1、第 11 讲 反比例函数及其应用一、选择题1(2017郴州 )已知反比例函数 y 的图象过点 A(1，2)，则 k 的值为( C )kxA1 B2 C2 D12反比例函数 y 中常数 k 为 ( D )32xA3 B2 C D12 323(2017广东 ) 如图，在同一平面直角坐标系中，直线 yk 1x(k10)与双曲线y (k20)相交于 A，B 两点，已知点 A 的坐标为 (1,2)，则点 B 的坐标为( k2xA )A( 1，2) B(2，1)C(1，1) D(2，2)4(2017潍坊 )一次函数 yaxb 与反比例函数 y ，其中 ab1 Bk0 Ck 的解集mx mx为 ( B )A
2、x2Cx2Dx0， x0)的图象经过点 C，则 k 的值为 ( D ) kxA. B. C. D.33 32 233 3第 9 题图 第 10 题图10(2017海南 ) 如图，ABC 的三个顶点分别为 A(1,2)，B (4,2)，C (4,4)若反比例函数 y 在第一象限内的图象与 ABC 有交点，则 k 的取值范围是( kxC )A1k4 B2k8C2 k16 D8k16二、填空题11(2017绥化 ) 已知反比例函数 y ，当 x3 时，y 的取值范围是 0y2 .6x12(2017西宁 ) 如图，点 A 在双曲线 y (x0)上，过点 A 作 ACx 轴，垂3x足为 C，OA 的垂直
3、平分线交 OC 于点 B，当 AC 1 时，ABC 的周长为 1 .3第 12 题图 第 13 题图13(2017毕节 )如图，已知一次函数 ykx3(k 0)的图象与 x 轴，y 轴分别交于 A，B 两点，与反比例函数 y (x0)交于 C 点，且 ABAC，则 k 的值12x为 .3214(2017绍兴 )如图，RtABC 的两个锐角顶点 A，B 在函数 y (x0)的图象kx上，ACx 轴，AC2.若点 A 的坐标为(2,2) ，则点 B 的坐标为 (4,1) .15(2017黔东南州 )如图，已知点 A，B 分别在反比例函数 y1 和 y2 的2x kx图象上，若点 A 是线段 OB
4、的中点，则 k 的值为 8 .第 15 题图第 16 题图16(2017盐城 ) 如图，曲线 l 是由函数 y 在第一象限内的图象绕坐标原点6xO 逆时针旋转 45得到的，过点 A(4 ，4 )，B (2 ，2 )的直线与曲线2 2 2 2l 相交于点 M，N，则OMN 的面积为 8 .三、解答题17(2017百色 )已知反比例函数 y (k0) 的图象经过点 B(3,2)，点 B 与点 Ckx关于原点 O 对称，BA x 轴于点 A，CDx 轴于点 D.(1)求这个反比例函数的解析式；(2)求ACD 的面积解：(1)将 B(3,2)代入反比例函数的解析式中，得 2，k3解得 k6，反比例函数
5、的解析式为 y ；6x(2)由 B(3,2)，点 B 与点 C 关于原点 O 对称，得 C(3，2)由 BAx 轴于点 A，CDx 轴于点 D，得 A(3,0)，D(3,0)S ACD ADCD 3 (3) |2| 6.12 1218(2017北京 )如图，在平面直角坐标系 xOy 中，函数 y (x0)的图象与直kx线 yx2 交于点 A(3，m)(1)求 k，m 的值；(2)已知点 P(n，n)(n0)，过点 P 作平行于 x 轴的直线，交直线 yx 2 于点 M，过点 P 作平行于 y 轴的直线，交函数 y (x0)的图象于点 N.kx当 n1 时，判断线段 PM 与 PN 的数量关系，
6、并说明理由；若 PNPM，结合函数的图象，直接写出 n 的取值范围解：(1)将点 A(3，m)代入直线 yx2，得 m321，点 A 的坐标为(3,1) 将点 A(3,1)代入反比例函数 y ，得 1 ，kx k3解得 k3；(2)PMPN.理由如下：当 n1 时，P(1,1) 将 y1 代入 yx2 中，得 x3，M(3,1)，PM 2.将 x1 代入 y 中，得 y3，3xN(1,3) ，PN2，PMPN；0n1 或 n3.19(2017大连 ) 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 y 经过ABCD 的kx顶点 B，D.点 D 的坐标为(2,1)，点 A 在 y 轴上，且 ADx
7、轴，S ABCD5.(1)填空：点 A 的坐标为_ ；(2)求双曲线和 AB 所在直线的解析式解：(1)(0,1)；(2)设 BC 与 y 轴相交于点 E，如解图所示双曲线 y 经过点 D(2,1)，kxk21 2，双曲线的解析式为 y .2xD(2,1)，ADx 轴，AD 2.S ABCD5，AE ，52OE ，32B 点的纵坐标为 .32把 y 代入 y 中，得 ，32 2x 32 2x解得 x .43B( ， )43 32设 AB 所在直线的解析式为 yaxb，把 A(0,1)，B( ， )代入 yaxb 中，得Error!解得43 32Error!AB 所在直线的解析式为 y x1.1
8、58一、选择题1(2017凉山州 )已知抛物线 yx 22xm2 与 x 轴没有交点，则函数 y的大致图象是( C )mx2. 如图所示，在 RtAOB 中，AOB90，2OB3OA，点 A 在反比例函数 y 的图象上，若点 B 在反比例函数 y 的图象上，则 k 的值为( C )2x kxA3 B3C D92 94第 2 题图 第 3 题图3(2017威海 )如图，正方形 ABCD 的边长为 5，点 A 的坐标为(4,0)，点 B在 y 轴上，若反比例函数 y (k0)的图象过点 C，则该反比例函数的表达kx式为( A )Ay By3x 4xCy Dy5x 6x4(2017怀化 )如图，A，
9、B 两点在反比例函数 y 的图象上，C，D 两点在反k1x比例函数 y 的图象上， ACy 轴于点 E，BDy 轴于点k2xF，AC2，BD1，EF3，则 k1k 2 的值是( D )A6 B4 C3 D2第 4 题图 第 5 题图5(2017十堰 ) 如图，直线 y x6 分别交 x 轴，y 轴于 A，B，M 是反比例3函数 y (x0)的图象上位于直线上方的一点，MCx 轴交 AB 于kxC，MDMC 交 AB 于 D，ACBD 4 ，则 k 的值为 ( A )3A3 B4 C5 D6二、填空题6(2017孝感 )如图，在平面直角坐标系中，OA AB，OAB90，反比例函数 y (x0)的
10、图象经过 A，B 两点若点 A 的坐标为 (n,1)，则 k 的值为 kx.5 12第 6 题图 第 7 题图7(2017商丘一模 )已知双曲线 y 和 y 的部分图象如图所示，点 C 是 y 轴3x kx正半轴上一点，过点 C 作 ABx 轴分别交两个图象于点 A，B.若CB2CA，则 k 6 .8(2017湖州 ) 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 ykx (k0)分别交反比例函数 y 和 y 在第一象限的图象于点 A，B ，过点 B 作 BDx 轴1x 9x于点 D，交 y 的图象于点 C，连接 AC.若ABC 是等腰三角形，则 k 的值1x是 或 .377 155三、解答题
11、9(2017深圳 )如图，一次函数 ykxb 与反比例函数 y (x0)的图象交于mx点 A(2,4)，B(a,1) ，与 x 轴，y 轴分别交于点 C，D.(1)直接写出一次函数 ykxb 的表达式和反比例函数 y (x0)的表达mx式；(2)求证：ADBC.(1)解：一次函数的表达式为 y x5，12反比例函数的表达式为 y ；8x(2)证明：直线 AB 的表达式为 y x5，12C(10,0) ，D(0,5) 过点 A 作 AEy 轴于点 E，过点 B 作 BFx 轴于点 F，如解图所示E(0,4)，F(8,0)，AE2，DE1，BF 1，CF2.在 Rt ADE 中，根据勾股定理，得
12、AD .AE2 DE2 5在 Rt BCF 中，根据勾股定理，得BC .CF2 BF2 5AD BC.10(2017重庆 A 卷) 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 ymxn(m 0)的图象与反比例函数 y (k0)的图象交于第一、三象限内的 A，B 两点，kx与 y 轴交于点 C，过点 B 作 BMx 轴，垂足为点M，BMOM，OB2 ，点 A 的纵坐标为 4.2(1)求该反比例函数和一次函数的解析式；(2)连接 MC，求四边形 MBOC 的面积解：(1)由题意可得， BMOM，OB2 ，2BMOM2，点 B 的坐标为( 2， 2)将 B(2， 2)代入反比例函数的解析式 y (k 0)中
13、，kx得2 ，解得 k4.k 2反比例函数的解析式为 y .4x点 A 的纵坐标是 4，4 ，解得 x1，4x点 A 的坐标为(1,4) 一次函数 ymx n(m 0)的图象过点 A(1,4)，B(2，2)，Error!解得 Error!一次函数的解析式为 y2x 2；(2)直线 y2x2 与 y 轴交于点 C，点 C 的坐标为(0,2)OC2，S 四边形 MBOC OMOC2 OMMB2 4.222 22211(2017江西 ) 如图，直线 yk 1x(x0)与双曲线 y (x0)相交于点k2xP(2,4)已知点 A(4,0)，B(0,3)，连接 AB，将 RtAOB 沿 OP 方向平移，使
14、点 O 移动到点 P，得到APB .过点 A作 ACy 轴交双曲线于点 C.(1)求 k1 与 k2 的值；(2)求直线 PC 的表达式；(3)直接写出线段 AB 扫过的面积解：(1)将点 P(2,4)代入直线 yk 1x 中，得 42k 1，k 12.把点 P(2,4)代入双曲线 y 中，得 k2248；k2x(2)A(4,0)， B(0,3)，AO 4，BO3.延长 AC 交 x 轴于点 D，如解图所示由平移的性质可得，APAO4.又ACy 轴，P (2,4)，点 C 的横坐标为 246.当 x6 时， y ，即 C(6， )86 43 43设直线 PC 的表达式为 ykx b，将 P(2
15、,4)，C(6， )代入 ykx b 中，得43Error!解得Error!直线 PC 的表达式为 y x ；23 163(3)22.【提示】 延长 AC 交 x 轴于点 D，过 B作 BE y 轴于点 E，连接AA，BB，如解图所示由平移的性质可得，APAO.又ACy 轴，P (2,4)，点 A的纵坐标为 4，即 AD4.PBy 轴，P(2,4)，点 B的横坐标为 2，即 BE2.由平移的性质可得，AOBAPB ，平行四边形 ABBA的面积平行四边形 POBB的面积平行四边形AOPA的面积BOB EAOAD324 422.即线段 AB 扫过的面积为 22.12(2017宁夏 )直线 ykxb
16、 与反比例函数 y (x0) 的图象分别交于点6xA(m,3)和点 B(6，n) ，与坐标轴分别交于点 C 和点 D.(1)求直线 AB 的解析式；(2)若点 P 是 x 轴上一动点，当 COD 与ADP 相似时，求点 P 的坐标解：(1)ykxb 与反比例函数 y (x0)的图象分别交于点 A(m,3)和点6xB(6，n)，m2，n1，A(2,3)，B(6,1)将 A(2,3)，B(6,1)代入 ykx b，得Error!解得Error!直线 AB 的解析式为 y x4；12(2) COD 与ADP 相似， COD90，有APD 90和PAD90两种情况，如解图所示当APD 90时，x Px
17、 A，P(2,0)；当PAD 90时，直线 AB 的解析式为 y x4，12直线 PA 的解析式为 y2x1.在 y2x1 中，令 y0，解得 x ，12P( ，0)12综上所述，满足条件的点 P 的坐标为(2,0)或( ，0)1213(2017张掖 )已知一次函数 yk 1xb 与反比例函数 y 的图象交于第一象k2x限内的 P( ， 8)，Q(4，m)两点，与 x 轴交于 A 点12(1)分别求出这两个函数的表达式；(2)写出点 P 关于原点的对称点 P的坐标；(3)求PAO 的正弦值解：(1)把点 P( ，8)代入 y 中，得 k24，12 k2x反比例函数的表达式为 y ，4xQ (4,1)把 P( ，8)，Q (4,1) 代入 yk 1xb 中，12得Error!解得Error!一次函数的表达式为 y2x 9; (2)点 P 关于原点的对称点 P的坐标为( ，8) ；12(3)过点 P作 PDx 轴，垂足为 D，如解图所示P( ， 8)，12OD ，PD8.12直线 y 2x9 与 x 轴交于点 A，A( ，0)，即 OA ，92 92DA 5，PA .P D2 DA2 89sin PAD ，P DP A 889 88989sin PAO .88989