1、第 20 讲 特殊的平行四边形一、选择题1(2017兰州 )如图，矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，ADB 30 ，AB4，则 OC( B )A5 B4 C3.5 D32(2017上海 )已知平行四边形 ABCD，AC，BD 是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是( C )ABACDCA BBAC DAC C BACABD DBACADB3(2017益阳 )下列性质中菱形不一定具有的性质是( C )A对角线互相平分B对角线互相垂直C对角线相等 D既是轴对称图形又是中心对称图形4(2017海南 )如图，在菱形 ABCD 中，AC8， BD6，则AB
2、C 的周长是( C )A14 B16 C18 D20第 4 题图 第 5 题图5(2017聊城 )如图，ABC 中，DEBC，EFAB，要判定四边形 DBFE 是菱形，还需要添加的条件是( D )AABAC BADBD CBEAC DBE 平分ABC6(2017绍兴 )在探索“尺规三等分角”这个数学名题的过程中，曾利用了如图该图中，四边形 ABCD 是矩形，E 是 BA 延长线上一点，F 是 CE 上一点，ACFAFC，FAE FEA.若ACB 21，则ECD 的度数是( C )A7 B21 C23 D247(2017黔东南州 )如图，正方形 ABCD 中，E 为 AB 中点，FEAB，AF
3、2AE，FC 交 BD 于 O，则DOC 的度数为( A )A60 B67.5 C75 D54第 6 题图 第 7 题图二、填空题8(2017菏泽 )菱形 ABCD 中，A60 ，其周长为 24 cm，则菱形的面积为 18 cm 2.39(2017孝感 )如图，四边形 ABCD 是菱形，AC 24，BD10，DHAB 于点H，则线段 BH 的长为 .5013第 9 题图 第 10 题图10(2017六盘水 )如图，在正方形 ABCD 中，等边三角形 AEF 的顶点 E，F 分别在边 BC 和 CD 上，则AEB 75 度11(2017兰州 )在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD
4、相交于点 O，要使四边形 ABCD 是正方形，还需添加一组条件下面给出了四组条件：ABAD，且 ABAD；ABBD，且 ABBD；OBOC，且OBOC；AB AD，且 ACBD .其中正确的序号是 .12(2017哈尔滨 )如图，在矩形 ABCD 中，M 为 BC 边上一点，连接 AM，过点 D 作 DEAM ，垂足为 E.若 DEDC1，AE 2EM，则 BM 的长为 .255三、解答题13(2017安顺 )如图，DBAC，且 DB AC，E 是 AC 的中点12(1)求证：BC DE；(2)连接 AD，BE ，若要使四边形 DBEA 是矩形，则应给 ABC 添加什么条件，为什么？(1)证明
5、：E 是 AC 的中点，ECAE AC.12DB AC，12DB EC.又DB EC，四边形 DBCE 是平行四边形，BCDE.(2)解：添加 ABBC(或AC)理由如下：如解图所示由(1)知 DBAE ，DB AE，四边形 DBEA 是平行四边形BCDE，AB BC，ABDE.平行四边形 DBEA 是矩形14(2017北京 )如图，在四边形 ABCD 中，BD 为一条对角线，ADBC，AD 2BC ，ABD 90 ，E 为 AD 的中点，连接 BE.(1)求证：四边形 BCDE 为菱形；(2)连接 AC，若 AC 平分BAD ，BC 1，求 AC 的长(1)证明：AD2BC，E 为 AD 的
6、中点，DE BC.AD BC，四边形 BCDE 为平行四边形ABD90，AEDE，BEDE，四边形 BCDE 为菱形；(2)解：如解图所示AD BC，AC 平分BAD，BACDACBCA，ABBC1.AD 2BC2，ABD90，sin ADB ，ABAD 12ADB30，DAC30 ，ADC 60，ACD90.在 Rt ACD 中，AD2，CD1，由勾股定理得 AC .AD2 CD2 22 12 315(2017陕西 )如图，在正方形 ABCD 中，E，F 分别为边 AD 和 CD 上的点，且 AECF，连接 AF，CE 交于点 G.求证：AGCG.证明：四边形 ABCD 是正方形，ADF C
7、DE90，ADCD.AECF，DE DF，ADF CDE(SAS)，DAF DCE.在AGE 和 CGF 中，Error!AGE CGF(AAS)，AG CG.16如图，AD 是ABC 的中线，AEBC，BE 交 AD 于点 F，且 AFDF.(1)求证：四边形 ADCE 是平行四边形；(2)当 AB，AC 之间满足_时，四边形 ADCE 是矩形；(3)当 AB，AC 之间满足_时，四边形 ADCE 是正方形(1)证明：AD 是ABC 的中线，BD CD.AEBC，AEF DBF，在AFE 和 DFB 中，Error!AFE DFB(AAS)，AEDB，AECD.AEBC，即 AECD，四边形
8、 ADCE 是平行四边形；(2)解：ABAC；【提示】 四边形 ADCE 是矩形，ADC90.AD 是ABC 的中线，BD CD，易证ADB ADC(SAS)，AB AC.(3)解：ABAC，AB AC .【提示】 四边形 ADCE 是正方形，ADC90 ，ADCD，ACD45.AD 是ABC 的中线，BDCD ，易证ADB ADC(SAS)， ABAC，ABCACD45， BAC90 ，即 ABAC .17(2017青岛 )已知：如图，在菱形 ABCD 中，点 E，O ，F 分别为AB，AC，AD 的中点，连接 CE，CF，OE，OF.(1)求证：BCEDCF；(2)当 AB 与 BC 满足
9、什么关系时，四边形 AEOF 是正方形？请说明理由(1)证明：四边形 ABCD 是菱形，BD ，AB BC DCAD.点 E，F 分别为 AB，AD 的中点，AEBEDFAF.在BCE 和DCF 中，Error!BCEDCF(SAS)；(2)解：当 ABBC 时，四边形 AEOF 是正方形理由如下：E，O 分别是 AB，AC 的中点，OE 是 ABC 的中位线，OE BC.又BCAD，OE AD ，即 OEAF，同理可证 OFAE ，四边形 AEOF 是平行四边形由(1)可得 AEAF，平行四边形 AEOF 为菱形ABBC，BAD 90，菱形 AEOF 是正方形一、选择题1(2017绵阳 )如
10、图，矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，过点 O 作 BD的垂线分别交 AD，BC 于 E，F 两点若 AC2 ，AEO120，则 FC3的长度为( A )A1 B2 C. D.2 3第 1 题图 第 2 题图2(2017河北 )求证：菱形的两条对角线互相垂直已知：如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC，BD 交于点 O.求证：ACBD.以下是排乱的证明过程：又 BODO；AO BD，即 ACBD ；四边形 ABCD 是菱形；ABAD.证明步骤正确的顺序是( B )A B C D3(2017苏州 )如图，在菱形 ABCD 中，A60，AD8，F 是 AB 的中点过点 F
11、 作 FEAD，垂足为 E.将AEF 沿点 A 到点 B 的方向平移，得到AEF .设 P，P分别是 EF，EF 的中点，当点 A与点 B 重合时，四边形 PPCD 的面积为( A )A28 B243 3C32 D32 83 3第 3 题图 第 4 题图4(2017泰安 )如图，四边形 ABCD 是平行四边形，点 E 是边 CD 上一点，且BCEC，CFBE 交 AB 于点 F，P 是 EB 延长线上一点，下列结论：BE平分CBF；CF 平分DCB；BCFB；PFPC .其中正确结论的个数为( D )A1 B2 C3 D45(2017广东 )如图，已知正方形 ABCD，点 E 是 BC 边的中
12、点，DE 与 AC 相交于点 F，连接 BF，下列结论： S ABF S ADF ；S CDF 4S CEF ；S ADF 2SCEF ；S ADF 2S CDF .其中正确的是( C )A B C D二、填空题6(2017怀化 )如图，在菱形 ABCD 中，ABC120，AB10 cm，点 P 是这个菱形内部或边上的一点，若以 P，B，C 为顶点的三角形是等腰三角形，则 P，A (P，A 两点不重合 )两点间的最短距离为 (10 10) cm.3三、解答题7(2017广东 )如图所示，已知四边形 ABCD，ADEF 都是菱形，BADFAD ，BAD 为锐角(1)求证：ADBF ；(2)若 B
13、FBC，求ADC 的度数(1)证明：连接 DB，DF，如解图所示四边形 ABCD，ADEF 都是菱形，ABBCCDDA，ADDE EFFA.在BAD 与 FAD 中，Error!BAD FAD(ASA)，DB DF，点 D 在线段 BF 的垂直平分线上ABAF，点 A 在线段 BF 的垂直平分线上，AD 是线段 BF 的垂直平分线，AD BF；(2)解：设 ADBF 于点 H，过点 D 作 DGBC 于点 G，如解图所示，则四边形 BGDH 是矩形DGBH BF.12BFBC，BCCD，DG CD.12在 Rt CDG 中，CGD 90 ，DG CD，12C 30.BCAD，ADC180 C1
14、50.8如图，正方形 ABCD 的边长为 4 cm，两动点 P，Q 分别同时从 D，A 出发，以 1 cm/s 的速度各自沿着 DA，AB 边向 A，B 运动(不与端点 D，A，B 重合)试解答下列各题：(1)当 P 出发_s 时，PDO 为等腰三角形；(2)当 P，Q 出发_s 时，四边形 PDOQ 为平行四边形；当 P，Q 出发_s 时，四边形 APOQ 为正方形解：(1)2 或 2 ；2【提示】 设当 P 出发 t s 时，PDO 为等腰三角形，有 PDPO，OPOD，DP DO 三种情况当 PDPO 时，四边形 ABCD 是正方形，AODO，ADB 45，POD45，DPO90，即 O
15、PAD，DPAP AD2，t 2；当 OPOD 时，此时点 P 与点 A 重合，不符12 21合题意，此种情况不存在；当 DPDO 时，在 RtABD 中，BDAB2 AD24 ，DPDO BD2 ，t 2 ；212 2 221 2(2)2；【提示】 设当 P，Q 出发 t s 时，四边形 PDOQ 为平行四边形四边形ABCD 是正方形，BAD90，BAO45，点 O 是 BD 的中点四边形 PDOQ 为平行四边形，OQPD，AQO90，AQO 是等腰直角三角形，AQOQ.OQAD，点 O 是 BD 的中点，AQ OQ AD122，t 2；212.【提示】 设当 P，Q 出发 t s 时，四边形 APOQ 为正方形四边形APOQ为正方形，APAQ .DP AQ，DPAP AD2，t 2.12 21