1、安徽省“江南十校”2023届高三下学期3月一模数学试题一单选题1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 2. 已知为虚数单位，则复数在复平面上对应的点位于A 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 已知平面向量的夹角为，且，则（ ）A. B. C. D. 4. 安徽徽州古城与四川阆中古城山西平遥古城云南丽江古城被称为中国四大古城.徽州古城中有一古建筑，其底层部分可近似看作一个正方体.已知该正方体中，点分别是棱的中点，过三点的平面与平面的交线为，则直线与直线所成角为（ ） A. B. C. D. 5. 为庆祝中国共产党第二十次全国代表大会胜利闭幕，某高中举行“献礼二十大”活
2、动，高三年级派出甲乙丙丁戊5名学生代表参加，活动结束后5名代表排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，则不同的排法共有（ ）种A. 40B. 24C. 20D. 126. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）A. 点是曲线的对称中心B. 点是曲线的对称中心C. 直线是曲线的对称轴D. 直线是曲线的对称轴7. 在三棱锥中，底面，则三棱锥外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 8. 已知，则的大小关系为（ ）A. B. C. D. 二多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.
3、 已知函数，则（ ）A. 是奇函数B. 单调递增区间为和C. 的最大值为D. 的极值点为10. 在平行六面体中，已知，则（ ）A. 直线与所成的角为B. 线段的长度为C. 直线与所成的角为D. 直线与平面所成角的正弦值为11. 已知为坐标原点，点，线段的中点在抛物线上，连接并延长，与交于点，则（ ）A. 的准线方程为B. 点为线段的中点C. 直线与相切D. 在点处的切线与直线平行12. 已知函数和及其导函数和定义域均为，若，且为偶函数，则（ ）A. B. 函数的图象关于直线对称C. 函数的图象关于直线对称D. 三填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 的展开式中，常数项为_（用数字
4、作答）.14. 已知圆，直线（是参数），则直线被圆截得的弦长的最小值为_.15. 已知直线与椭圆交于两点，线段中点在直线上，且线段的垂直平分线交轴于点，则椭圆的离心率是_.16. 若过点有3条直线与函数的图象相切，则的取值范围是_.四解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步.17. 在平面直角坐标系中，锐角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点分别为.已知点的纵坐标为，点的横坐标为.（1）求的值；（2）记的内角的对边分别为.请从下面两个问题中任选一个作答，如果多选，则按第一个解答计分.若，且，求周长的最大值.若，且，求面积.18. 已知在递增
5、数列中，为函数的两个零点，数列是公差为2的等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，证明：.19. 渔船海上外出作业受天气限制，尤其浪高对渔船安全影响最大，二月份是某海域风浪最平静的月份，浪高一般不超过3.某研究小组从前些年二月份各天的浪高数据中，随机抽取50天数据作为样本，制成频率分布直方图：（如图）根据海浪高度将海浪划分为如下等级：浪高海浪等级微浪小浪中浪大浪海事管理部门规定：海浪等级在“大浪”及以上禁止渔船出海作业.（1）某渔船出海作业除受浪高限制外，还受其他因素影响，根据以往经验可知：“微浪”情况下出海作业的概率为0.9，“小浪”情况下出海作业的概率为0.8，“中浪”情
6、况下出海作业的概率为0.6，请根据上面频率分布直方图，估计二月份的某天各种海浪等级出现的概率，并求该渔船在这天出海作业的概率；（2）气象预报预计未来三天内会持续“中浪”或“大浪”，根据以往经验可知：若某天是“大浪”，则第二天是“大浪”的概率为，“中浪”的概率为；若某天是“中浪”，则第二天是“大浪”的概率为，“中浪”的概率为.现已知某天为“中浪”，记该天的后三天出现“大浪”的天数为X，求X的分布列和数学期望.20. 如图，四棱锥中，为等腰三角形，.（1）证明：；（2）若，点在线段上，求平面与平面夹角的余弦值.21. 我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“
7、姊妺”圆锥曲线.已知椭圆，双曲线是椭圆的“姊妺”圆锥曲线，分别为的离心率，且，点分别为椭圆的左右顶点.（1）求双曲线的方程；（2）设过点动直线交双曲线右支于两点，若直线的斜率分别为.（i）试探究与的比值是否为定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由；（ii）求的取值范围.22. 已知函数.（1）若在定义域上具有唯一单调性，求的取值范围；（2）当时，证明：.安徽省“江南十校”2023届高三下学期3月一模数学试题一单选题1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析】根据一元二次不等式和指数不等式解法可得集合，再根据交集、补集运算即可得出结果.【详解】由可得集合
8、，根据指数函数单调性可得，即，所以；因此；根据交集运算可得故选：C2. 已知为虚数单位，则复数在复平面上对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【详解】，对应的点为，在第四象限.本题选择D选项.3. 已知平面向量的夹角为，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据，展开计算即可.【详解】.故选：C.4. 安徽徽州古城与四川阆中古城山西平遥古城云南丽江古城被称为中国四大古城.徽州古城中有一古建筑，其底层部分可近似看作一个正方体.已知该正方体中，点分别是棱的中点，过三点的平面与平面的交线为，则直线与直线所成角为（ ）A. B.
9、C. D. 【答案】A【解析】【分析】作出平面与平面的交线，再求与直线所成角.【详解】如图所示，在平面中，连接与交于，则，在平面中，连接与交于，则，则为平面与平面的交线，且，而在等边中与所成的角为，故与直线所成角.故选：5. 为庆祝中国共产党第二十次全国代表大会胜利闭幕，某高中举行“献礼二十大”活动，高三年级派出甲乙丙丁戊5名学生代表参加，活动结束后5名代表排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，则不同的排法共有（ ）种A. 40B. 24C. 20D. 12【答案】B【解析】【分析】根据相邻问题用捆绑法和不相邻问题用插空法即可求解【详解】由题意得，5名代表排成一排合影留念
10、，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，则不同的排法共有种，故选：6. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）A. 点是曲线的对称中心B. 点是曲线的对称中心C. 直线是曲线的对称轴D. 直线是曲线的对称轴【答案】C【解析】【分析】由三角恒等变换化简得，由得对称中心坐标，由得对称轴方程.【详解】由题意得 ，由得，则的对称中心为，所以A，B错误.由得，则的对称轴方程为，C正确，D错误，故选：C7. 在三棱锥中，底面，则三棱锥外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求得外接球半径，进而求得外接球的表面积.【详解】由，得，所以的外接圆半径，由于底面，所以外接球的半径，
11、所以外接球的表面积.故选：B8. 已知，则的大小关系为（ ）A. B. C D. 【答案】D【解析】【分析】，构造函数，利用作差法比较函数的大小确定函数值的大小.【详解】构造函数，令，则所以单增，所以，所以，所以，所以.令,，所以在为减函数，所以，所以，所以，所以，所以.故选：D.【点睛】方法点睛：比较几个数值的大小可以将这些数值看作几个函数的函数值，通过比较函数在某个区间内的大小确定函数值的大小.函数比较大小可以用导数研究单调性来确定，还可以借助于函数不等式、切线不等式放缩等手段比大小.二多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，
12、部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知函数，则（ ）A. 是奇函数B. 的单调递增区间为和C. 的最大值为D. 的极值点为【答案】AB【解析】【分析】根据函数奇偶性定义即可判断是奇函数，利用导数研究函数的单调性可知，的单调递增区间为和，单调减区间为，所以无最大值，极大值点为，极小值点为.【详解】因为对，根据奇函数定义可知函数是上的奇函数，即A正确；令可得或，即的单调递增区间为和，故B正确；由B可知，在单调递增，所以无最大值，即C错误；由得，结合选项B可知，是函数的极大值点，是函数的极小值点，极值点不是点，所以错误.故选：AB10. 在平行六面体中，已知，则（ ）A. 直线与所成的角为B.
13、 线段的长度为C. 直线与所成的角为D. 直线与平面所成角的正弦值为【答案】AC【解析】【分析】设，将分别用表示，再根据向量数量积的运算律即可判断ABC；对于D，先证明平面平面，从而可得与平面所成的角为，再解即可.【详解】设，则，且，对于A，所以直线与所成的角为，故A正确；对于B，因为，所以，故B错误；对于C，因为，所以，故C正确；对于D，连接，交于点，则为的中点，因为，所以，又因平面，所以平面，又平面，所以平面平面，作，垂足为，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，则与平面所成角为，在中，所以，即直线与平面所成角的正弦值为，故D错误.故选：AC.11. 已知为坐标原点，点，线段的中点在抛物
14、线上，连接并延长，与交于点，则（ ）A. 的准线方程为B. 点为线段的中点C. 直线与相切D. 在点处的切线与直线平行【答案】BCD【解析】【分析】将代入抛物线得，则得到其准线方程，则可判断A，联立直线的方程与抛物线方程即可得到，即可判断B，利用导数求出抛物线在点处的切线方程，令，则可判断C，再次利用导数求出抛物线在处的切线斜率，则可判断D.【详解】对A，根据中点公式得，将其代入得，则，所以抛物线的准线方程为，故A错误，对B，则直线的斜率为，则直线的方程为，将其代入得，解得或0（舍去），此时，则，所以为中点，故B正确；对C，即，则，故抛物线在点处的切线的斜率为，故切线方程为，令得，所以直线为的
15、切线，故C正确；对D，抛物线在处的切线方程的斜率为，而直线的斜率为，则两直线的斜率相等，且两直线显然不可能重合，所以在点处的切线与直线平行.故选：BCD.12. 已知函数和及其导函数和的定义域均为，若，且为偶函数，则（ ）A. B. 函数的图象关于直线对称C. 函数的图象关于直线对称D. 【答案】ABC【解析】【分析】根据为偶函数，可得，两边求导即可判断A；由关于直线对称得，结合，即可判断B；根据两边同时求导得，从而可判断C；先求出函数和的周期，再结合函数的对称性即可判断D.【详解】对于A，由为偶函数得，则关于直线对称，即，两边同时求导得，令得，故A正确；对于B，由关于直线对称得，由得，所以，
16、即关于直线对称，故B正确；对于C，对两边同时求导得，由得，则，所以关于直线对称，故C正确；对于D，由得，结合选项可知，即，所以，所以4是函数的一个周期，由得，4也是函数的一个周期，由得，所以，故D错误.故选：ABC.【点睛】关键点点睛：此题通过函数的奇偶性和对称性，结合导数的运算，寻找函数图像的对称轴是解题关键，原函数与导函数图像的联系，奇偶性的联系，都是解题的思路.三填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 的展开式中，常数项为_（用数字作答）.【答案】60【解析】【分析】利用二项式定理求出通项公式，再根据的取值，即可得答案；【详解】，展开式的通项为：，当即时，当时无解，故中无常数
17、项. 所以的展开式中，常数项为60.故答案为：6014. 已知圆，直线（是参数），则直线被圆截得的弦长的最小值为_.【答案】【解析】【分析】求出直线所过定点A，判断定点在圆内，数形结合知直线截圆所得弦长最小时，弦心距最大，此时，即可由勾股定理求出此时的弦长.【详解】直线l可化为，令，所以直线l恒过定点，易知点A在圆C内，所以直线截圆所得弦长最小时，弦心距最大，此时，圆，圆心，半径为5， 直线截圆所得弦长的最小值为.故答案为：15. 已知直线与椭圆交于两点，线段中点在直线上，且线段的垂直平分线交轴于点，则椭圆的离心率是_.【答案】【解析】【分析】利用点差法证明二级结论，再结合，则两式相比可得，即
18、，代入即可求出离心率.【详解】设，其中，显然点在椭圆内，记坐标原点为，直线的斜率分别为，易知三条直线斜率均存在，又，两式相减整理可得，即，又，所以两式相比可得，即，代入，整理可得，所以离心率.故答案为：.16. 若过点有3条直线与函数的图象相切，则的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】设切点坐标为，利用导数的几何意义求得切线方程，进而将有3条切线转化为方程有三个不等实数根，再转化为函数的图像有三个交点问题，利用导数作出的图象，数形结合，即可求得答案.【详解】由题意可得，设切点坐标为，则切线斜率，所以切线方程为，将代入得.因为存在三条切线，即方程有三个不等实数根，则方程有三个不等实数根等价于函
19、数的图像有三个交点，设，则，当时，单调递增；在和上，单调递减，当或时，画出的图象如图，要使函数的图像有三个交点，需，即，即的取值范围是，故答案为：【点睛】方法点睛：利用导数的几何意义表示出切线方程，根据切线条数可得有三个不等实数根，解答此类问题常用方法是转化为函数图象的交点问题，利用导数判断函数单调性或求得极值，进而作出图像，数形结合，解决问题.四解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步.17. 在平面直角坐标系中，锐角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点分别为.已知点的纵坐标为，点的横坐标为.（1）求的值；（2）记的内角的对边分别为.请从
20、下面两个问题中任选一个作答，如果多选，则按第一个解答计分.若，且，求周长的最大值.若，且，求的面积.【答案】（1） （2）答案见解析【解析】【分析】（1）先利用三角函数的定义与同角的平方关系求得，再利用余弦的和差公式即可得解；（2）选：先结合（1）中条件得到，再利用余弦定理与基本不等式推得，从而得解；选：先结合（1）中条件求得，再利用正弦定理求得，从而利用三角形面积公式即可得解.【小问1详解】因为是锐角，所以在第一象限，又因为在单位圆上，点的纵坐标为，点的横坐标为，所以，所以，故.【小问2详解】选：由（1）中结论可得，又，由余弦定理可得，即.，当时，等号成立，即当为等边三角形时，周长最大，最大
21、值为6.选：由（1）可知，则，由正弦定理，可得，故，则.18. 已知在递增数列中，为函数的两个零点，数列是公差为2的等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，证明：.【答案】（1）； （2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求出函数的零点，并求出数列的通项，再利用累加法求出的通项；（2）由（1）的结论，利用裂项相消法求和作答.【小问1详解】函数的零点为3，8，而数列递增，则，因此数列是以5为首项，2为公差的等差数列，则，当时，而也满足上式，所以数列的通项公式是.【小问2详解】证明：由（1）得，因此，而，所以.19. 渔船海上外出作业受天气限制，尤其浪高对渔船安全影响最大，二月份
22、是某海域风浪最平静的月份，浪高一般不超过3.某研究小组从前些年二月份各天的浪高数据中，随机抽取50天数据作为样本，制成频率分布直方图：（如图）根据海浪高度将海浪划分为如下等级：浪高海浪等级微浪小浪中浪大浪海事管理部门规定：海浪等级在“大浪”及以上禁止渔船出海作业.（1）某渔船出海作业除受浪高限制外，还受其他因素影响，根据以往经验可知：“微浪”情况下出海作业的概率为0.9，“小浪”情况下出海作业的概率为0.8，“中浪”情况下出海作业的概率为0.6，请根据上面频率分布直方图，估计二月份的某天各种海浪等级出现的概率，并求该渔船在这天出海作业的概率；（2）气象预报预计未来三天内会持续“中浪”或“大浪”
23、，根据以往经验可知：若某天是“大浪”，则第二天是“大浪”的概率为，“中浪”的概率为；若某天是“中浪”，则第二天是“大浪”的概率为，“中浪”的概率为.现已知某天为“中浪”，记该天的后三天出现“大浪”的天数为X，求X的分布列和数学期望.【答案】（1）“微浪”概率0.2，“小浪”概率0.3，“中浪”概率0.3，“大浪”概率0.2；0.6 （2）分布列见解析，【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图计算频率即可估计二月份的某天各种海浪等级出现的概率；根据全概率公式可求得该渔船在这天出海作业的概率；（2）依题意可知，的所有可能取值为，求出对应的概率，即可得出分布列，根据期望公式求出期望.【小问1详解】记
24、这天浪级是“微浪”为事件，浪级是“小浪”为事件，浪级是“中浪”为事件，浪级是“大浪”为事件.该渔船当天出海作业为事件，则由题意可知：，.【小问2详解】依题意可知，的所有可能取值为，则的分布列为0123数学期望.20. 如图，四棱锥中，为等腰三角形，.（1）证明：；（2）若，点在线段上，求平面与平面夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析； （2）.【解析】【分析】（1）根据给定条件，取的中点，利用线面垂直的判定证明平面即可推理作答.（2）以为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解作答.【小问1详解】取的中点，连接，如图，因为，则，又，即有，而，于是四边形为平行四边形，又，则，又平面，所以平面
25、，又，因此平面，而平面，所以.【小问2详解】因为，且平面，则平面，又，则平面，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，如图，又，则，又，则，所以，则，设平面的法向量为，则，令，得，又平面的一个法向量为，则，所以平面与平面夹角的余弦值为.21. 我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妺”圆锥曲线.已知椭圆，双曲线是椭圆的“姊妺”圆锥曲线，分别为的离心率，且，点分别为椭圆的左右顶点.（1）求双曲线的方程；（2）设过点的动直线交双曲线右支于两点，若直线的斜率分别为.（i）试探究与的比值是否为定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由；（ii）求的
26、取值范围.【答案】（1） （2）（i）为定值；（ii）；【解析】【分析】（1）根据“姊妺”圆锥曲线的定义设出双曲线方程，利用求得参数b的值，即得答案.（2）（i）设，直线的方程为，联立双曲线方程，可得根与系数的关系，结合的表达式，化简即可得出结论；（ii）设直线，代入双曲线方程，根据韦达定理可解得，结合A在双曲线右支，可得，即可求得的范围，同理求得的范围，结合二次函数性质，即可求得答案.【小问1详解】由题意可设双曲线，则，解得，所以双曲线的方程为.【小问2详解】（i）设，直线的方程为，由，消元得.则，且，；或由韦达定理可得，即,，即与的比值为定值.（ii）设直线，代入双曲线方程并整理得，由于点
27、为双曲线的左顶点，所以此方程有一根为，.由韦达定理得：，解得.因为点A在双曲线的右支上，所以，解得，即，同理可得，由（i）中结论可知，得，所以，故，设，其图象对称轴为，则在上单调递减，故，故的取值范围为.另解：由于双曲线的渐近线方程为，如图，过点作两渐近线的平行线与，由于点A在双曲线的右支上，所以直线介于直线与之间（含轴，不含直线与），所以.同理，过点作两渐近线的平行线与，由于点在双曲线的右支上，所以直线介于直线与之间（不含轴，不含直线与），所以.由（i）中结论可知，得，所以,故.【点睛】难点点睛：本题是一道新定义问题，考查学生探究能力和创新能力，解答的关键在于要准确理解新定义，由此求得双曲线
28、方程；难点在于（2）中定值的求解以及参数的取值范围的确定，解答时要设直线方程，和双曲线方程联立，利用根与系数的关系化简求值，计算比较复杂，要特别细心.22. 已知函数.（1）若在定义域上具有唯一单调性，求的取值范围；（2）当时，证明：.【答案】（1） （2）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，分两种情况讨论，若在定义域上单调递增，则恒成立，即在上恒成立；若在定义域上单调递减，则恒成立，即在上恒成立，结合基本不等式可得解；（2）要证原不等式成立，只需证，只需证，只需证，当时，则原不等式即证，结合的单调性即可得证.【小问1详解】由题意得的定义域为.若在定义域上单调递增，则恒成立，得，即在上恒成立，又，当且仅当时等号成立，；若在定义域上单调递减，则恒成立，即在上恒成立，而这样的不存在.综上所述：在定义域上单调递增，且.【小问2详解】方法一：要证成立，只需证，只需证，只需证，只需证，当时，原不等式即证，由（1）知在上单调递增，又，则，原不等式成立.方法二：要证成立，只需证，只需证，只需证，令，则.在上单调递增，原不等式成立.【点睛】方法点睛：利用导数研究函数问题常用的两种转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理