1、2023年安徽省安庆市怀宁县九年级下第一次自主检测数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1. 抛物线y=2(x+3)2+4的顶点坐标是( )A (3，4)B. (-3，4)C. (3，-4)D. (-3，-4)2. 如图所示的几何体，其左视图是（ ）A. B. C. D. 3. 唐白居易赋得古原草送别诗中写道“离离原上草，一岁一枯荣”，从数学的观点看，诗句中描述的事件是 ()A. 必然事件B. 不可能事件C. 随机事件D. 不属于上述任何一种4. 如图，直径与弦的延长线交于点E，若，则等于（ ）A. B. C. D. 5. 晚上小明清洗两对只有颜色不同的有盖茶杯（茶杯和
2、茶杯盖形状不同），突然停电，一片漆黑，他把两个杯盖随机盖在两只茶杯上，则颜色搭配正确的概率是（ ）A. B. C. D. 6. 已知的直径是12，点P是内一点，则过点P的所有弦中，弦长是整数的共有（ ）A. 4条B. 3条C. 2条D. 1条7. 若函数与的图象如图所示，则函数的大致图象为( )A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，是中点，是边上一点（不与重合），连接，若，则的值是（）A. 3B. 或C. 或D. 或69. 如图，五边形是的内接正五边形，是的直径，则的度数是（ ）A. B. C. D. 10. 已知抛物线与x轴交于A，B两点，对称轴与x轴交于点D，点C为抛物线的顶点，以
3、C点为圆心的半径为2，点G为上一动点，点P为的中点，则的最大值与最小值和为（）A. B. C. D. 5二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11. 若是锐角，且， 则_12. 在中，圆心O在坐标原点上，半径为5，点P的坐标为，则点P在_（填“圆内”，“圆外”或“圆上”）13. 如图所示是三棱柱的三视图，在中，则的长为_14. 如图，D是等腰的斜边边上一点，连接，作的外接圆，并将沿直线折叠，点C的对应点E恰好落在的外接圆上， 若， _ 的外接圆的面积为_（结果保留）三、（本大题共2题，每小题8分，满分16分）15. 已知二次函数的图象经过和两点，与y轴交于求此二次函数的解析式16
4、. 如图，在中，垂足是D，若，求的值四、（本大题共2题，每小题8分，满分16分）17. 一个几何体的三种视图如图所示求这个几何体的表面积（结果保留） 18. 为弘扬中华文化，鼓励学生多读书，读好书，九年级(4)班班主任精选了朝花夕拾平凡的世界长征红岩文化苦旅5种书，准备送给学生.（1）若由上述5种书各3本，小明同学从中任选一本，选中红岩的概率是多少?（2）若小明同学从上述5种书中任选一本，选中长征的概率是，则在(1)的基础上， 班主任老师只需要增加几本长征书？五、（本大题共2题，每小题10分，满分20分）19. 如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径，圆心角， 求此圆锥高的长度.20. 如图，
5、和是的半径，点P在上，连接并延长交于点C，过C作交的延长线于点D （1）求证：是的切线；（2）若，的半径，求的长六、（本题满分12分）21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的点和点过点作x轴的垂线，垂足为点，的面积为3（1）分别求出一次函数与反比例函数的表达式；（2）结合图象直接写出解集；（3）在x轴正半轴上取点，使取得最大值时，求出点坐标七、（本题满分12分）22. 怀宁县为了“创建文明城市，建设美丽家园”，某社区将辖区内的一块面积为的空地进行绿化，一部分种草，剩余部分栽花设种草部分的面积为，种草所需费用（元）与的函数解析式为；栽花所需费用（元）与的函数关系式为（1
6、）设这块空地的绿化总费用为（元），请利用与的函数关系式，帮社区求出的最大值；（2）若种草部分的面积不少于，栽花部分的面积不少于，请求出的最小值八、（本题满分14分）23. 如左图，为探究一类矩形的性质，小明在边上取一点E，连接，经探究发现：当平分时，将沿折叠至，点F恰好落在上，据此解决下列问题：（1）求证：；（2）如图，延长交于点G，交于点H求证： ； 求的值2023年安徽省安庆市怀宁县九年级下第一次自主检测数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1. 抛物线y=2(x+3)2+4的顶点坐标是( )A. (3，4)B. (-3，4)C. (3，-4)D. (-3，-4)【
7、答案】B【解析】【分析】已知抛物线解析式为顶点式，可直接写出顶点坐标【详解】解：y=-2（x+3）2+4为抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，抛物线的顶点坐标为（-3，4），故选B.【点睛】本题考查了二次函数的性质，将解析式化为顶点式y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h2. 如图所示的几何体，其左视图是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据简单几何的三视图的意义和画法可得答案【详解】解：从左面看是：故选：C【点睛】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的意义是正确解答的前提需要注意的是能看见的部分的轮廓线画实线，而被遮挡的部分的轮廓线画虚线3.
8、 唐白居易赋得古原草送别诗中写道“离离原上草，一岁一枯荣”，从数学的观点看，诗句中描述的事件是 ()A. 必然事件B. 不可能事件C. 随机事件D. 不属于上述任何一种【答案】A【解析】【分析】必然事件指在一定条件下，一定发生的事件不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件【详解】解：“离离原上草，一岁一枯荣”，从数学的观点看，诗句中描述的事件是必然事件故选A【点睛】本题考查了事件的识别，一定会发生的事件是必然事件，一定不会发生的事件是不可能事件，不一定发生的事件是随机事件，也叫不确定事件必然事件和不可能事件统称为确定事件4.
9、 如图，的直径与弦的延长线交于点E，若，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】连接，易得，利用三角形外角的性质得到，进行求解即可【详解】解：连接，则：，；故选B【点睛】本题考查圆的认识，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质熟练掌握圆内半径均相等，得到等腰三角形，是解题的关键5. 晚上小明清洗两对只有颜色不同的有盖茶杯（茶杯和茶杯盖形状不同），突然停电，一片漆黑，他把两个杯盖随机盖在两只茶杯上，则颜色搭配正确的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据概率的计算公式颜色搭配总共有2种可能，分别列出搭配正确和搭配错误的可能，进而求出各自的概率即可
10、【详解】解：用A和a分别表示第一个有盖茶杯的杯盖和茶杯；用B和b分别表示第二个有盖茶杯的杯盖和茶杯在确定一组搭配的同时，另一组也确定，所以共有2种等可能结果，、，符合题意的有1种，所以颜色搭配正确的概率是故选：A【点睛】本题考查了概率的求法，找出符合条件的可能性计算概率是解题关键6. 已知的直径是12，点P是内一点，则过点P的所有弦中，弦长是整数的共有（ ）A. 4条B. 3条C. 2条D. 1条【答案】D【解析】【分析】如图所示，过点P作交于A、B，连接，根据勾股定理求出，根据垂径定理求出，进而得到答案【详解】解：如图所示，过点P作交于A、B，连接，在中，由勾股定理得，过点P的弦的长，弦长是
11、整数的弦只能是直径，弦长是整数的共有1条，故选D【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，掌握垂直于选的直径平分这条弦，并平分弦所对的两条弧是解题关键7. 若函数与的图象如图所示，则函数的大致图象为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】首先根据反比例函数和二次函数的图象确定k、a、c的正负，然后根据一次函数的性质判断即可【详解】解：根据反比例函数的图象位于二、四象限可知，根据二次函数的图象可知，函数的大致图象经过一、三、四象限，故选：D【点睛】本题考查了函数图象的知识，熟练掌握反比例函数和一次函数及二次函数的图像和性质是解题的关键8. 如图，在矩形中，是的中点，是边上一点（不与重
12、合），连接，若，则的值是（）A. 3B. 或C. 或D. 或6【答案】C【解析】【分析】首先根据题意证明，然后根据相似三角形的性质列方程求解即可【详解】解：在矩形中，E是的中点，四边形是矩形，又，即，整理得，解得或，当时，当时，故选：C【点睛】此题考查了矩形的性质，相似三角形的性质和判定，解一元二次方程，勾股定理等知识，解题的关键是证明9. 如图，五边形是的内接正五边形，是的直径，则的度数是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据正五边形的性质和圆周角定理即可求出答案【详解】解：如图所示，连接，是直径，五边形是的内接正五边形，四边形是的内接四边形，,故选A【点睛】本题考查正
13、多边形与圆，圆周角定理等知识，能正确做出辅助线是解题的关键10. 已知抛物线与x轴交于A，B两点，对称轴与x轴交于点D，点C为抛物线的顶点，以C点为圆心的半径为2，点G为上一动点，点P为的中点，则的最大值与最小值和为（）A. B. C. D. 5【答案】D【解析】【分析】连接利用三角形的中位线定理证明，求出的最大和最小值，即可解决问题【详解】解：如图，连接，当的值最大时，的值最大，当的值最小时，的值最小，当点G在线段的延长线上时，的值最大，最大值，当点G在线段上时，的值最小，最小值，的最大值为3.5，的最小值为1.5，DP的最大值与最小值和为故选D【点睛】本题考查二次函数图象上的点的坐标特征，
14、勾股定理，三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11. 若是锐角，且， 则_【答案】#60度【解析】【分析】根据可求出b与c的关系，进而根据的余弦值可求出的度数【详解】解：，故答案为：【点睛】本题考查了锐角三角函数的概念，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键在中，若，则A的正弦等于A的对边比斜边，A的余弦等于A的邻边比斜边，A的正切等于A的对边比邻边12. 在中，圆心O在坐标原点上，半径为5，点P的坐标为，则点P在_（填“圆内”，“圆外”或“圆上”）【答案】圆上【解析】【分析】先根据两点间的距离公式计算出，然后根据
15、点与圆的位置关系的判定方法判断点P与的位置关系【详解】解：点P的坐标为，半径为5，点P在上故答案为：圆上【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有3种设的半径为r，点P到圆心的距离，当点P在圆外；当点P在圆上；当点P在圆内13. 如图所示是三棱柱的三视图，在中，则的长为_【答案】5【解析】【分析】过E作交于点，根据，即可得到，根据左视图即可得到；【详解】解：过E作交于点，由左视图可得，故答案为5；【点睛】本题考查正确理解几何体的三视图，直角三角形所对直角边等于斜边一半，解题的关键是正确理解三视图14. 如图，D是等腰的斜边边上一点，连接，作的外接圆，并将沿直线折叠，点C的对应点E恰
16、好落在的外接圆上， 若， _ 的外接圆的面积为_（结果保留）【答案】 . 6 . 【解析】【分析】根据沿直线折叠得到可得，根据圆周角定理可得，根据等腰可得，结合三角形内外角关系即可得到，即可得到，结合，即可得，设半径为r，即可得到答案；详解】解：过A作交于F，连接交于O，沿直线折叠得到，弧弧，弧弧，是等腰三角形， ，是直径，点O是圆心，根据勾股定理可得，设圆的半径为r， ，解得：，故答案为：6，；【点睛】本题考查圆周角定理，勾股定理，等腰三角形底边上三线合一，解题的关键是根据圆周角定理得到等腰三角形三、（本大题共2题，每小题8分，满分16分）15. 已知二次函数的图象经过和两点，与y轴交于求此
17、二次函数的解析式【答案】【解析】【分析】设该二次函数的解析式为，将点、代入求出a、b、c的值，即可得出该二次函数的解析式【详解】解：设该二次函数的解析式为，把、代入得：，解得：， 二次函数的解析式为【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤16. 如图，在中，垂足是D，若，求的值【答案】【解析】【分析】在中，根据，可得的长，进而得到的长，再由勾股定理求出，即可求解【详解】解：，在中， 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键四、（本大题共2题，每小题8分，满分16分）17. 一个几何体的三种视图如图所
18、示求这个几何体的表面积（结果保留） 【答案】【解析】【分析】根据三视图主视图以及左视图都为长方形，底面是圆形，则可想象出这是一个圆柱体，再根据表面积侧面积底面积，列式计算即可【详解】解：根据三视图主视图以及左视图都为长方形，底面是圆形，可得这个几何体是圆柱体，圆柱的半径为3，高为10，【点睛】本题考查了由三视图判断几何体，用到的知识点是几何体的表面积，本题难点是确定几何体的形状，关键是根据公式列出算式18. 为弘扬中华文化，鼓励学生多读书，读好书，九年级(4)班班主任精选了朝花夕拾平凡的世界长征红岩文化苦旅5种书，准备送给学生.（1）若由上述5种书各3本，小明同学从中任选一本，选中红岩的概率是
19、多少?（2）若小明同学从上述5种书中任选一本，选中长征的概率是，则在(1)的基础上， 班主任老师只需要增加几本长征书？【答案】（1） （2）要增加1本长征【解析】【分析】（1）根据概率公式进行计算即可求解；（2）根据概率列出方程，解方程即可求解【小问1详解】解：总共有15本书，其中红岩有3本，所以从这15本书中任选一本，选中红岩的概率为= 【小问2详解】设要增加x本长征，由题意，得，解得，经检验，是原分式方程的解，且符合题意.要增加1本长征.【点睛】本题考查了根据概率公式求概率，已知概率求数量，掌握概率公式是解题的关键五、（本大题共2题，每小题10分，满分20分）19. 如图，圆锥侧面展开得到
20、扇形，此扇形半径，圆心角， 求此圆锥高的长度.【答案】【解析】【分析】设圆锥底面圆的半径为，根据圆锥侧面展开图的扇形的弧长=底面圆的周长求出底面圆的半径，再根据勾股定理即可求出结果.【详解】解：设圆锥底面圆的半径为，的长，即：，在中，根据勾股定理得，.【点睛】本题考查了圆锥的相关知识，正确理解圆锥的侧面展开图的弧长与其底面圆的半径的关系是解题的关键.20. 如图，和是半径，点P在上，连接并延长交于点C，过C作交的延长线于点D （1）求证：是的切线；（2）若，的半径，求的长【答案】（1）见解析 （2）2【解析】【分析】（1）连接，先证明，再由得，然后证明即可证明结论成立；（2）证明并设，利用三角
21、形内角和定理列方程求出x，进而求出，然后利用锐角三角函数的知识可求出的长【小问1详解】连接，即，是切线，【小问2详解】，又，设，根据三角形内角和定理得：，即，解得：，即， 的半径 ， 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余，切线的判定，三角形内角和定理，以及解直角三角形，熟练掌握切线的判定方法和锐角三角函数的定义是解答本题的关键六、（本题满分12分）21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的点和点过点作x轴的垂线，垂足为点，的面积为3（1）分别求出一次函数与反比例函数的表达式；（2）结合图象直接写出的解集；（3）在x轴正半轴上取点，使取得最大值时，求出
22、点的坐标【答案】（1）反比例函数的表达式为，一次函数表达式为 （2）或 （3）【解析】【分析】（1）由的面积为3，可求出a的值，确定反比例函数的关系式，把点坐标代入可求b的值（2）结合图像观察，求一次函数图像位于反比例函数图像的下方时，自变量x的取值范围即可（3）作对称点关于x的对称点，直线与x轴交点就是所求的点，求出直线与x轴的交点坐标即可【小问1详解】解：根据题意，结合图形，可得，将代入得，反比例函数的表达式为把代入反比例函数得，将和代入解得：，一次函数表达式为【小问2详解】由图象可以看出的解集为或【小问3详解】解：如图，作点关于x轴的对称点，连接与x轴交于，此时最大，设直线的关系式为，将
23、，代入，解得，直线的关系式为，当时，解得，【点睛】本题考查反比例函数的图像和性质、一次函数、轴对称以及待定系数法求函数关系式等知识，理解轴对称知识作图是解题的关键七、（本题满分12分）22. 怀宁县为了“创建文明城市，建设美丽家园”，某社区将辖区内的一块面积为的空地进行绿化，一部分种草，剩余部分栽花设种草部分的面积为，种草所需费用（元）与的函数解析式为；栽花所需费用（元）与的函数关系式为（1）设这块空地绿化总费用为（元），请利用与的函数关系式，帮社区求出的最大值；（2）若种草部分的面积不少于，栽花部分的面积不少于，请求出的最小值【答案】（1）35000元 （2）当时，取得最小值，最小值为302
24、00元【解析】【分析】（1）分和两种情况，根据“绿化总费用种草所需总费用种花所需总费用”，结合二次函数的性质可得答案；（2）根据种草部分的面积不少于，栽花部分的面积不少于求得的范围，依据二次函数的性质可得【小问1详解】解：当时，当时，取得最大值，最大值为35000元.当时，当时，随的增大而减小，当时，取得最大值，最大值33000元，的最大值为35000元【小问2详解】解：由题意，得，解得，又，当时，随的增大而减小，当时，取得最小值，最小值为30200元【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，利用二次函数的增减性求最值，利用配方法求二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象及其性质是解题的关键八、（本
25、题满分14分）23. 如左图，为探究一类矩形的性质，小明在边上取一点E，连接，经探究发现：当平分时，将沿折叠至，点F恰好落在上，据此解决下列问题：（1）求证：；（2）如图，延长交于点G，交于点H求证： ； 求的值【答案】（1）见解析 （2）见解析；【解析】【分析】（1）根据矩形的性质可得，再由折叠的性质可得，然后根据平分，可得，即可；（2）根据是等腰直角三角形，可得，再由，可得，从而得到，再由折叠的性质可得，可证明，即可；根据等腰直角三角形的性质可得，从而得到，进而得到，再证明，即可求解【小问1详解】证明：四边形是矩形，由折叠的性质得：，平分，；【小问2详解】证明：，是等腰直角三角形，由折叠的性质得：，即， 即；解：是等腰直角三角形，又，【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质，三角形相似的判定和性质，证明是解答本题的关键