1、南京市江宁区二校联考2022-2023学年八年级下第一次月考数学试题一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ）A. “清明时节雨纷纷”是必然事件B. 抛掷一枚质地均匀硬币两次，必有一次正面朝上C. 为了解某校学生身高情况，从中抽取了200名学生进行调查，这200名学生是总体的一个样本D. 为了解一批医用口罩的过滤性能，适合采用抽样调查的方式进行3. 四边形ABCD是平行四边形，下列结论中正确的是（ ）A. 当ACBD时，它是矩形B. 当ACBD时，它是菱形C. 当ACBD时，它是
2、正方形D. 当ACBD时，它是正方形4. 如图，四边形中，与不平行，分别是、的中点，则的长可能是（）A. 4B. 6C. 8D. 105. 如图，在菱形ABCD中，A60，点E、F分别为AD、DC上的动点，EBF60，点E从点A向点D运动的过程中，AE+CF的长度（）A. 逐渐增加B. 逐渐减小C. 保持不变且与EF的长度相等D. 保持不变且与AB的长度相等6. 如图，两个正方形的边长都为6，其中正方形OEFG绕着正方形ABCD对角线的交点O旋转，正方形OEFG与边AB，BC分别交于点M，N（不与端点重合），设两个正方形重叠部分的面积为m，BMN的周长为n，则下列说法正确的是（ ） A. m发
3、生变化，n存在最大值B. m发生变化，n存在最小值C. m不发生变化，n存在最大值D. m不发生变化，n存在最小值二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.）7. 抛掷一枚均匀的硬币10000次，刚好有5000次正面朝上，是一个_事件8. 分别写有数字、0、五张大小和质地均相同的卡片，从中任意抽取一张，抽到无理数的概率的是_9. 在空气的成分中，氮气约占78%，氧气约占21%，其他微量气体约占1%若要表示以上信息，最合适的统计图是_10. 四边形中，E，F，G，H分别是边，的中点若四边形为菱形，则四边形应满足条件_11. 从一个不透明的口袋中随机摸出一球，再放回袋中，不断重复上述过程
4、，一共摸了次，其中有次摸到黑球，已知口袋中仅有黑球个和白球若干个，这些球除颜色外，其他都一样，由此估计口袋中有_个白球12. 如图，ABCD对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，若AC+BD=24厘米，OAB的周长是18厘米，则EF=_厘米13. 如图，在菱形ABCD中，AC24，BD10，AC、BD相交于点O，若CE/BD，BE/AC，连接OE，则OE的长是_14. 如图，正方形和，点在边上，若正方形和的面积分别是、的大小关系是_15. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA，OC分别在x轴和y轴上，并且OA=5，OC=3若把矩形OABC绕着点O逆时针旋转
5、，使点A恰好落在BC边上的A1处，则点A1的坐标为_16. 如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PEBC于点E，PFCD于点F，连接EF.给出下列五个结论：AP=EF；APEF；APD一定是等腰三角形；PFE=BAP；PD=2EC.其中正确的结论是_（填序号）三、解答题（本大题共9小题，共68分.）17. “触发青春灵感，点亮科学生活”某中学举行了“科普知识”竞赛，为了解此次“科普知识”竞赛成绩的情况，随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并制作出如下的不完整的统计表和统计图，如图所示：组别成绩x/分频数A组60x706B组70x80aC组80x9012D组90x10014请根据图表信息
6、解答以下问题（1）中a ，一共抽取了 个参赛学生的成绩；（2）补全频数分布直方图；（3）计算扇形统计图中“B”与“C”对应的圆心角度数；（4）若成绩在80分以上（包括80分）的为“优”等，所抽取学生成绩为“优”的占所抽取学生的百分比是多少？18. 文具店购进了20盒“2B”铅笔，但在销售过程中，发现其中混入了若干“HB”铅笔店员进行统计后，发现每盒铅笔中最多混入了2支“HB”铅笔，具体数据见下表：混入“HB”铅笔数012盒数6mn（1）用等式写出m，n所满足的数量关系 ；（2）从20盒铅笔中任意选取1盒，若“盒中混入1支HB铅笔”概率为，求m和n的值19. 已知：如图，在中，点E、F分别是边的
7、中点求证： 20. 求证：菱形的一条对角线平分这一组对角21. 如图，在菱形中，对角线、相交于点，DEAC，AEBD（1）求证：四边形是矩形；（2）连接CE，若AB=，AC=4，求CE的长22. （1）如图1，点E为中边上任意一点，请你仅用无刻度的直尺在上找一点F，使得；（2）如图，已知点M在直线l外，点N在直线l上，完成下列问题：请用无刻度的直尺和圆规，以线段为一条对角线作菱形，使菱形的边落在直线l上（要求保留作图痕迹，不写作法）；若点M到直线l的距离为4，的长为5，求这个菱边长23. 如图，在ABC中，D是BC上一点，E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，求证：EG、HF互相平
8、分24. 如图，长方形中，是上的一点，动点是其边上的一动点，运动的顺序为，设点经过的路程为，的面积为（1）求y关于x的函数关系式；（2）当的面积为8时，点P经过的路程是多少？25. 【问题情境】（1）同学们我们曾经研究过这样的问题：已知正方形，点在的延长线上，以为一边构造正方形，连接和，如图所示，则和的数量关系为_，位置关系为_【继续探究】（2）若正方形的边长为，点是边上的一个动点，以为一边在的右侧作正方形，连接、，如图所示，请判断线段与有怎样数量关系和位置关系，并说明理由；连接，若，求线段长爱动脑筋的小丽同学是这样做的：过点作，如图，你能按照她的思路做下去吗？请写出你的求解过程【拓展提升】（
9、3）在（2）的条件下，点在边上运动时，利用图，则的最小值为_南京市江宁区二校联考2022-2023学年八年级下第一次月考数学试题一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，即把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，称这两个图形轴对称，中心对称图形是图形绕某一点旋转180后与原来的图形重合，判断即可【详解】解：A选项选项中的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；B项选项中的图形是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意；C
10、项选项中的图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，不符合题意；D选项中的图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；故选：B【点睛】本题考查轴对称和中心对称图形的定义和性质，掌握两者的含义是解题的关键2. 下列说法正确的是（ ）A. “清明时节雨纷纷”是必然事件B. 抛掷一枚质地均匀的硬币两次，必有一次正面朝上C. 为了解某校学生身高情况，从中抽取了200名学生进行调查，这200名学生是总体的一个样本D. 为了解一批医用口罩的过滤性能，适合采用抽样调查的方式进行【答案】D【解析】【分析】根据必然事件，不可能事件，随机事件，全面调查与抽样调查，总体，个体，样本，样本容量，逐一判断即可【详解】解
11、：A、“清明时节雨纷纷”是随机事件，故A不符合题意；B、抛掷一枚质地均匀的硬币两次，可能有一次正面朝上，故B不符合题意；C、为了解某校学生身高情况，从中抽取了200名学生进行调查，这200名学生的身高情况是总体的一个样本，故C不符合题意；D、为了解一批医用口罩的过滤性能，适合采用抽样调查的方式进行，故D符合题意；故选：D【点睛】本题考查了随机事件，全面调查与抽样调查，总体，个体，样本，样本容量，熟练掌握这些数学概念是解题的关键3. 四边形ABCD是平行四边形，下列结论中正确的是（ ）A. 当ACBD时，它是矩形B. 当ACBD时，它是菱形C. 当ACBD时，它是正方形D. 当ACBD时，它是正
12、方形【答案】B【解析】【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定方法逐一进行判断是否正确，从而可以解答本题【详解】解：四边形ABCD是平行四边形，当ACBD时，它是菱形，故选项A不符合题意；当ACBD时，它是菱形，故选项B符合题意；当AC=BD时，它是矩形，故选项C不符合题意；当ACBD时，它是菱形，故选项D不符合题意；故选：B【点睛】本题考查了正方形的判定、菱形的判定、矩形的判定，解答本题的关键是明确它们各自的判定方法4. 如图，四边形中，与不平行，分别是、的中点，则的长可能是（）A. 4B. 6C. 8D. 10【答案】A【解析】【分析】连接，取的中点，连接、，根据三角形中位线定理分别求出、，根
13、据三角形的三边关系解答即可【详解】解：连接，取的中点，连接、，是的中点，是的中点，同理，在中，即，的长可能是4，故选：A【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、三角形的三边关系，正确作出辅助线是解题的关键5. 如图，在菱形ABCD中，A60，点E、F分别为AD、DC上的动点，EBF60，点E从点A向点D运动的过程中，AE+CF的长度（）A. 逐渐增加B. 逐渐减小C. 保持不变且与EF的长度相等D. 保持不变且与AB的长度相等【答案】D【解析】【分析】证明ABEDBF（AAS），可得AEDF；结合图形可知：AE+CFAB，AB是一定值，从而完成求解【详解】连接BD四边形ABCD是菱形，ABADC
14、D，A60ABD是等边三角形ABBD，ABD60DCABCDBABD60ACDBEBF60ABE+EBDEBD+DBFABEDBF ABEDBF（AAS）AEDFAE+CFDF+CFCDAB故选：D【点睛】本题考查了菱形、等边三角形、全等三角形的知识；求解的关键是熟练掌握菱形、等边三角形、全等三角形的性质，从而完成求解6. 如图，两个正方形的边长都为6，其中正方形OEFG绕着正方形ABCD对角线的交点O旋转，正方形OEFG与边AB，BC分别交于点M，N（不与端点重合），设两个正方形重叠部分的面积为m，BMN的周长为n，则下列说法正确的是（ ） A. m发生变化，n存在最大值B. m发生变化，n
15、存在最小值C. m不发生变化，n存在最大值D. m不发生变化，n存在最小值【答案】D【解析】【分析】由“ASA”可证AOMBON，可得OMON，AMBN，SAOMSCON，可得mS正方形ABCD9，由nBM+BN+MNAM+BM+MN6+MN，可得当MN有最小值时，n有最小值，即可求n的值【详解】解：正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，OCODBOAO，BAOCBO45，ACBDMOA+BOM90，BON+BOM90AOMBON，在AOM和CON中，AOMBON（ASA）OMON，AMBN，SAOMSCON，两个正方形重叠部分形成图形的面积SBOM+SBONSAOB，mS正方形ABCD9
16、，BMN的周长为n，nBM+BN+MNAM+BM+MN6+MN，当MN有最小值时，n有最小值，OMON，MON90，MNOM，当OMAB时，OM有最小值3，n的最小值为6+3，因为点M不与点A，B重合，所以OM不存在最大值，所以MN不存在最大值，所以n不存在最大值，故选：D【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，证明AOMBON是解题的关键二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.）7. 抛掷一枚均匀的硬币10000次，刚好有5000次正面朝上，是一个_事件【答案】随机【解析】【分析】根据随机事件的定义解答即可【详解】解：抛掷一枚均匀的硬币100
17、00次，刚好有5000次正面朝上，是一个随机事件故答案为随机【点睛】本题主要考查了随机事件的定义，正确理解随机事件的定义成为解答本题的关键8. 分别写有数字、0、的五张大小和质地均相同的卡片，从中任意抽取一张，抽到无理数的概率的是_【答案】【解析】【分析】直接利用无理数的定义结合概率求法得出答案【详解】解：5个数字中，无理数有，共2个，从中任意抽取一张，抽到无理数的概率的是，故答案为：【点睛】此题主要考查了概率公式以及无理数的定义，正确把握相关定义是解题关键9. 在空气的成分中，氮气约占78%，氧气约占21%，其他微量气体约占1%若要表示以上信息，最合适的统计图是_【答案】扇形统计图【解析】【
18、分析】分析三种统计图的特征，根据给出的空气成分的百分比，即可得出结论【详解】解：在空气的成分中，氮气约占78%，氧气约占21%，其他微量气体约占1%，条形统计图要知道具体的数目，折线统计图也需要知道具体的数目，不适合，扇形统计图只要知道所占百分比，为此最合适的统计图是扇形统计图，故答案为：扇形统计图【点睛】本题考查扇形统计图的应用，掌握扇形统计图的特征是解题关键10. 四边形中，E，F，G，H分别是边，的中点若四边形为菱形，则四边形应满足条件_【答案】【解析】【分析】根据三角形的中位线定理和菱形的判定，可得顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得四边形是菱形，故可添加：【详解】解：如图，、分别是
19、线段、的中点，则、分别是、的中位线，、分别是、的中位线，根据三角形的中位线的性质知，则四边形是平行四边形，当有成立，则四边形是菱形应满足条件：，故答案为：【点睛】此题考查学生灵活运用三角形的中位线定理，平行四边形的判断及菱形的判断进行证明，是一道综合题11. 从一个不透明的口袋中随机摸出一球，再放回袋中，不断重复上述过程，一共摸了次，其中有次摸到黑球，已知口袋中仅有黑球个和白球若干个，这些球除颜色外，其他都一样，由此估计口袋中有_个白球【答案】20.【解析】【分析】先由频率=频数数据总数计算出频率，再由题意列出方程求解即可【详解】解：摸了次，其中有次摸到黑球，则摸到黑球的频率是，设口袋中大约有
20、个白球，则，解得故答案为【点睛】本题考查了利用频率估计概率大量反复试验下频率稳定值即概率关键是得到关于黑球的概率的等量关系12. 如图，ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，若AC+BD=24厘米，OAB的周长是18厘米，则EF=_厘米【答案】3【解析】【详解】四边形ABCD是平行四边形，OA=OC，OB=OD又AC+BD=24厘米，OA+OB=12厘米OAB的周长是18厘米，AB=6厘米点E，F分别是线段AO，BO的中点，EF是OAB的中位线EF=AB=3厘米故答案：313. 如图，在菱形ABCD中，AC24，BD10，AC、BD相交于点O，若CE/BD，
21、BE/AC，连接OE，则OE的长是_【答案】13【解析】【分析】由证四边形OBEC是平行四边形，再由菱形的性质得OC，OB，ACBD，由勾股定理得BC，证平行四边形OBEC是矩形，即可得出结论【详解】解：CE/BD，BE/AC，四边形OBEC是平行四边形，四边形ABCD是菱形，OCOAAC12，OBODBD5，ACBD，BOC90，BC13，四边形OBEC是平行四边形，平行四边形OBEC是矩形，OEBC13，故答案为：13【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的性质与判定，勾股定理，掌握特殊平行四边形的性质是解题的关键14. 如图，正方形和，点在边上，若正方形和的面积分别是、的大小关系是_【答案】
22、【解析】【分析】连接交于，根据正方形以及平行四边形的面积计算公式，即可得到、的大小关系【详解】解：如图所示，连接交于，则，正方形的面积，的面积，故答案为：【点睛】本题主要考查了正方形和平行四边形的性质及面积的计算，解决问题的关键是能够熟练运用正方形的性质15. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA，OC分别在x轴和y轴上，并且OA=5，OC=3若把矩形OABC绕着点O逆时针旋转，使点A恰好落在BC边上的A1处，则点A1的坐标为_【答案】（4，3）【解析】【分析】由旋转的性质得OA1=OA=5，由勾股定理求出A1C=4，即可得出A1的坐标为（4，3）【详解】解：由旋转的性质得：OA1
23、=OA=5，四边形OABC是矩形，OCB=90，A1C=4，A1的坐标为（4，3）故答案为：（4，3）【点睛】此题考查了矩形的性质、旋转的性质、坐标与图形性质以及勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解题的关键16. 如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PEBC于点E，PFCD于点F，连接EF.给出下列五个结论：AP=EF；APEF；APD一定是等腰三角形；PFE=BAP；PD=2EC.其中正确的结论是_（填序号）【答案】【解析】【分析】过P作PGAB于点G，根据正方形对角线的性质及题中的已知条件，证明AGPFPE后即可证明AP=EF；PFE=BAP；在此基础上，根据正方形的
24、对角线平分对角的性质，在RtDPF中，DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2，求得DP=EC【详解】证明：过P作PGAB于点G，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，GP=EP，在GPB中，GBP=45，GPB=45，GB=GP，同理，得PE=BE，AB=BC=GF，AG=AB-GB，FP=GF-GP=AB-GB，AG=PF，AGPFPE，AP=EF；PFE=GAPPFE=BAP，延长AP到EF上于一点H，PAG=PFH，APG=FPH，PHF=PGA=90，即APEF；点P是正方形ABCD的对角线BD上任意一点，ADP=45，当PAD=45或67.5或90时，APD是等腰三角形，
25、除此之外，APD不是等腰三角形，故错误GFBC，DPF=DBC，又DPF=DBC=45，PDF=DPF=45，PF=EC，在RtDPF中，DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2，DP=EC其中正确结论的序号是故答案为：【点睛】此题考查正方形的性质，全等三角形的判定及性质，垂直的判定，等腰三角形的性质，勾股定理的运用解题关键在于熟练掌握各性质定理.三、解答题（本大题共9小题，共68分.）17. “触发青春灵感，点亮科学生活”某中学举行了“科普知识”竞赛，为了解此次“科普知识”竞赛成绩的情况，随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并制作出如下的不完整的统计表和统计图，如图所示：组别成绩x/分
26、频数A组60x706B组70x80aC组80x9012D组90x10014请根据图表信息解答以下问题（1）中a ，一共抽取了 个参赛学生的成绩；（2）补全频数分布直方图；（3）计算扇形统计图中“B”与“C”对应的圆心角度数；（4）若成绩在80分以上（包括80分）的为“优”等，所抽取学生成绩为“优”的占所抽取学生的百分比是多少？【答案】（1）8，40；（2）见解析；（3）72，108；（4）65%【解析】【分析】（1）由频数分布直方图可得a的值，根据D组人数及其所占百分比可得总人数；（2）根据频数分布表可补全图形；（3）用360分别乘以B、C组人数所占比例即可；（4）用C、D组人数和除以被调查的
27、总人数即可【详解】解：（1）由频数分布表知a8，本次抽查的学生人数为1435%40（人），故答案为：8、40；（2）补全频数分布直方图如下：（3）“B”对应的圆心角度数为36072，“C”对应的圆心角度数为360108；（4）所抽取学生成绩为“优”的占所抽取学生的百分比是100%65%【点睛】本题考查了频数分布表、频数分布直方图，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题18. 文具店购进了20盒“2B”铅笔，但在销售过程中，发现其中混入了若干“HB”铅笔店员进行统计后，发现每盒铅笔中最多混入了2支“HB”铅
28、笔，具体数据见下表：混入“HB”铅笔数012盒数6mn（1）用等式写出m，n所满足的数量关系 ；（2）从20盒铅笔中任意选取1盒，若“盒中混入1支HB铅笔”的概率为，求m和n的值【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据表格确定m，n满足的数量关系即可；（2）利用概率公式列式计算即可【小问1详解】解：观察表格发现：，用等式写出m，n所满足的数量关系为，故答案为：；【小问2详解】解：“盒中混入1支HB铅笔”的概率为，【点睛】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率19. 已知：如图，在中，点E、F分别是边的中点求证： 【
29、答案】见解析【解析】【分析】根据平行四边形的性质可以得到， ，再根据点、分别是边、的中点，即可得出，即可证明四边形是平行四边形，即可证明得到结论【详解】四边形是平行四边形，点、分别是边、的中点，四边形是平行四边形，【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质是本题的关键20. 求证：菱形的一条对角线平分这一组对角【答案】见解析【解析】【分析】由菱形的性质可得，由平行线的性质和等腰三角形的性质可证，可得结论【详解】解：已知：如图，是菱形的一条对角线求证：，证明：四边形是菱形，同理，即菱形的一条对角线平分这一组对角【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，掌握菱形
30、的性质是本题的关键21. 如图，在菱形中，对角线、相交于点，DEAC，AEBD（1）求证：四边形是矩形；（2）连接CE，若AB=，AC=4，求CE的长【答案】（1）证明见解析 （2）5【解析】【分析】（1）首先证明四边形AOED是平行四边形，再根据菱形的性质可得AOD=90推出是矩形;（2）根据勾股定理求得AE=3，进而勾股定理即可求解小问1详解】证明：DEAC，AEBD，四边形OCED是平行四边形，四边形ABCD菱形，ACBD，四边形OCED是矩形【小问2详解】四边形ABCD是菱形，AD=AB=,四边形OCED是矩形，中，中，【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的性质与判定，勾股定理，掌握以上
31、知识是解题的关键22. （1）如图1，点E为中边上任意一点，请你仅用无刻度的直尺在上找一点F，使得；（2）如图，已知点M在直线l外，点N在直线l上，完成下列问题：请用无刻度的直尺和圆规，以线段为一条对角线作菱形，使菱形的边落在直线l上（要求保留作图痕迹，不写作法）；若点M到直线l的距离为4，的长为5，求这个菱边长【答案】（1）见解析；（2）见解析；【解析】【分析】（1）连接，交于点O，连接，延长交于点F，点F即为所求；（2）连接，作的垂直平分线交直线于，交于点，然后截取，则四边形满足条件；设菱形的边长为，根据菱形的性质得到，根据菱形的面积公式得到，则，接着在中利用勾股定理得到，然后解方程即可【
32、详解】解：（1）如图，点F即为所求；（2）如图，菱形为所作；如图，设菱形的边长为，四边形为菱形，点到直线的距离为4，的长为5，在中，解得，即这个菱形的边长为【点睛】本题考查作图-复杂作图，平行四边形的性质，正方形的性质，菱形的判定和性质等知识，解题关键是掌握特殊四边形的性质，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作23. 如图，在ABC中，D是BC上一点，E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，求证：EG、HF互相平分【答案】见解析【解析】【分析】根据三角形的中位线定理可判定四边形EFGH为平行四边形，根据平行四边形的性质即
33、可得到EG、HF互相平分【详解】解：连接EH、FG，E、H分别是BD、AD的中点，EHAB ，EH=AB. 同理，FGAB ，FG=AB. EHFG，EH=FG，四边形EFGH是平行四边形，EG、HF互相平分【点睛】本题考查三角形中位线定理, 平行四边形的判定与性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键24. 如图，长方形中，是上的一点，动点是其边上的一动点，运动的顺序为，设点经过的路程为，的面积为（1）求y关于x的函数关系式；（2）当的面积为8时，点P经过的路程是多少？【答案】（1） （2）或10【解析】【分析】（1）分以下三种情况：点在上运动、点在上运动、点在上运动，分别根据三角形的面积公式可得
34、；（2）根据（1）中函数关系式即可得【小问1详解】解：四边形是长方形，根据题意可知：，则，当点在上运动时，即时，；当点在上运动，在点左侧时，即时，；当点在上运动，在点右侧时，即时，；综上所述，；【小问2详解】当时，或或，解得或（不符合题意，舍去）或，点运动的路程的值为或10【点睛】本题考查矩形的性质，动点问题，函数关系式，三角形的面积公式等知识，解题的关键是学会分类讨论的思想方法25. 问题情境】（1）同学们我们曾经研究过这样的问题：已知正方形，点在的延长线上，以为一边构造正方形，连接和，如图所示，则和的数量关系为_，位置关系为_【继续探究】（2）若正方形的边长为，点是边上的一个动点，以为一边
35、在的右侧作正方形，连接、，如图所示，请判断线段与有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；连接，若，求线段长爱动脑筋的小丽同学是这样做的：过点作，如图，你能按照她的思路做下去吗？请写出你的求解过程【拓展提升】（3）在（2）的条件下，点在边上运动时，利用图，则的最小值为_【答案】（1）， （2）结论：，理由见解析， （3）【解析】【分析】（1）由“”可证，可得结论（2）延长，交于点，由“”可证，可得，由四边形内角和定理可求，可得结论过点作，交延长线于点，由“”可证，可得，由勾股定理可求解（3）说明点的运动轨迹是直线，直线与直线之间的距离为4，作点关于直线的对称点，连接，在中，可得根据求解即可【小问1详解】解：如图1中，延长交于四边形是正方形，四边形是正方形，即，故答案为：，【小问2详解】解：结论：，理由：如图，延长，交于点，四边形是正方形，四边形是正方形，如图3，过点作，交延长线于点，又，【小问3详解】解：如图4中，由（2）可知，点的运动轨迹是直线，直线与直线之间的距离为4，作点关于直线的对称点，连接，在中，的最小值为，故答案为【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称最短问题等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用轴对称解决最值问题，属于中考压轴题