1、2023年中考数学一轮复习：二次函数-动态几何问题一、综合题1如图，在平面直角坐标系中，抛物线yxbxc的图象与坐标轴相交于A、B、C三点，其中点A坐标为（3，0），点B坐标为（1，0），连接AC、BC，动点P从点A出发，在线段AC上以每秒2个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从点B出发，在线段BA上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t秒（1）求b、c的值；（2）在P、Q运动的过程中，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为多少？2已知抛物线y=ax2+bx+c（a0）经过点A（1，0），B（3，0），C（0，3）（
2、1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；（2）如图甲，点P是直线BC上方抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交直线BC于点E，是否存在一点P，使线段PE的长最大？若存在，求出PE长的最大值；若不存在，请说明理由；（3）如图乙，过点A作y轴的平行线，交直线BC于点F，连接DA、DB四边形OAFC沿射线CB方向运动，速度为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，当点C与点B重合时立即停止运动，设运动过程中四边形OAFC与四边形ADBF重叠部分面积为S，请求出S与t的函数关系式3如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(-2，0)，B(6，0)两点，与y轴交于点C直线l：y=12x+n与抛物线交于A，D
3、两点，与y轴交于点E（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是抛物线上的点且在直线l上方，连接PA，PD，求当PAD面积最大时点P的坐标及该面积的最大值；（3）y轴上是否存在点Q，使ADQ=45，若存在请求点Q的坐标；若不存在说明理由4如图，已知抛物线 y=ax2+bx+2 图象经过 A(-1，0) ， B(4，0) 两点 （1）求抛物线的解析式；（2）若 C(m，m-1) 是抛物线上位于第一象限内的点， D 是线段 AB 上的一个动点（不与 A 、 B 重合），过点 D 分别作 DE/BC 交 AC 于 E ， DF/AC 交 BC 于 F 求证：四边形 DECF 是矩形；连接 EF ，线段 E
4、F 的长是否存在最小值，若存在，求出 EF 的最小值：若不存在，请说明理由5综合与探究：如图，抛物线y= 14 x2 32 x4与x轴交与A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，连接BC，以BC为一边，点O为对称中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q（1）求点A，B，C的坐标（2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD，BC于点M，N试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由（3）当点P在线段EB上运动时，是否存在点Q，使BDQ为直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标
5、；若不存在，请说明理由6如图，抛物线 y=x2+x-2 与 x 轴交于 A 、 B 两点，与 y 轴交于点 C . （1）求点 A ，点 B 和点 C 的坐标；（2）在抛物线的对称轴上有一动点 P ，求 PB+PC 的值最小时的点 P 的坐标；（3）若点 M 是直线 AC 下方抛物线上一动点， M 运动到何处时四边形 ABCM 面积最大，最大值面积是多少？7如图，在矩形ABCD中，AB10cm，BC5cm，点P，点Q分别以2cm/s和1cm/s的速度从A，B沿AB，BC方向运动.设t秒（t5）时，PBQ的面积为y.（1）试写出y与t的函数关系式. （2）当t为何值时，SPBQ6cm2？ （3）
6、在P、Q运动过程中，四边形APQC的面积是否有最小值？如果有，直接写出S四边形APQC . 8如图，抛物线 y=-12x2+bx+c 与x轴交于 A，B 两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知 A(-1，0)，C(0，2) （1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使 PCD 是以 CD 为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）点E是线段 BC 上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，求 CBF 的最大面积及此时点E的坐标 9如图，直线y=13x+b和抛物线y=ax-53x+2都经过A（0，n）和B（m，4
7、）两点，抛物线y=ax-53x+2与x轴交于C、D两点（点C在点D右侧）（1）求直线和抛物线的函数表达式；（2）求四边形ABCD的面积S；（3）在x轴上是否存在点P，使得PAB是以AP为直角边的直角三角形？若存在，求出所有的点P，若不存在，请说明理由10如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线yax2+2x+c（a0）与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，连接BC，OA1，OB5，点D是此抛物线的顶点（1）求抛物线的表达式；（2）抛物线上C，D两点之间的距离是 ；（3）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE，求BCE面积的最大值；在的条件下，当BCE的面积最大时，P为y轴上一点，过点P作抛物
8、线对称轴的垂线，垂足为M，连接ME，BP，探究EM+MP+PB是否存在最小值若存在，请直接写出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由11如图，抛物线y=ax2 + bx + c 交x轴于A、B两点，交y轴于点C，对称轴为直线x=1，已知：A(-1，0)、C(0，-3)（1）求抛物线y= ax2 + bx + c 的解析式；（2）求AOC和BOC的面积比；（3）在对称轴上是否存在一个P点，使PAC的周长最小若存在，请你求出点P的坐标；若不存在，请你说明理由12在平面直角坐标系中，已知抛物线yax2+bx4经过A（4，0），C（2，0）两点（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动
9、点，点M的横坐标为m，AMB的面积为S求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值13如图，抛物线yax2bx3经过A、B、C三点，点A（3，0）、C（1，0），点B在y轴上点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与A、B重合）（1）求此抛物线的解析式；（2）过点P作x轴的垂线，垂足为D，交直线AB于点E，动点P在什么位置时，PE最大，求出此时P点的坐标；（3）点Q是抛物线对称轴上一动点，是否存在点Q，使以点A、B、Q为顶点的三角形为直角三角形？若存在，请求出点Q坐标；若不存在，请说明理由14已知抛物线y=14x2+1具有如下性质：给抛物线上任意一点到定点F(0，2)的距离与到x轴的距离相等，如图，
10、点M的坐标为(3，3)，P是抛物线y=14x2+1上一动点，则（1）当POF面积为4时，求P点的坐标；（2）求PMF周长的最小值15如图，在 ABC 中， B=90 ， AB=6cm ， BC=8cm ，点 P 从 A 点出发沿 AB 边 向 B 以 1cm/s 的速度移动，点 Q 从 B 点出发沿 BC 向 C 点以 2cm/s 的速度移动，当其中一个点到达终点时两个点同时停止运动，在两个点运动过程中，请回答： （1）经过多少时间， PBQ 的面积是 5cm2 ？ （2）请你利用配方法，求出经过多少时间，四边形 APQC 面积最小？并求出这个最小值 16如图所示，抛物线y=x2+bx+c经过
11、A、B两点，A、B两点的坐标分别为(1，0)、(0，3)（1）求抛物线的函数解析式；（2）点E为抛物线的顶点，点C为抛物线与x轴的另一交点，点D为y轴上一点，且DCDE，求出点D的坐标答案解析部分1【答案】（1）解：二次函数yx2bxc的图象经过点A（3，0），B（1，0），-32+3b+c=0-(-1)2-b+c=0，解得：b=2c=3；（2）解：由（1）得：抛物线表达式为yx22x3，C（0，3），A（3，0），OAC是等腰直角三角形，BAC45，由点P的运动可知：AP=2t，过点P作PHx轴，垂足为H，如图所示：AH=PH=2t2=t，即H（3t，0），又Q（1t，0），S四边形BCPQ
12、SABCSAPQ1243123(1t)t=12t2-2t+612（t2）24AC=OA2+OC2=32+32=32，AB=3-(-1)=4，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，0t3，当t=2时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为42【答案】（1）解：抛物线的解析式：y=x2+4x3，由y=x2+4x3=（x2）2+1，可知：顶点D的坐标（2，1）（2）解：存在设直线BC的解析式为：y=kx+b，则 3k+b=0b=-3 ，解得 k=1b=-3 ，直线BC的解析式为y=x3，设P（x，x2+4x3），则F（x，x3），PF=（x2+4x3）（x3）=x2+3x=（m 32 ）2+ 94
13、，当x= 32 时，PE有最大值为 94 存在一点P，使线段PE的长最大，最大值为 94 （3）解：A（1，0）、B（3，0）、D（2，1）、C（0，3），可求得直线AD的解析式为：y=x1；直线BC的解析式为：y=x3ADBC，且与x轴正半轴夹角均为45AFy轴，F（1，2），AF=2当0t 2 时，如答图11所示此时四边形AFFA为平行四边形设AF与x轴交于点K，则AK= 22 AA= 22 tS=SAFFA=AFAK=2 22 t= 2 t；当 2 t2 2 时，如答图12所示设OC与AD交于点P，AF与BD交于点Q，则四边形PCFA为平行四边形，ADQ为等腰直角三角形S=SPCFASA
14、DQ=21 12 （t 2 ）2= 12 t2+ 2 t+1；当2 2 t3 2 时，如答图13所示设OC与BD交于点Q，则BCQ为等腰直角三角形BC=3 2 ，CC=t，BC=3 2 tS=SBCQ= 12 （3 2 t）2= 12 t23 2 t+9综上所述，S与t的函数关系式为：S= 2t(0t2)-12t2+2t+1(2t22)12t2-32t+9(22t32)3【答案】（1）解：将A（-2，0）、B（6，0）代入y=ax2+bx+3得：4a-2b+3036a+6b+30，解得a-14b1，抛物线的解析式为y=-14x2+x+3，（2）解：y=12x+n过点于A(-2，0)，所以n=1
15、，点D的坐标为(4，3)如图1中，过点P作PKy轴交AD于点K设P(m，-14m2+m+3)，则K(m，12m+1)SPAD=12(xD-xA)PK=3PK，PK的值最大值时，PAD的面积最大，PK=-14m2+m+3-12m-1=-14m2+12m+2=-14(m-1)2+94，-140，m-10.m1 ，m=-2 舍去，m=3 ，点 C 坐标为 (3，2) 过 C 点作 CHAB ，垂足为 H ，则 AHC=BHC=90 由 A(-1，0) 、 B(3，2) 、 C(3，2) ，得 AH=4 ， CH=2 ， BH=1 ， AB=5 （以下解答提供两种不同方法供参考）方法一：AHCH=CH
16、BH=2 ，又AHC=BHC=90 ，AHCCHB ，ACH=CBH CBH+BCH=90 ，ACH+BCH=90 ，ACB=90 DE/BC ， DF/AC ，四边形 DECF 是平行四边形，DECF 是矩形方法二：AC2=CH2+AH2=22+42=20 ， BC2=CH2+BH2=22+12=5 ，AC2+BC2=20+5=25 AB2=52=25 ，AC2+BC2=AB2 ，ACB=90 DE/BC ， DF/AC ，四边形 DECF 是平行四边形，DECF 是矩形存在方法一：连接 CD ，四边形 DECF 是矩形，EF=CD 当 CDAB 时， CD 的值最小C(3，2) ，DC 的
17、最小值是2，EF 的最小值是2方法二：连接 CD ，四边形 DECF 是矩形，EF=CD 设点 D(d，0) ，在 RtCDH 中， DC2=CH2+DH2=(d-3)2+4 ，当 d=3 时， DC2 的最小值是4DC0 ，DC 最小值是2，EF 的最小值是25【答案】（1）解：当y=0时， 14 x2- 32 x-4=0，解得x1=-2，x2=8，点B在点A的右侧，点A的坐标为（-2，0），点B的坐标为（8，0）当x=0时，y=-4，点C的坐标为（0，-4）（2）解：由菱形的对称性可知，点D的坐标为（0，4）设直线BD的解析式为y=kx+b，则 b=48k+b=0 ，解得k=- 12 ，b
18、=4直线BD的解析式为y=- 12 x+4lx轴，点M的坐标为（m，- 12 m+4），点Q的坐标为（m， 14 m2- 32 m-4）如图，当MQ=DC时，四边形CQMD是平行四边形，（- 12 m+4）-（ 14 m2- 32 m-4）=4-（-4）化简得：m2-4m=0，解得m1=0（不合题意舍去），m2=4当m=4时，四边形CQMD是平行四边形此时，四边形CQBM是平行四边形m=4，点P是OB的中点lx轴，ly轴，BPMBOD，BPBO=BMBD=12 ，BM=DM，四边形CQMD是平行四边形，DMCQ，DM=CQBMCQ，BM=CQ，四边形CQBM是平行四边形（3）解：抛物线上存在两
19、个这样的点Q，分别是Q1（-2，0），Q2（6，-4）若BDQ为直角三角形，可能有三种情形，如图2所示：以点Q为直角顶点此时以BD为直径作圆，圆与抛物线的交点，即为所求之Q点P在线段EB上运动，-8xQ8，而由图形可见，在此范围内，圆与抛物线并无交点， 故此种情形不存在以点D为直角顶点连接AD，OA=2，OD=4，OB=8，AB=10，由勾股定理得：AD=2 5 ，BD=4 5 ，AD2+BD2=AB2，ABD为直角三角形，即点A为所求的点QQ1（-2，0）；以点B为直角顶点如图，设Q2点坐标为（x，y），过点Q2作Q2Kx轴于点K，则Q2K=-y，OK=x，BK=8-x易证Q2KBBOD，Q
20、2KOB=BKOD ，即 -y8=8-x4 ，整理得：y=2x-16点Q在抛物线上，y= 14 x2- 32 x-414 x2- 32 x-4=2x-16，解得x=6或x=8，当x=8时，点Q2与点B重合，故舍去；当x=6时，y=-4，Q2（6，-4）6【答案】（1）由y=0，得x2+x2=0 解得 x1=2，x2=l， A（2，0），B（l，0），由x=0，得y=2，C（0，2）.（2）连接AC与对称轴的交点即为点P. 设直线AC为y=kx+b，则 2k+b=0b=2 ，得 k=l，y=x2.对称轴为x= -12 ，当 x= -12 时，y=-（ -12 ）2= -32 ，P（ -12 ，
21、-32 ）.（3）过点M作MN丄x轴与点N， 设点M（x，x2+x2），则OA=2，ON=x，OB=1，OC=2，MN=（x2+x2）=x2x+2，S四边形ABCM=SAOM+SOCM+SBOC= 12 2（x2x+2）+ 12 2（x）+ 12 12=x22x+3=（x+1）2+4.a=10，当x=1时，S四边形ABCM的最大值为4.点M坐标为（1，2）时，S四边形ABCM的最大值为4.7【答案】（1）解：四边形ABCD是矩形，AB10cm，BC5cm， 根据题意，AP2t，BQt，PB102t，SPBQ 12 PBQB，yt2+5t（2）解：把y6cm2代入解析式，可得：6t2+5t， 解
22、得：t12，t23，答：当t为2秒或3秒时，SPBQ6cm2（3）18.75cm28【答案】（1）解：A(-1，0)，C(0，2) 在抛物线 y=-12x2+bx+c 上， 则 -12-b+c=0c=2 ，解得 b=32c=2抛物线解析式为 y=-12x2+32x+2 （2）解：存在，理由： y=-12x2+32x+2=-12(x-32)2+258 ，抛物线对称轴为直线x= 32 ，D（ 32 ，0），且C（0，2），CD= (32)2+22=52 ，点P在对称轴上，可设P（ 32 ，t），PD=|t|，PC= (32)2+(t-2)2 ，当PD=CD时，则有|t|= 52 ，解得t= 52
23、，此时P点坐标为（ 32 ， 52 ）或（ 32 ， -52 ）；当PC=CD时，则有 (32)2+(t-2)2=52 ，解得t=0（与D重合，舍去）或t=4，此时P点坐标为（ 32 ，4）；综上可知存在满足条件的点P，其坐标为 (32，52) 或 (32，-52) 或 (32，4) （3）解：当 y=0 时，即 -12x2+32x+2=0 ，解得 x=-1 或 x=4A(-1，0)，B(4，0)设直线 BC 解析式为 y=kx+s ，由题意可得 s=24k+s=0 ，解得 s=2k=-12 ，直线 BC 解析式为 y=-12x+2设 E(m，-12m+2) ，则 F(m，-12m2+32m+
24、2)EF=-12m2+32m+2-(-12m+2)=-12m2+2m=-12(m-2)2+2SCBF=124EF=2-12(m-2)2+2=-(m-2)2+4-10当 m=2 时， SCBF 有最大值，最大值为4此时 -12x+2=1E(2，1) ，即E为 BC 的中点当E运动到 BC 的中点时， CBF 的面积最大，最大面积为4，此时E点坐标为 (2，1) 9【答案】（1）解：抛物线y=ax-53x+2经过A（0，n），将x=0代入，解得n=2A（0，2），A（0，2）在直线y=13x+b上，将x=0代入，解得b=2直线解析式为：y=13x+2B（m，4）在直线y=13x+2上，4=13m+
25、2m=6B（6，4）将点B（6，4）代入y=ax-53x+2，即4=36a-10+2解得a=13抛物线的解析式为y=13x2-53x+2（2）解：由抛物线的解析式为y=13x2-53x+2，令y=0，即13x2-53x+2=0解得x1=2，x2=3D(2，0)，C(3，0)如图，过点B作BEx于点E，则E(6，0)A(0，2)，B(6，4)，C(3，0)，D(2，0)AO=2，DO=2，CE=3，BE=4，OE=6四边形ABCD的面积S=S梯形AOEB-SAOD-SBCE=12(AO+BE)OE-12AOOD-12BECE=12(2+4)6-1222-1234=18-2-6=10（3）解：如图
26、，分别过点A、B作AP1AB，BP2AB，过点B作BEx于点E，连接AP1，BP2设P1(x1，0)，P2(x2，0)，则AP12=x12+AO2=4+x12，AB2=62+(4-2)2=40，BP22=BE2+P2E2=42+(x2-6)2=x22-12x2+52，AP22=AO2+OP22=4+x22，BP12=(6-x)2+42=x12-12x1+52，在RtABP1和RtABP2中，AB2=AP12+BP12，AB2=AP22+BP22，40+4+x12=x12-12x1+52，40=x22-12x2+52+4+x22解得x1=23，x2=4或x2=2OP=23或4或210【答案】（1
27、）解：OA1，OB5，A（1，0），B（5，0），将A、B两点代入yax2+2x+c，a-2+c=025a+10+c=0，a=-12c=52，y12x2+2x+52；（2）22（3）解：如图1，过点E作EFx轴交BC于点F，设直线BC的解析式为ykx+b，5k+b=0b=52，k=-12b=52y12x+52；设E（m，12m2+2m+52），则F（m，12m+52），EF12m2+2m+52+12m-5212m2+52m，SBCE125（12m2+52m）54（x52）2+12516，当x52时，SBCE有最大值12516；存在，(2，17544)11【答案】（1）解：A，B两点关于x=1对
28、称，B点坐标为（3，0），根据题意得：0=9a+3b+c0=a-b+c-3=c ，解得a=1，b=-2，c=-3抛物线的解析式为y=x2-2x-3（2）解：（3）解：存在一个点PC点关于x=1对称点坐标C为（2，-3），令直线AC的解析式为y=kx+b-3=2k+b0=-k+b ，k=-1，b=-1，即AC的解析式为y=-x-1当x=1时，y=-2，P点坐标为（1，-2）12【答案】（1）解：将A（4，0），C（2，0）代入yax2+bx4，得：16a-4b-4=04a+2b-4=0 ，解得：a=12b=1 ，抛物线解析式为：y=12x2+x-4（2）解：如图，过点M作MNAC于点N，抛物线y
29、=12x2+x-4与y轴交于点B，当x=0 时，y=-4 ，B(0，-4) ，即OB=4，点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，M(m，12m2+m-4)，ON=-m ，MN=-(12m2+m-4)=-12m2-m+4 ，AN=m-(-4)=m+4 ，SABM=SANM+S梯形MNOB-SAOB=12(4+m)(-12m2-m+4)+12(-12m2-m+4+4)(-m)-124=-m2-4m=-(m+2)2+4(-4m0) ，当m=-2 时，S有最大值，最大值为4 ，S关于m的函数关系式为S=-m2-4m ， S的最大值为413【答案】（1）解：把A（3，0）和C（1，0）代入y
30、ax2+bx3，得，0=9a-3b-30=a+b-3，解得，a=1b=2，抛物线解析式为yx2+2x3；（2）解：设P（x，x2+2x3），直线AB的解析式为ykx+b，由抛物线解析式yx2+2x3，令x0，则y3，B（0，3），把A（3，0）和B（0，3）代入ykx+b，得，0=-3k+b-3=b，解得，k=-1b=-3，直线AB的解析式为yx3，PEx轴，E（x，x3），P在直线AB下方，PEx3（ x2+2x3）x23x（x+32）2+94，当x32时，yx2+2x3-154，当PE最大时，P点坐标为（32，-154）（3）解：存在，理由如下，x221-1，抛物线的对称轴为直线x-1，设
31、Q（-1，a），B（0，-3），A（-3，0），当QAB90时，AQ2+AB2BQ2，22+a2+32+3212+（3+a）2，解得：a2，Q1（-1，2），当QBA90时，BQ2+AB2AQ2，12+（3+a）2+32+3222+a2，解得：a4，Q2（-1，4），当AQB90时，BQ2+AQ2AB2，12+（3+a）2+22+a232+32，解得：a1-3+172或a1-3-172，Q3（-1，-3+172），Q4（-1，-3-172），综上所述：点Q的坐标是（-1，2）或（-1，4）或（-1，-3+172）或（-1，-3-172）14【答案】（1）解：设P点的坐标为(x，14x2+1)，
32、点F的坐标为(0，2)，OF=2，当POF的面积为4时，122|x|=4，解得：x=4， y=14(4)2+1=5，点P的坐标为(-4，5)或(4，5)（2）解：过点M作MEx轴于点E，ME与抛物线交于点P抛物线上任意一点到定点F(0，2)的距离与到x轴的距离相等，PF=PE，又MF为定值，当点P运动到点P时，PMF周长取最小值，F(0，2)，M(3，3)，ME=3，FM=(3-0)2+(3-2)2=2，MP+PF+MF=MP+PE+MF=ME+MF=3+2=5，PMF周长的最小值为515【答案】（1）解：设P、Q经过t秒时，PBQ的面积为5cm2， 则PB=6-t，BQ=2t，B=90，AB
33、=6cm，BC=8cm， 12PBBQ=5 ，12(6-t)2t=5 ，t2-6t+5=0 ，解得 t1=1 ， t2=5 （舍去），所以 t=1 ，故经过 1 秒，能使 PBQ 的面积等于 5cm2（2）解：设P、Q两点运动t秒时，四边形 APQC 面积有最小值，则PB=6-t，BQ=2t， S四边形APQC= SABC- SPBQ= 1286 - 12(6-t)2t=(t-3)2+15，当t=3时， S四边形APQC 的最小值为 15 ，即经过3秒时，四边形 APQC 面积最小，最小值为15.16【答案】（1）解：抛物线y=x2+bx+c经过A（1，0）、B（0，3），1-b+c=0c=-3，解得：b=-2c=-3，故抛物线的函数解析式为y=x2-2x-3（2）解：令x2-2x-3=0，解得x1=-1，x2=3，则点C的坐标为（3，0），y=x2-2x-3=(x-1)2-4，点E坐标为（1，4），设点D的坐标为（0，m），作EFy轴于点F，如图：在RtCOD中：DC2=OD2+OC2=m2+9，在RtDFE中：DE2=DF2+EF2=(m+4)2+1，DC=DE，m2+9=m2+8m+16+1，解得：m=-1，点D的坐标为（0，-1）；