1、广东省江门市2023届高三一模数学试题一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.1. 已知集合,则集合B中所有元素之和为( )A. 0B. 1C. 1D. 2. 已知i为虚数单位,复数z满足,则( )A. B. C. D. 3. 命题“,”的否定为( )A ,B. ,C. ,D. ,4. 已知多项式,则( )A. 960B. 960C. 480D. 4805. 设非零向量,满足,则在方向上的投影向量为( )A. B. C. D. 6. 衣柜里有灰色,白色,黑色,蓝色四双不同颜色的袜子,从中随机选4只,已知取出两只是同一双,则取出另外两只不是同一双的概率为( )A. B. C. D. 7.
2、 已知等差数列()的前n项和为,公差,则使得的最大整数n为( )A. 9B. 10C. 17D. 188. 我们知道按照一定顺序排列的数字可以构成数列,那么按照一定顺序排列的函数可以构成函数列.设无穷函数列()的通项公式为,记为的值域,为所有的并集,则E为( )A. B. C. D. 二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.9. 已知函数,则下列说法正确的是( )A. 的值域为B. 的图像关于点中心对称C. 最小正周期为D. 的增区间为()10. 已知曲线,则下列说法正确的是( )A. 若曲线
3、表示两条平行线,则B. 若曲线表示双曲线,则C. 若,则曲线表示椭圆D. 若,则曲线表示焦点在轴的椭圆11. 已知函数,则下列说法正确的是( )A. 的图象是轴对称图形B. 的极大值为0C. 的所有极值点之和为D. 的极小值之积为12. 勒洛Franz Reuleaux(18291905),德国机械工程专家,机构运动学的创始人.他所著的理论运动学对机械元件的运动过程进行了系统的分析,成为机械工程方面的名著.勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”,它能在两个平行平面间自由转动,并且始终保持与两平面都接触,因此它能像球一样来回滚动.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心,以正四面体的棱长为半径的四个
4、球的相交部分围成的几何体.如图所示,设正四面体的棱长为2,则下列说法正确的是( )A. 勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为B. 勒洛四面体被平面截得的截面面积是C. 勒洛四面体表面上交线的长度为D. 勒洛四面体表面上任意两点间距离可能大于2三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13. 已知,则的值为_.14. 椭圆是特别重要的一类圆锥曲线,是平面解析几何的核心,它集中地体现了解析几何的基本思想.而黄金椭圆是一条优美曲线,生活中许多椭圆形的物品,都是黄金椭圆,它完美绝伦,深受人们的喜爱.黄金椭圆具有以下性质:以长轴与短轴的四个顶点构成的菱形内切圆经过两个焦点,长轴长,短轴长,焦距依次组
5、成等比数列.根据以上信息,黄金椭圆的离心率为_.15. 已知直线l过点,且直线l的一个方向向量为,则坐标原点O到直线l的距离d为_.16. 已知,是方程()的两根,且,则的最大值是_四、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知数列()满足,且.(1)求数列是通项公式;(2)求数列的前n项和.18. 在锐角中,角的对边分别为,且,依次组成等差数列.(1)求的值;(2)若,求的取值范围.19. 某高科技公司对其产品研发年投资额x(单位:百万元)与其年销售量y(单位:千件)的数据进行统计,整理后得到如下统计表和散点图.x123456y0.511.53612-0.700.
6、411182.5(1)该公司科研团队通过分析散点图的特征后,计划分别用和两种方案作为年销售量y关于年投资额x的回归分析模型,请根据统计表的数据,确定方案和的经验回归方程;(注:系数b,a,d,c按四舍五入保留一位小数)(2)根据下表中数据,用相关指数(不必计算,只比较大小)比较两种模型的拟合效果哪个更好,并选择拟合精度更高、更可靠的模型,预测当研发年投资额为8百万元时,产品的年销售量是多少?经验回归方程残差平方和18.290.65参考公式及数据:,.20. 如图,在四棱锥中,底面是菱形,是的中点,点在上,且平面.(1)求的值;(2)若平面,求直线与平面所成角的正弦值.21. 已知M是平面直角坐
7、标系内的一个动点,直线与直线垂直,A为垂足且位于第一象限,直线与直线垂直,B为垂足且位于第四象限,四边形(O为原点)的面积为8,动点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程;(2)已知是轨迹C上一点,直线l交轨迹C于P,Q两点,直线,的斜率之和为1,求的面积.22. 已知函数,其中.(1)若的图象在处的切线过点,求a的值;(2)证明:,其中e的值约为2.718,它是自然对数的底数;(3)当时,求证:有3个零点,且3个零点之积为定值.广东省江门市2023届高三一模数学试题一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.1. 已知集合,则集合B中所有元素之和为( )A. 0B. 1C. 1D. 【答案】
8、C【解析】【分析】根据题意列式求得的值,即可得出答案.【详解】根据条件分别令,解得,又,所以,所以集合B中所有元素之和是,故选:C2. 已知i为虚数单位,复数z满足,则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】将写为化简即可.【详解】因为,所以.故选:B3. 命题“,”的否定为( )A. ,B. ,C. ,D. ,【答案】D【解析】【分析】利用全称量词命题的否定可得出结论.【详解】原命题为全称量词命题,该命题的否定为“,”.故选:D.4. 已知多项式,则( )A. 960B. 960C. 480D. 480【答案】A【解析】【分析】将写为,是第8项的系数,计算即可.【详解】解:因
9、为,所以第8项为,所以.故选:A5. 设非零向量,满足,则在方向上的投影向量为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据向量模的性质由已知可求得,则按照在方向上的投影向量的定义求解即可.【详解】因为,所以,则,解得,所以在方向上的投影向量为.故选:B.6. 衣柜里有灰色,白色,黑色,蓝色四双不同颜色的袜子,从中随机选4只,已知取出两只是同一双,则取出另外两只不是同一双的概率为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】记“取出的袜子至少有两只是同一双”为事件A,记“取出的袜子恰好有两只不是同一双”为事件B,求出,根据条件概率公式求解即可【详解】从四双不同颜色的袜子
10、中随机选4只,记“取出的袜子至少有两只是同一双”为事件A,记“取出的袜子恰好有两只不是同一双”为事件B,事件A包含两种情况:“取出的袜子恰好有两只是同一双”,“取出的袜子恰好四只是两双”,则,又,则,即随机选4只,已知取出两只是同一双,则取出另外两只不是同一双的概率为故选:D7. 已知等差数列()的前n项和为,公差,则使得的最大整数n为( )A. 9B. 10C. 17D. 18【答案】C【解析】【分析】根据,可得异号,根据可知,且,所以,利用等差数列的前n项和公式即可得出结果.【详解】解:因为,所以异号,因为,所以,又有,所以,即,因为,所以的最大整数n为17.故选:C8. 我们知道按照一定
11、顺序排列的数字可以构成数列,那么按照一定顺序排列的函数可以构成函数列.设无穷函数列()的通项公式为,记为的值域,为所有的并集,则E为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用导数可得函数在上单调递增,进而,然后构造函数,利用导数求函数的最值,进而即得.【详解】因为,所以,故在上单调递增,又,所以,设,令,则,由,可得,由,可得,所以函数在上单调递减,在上单调递增,又,所以,设,则在上单调递减,所以,综上,.故选:C.【点睛】数学中的新定义题目解题策略:仔细阅读,理解新定义的内涵;根据新定义,对对应知识进行再迁移.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选
12、项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.9. 已知函数,则下列说法正确的是( )A. 的值域为B. 的图像关于点中心对称C. 的最小正周期为D. 的增区间为()【答案】AD【解析】【分析】根据正弦函数的性质结合绝对值的定义判断各选项.【详解】因为,所以,A正确;,但,因此的图象不可能关于点成中心对称,B错;的最小正周期是,所以的最小正周期是,C错;由得,时,易得时,递增,时,递减,又的最小正周期是,所以的增区间是(),D正确;故选:AD10. 已知曲线,则下列说法正确的是( )A. 若曲线表示两条平行线,则B. 若曲线表示双曲线,则C. 若,则曲线表示椭圆
13、D. 若,则曲线表示焦点在轴的椭圆【答案】BD【解析】【分析】根据曲线的形状求出参数的取值范围,逐项判断可得出合适的选项.【详解】对于A选项,若曲线表示两条平行线,则有或,且.若,则,此时曲线的方程为,可得或,合乎题意,若,则,此时曲线的方程为,可得或,合乎题意,故A错;对于B选项,若曲线表示双曲线,则,由于且,则,可得,则,B对;对于C选项,若曲线表示椭圆,则,解得且,C错;对于D选项,若,则,则,曲线的方程可化为,此时,曲线表示焦点在轴上的椭圆,D对.故选:BD.11. 已知函数,则下列说法正确的是( )A. 的图象是轴对称图形B. 的极大值为0C. 的所有极值点之和为D. 的极小值之积为
14、【答案】BCD【解析】【分析】将代入中化简,若,使得,等式均成立,则是轴对称图形,化简等式,建立方程解出根,即可判断A;对求导,令导函数为0,求出极值点之间关系,进而判断单调性即可判断B、C,计算的极小值之积,即可判断D.【详解】对A,若,使得,有成立,即,即,即,化简可得:,因为等式成立,所以有成立,解得,故不存在这样的使得,有成立,即不是轴对称图形,故选项A错误;对B,因为,所以,可得或,因为,所以有两个不等实根记为,由韦达定理得,所以,当时,所以,单调递减,当时,所以,单调递增,当时,所以,单调递减,当时,所以,单调递增,所以的极大值点为,即选项B正确;对C,的所有极值点之和为:,即选项
15、C正确;对D,由单调性可知的极小值点为,所以将代入有:,故选项D正确.故选:BCD12. 勒洛Franz Reuleaux(18291905),德国机械工程专家,机构运动学的创始人.他所著的理论运动学对机械元件的运动过程进行了系统的分析,成为机械工程方面的名著.勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”,它能在两个平行平面间自由转动,并且始终保持与两平面都接触,因此它能像球一样来回滚动.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心,以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体.如图所示,设正四面体的棱长为2,则下列说法正确的是( )A. 勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为B. 勒洛四面体被平面截得
16、的截面面积是C. 勒洛四面体表面上交线的长度为D. 勒洛四面体表面上任意两点间的距离可能大于2【答案】ABD【解析】【分析】A选项:求出正四面体的外接球半径,进而得到勒洛四面体的内切球半径,得到答案;B选项,作出截面图形,求出截面面积;C选项,根据对称性得到交线所在圆的圆心和半径,求出长度;D选项,作出正四面体对棱中点连线,在C选项的基础上求出长度.【详解】A选项,先求解出正四面体的外接球,如图所示:取的中点,连接,过点作于点,则为等边的中心,外接球球心为,连接,则为外接球半径,设,由正四面体的棱长为2,则,由勾股定理得:,即,解得:,此时我们再次完整的抽取部分勒洛四面体,如图所示:图中取正四
17、面体中心为,连接交平面于点,交于点,其中与共面,其中即为正四面体外接球半径,设勒洛四面体内切球半径为,则,故A正确;B选项,勒洛四面体截面面积的最大值为经过正四面体某三个顶点的截面,如图所示:面积为,B正确;C选项,由对称性可知:勒洛四面体表面上交线所在圆的圆心为的中点,故,又,由余弦定理得:,故,且半径为,故交线的长度等于,C错误;D选项,将正四面体对棱所在的弧中点连接,此时连线长度最大,如图所示:连接,交于中点,交于中点,连接,则,则由C选项的分析知:,所以,故勒洛四面体表面上两点间的距离可能大于2,D正确.故选:ABD【点睛】勒洛四面体考试中经常考查,下面是一些它的性质:勒洛四面体上两点
18、间的最大距离比四面体的棱长大,是对棱弧中点连线,最大长度为,表面6个弧长之和不是6个圆心角为60的扇形弧长之和,其圆心角为,半径为.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13. 已知,则的值为_.【答案】【解析】【分析】根据二倍角的余弦公式,结合角的范围,即可求得结果【详解】因为,所以,即,又,所以.故答案为:.14. 椭圆是特别重要的一类圆锥曲线,是平面解析几何的核心,它集中地体现了解析几何的基本思想.而黄金椭圆是一条优美曲线,生活中许多椭圆形的物品,都是黄金椭圆,它完美绝伦,深受人们的喜爱.黄金椭圆具有以下性质:以长轴与短轴的四个顶点构成的菱形内切圆经过两个焦点,长轴长,短轴长,
19、焦距依次组成等比数列.根据以上信息,黄金椭圆的离心率为_.【答案】【解析】【分析】由得原点到直线AB的距离,求得,由得,求得,从而,两边同除以得,又,即可解得【详解】设左顶点,上顶点,则直线AB的方程为,以长轴与短轴的四个顶点构成的菱形内切圆经过两个焦点,则原点到直线AB的距离,即,即,即,所以,长轴长,短轴长,焦距依次组成等比数列,则,所以,综上,即,两边同除以得,又,解得故答案为:15. 已知直线l过点,且直线l的一个方向向量为,则坐标原点O到直线l的距离d为_.【答案】【解析】【分析】根据空间中点到直线距离公式计算即可.【详解】由题知,直线过点,且直线的方向向量为,点,所以,所以点到的距
20、离为故答案为:.16. 已知,是方程()的两根,且,则的最大值是_【答案】【解析】【分析】由题意得,即,所以,构造函数,(),结合函数的单调性及最值求解即可【详解】由题意是方程的两根,且,则,即,所以,(),令,(),当时,单调递增;当时,单调递减,则当时,取最大值,所以的最大值是故答案为:四、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知数列()满足,且.(1)求数列是通项公式;(2)求数列的前n项和.【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)将换为代入中化简,根据定义即可判断为等比数列,由首项公比写出通项公式即可;(2)由(1)中通项公式求得,再利用乘公比错位相减
21、得出前n项和即可.【小问1详解】解:因为,所以,又,所以 ,所以 ,又,所以数列是以1为首项,3为公比的等比数列,所以;【小问2详解】由(1)知,所以 ,所以,两式相减可得:,所以 ,故.18. 在锐角中,角的对边分别为,且,依次组成等差数列.(1)求的值;(2)若,求的取值范围.【答案】(1)2 (2)【解析】【分析】(1)根据,成等差数列结合三角恒等变换可得,由正弦定理即可求得的值;(2)由(1)得,根据锐角三角形结合余弦定理可得的取值范围,将转化为,令,设根据函数单调性确定函数取值范围,即得的取值范围.【小问1详解】由条件得: ,所以,由正弦定理得:,所以.【小问2详解】及,则,角一定为
22、锐角,又为锐角三角形,所以由余弦定理得:,所以,即,解得:,又,所以. 又 ,令,则,所以在上递增,又,所以的取值范围是.19. 某高科技公司对其产品研发年投资额x(单位:百万元)与其年销售量y(单位:千件)的数据进行统计,整理后得到如下统计表和散点图.x123456y0.511.53612-0.700.41.11.82.5(1)该公司科研团队通过分析散点图的特征后,计划分别用和两种方案作为年销售量y关于年投资额x的回归分析模型,请根据统计表的数据,确定方案和的经验回归方程;(注:系数b,a,d,c按四舍五入保留一位小数)(2)根据下表中数据,用相关指数(不必计算,只比较大小)比较两种模型的拟
23、合效果哪个更好,并选择拟合精度更高、更可靠的模型,预测当研发年投资额为8百万元时,产品的年销售量是多少?经验回归方程残差平方和18.290.65参考公式及数据:,.【答案】(1), (2)30(千件)【解析】【分析】(1)求出,根据公式计算出得线性回归方程;求出,再求得系数,代入得非线性回归方程;(2)根据(1)回归方程分别求得相关指数,比较可得,然后估算销售量即可【小问1详解】由题可得, ,所以, ,方案回归方程,对两边取对数得:,令,是一元线性回归方程. , 方案回归方程 ;【小问2详解】方案相关指数;方案相关指数,(有此结论即给分),故模型的拟合效果更好,精度更高. 当研发年投资额为8百
24、万元时,产品的年销售量(千件).20. 如图,在四棱锥中,底面是菱形,是的中点,点在上,且平面.(1)求的值;(2)若平面,求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)连接与交于点,求出,利用线面平行的性质可得出,由此可得出的值;(2)以点为坐标原点,、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系,设点,由可得出,求出的值,利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.【小问1详解】解:连接与交于点,因为底面是菱形,是的中点,所以,且,所以. 因为平面,平面,平面平面,所以 ,所以.【小问2详解】解:因为底面是菱形,是的中点,因为,则,由余弦定理可得,所以,所以.因为平面,
25、平面,平面,所以,以点为坐标原点,、所在直线分别为、轴建立如下图所示的空间直角坐标系. 则,.设,则,所以.因为,所以,解得. 所以,.设为平面法向量,则,得,取,所以为平面的一个法向量. 因为,所以直线与平面所成角的正弦值是.21. 已知M是平面直角坐标系内的一个动点,直线与直线垂直,A为垂足且位于第一象限,直线与直线垂直,B为垂足且位于第四象限,四边形(O为原点)的面积为8,动点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程;(2)已知是轨迹C上一点,直线l交轨迹C于P,Q两点,直线,的斜率之和为1,求的面积.【答案】(1)() (2)【解析】【分析】(1)设动点,由题意知,由题意,化简可得轨迹C的方
26、程;(2)设直线的倾斜角为,斜率为k,直线倾斜角为,则斜率为,由过点T直线与曲线C有两个交点确定的范围,由,解得,从而可得直线、的方程,与曲线C的方程联立解得的坐标,求出及点Q到直线的距离,即可求出的面积.【小问1详解】设动点,由题意知M只能在直线与直线所夹的范围内活动., ,动点在右侧,有,同理有,四边形的面积为8,即 ,所以所求轨迹C方程为().【小问2详解】如图,设直线的倾斜角为,斜率为k,直线倾斜角为,则斜率为,在曲线C上,过点T直线与曲线C有两个交点,则或,同时或,解得或. ,解得或(舍去) 时,直线的方程为,联立,消y得:,则或,得. 直线的方程为,联立,消y得:,则或,得,点Q到
27、直线的距离 ,.方法二: , ,则,.22. 已知函数,其中.(1)若图象在处的切线过点,求a的值;(2)证明:,其中e的值约为2.718,它是自然对数的底数;(3)当时,求证:有3个零点,且3个零点之积为定值.【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析【解析】【分析】(1)求导,根据导数的几何意义求在处的切线方程,然后由切线过点求得的值;(2),构造函数,利用函数的单调性求证即可;(3)令求得,可得在,上单调递增,在递减 ,则至多有三个零点又,所以,结合零点存在定理知:使得,又,则,所以恰有三个零点:,1,从而得出结论.【小问1详解】由条件得: ,又 在处的切线为:,的图象在处的切线
28、过点, .小问2详解】令,则,令,在递减 ,即在递减,即, ;【小问3详解】的定义域为:,时,由得:,时,;时,;时,在,上单调递增,在递减 ,至多有三个零点.,又,在递减,又由(2)知,所以,结合零点存在定理知:使得,又,又, ,恰有三个零点:,1,时,的所有零点之积为(定值).【点睛】方法点睛:函数零点个数的判断方法:(1)直接求零点:令,如果能求出解,则有几个解就有几个零点;(2)零点存在定理:利用定理不仅要求函数在区间上是连续不断的曲线,且,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点;(3)利用图象交点的个数:画出两个函数的图象,看其交点的个数,其中交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点