1、山西省太原市2023届高三一模数学试卷一选择题：本题共8小题，每小题分，共40分1.已知集合，则（ ）A. B. C. D.2.设复数满足为虚数单位，则（ ）A. B. C.或 D.或3.已知等比数列的前2项和为，则（ ）A.1 B. C. D.4.的展开式中的系数为（ ）A.9 B.10 C.24 D.255.在中，为垂足，若，则（ ）A. B. C. D.6.算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一，算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠，例如，在百位档拨一颗下珠，十位档拨一颗上珠和两颗下珠，则表示数字170，若
2、在个十百千位档中，先随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字大于200的概率为（ ）A. B. C. D.7.已知函数若函数恰有5个零点，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D.8.已知分别为定义在上的函数和的导函数，且，若是奇函数，则下列结论不正确的是（ ）A.函数的图象关于点对称B.函数的图象关于直线对称C.D.二多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9.已知函数，则下列结论正确的是（ ）A.的最小正周期为B.的值域为C.的图象是轴对称图形D.的图象是中心对称图形10.已知双曲线的左右焦点分别为，过点的直
3、线与双曲线的右支交于两点，且，则下列结论正确的是（ ）A.双曲线的渐近线方程为B.若是双曲线上的动点，则满足的点共有两个C.D.内切圆的半径为11.已知正方体的棱长为为侧面的中心，为棱的中点，为线段上的动点，为上底面内的动点，则下列结论正确的是（ ）A.三棱锥的体积为定值B.若平面，则C.若，则线段的最大值为D.当与的所成角为时，点的轨迹为双曲线的一部分12.已知函数，若直线与曲线和分别相交于点，且，则下列结论正确的是（ ）A. B.C. D.第II卷（非选择题共90分）三填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知，则与的夹角为_.14.已知，则的最小值为_.15.已知抛物线的焦点
4、为，过点的直线交于两个不同点，若，则直线的斜率为_.16.已知函数有唯一的零点，则实数的最大值为_.四解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）已知等差数列中，为的前项和，且也是等差数列.（1）求；（2）设，求数列的前项和.18.（本小题满分12分）在中，分别为内角的对边，点在上，.（1）从下面条件中选择一个条件作为已知，求；（2）在（1）的条件下，求面积的最大值.条件：；条件：.注：若条件和条件分别解答，则按第一个解计分.19.（本小题满分12分）如图，四棱锥中，且，直线与平面的所成角为分别是和的中点.（1）证明：平面；（2）求平面与平
5、面夹角的余弦值.20.（本小题满分12分）某制药公司研发一种新药需要研究某种药物成份的含量x（单位：）与药效指标值y（单位：）之间的关系，该公司研发部门进行了20次试验统计得到一组数据，其中分别表示第次试验中这种药物成份的含量和相应的药效指标值.且.（1）已知该组数据中y与x之间具有线性相关关系，求y关于x的经验回归方程；（2）据临床经验，当药效指标值y在45,75内时，药品对人体是安全的，求该新药中此药物成份含量x的取值范围；（3）该公司要用A与B两套设备同时生产该种新药，已知设备A的生产效率是设备B的2倍，设备A生产药品的不合格率为0.009，设备B生产药品的不合格率为0.006，且设备A
6、与B生产的药品是否合格相互独立（i）从该公司生产的新药中随机抽取一件，求所抽药品为不合格品的概率；（ii）在该新药产品检验中发现有三件不合格品，求其中至少有两件是设备A生产的概率，参考公式：21.（本小题满分12分）已知椭圆的右顶点为，上顶点为，其离心率，直线与圆相切.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线与椭圆相交于两个不同点，过点作轴的垂线分别与相交于点和，证明：是中点.22.（本小题满分12分）已知函数.（1）若恰有三个不同的极值点，求实数的取值范围；（2）在（1）的条件下，证明：；.参考答案及评分标准一选择题：1-8ACDBACDC二多选题：9.BC 10.ACD 11.AC 12.AD
7、三填空题：13. 14.1 15. 16.四解答题：17.解：（1）设的公差为是等差数列，；（2）由（1）得，.18.解：（1）选择条件：，由题意可得，由正弦定理得，由余弦定理可得，；选择条件：，由题意可得，即，由正弦定理得，由余弦定理得，（2）由（1）得，当且仅当时，的面积取最大值.19.解：（1）取的中点，连接，是的中点，平面平面，平面，同理可得平面，平面平面，平面平面平面；（2）以点为原点，所在的直线分别为轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意可得，直线与平面的所成角为点的坚坐标，又点的横坐标，纵坐标，设是平面的一个法向量，则令，则，设是平面的一个法向量，则令，则，平面与平面夹角的
8、余弦值为.20.解：（1），关于的线性经验回归方程为；（2）由（1）得，该新药中此药物成份含量的取值范围为；（3）（i）设“随机抽取一件新药，是设备生产的”，则“随机抽取一件新药，是设备生产的”，“随机抽取一件新药为不合格品”，由题意得，；（ii）设“抽到一件不合格的新药，它是设备生产的”，则，设表示三件不合格新药来自设备生产的件数，则，所求事件的概率为.21.解：（1）由题意可得直线的方程为，即，直线与圆相切，由可得椭圆的方程为；（2）由题意可设，由（1）得，则直线的方程为，直线的方程为，设直线的方程为，由得，是中点.22.解：（1）由题意得，当时，在上递增，当时，在上递减，当时，在上递增，只有一个极值点，此时不符合题意；当时，令，即，则和是方程的两个实数解，且，在和上递增，在上递减，且，在上存在唯一零点，在上存在唯一零点，在和上递减，在和上递增，记，是的三个不同的极值点，且，综上，实数的取值范围为；（2）由（1）得当时，有三个不同的极值点，且，要证，只需证，.要证，只需证，只需证，令，则，令，则，即.