1、2023年福建省中考数学仿真模拟试卷（二）一、选择题(本题共10小题,每小题4分,共40分.)1.下列道路交通标志图中,是中心对称图形的是( )2.如图是由一个正方体切掉一个小正方体所形成的几何体,则该几何体的主视图是( )3.新型冠状病毒的直径约为0.000 000 12米,将0.000 000 12用科学记数法表示为( )A.0.1210-6B.1.210-6C.1.210-7D.1210-84.下列是必然事件的是( )A.打开电视机,它正在播放篮球比赛B.机选一注彩票,中百万大奖C.从一个仅装有黑球的不透明袋子中摸出一个球恰好是黑球D.抛掷一枚普通硬币10次,有9次正面朝上,第10次也是
2、正面朝上5.下列各式的运算或变形中,用到分配律的是( )A.2332=66B.(ab)2=a2b2C.由x+2=5得x=5-2D.3a+2a=5a6.已知正六边形的边长为2,则它的内切圆的半径为( )A.1B.3C.2D.237.一副直角三角板如图放置,其中C=DFE=90,A=45,E=60,点F在CB的延长线上.若DECF,则BDF等于( )A.30B.25C.18D.158.将直线y=x-1向上平移2个单位长度后,得到直线y=kx+b,则下列关于函数y=kx+b的说法正确的是( )A.图象经过第一、二、四象限B.图象与x轴交于(1,0)C.图象与y轴交于(0,1) D.y随x的增大而减小
3、9.如图,数轴上有A,B两点,其中点A表示的数为45,下列数中最接近点B表示的数为( )A.245B.246C.47D.24710.已知函数y=ax2+2x+c,当x取任意实数时,下列说法一定正确的是( )A.若ac1,则恒有y0B.若a,c互为倒数,则y有最小值0C.若a,c互为相反数,则函数图象与x轴一定有两个交点D.对于任意的实数c,存在一个实数a,使得函数图象与x轴有且只有一个交点二、填空题(本题共6小题,每小题4分,共24分)11.如图,直线c与直线a,b都相交,若ab,1=54,则2= .12.分解因式:3x2-27y2= .13.某校初一年级开展“读书月”活动,并将授予该月阅读课
4、外书籍4册及4册以上的学生“阅读之星”的称号.初一年级少先队大队委进行了随机调查,结果如下表所示:阅读册数012345学生人数20182770123估计该年级学生获得此称号的概率是 .14.一组数据1,7,4,3,5的方差是 .15.图1是某品牌台灯竖直摆放在水平桌面上的侧面示意图,其中OC为桌面(台灯底座的厚度忽略不计),台灯支架AO与灯管AB的长度都为30 cm,且夹角为150(即BAO=150).若保持该夹角不变,当支架AO绕点O顺时针旋转30时,支架与灯管的位置如图2所示,则灯管末梢B的高度会降低 cm.16.如图,正方形ABCD的边长为2,点E是射线AC上一动点(不与A,C重合),点
5、F在正方形ABCD的外角平分线CM上,且CF=AE,连接BE,EF,下列说法:EFBE的值不随点E的运动而改变;当B,E,F三点共线时,CBF=22.5;当BEF是直角三角形时,CBF=67.5;当点E在线段AC上运动时,点C到直线EF的距离的最大值为1.其中正确的是 .(写出所有正确结论的序号)三、解答题(本题共9小题,共86分)17.(本小题满分8分)先化简,再求值:(x-3)2+x(2+x)-9,其中x=-3.18.(本小题满分8分)解不等式组:4(x-2)x+1,2x+13x-1.19.(本小题满分8分)如图,在ABCD中,点E、F分别在边BC、AD上,且BE=DF.求证:BAE=DC
6、F.20.(本小题满分8分)如图,在ABC中,AB=AC,A=36.(1)在AC边上求作一点D,使得BDCABC;(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)(2)在(1)的条件下,求证:点D为线段AC的黄金分割点.21.(本小题满分8分)如图,在四边形ABCD中,AB=AC,ADB=90,过A,B,D三点的圆交BC边于点E.(1)求证:E是BC的中点;(2)若BC=2CD,求证:BCD=2ABD.22.(本小题满分10分)在两周内,某水果店标价为10元/斤的某种水果经过两次降价后的价格为8.1元/斤,并且两次降价的百分率相同.(1)求该水果每次降价的百分率;(2)从第一次降价的第1天算起,第x
7、天(x为整数)的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如下表所示.时间x(天)1x99x15售价(元/斤)第1次降价后的价格第2次降价后的价格销量(斤)80-3x120-x储存和损耗费用(元)40+3x3x2-64x+400已知该水果的进价为4.1元/斤,设销售该水果第x天的利润为y元,求y与x(1x0,y随x的增大而增大,故D错误.由图可知,图象经过第一、二、三象限,故A错误.9.如图,数轴上有A,B两点,其中点A表示的数为45,下列数中最接近点B表示的数为(B)A.245B.246C.47D.247解析目测点B到原点的距离为点A到原点距离的8倍,所以点B表示的数约为845=2445=246.
8、故选B.10.已知函数y=ax2+2x+c,当x取任意实数时,下列说法一定正确的是(D)A.若ac1,则恒有y0B.若a,c互为倒数,则y有最小值0C.若a,c互为相反数,则函数图象与x轴一定有两个交点D.对于任意的实数c,存在一个实数a,使得函数图象与x轴有且只有一个交点解析A.当ac1,且a0,故A错误.B.若a,c互为倒数,则ac=1,a0,二次函数图象的顶点纵坐标为4ac-44a=0,但a的正负不确定,当a0时,0为y的最小值,当a0时,0为y的最大值,故B错误.C.若a,c互为相反数,则a+c=0,当a=0,c=0时,函数为y=2x,其图象与x轴只有1个交点,故C错误.D.当a=0时
9、,函数y=2x+c为一次函数,其图象与x轴只有1个交点,故D正确,选D.二、填空题(本题共6小题,每小题4分,共24分)11.如图,直线c与直线a,b都相交,若ab,1=54,则2=54.解析如图,ab,1=3,又2=3,2=1=54.12.分解因式:3x2-27y2=3(x+3y)(x-3y).解析3x2-27y2=3(x2-9y2)=3(x+3y)(x-3y).13.某校初一年级开展“读书月”活动,并将授予该月阅读课外书籍4册及4册以上的学生“阅读之星”的称号.初一年级少先队大队委进行了随机调查,结果如下表所示:阅读册数012345学生人数20182770123估计该年级学生获得此称号的概
10、率是110.解析被抽查的学生总人数为20+18+27+70+12+3=150,阅读册数为4及以上的学生人数为12+3=15,故P(该年级学生获得此称号)=15150=110.14.一组数据1,7,4,3,5的方差是4.解析x=1+7+4+3+55=4,s2=15(1-4)2+(7-4)2+(4-4)2+(3-4)2+(5-4)2=4.15.图1是某品牌台灯竖直摆放在水平桌面上的侧面示意图,其中OC为桌面(台灯底座的厚度忽略不计),台灯支架AO与灯管AB的长度都为30 cm,且夹角为150(即BAO=150).若保持该夹角不变,当支架AO绕点O顺时针旋转30时,支架与灯管的位置如图2所示,则灯管
11、末梢B的高度会降低15cm.解析在图1中,过B点作BEOC于E点,过A点作ADBE于D点,易证四边形OADE是矩形,OAD=90,DE=AO=30 cm,BAD=BAO-DAO=150-90=60,在RtABD中,sin 60=BDAB=32,BD=153 cm,BE=BD+DE=(153+30)cm.在图2中,过A1作A1FOC于F点,过B1作B1E1OC于E1点,过A1作A1MB1E1于M点,易证四边形A1FE1M为矩形,FA1M=90,ME1=A1F.AOA1=30,OA1F=AOA1=30,B1A1M=OA1B1-OA1F-FA1M=150-30-90=30,B1M=12A1B1=15
12、 cm,在RtA1OF中,cos 30=A1FOA1,A1F=OA1cos 30=3032=153 cm,B1E1=B1M+ME1=B1M+A1F=(15+153)cm,BE-B1E1=(153+30)-(15+153)=15(cm).灯管末梢B的高度会降低15 cm.16.如图,正方形ABCD的边长为2,点E是射线AC上一动点(不与A,C重合),点F在正方形ABCD的外角平分线CM上,且CF=AE,连接BE,EF,下列说法:EFBE的值不随点E的运动而改变;当B,E,F三点共线时,CBF=22.5;当BEF是直角三角形时,CBF=67.5;当点E在线段AC上运动时,点C到直线EF的距离的最大
13、值为1.其中正确的是.(写出所有正确结论的序号)解析连接ED、DF,如图1所示:图1由正方形的对称性可知,BE=DE,CBE=CDE,四边形ABCD是正方形,AB=CD,BAC=45,点F是正方形ABCD外角平分线CM上一点,DCF=45,BAC=DCF,在ABE和CDF中,AB=CD,BAC=DCF,AE=CF,ABECDF(SAS),BE=DF,ABE=CDF,DE=DF,ABE+CBE=90,CDF+CDE=90,即EDF=90,EDF是等腰直角三角形,EF=2DE,EF=2BE,EFBE的值不随点E的运动而改变,正确;当B,E,F三点共线时,如图2所示:图2ECF=EDF=90,E,C
14、,F,D四点共圆,BFC=CDE,ABE=ADE,ABC=ADC=90,CDE=CBE,CBF=CFB,FCG=CBF+CFB=45,CBF=22.5,正确;BCF=BCD+DCF=135,在BCF中,CBFx-1.解析解不等式,得x3,解不等式,得x4,原不等式组的解集为3x4.19.(本小题满分8分)如图,在ABCD中,点E、F分别在边BC、AD上,且BE=DF.求证:BAE=DCF.证明四边形ABCD是平行四边形,AB=CD,B=D,在BAE和DCF中,AB=CD,B=D,BE=DF,BAEDCF(SAS),BAE=DCF.20.(本小题满分8分)如图,在ABC中,AB=AC,A=36.
15、(1)在AC边上求作一点D,使得BDCABC;(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)(2)在(1)的条件下,求证:点D为线段AC的黄金分割点.解析(1)作法一:如图1.点D为所求作的点.作法二:如图2.点D为所求作的点.作法三:如图3.点D为所求作的点. 图1 图2 图3(2)证明:BDCABC,BDAB=CDBC.根据(1)的作图方法,得BD=AD=BC.ACAD=ADCD.点D为线段AC的黄金分割点.21.(本小题满分8分)如图,在四边形ABCD中,AB=AC,ADB=90,过A,B,D三点的圆交BC边于点E.(1)求证:E是BC的中点;(2)若BC=2CD,求证:BCD=2ABD.证
16、明(1)连接AE.ADB=90,AB为圆的直径.AEB=90,AEBC.AB=AC,AE是ABC的中线,E是BC的中点.(2)连接DE.E是BC的中点,BC=2CE.BC=2CD,CE=CD,CDE=CED.四边形ADEB是圆的内接四边形,BAD+BED=180.CED+BED=180,BAD=CED.ABD=90-BAD,BCD=180-CED-CDE=180-2BAD,BCD=2ABD.22.(本小题满分10分)在两周内,某水果店标价为10元/斤的某种水果经过两次降价后的价格为8.1元/斤,并且两次降价的百分率相同.(1)求该水果每次降价的百分率;(2)从第一次降价的第1天算起,第x天(x
17、为整数)的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如下表所示.时间x(天)1x99x15售价(元/斤)第1次降价后的价格第2次降价后的价格销量(斤)80-3x120-x储存和损耗费用(元)40+3x3x2-64x+400已知该水果的进价为4.1元/斤,设销售该水果第x天的利润为y元,求y与x(1x15)之间的函数解析式,并求出第几天的销售利润最大.解析(1)设该水果每次降价的百分率是m,依题意得,10(1-m)2=8.1,解得m=10%或m=190%(不合题意,舍去).答:该水果每次降价的百分率是10%.(2)当1x9时,第1次降价后的价格为10(1-10%)=9元,y=(9-4.1)(80-3x
18、)-(40+3x)=-17.7x+352,-17.70,y随x的增大而减小,当x=1时,y有最大值,y最大=-17.7+352=334.3,当9x15时,第2次降价后的价格为8.1元,y=(8.1-4.1)(120-x)-(3x2-64x+400)=-3x2+60x+80=-3(x-10)2+380,-3130 000,所以该等级划分不符合工厂要求.将平均每天生产19个以下(含19个)的工人确定为普工,平均每天生产28个以上(含28个)的工人确定为技术能手,其余的工人确定为熟练工.提示:根据题意,普工和技术能手的人数只能为8或9.由的等级划分知,工资总额超出340元,只需增加1名普工,减少1名
19、熟练工即可.24.(本小题满分12分)如图,在正方形ABCD中,AB=4,点P、Q分别是AD、AC上的点.(1)填空:AC=;(2)若AP=3PD,且点A关于PQ的对称点A落在CD边上,求tanAQC的值;(3)设AP=a,直线PQ交直线BC于点T,求APQ与CTQ面积之和S的最小值(用含a的代数式表示).解析(1)42.(2)点A与点A关于PQ对称,APQ与APQ关于PQ对称,DAC=QAP=QCD=45,AP=PA.QAD=QAP+PAD,QAD=QCD+AQC,PAD=AQC.AB=4,AP=3PD,PD=1,AP=PA=3.在RtPDA中,由勾股定理得AD=22,tanAQC=tanP
20、AD=122=24.(3)过点Q作直线MNAD于点M,交BC于点N,则MNBC.APCT,APQCTQ,APCT=QMQN.设QM=h,则QN=4-h,aCT=h4-h,CT=a(4-h)h,S=12ah+12a(4-h)h(4-h),即 S=12ah+a(4-h)22h,整理得ah2-(4a+S)h+8a=0(*),关于h的一元二次方程(*)有实根,=-(4a+S)2-4a8a0,即(4a+S)232a2,又4a+S0,4a+S42a,S(42-4)a,当S=(42-4)a时,由方程(*)可得h=22,满足题意.故当h=22时,APQ与CTQ面积之和S的最小值为(42-4)a.25.(本小题
21、满分14分)抛物线y=ax2+bx+c(a0)经过点A(-4,0)和点B5,94.(1)求证:a+b=14;(2)若抛物线经过点C(4,0).(i)点D在抛物线上,且点D在第二象限,并满足ABD=2BAC,求点D的坐标;(ii)直线y=kx-2(k0)与抛物线交于M,N两点(点M在点N的左侧),点P是直线MN下方的抛物线上的一点,点Q在y轴上,且四边形MPNQ是平行四边形,求点Q的坐标.解析(1)证明:抛物线y=ax2+bx+c(a0)经过点A(-4,0)和点B5,94,16a-4b+c=0,25a+5b+c=94,-,得9a+9b=94.a+b=14.(2)(i)抛物线经过点A(-4,0)和
22、点C(4,0),抛物线的对称轴为y轴,b=0.a=14,c=-4,抛物线的表达式为y=14x2-4,设直线BD与x轴的交点为E,ABD=2BAC,ABD=BAC+BEA,BAC=BEA,BA=BE,由A(-4,0),B5,94可知E点的坐标为(14,0).设直线BE的表达式为y=k1x+t,则14k1+t=0,5k1+t=94,解得k1=-14,t=72,直线BE的表达式为y=-14x+72.由-14x+72=14x2-4,得x1=5,x2=-6.x=-6时,-14x+72=5.点D的坐标为(-6,5).(ii)由(i)知抛物线的表达式为y=14x2-4.由y=14x2-4,y=kx-2,得x1=2k-2k2+2,y1=2k2-2kk2+2-2,x2=2k+2k2+2,y2=2k2+2kk2+2-2,点M在点N的左侧,M(2k-2k2+2,2k2-2kk2+2-2),N(2k+2k2+2,2k2+2kk2+2-2).设P的坐标为p,14p2-4,Q的坐标为(0,q),四边形MPNQ是平行四边形,MQNP,MQ=NP.xQ-xM=xN-xP,yQ-yM=yN-yP,0-(2k-2k2+2)=2k+2k2+2-p,q-(2k2-2kk2+2-2)=2k2+ 2kk2+2-2-14p2-4,p=4k,q=4k2-14p2.q=4k2-14(4k)2=0.点Q的坐标为(0,0).