为边长的三角形是直角三角形，则的取值范围是（）ABCD二、多选题9如图，正方体的棱长为1，则下列四个命题正确的是（）A两条异面直线和所成的角为B直线与平面所成的角等于C点D到面的距离为D三棱柱外接球半径为10已知曲线在点处的切线为，且与曲线也相切则（）AB存在的平行线与曲线相切C任意，恒成立D存在实数，使得任意恒成立11已知抛物线的焦点为F，准线为
3、l，过抛物线C上一点P作的垂线，垂足为Q，则下列说法正确的是（）A准线l的方程为B若过焦点F的直线交抛物线C于两点，且，则C若，则的最小值为3D延长交抛物线C于点M，若，则12定义在上的函数满足，且当时，则有()A为奇函数B存在非零实数a，b，使得C为增函数D三、填空题13若的展开式中二项式系数之和为32，则的展开式中的系数为_14两圆x2+y2+6x-4y+9=0和x2+y2-6x+12y-19=0的位置关系是_.15已知函数，则其在处的切线方程为（填写一般式方程）_；16已知椭圆，的上顶点为A，两个焦点为，离心率为过且垂直于的直线与交于，两点，的周长是13，则_四、解答题17已知等差数列的
4、前项和为，且满足，（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和18已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(1)求A；(2)若，求19已知菱形的边长为2，对角线、交于点O，平面外一点P在平面内的射影为O，与平面所成角为30.（1）求证：；（2）点N在线段上，且，求的值. 20第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日开幕，观众可以通过中央电视台综合频道观看比赛实况某机构对某社区群众每天观看比赛的情况进行调查，将每天观看比赛时间超过3小时的人称为“冬奥迷”，否则称为“非冬奥迷”，从调查结果中随机抽取50份进行分析，得到数据如表所示：冬奥迷非冬奥迷总计男2026女14总计50(1)补全列
5、联表，并判断是否有99%的把握认为是否为“冬奥迷”与性别有关？(2)现从抽取的“冬奥迷”人群中，按性别采用分层抽样的方法抽取6人，然后从这6人中随机抽取2人，记这2人中男“冬奥迷”的人数为，求的分布列和数学期望附：，其中0.0500.0100.0013.8416.63510.82821如图,为坐标原点,椭圆的左右焦点分别为,离心率为;双曲线的左右焦点分别为,离心率为,已知,且.(1)求的方程;(2)过点作的不垂直于轴的弦,为的中点,当直线与交于两点时,求四边形面积的最小值.22已知函数.(1)试确定的取值范围，使得函数在（）上为单调函数；(2)若为自然数，则当取哪些值时，方程在上有三个不相等的
6、实数根，并求出相应的实数的取值范围.参考答案一、单选题1已知集合，则（）ABCD【答案】A【解析】解出不等式，求出值域，分别得到集合，即可求解.【详解】依题意，故.故选:A.【点睛】此题考查解不等式和求函数的值域，并求不等式解集与函数值域的交集.2已知复数，i为虚数单位，则z的共轭复数为（）ABCD【答案】B【分析】根据复数的运算公式求复数的代数形式，再求其共轭复数即可.【详解】，所以z的共轭复数为，故选：B.3在平行四边形中，设为线段上靠近的三等分点，为线段上靠近的三等分点，则向量（）ABCD【答案】B【分析】作出图形，利用平面向量加法的三角形法则可得出关于、的表达式.【详解】如下图所示：，
7、则.故选：B.4九章算术卷5商功记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺 .问积几何？答曰：二千一百一十二尺.术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”.这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”. 就是说：圆堡瑽（圆柱体）的体积为(底面圆的周长的平方高)，则由此可推得圆周率的取值为ABCD【答案】A【详解】设圆柱体的底面半径为，高为，由圆柱的体积公式得体积为：.由题意知.所以，解得.故选A.5从名大学毕业生中选人担任村长助理，则甲、乙至少有人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为（）ABCD【答案】C【分析】分别在甲、乙有且仅有人入选和甲、乙人都入选的情况下确定选
8、法种数，根据分类加法计数原理可求得结果.【详解】甲、乙有且仅有人入选、丙没有入选的情况有：种；甲、乙人都入选、丙没有入选的情况有：种；甲、乙至少有人入选，而丙没有入选的不同选法的种数有种.故选：C.6已知函数，直线为的图象的一条对称轴，且在上单调，则下列结论正确的是A的最小正周期为B为的一个零点C在上的最小值为D的单调递增区间为【答案】D【分析】利用的对称轴和在区间上的单调性，求得的值，进而求得的最小正周期，判断出点的零点、单调区间以及在区间上的最小值，由此确定正确选项.【详解】因为函数在上单调，所以，得.又直线为的图象的对称轴，所以，得，所以.的最小正周期为，故A错误；，故B错误；当时，则的
9、最小值为0，故C错误；令，解得，即的单调递增区间为，故D正确.故选：D【点睛】本小题主要考查三角函数图象与性质，属于中档题.7已知则之间的大小关系是ABCD无法比较【答案】A【分析】根据题意，可设，表示出，然后再计算出和的值，进而可比较和的大小，从而可得答案.【详解】设，则，.，即.故选A.【点睛】本题考查数的大小的比较，解答本题的关键是通过题设构造新函数，再去求出和的值.8已知，在区间上存在三个不同的实数，使得以为边长的三角形是直角三角形，则的取值范围是（）ABCD【答案】D【分析】利用导数求出，由题意转化为，解不等式即可.【详解】，则，令可得或.所以函数在区间单调递减，在区间单调递增，则.
10、又，所以.在区间上存在三个不同的实数，使得以为边长的三角形是直角三角形，即，解得 .又已知，故选：D二、多选题9如图，正方体的棱长为1，则下列四个命题正确的是（）A两条异面直线和所成的角为B直线与平面所成的角等于C点D到面的距离为D三棱柱外接球半径为【答案】BCD【分析】对于A：根据异面直线的求法易得：异面直线和所成的角为；对于B：可证平面，则直线与平面所成的角为；对于C：根据等体积转换，求点D到面的距离；对于D：三棱柱的外接球即为正方体的外接球，直接求正方体外接球的半径即可【详解】连接、且，则四边形为平行四边形，异面直线和所成的角为，则为正三角形，即A不正确；连接在正方形中，平面，平面，则平
11、面直线与平面所成的角为B正确；根据等体积转换可知：即，则C正确；三棱柱的外接球即为正方体的外接球则外接球的半径即为正方体体对角线的一半，即D正确；故选：BCD10已知曲线在点处的切线为，且与曲线也相切则（）AB存在的平行线与曲线相切C任意，恒成立D存在实数，使得任意恒成立【答案】AC【分析】由得，求出切线，与联立，由可得，由此判断A；由反证法可判断B；构造函数，通过研究其最小值和极限可判断C和D.【详解】对于选项A：由得，所以，则，所以切线的斜率为，所以切线的方程为.又直线也与相切，联立得，由得，故A正确；对于选项B：假设存在与平行的直线与曲线相切于点，则，显然.令（）,则，所以当时，即单调递
12、增，又，所以，即与重合，这与与平行矛盾，故B错误；对于选项C：构造函数（），则，由得.当时，单调递减；当时，单调递增.所以.所以对，即恒成立. 故C正确；对于选项D：因为在上单调递增，又时，所以不存在实数，使得即对任意恒成立.故D错误.故选：AC.11已知抛物线的焦点为F，准线为l，过抛物线C上一点P作的垂线，垂足为Q，则下列说法正确的是（）A准线l的方程为B若过焦点F的直线交抛物线C于两点，且，则C若，则的最小值为3D延长交抛物线C于点M，若，则【答案】ACD【分析】由抛物线标准方程结合抛物线的性质，即可求焦点坐标、准线方程、焦点弦长、抛物线上的点到焦点和定点距离之和的最小值等.【详解】因为
13、抛物线C的方程为，所以，所以准线l的方程为，A正确；由题意可知焦点弦长，B错误；由抛物线C上的点到焦点F与到准线的距离相等可知，所以当Q，P，E三点共线时，取得最小值，即为点E到准线的距离，所以最小值为3，C正确；如图所示，不妨设P在第一象限，过P作轴于点H，过M作轴于点N，过M作准线的垂线，垂足为D，设准线与x轴的交点为G，则，易知，则有，即，解得，则，D正确，故选：ACD.12定义在上的函数满足，且当时，则有()A为奇函数B存在非零实数a，b，使得C为增函数D【答案】ABC【分析】对于A，对适当赋值即可判断；对于B，利用奇偶性和单调性转化为方程有解的问题进行判断；对于C，利用定义法进行判断
14、；对于D，利用赋值法和单调性判断.【详解】令，得，所以；令，得，故，为奇函数，故A正确; 任取，则，因为，故，故为增函数，所以C正确；，所以D错误；，所以，则，当，所以存在，使得，所以B正确.故选：ABC.三、填空题13若的展开式中二项式系数之和为32，则的展开式中的系数为_【答案】【分析】由二项式系数之和公式求得，结合二项式展开式通项公式即可得到的系数【详解】由的展开式中二项式系数之和为32得，故，的展开式通项为，故的项为，即，故答案为：14两圆x2+y2+6x-4y+9=0和x2+y2-6x+12y-19=0的位置关系是_.【答案】外切【分析】先把两个圆的方程变为标准方程，分别得到圆心坐标
15、和半径，然后利用两点间的距离公式求出两个圆心之间的距离与半径比较大小来判别得到这两个圆的位置关系【详解】由x2+y2+6x-4y+9=0得：（x+3）2+（y-2）2=4，圆心O（-3，2），半径为r=2；由x2+y2-6x+12y-19=0得：（x-3）2+（y+6）2=64，圆心P（3，-6），半径为R=8则两个圆心的距离 ，所以两圆的位置关系是：外切即答案为外切【点睛】本题考查学生会利用两点间的距离公式求两点的距离，会根据两个圆心之间的距离与半径相加相减的大小比较得到圆与圆的位置关系15已知函数，则其在处的切线方程为（填写一般式方程）_；【答案】【分析】根据，求导，再求得，写出切线方程.
16、【详解】因为，所以，所以，所以在处的切线方程为，即.故答案为：【点睛】本题主要考查导数的几何意义，还考查了运算求解的能力，属于基础题.16已知椭圆，的上顶点为A，两个焦点为，离心率为过且垂直于的直线与交于，两点，的周长是13，则_【答案】6【分析】由题意可知为等边三角形，为线段的垂直平分线，利用定义转化的周长为4a，即可求出a，b，c，设的方程为，联立椭圆方程，利用韦达定理，根据弦长公式求解即可.【详解】如图，连接，因为的离心率为，所以，即，所以，因为，所以为等边三角形，又，所以直线为线段的垂直平分线，所以，则的周长为， 而，所以直线的方程为，代入椭圆的方程，得，设，则，所以，故答案为：6.四
17、、解答题17已知等差数列的前项和为，且满足，（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和【答案】（1）；（2）【分析】（1）由等差数列的基本量运算求得公差和首项可得通项公式；（2）求出，用裂项相消法求得和【详解】（1）设的公差为，则，解得，所以；（2）由（1），所以18已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(1)求A；(2)若，求【答案】(1)(2)【分析】(1)用诱导公式和平方关系化简成含余弦的二次方程，然后可解；(2)用正弦定理边换角，结合(1)中结论可解.(1)因为，整理得，解得因为，所以(2)由（1）知，因为，所以，整理得因为，所以，所以，即所以19已知菱形的边长为2，对角线、
18、交于点O，平面外一点P在平面内的射影为O，与平面所成角为30.（1）求证：；（2）点N在线段上，且，求的值. 【答案】（1）证明见解析（2）【解析】（1）由面得，然后证明出面即可（2）由面得与平面所成角为，然后利用算出点D到平面的距离为，然后利用即可算出答案.【详解】（1）由题意面， 菱形中，又，则面， 所以； （2）因为面，所以与平面所成角为， 又菱形边长为2，所以，. 所以，.设，点D到平面的距离为由得，即，解得所以D到平面的距离也为. 所以. 所以.【点睛】常用等体积法求点到平面的距离.20第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日开幕，观众可以通过中央电视台综合频道观看比赛实况某机
19、构对某社区群众每天观看比赛的情况进行调查，将每天观看比赛时间超过3小时的人称为“冬奥迷”，否则称为“非冬奥迷”，从调查结果中随机抽取50份进行分析，得到数据如表所示：冬奥迷非冬奥迷总计男2026女14总计50(1)补全列联表，并判断是否有99%的把握认为是否为“冬奥迷”与性别有关？(2)现从抽取的“冬奥迷”人群中，按性别采用分层抽样的方法抽取6人，然后从这6人中随机抽取2人，记这2人中男“冬奥迷”的人数为，求的分布列和数学期望附：，其中0.0500.0100.0013.8416.63510.828【答案】(1)列联表见解析，没有99%的把握认为是否为“冬奥迷”与性别有关(2)分布列见解析，【分
20、析】（1）由题完善列联表计算查表可得解（2）由（1）利用分层抽样确定6人中男“冬奥迷”与女“冬奥迷”的人数，根据超几何分布写分布列和计算数学期望(1)解：（1）补全的列联表如下：冬奥迷非冬奥迷总计男20626女101424总计302050，（关键：根据“是否有99%的把握”，在临界值表中查找对应的值与观测值进行比较）所以没有99%的把握认为是否为“冬奥迷”与性别有关(2)由（1）知抽取的“冬奥迷”有30人，其中男“冬奥迷”有20人，女“冬奥迷”有10人，由分层抽样的知识知抽取的6人中，男“冬奥迷”有4人，女“冬奥迷”有2人，则的所有可能取值为0，1，2，所以的分布列为012（提示：注意利用分布
21、列中的各个概率之和为1检验所得分布列是否正确）所以21如图,为坐标原点,椭圆的左右焦点分别为,离心率为;双曲线的左右焦点分别为,离心率为,已知,且.(1)求的方程;(2)过点作的不垂直于轴的弦,为的中点,当直线与交于两点时,求四边形面积的最小值.【答案】(1) (2)【详解】试题分析:(1)利用椭圆和双曲线之间的关系可以用分别表示双曲线和椭圆的离心率和焦点,由题目和即可得到之间的两个方程,联立方程消元即可求出的值,得到双曲线和椭圆的标准方程.(2)利用(1)求出焦点的坐标,设出弦的直线的方程,联立直线与椭圆消得到关于的一元二次方程,再利用根与系数的关系得到两点纵坐标之间的和与积,进而得到点的纵
22、坐标带入AB直线即可得到的横坐标,进而求出直线的方程,即为直线的方程,联立直线的方程得到的取值范围和求出点的坐标得到的长度,利用点到直线的距离得到到直线的距离表达式,进而用表示四边形的面积,利用不等式的性质和的取值范围即可得到面积的最小值.(1)由题可得,且,因为,且,所以且且,所以椭圆方程为,双曲线的方程为.(2)由(1)可得,因为直线不垂直于轴,所以设直线的方程为,联立直线与椭圆方程可得,则,则,因为在直线上,所以,则直线的方程为,联立直线与双曲线可得,则,则,设点到直线的距离为,则到直线的距离也为,则,因为在直线的两端,所以,则,又因为在直线上,所以,则四边形面积,因为,所以当时,四边形
23、面积的最小值为.考点：弦长 双曲线 椭圆 最值22已知函数.(1)试确定的取值范围，使得函数在（）上为单调函数；(2)若为自然数，则当取哪些值时，方程在上有三个不相等的实数根，并求出相应的实数的取值范围.【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）根据导数判断函数的单调区间，再根据为某个单调区间的子集得的取值范围；（2）根据函数的单调性与极值最值情况可确定实数的取值范围，再结合函数图象确定的取值范围.（1）由，得，令，解得或，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，所以函数在，上单调递增，在上单调递减，又函数在上为单调函数，所以；（2）由（1）得函数在，上单调递增，在上单调递减，函数的图像如图所示，方程在上有三个不相等的实数根，即函数在上有三个不同的交点，又，又图像可知，当或时，至多有两个交点，不成立，所以，又，所以若方程在上有三个不相等的实数根，则，即综上所述，当且时，满足题意，此时实数的取值范围是.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系 (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数 (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题 (4)考查数形结合思想的应用