1、第 12 讲 二次函数及其应用一、选择题1(2017哈尔滨 )抛物线 y (x )23 的顶点坐标是 ( B )35 12A( ， 3) B( ，3)12 12C( ，3) D( ，3)12 122(2017宁波 )抛物线 yx 22xm 22(m 是常数)的顶点在( A )A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限3(2017宿迁 )将抛物线 yx 2 向右平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位，所得抛物线相应的函数表达式是( C )Ay(x2) 21 By(x2) 2 1Cy(x2) 21 Dy(x2) 214(2017金华 )对于二次函数 y(x1) 22 的图象与性质，下列说法正确
2、的是( B )A对称轴是直线 x1，最小值是 2B对称轴是直线 x1，最大值是 2C对称轴是直线 x1，最小值是 2D对称轴是直线 x1，最大值是 25(2017兰州 )下表是一组二次函数 yx 23x5 的自变量 x 与函数值 y 的对应值：x 1 1.1 1.2 1.3 1.4y 1 0.49 0.04 0.59 1.16那么方程 x2 3x50 的一个近似根是 ( C )A1 B1.1C1.2 D1.36(2017连云港 )已知抛物线 yax 2(a0)过 A(2，y 1)，B(1，y 2)两点，则下列关系式一定正确的是( C )Ay 10y2 By 20y1Cy 1y20 Dy 2y1
3、07(2017陕西 )已知抛物线 yx 22mx4(m0) 的顶点 M 关于坐标原点 O 的对称点为 M，若点 M在这条抛物线上，则点 M 的坐标为( C )A(1， 5) B(3，13)C(2，8) D(4，20)8(2017新乡一模 )如图是二次函数 yax 2bxc 的部分图象，由图象可知不等式 ax2bx c0 的解集是( A )A1x 5 Bx5 Cx1 Dx1 或 x59(2017苏州 )若二次函数 yax 21 的图象经过点( 2,0)，则关于 x 的方程a(x2) 210 的实数根为 ( A )Ax 10，x 24 Bx 12，x 26Cx 1 ，x 2 Dx 14，x 203
4、2 5210(2017威海 ) 已知二次函数 yax 2bx c(a 0)的图象如图所示，则正比例函数 y(bc )x 与反比例函数 y 在同一坐标系中的大致图象是( a b cxC )11(2017南充 ) 二次函数 yax 2bxc (a，b，c 是常数，且 a0)的图象如图所示，下列结论错误的是( D )A4acb 2 Babc0Cb c3a Dab第 11 题图 第 12 题图12(2017盐城 ) 如图，将函数 y (x2) 21 的图象沿 y 轴向上平移得到新函12数的图象，其中点 A(1， m)，B (4，n)平移后的对应点分别为点 A，B.若曲线段 AB 扫过的面积为 9(图中
5、的阴影部分) ，则新图象的函数表达式是 ( D )Ay (x 2)22 By (x2) 2712 12Cy (x2) 25 Dy (x2) 2412 12二、填空题13(2017邵阳 )若抛物线 yax 2bxc 的开口向下，则 a 的值可能是 1 .(写一个即可)14(2017青岛 )若抛物线 yx 26xm 与 x 轴没有交点，则 m 的取值范围是 m9 .15(2017百色 )经过 A(4,0)，B(2,0)，C(0,3)三点的抛物线解析式是 y x2 x3 .38 3416(2017咸宁 )如图，直线 ymxn 与抛物线 y ax2bxc 交于 A(1，p)，B(4，q)两点，则关于
6、x 的不等式 mxnax 2bxc 的解集是 x1 或x4 .17(2017衡阳 )已知函数 y(x1) 2 图象上两点 A(2，y 1)，B(a，y 2)，其中a2，则 y1 与 y2 的大小关系是 y1 y 2(填“” “”或“”)18(2017牡丹江 )若将图中的抛物线 yx 22xc 向上平移，使它经过点(2,0)，则此时的抛物线位于 x 轴下方的图象对应 x 的取值范围是 0x2 .第 18 题图 第 19 题图19(2017兰州 )如图，若抛物线 yax 2bxc 上的 P(4,0)，Q 两点关于它的对称轴 x1 对称，则 Q 点的坐标为 (2,0) .三、解答题20(2017十堰
7、 )某超市销售一种牛奶，进价为每箱 24 元，规定售价不低于进价现在的售价为每箱 36 元，每月可销售 60 箱市场调查发现：若这种牛奶的售价每降价 1 元，则每月的销量将增加 10 箱，设每箱牛奶降价 x 元(x为正整数)，每月的销量为 y 箱(1)写出 y 与 x 之间的函数关系式和自变量 x 的取值范围；(2)超市如何定价才能使每月销售牛奶的利润最大？并求出这个最大利润解：(1)根据题意，得 y6010x，由 36x24 得 x12，y6010 x(1x12，且 x 为正整数)；(2)设所获利润为 W 元，则 W (36 x24)(10x60)10x 260 x72010( x3) 28
8、10.100，当 x3 时， W 取得最大值 810.即每箱牛奶定价 36333(元)时获得最大利润答：超市定价为 33 元时，才能使每月销售牛奶的利润最大，最大利润是810元21(2017南京 )已知函数 yx 2(m1)x m(m 为常数)(1)该函数的图象与 x 轴的公共点的个数是( )A0 B1 C2 D1 或 2(2)求证：不论 m 为何值，该函数的图象的顶点都在函数 y(x1) 2 的图象上(3)当2m 3 时，求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围(1)D(2)证明：yx 2(m1)xm(x )2 ，m 12 m 124该函数图象的顶点坐标为( ， )m 12 m 124把 x 代
9、入 y(x1) 2 , 得 y( 1) 2 ，m 12 m 12 m 124不论 m 为何值，该函数图象的顶点都在函数 y(x1) 2 的图象上；(3)解：设函数图象的顶点的纵坐标为 z，则有z ，m 124当 m1 时，z 有最小值 0；当 m1 时，z 随 m 的增大而减小；当 m1 时，z 随 m 的增大而增大又当 m2 时，z ；14当 m3 时，z4，当2m3 时，该函数图象的顶点的纵坐标的取值范围是 0z4.一、选择题1(2017达州 ) 已知二次函数 yax 2bxc 的图象如下，则一次函数yax2b 与反比例函数 y 在同一平面直角坐标系中的图象大致是 ( C )cx2(201
10、7扬州 )如图，已知ABC 的顶点坐标分别为 A(0,2)，B(1,0)，C(2,1)，若二次函数 y x2bx1 的图象与阴影部分(含边界)一定有公共点，则实数 b的取值范围是( C )Ab2 Bb2Cb 2 Db2第 2 题图 第 3 题图3(2017日照 ) 已知抛物线 yax 2bxc( a0) 的对称轴为直线 x2，与 x 轴的一个交点坐标为(4,0)，其部分图象如图所示，下列结论：抛物线过原点；4abc 0；ab c0；抛物线的顶点坐标为 (2，b)；当 x2时，y 随 x 的增大而增大其中结论正确的是 ( C )A BC D4(2017徐州 )若函数 yx 22xb 的图象与坐标
11、轴有三个交点，则 b 的取值范围是 ( A )Ab1 且 b0 Bb1C0 b1 Db15(2017绵阳 )将二次函数 yx 2 的图象先向下平移 1 个单位，再向右平移 3 个单位，得到的图象与一次函数 y2x b 的图象有公共点，则实数 b 的取值范围是( D )Ab8 Bb8Cb 8 Db86(2017泸州 ) 已知抛物线 y x21 具有如下性质：该抛物线上任意一点到14定点 F(0,2)的距离与到 x 轴的距离始终相等如图，点 M 的坐标为( ，3) ，3P 是抛物线 y x21 上一个动点，则PMF 周长的最小值是( C )14A3 B4 C5 D67(2017临沂 )足球运动员将
12、足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度 h(单位：m)与足球被踢出后经过的时间 t(单位：s)之间的关系如下表：t 0 1 2 3 4 5 6 7 h 0 8 14 18 20 20 18 14 下列结论：足球距离地面的最大高度为 20 m； 足球飞行路线的对称轴是直线 t ；足球被踢出 9 s 时落地；足球被踢出 1.5 s 时，距离地面92的高度是 11 m其中正确结论的个数是( B )A1 B2 C3 D4二、填空题8(2017 乌鲁木齐 )如图，抛物线 yax 2bx c 过点( 1,0)，且对称轴为直线x1，有下列结论： ab
13、c0；10a3bc0；抛物线经过点(4，y 1)与点( 3，y 2)，则 y1y 2；无论 a，b，c 取何值，抛物线都经过同一个点( ， 0)； am2bma0，其中所有正确的结论是 .ca9(2017鄂州 )已知正方形 ABCD 中 A(1,1)，B(1，2)，C(2,2)，D (2,1)，有一抛物线 y(x 1)2 向下平移 m 个单位(m0)与正方形 ABCD 的边(包括四个顶点) 有交点，则 m 的取值范围是 2m8 .10(2017河北 )对于实数 p，q，我们用符号 minp，q表示 p，q 两数中较小的数，如 min1，21，因此，min ， ；若 min(x1)2 3 32，
14、x 21，则 x 2 或1 .三、解答题11(2017湖州 )湖州素有鱼米之乡之称，某水产养殖大户为了更好地发挥技术优势，一次性收购了 20 000 kg 淡水鱼，计划养殖一段时间后再出售已知每天放养的费用相同，放养 10 天的总成本为 30.4 万元；放养 20 天的总成本为 30.8 万元(总成本放养总费用收购成本)(1)设每天的放养费用是 a 万元，收购成本为 b 万元，求 a 和 b 的值；(2)设这批淡水鱼放养 t 天后的质量为 m(kg)，销售单价为 y 元/kg. 根据以往经验可知：m 与 t 的函数关系为 mError!；y 与 t 的函数关系如图所示分别求出当 0t50 和
15、50180 000，W 的最大值为 180 250.答：当 t 为 55 时，W 最大，最大值为 180 250 元12(2017安徽 )某超市销售一种商品，成本每千克 40 元，规定每千克售价不低于成本，且不高于 80 元经市场调查，每天的销售量 y(千克)与每千克售价x(元) 满足一次函数关系，部分数据如下表：售价 x(元/ 千克) 50 60 70销售量 y(千克 ) 100 80 60(1)求 y 与 x 之间的函数表达式；(2)设商品每天的总利润为 W(元)，求 W 与 x 之间的函数表达式(利润收入成本) ；(3)试说明(2)中总利润 W 随售价 x 的变化而变化的情况，并指出售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？解：(1)设 y 与 x 之间的函数表达式为 ykx b，将(50,100)， (60,80)代入 ykxb，得Error!解得Error!y 与 x 之间的函数表达式为 y2x200(40x80)；(2) 根据题意，得 W(x40)(2x200) 2x 2280x8 000(40x80)；(3)W2x 2 280x8 0002( x70) 21 800(40 x80)20，当 x70 时， W 取得最大值 1 800.答：当售价为 70 元/千克时，获得最大利润，最大利润为 1 800 元