1、知识点第4讲 树形图一、 树形图法1、对某件事情过程的枚举，一般会用树形图法所谓树形图法就是用像树一样的、不断分叉的图来表示出所有的情况的方法2、画树形图与一棵树的生长过程类似，先从“树根”开始，然后不断长出新的“树枝”，每次长出新的“树枝”时都有可能产生分叉，最后长满了“叶子”这样一直下去把所有情况都画完，最后数一下“叶子”的数目即可二、 数字计数(三下)1、在涉及数字的枚举时，需要注意0不能在首位对于没有指定位数的问题，可以按位数分类枚举2、对于比较复杂的问题，如果直接枚举容易出现重复或者遗漏这时就需要先把所有情形分成若干小类，再针对每一小类进行枚举类与类之间有时会有很多相似性，如果能够合
2、理利用这些相似性，就可以大大减少枚举的工作量知识精讲 我们已经学过了枚举法，有时还需要先分类再按一定顺序进行枚举，接下来我们将学习如果对某件事情的过程进行枚举，一般会使用另一种方法：树形图法所谓树形图法就是用像树一样的、不断分叉的图来表示出所有情况的方法课堂例题一、 树形图法1、乌龟、兔子、米老鼠站成一排，如果乌龟不站在第1个，兔子不站在第2个，米老鼠不站在第3个请问：它们共有多少种不同的站法？2、小高、墨莫和萱萱玩传球游戏，每次持球人都可以把球传给另外两个人中的任何一人，先由小高拿球，第1次传球可以传给其他两个人中的任何一人，经过4次传球后，球又回到小高手上，请问：一共有多少种不同的传球过程
3、？3、旦旦和雁雁比赛羽毛球，约定五局三胜，如果最后旦旦获胜了，那么比赛的进程有_种可能4、5块六边形的地毯拼成了如图的形状，每块地毯上都有一个编号现在小高站在1号地毯上，他想要走到5号地毯上如果小高每次都只能走到和他相邻的地毯上(两个六边形如果有公共边就称为相邻)，并且只能向右边走，例如1235就是一种可能的走法请问：小高一共有多少种不同的走法？241355、有A、B、C三片荷叶，青蛙“呱呱”在荷叶A上，每次他都会从一片荷叶跳到另一片荷叶上，结果它跳了5次之后，还在荷叶A上请问：它一共有多少种不同的跳法？6、小高去参加“逗你玩”挑战赛，答错一道题可得1分，答对一题可得2分，小高每题都答了请问小
4、高恰好得5分的情况有多少种？二、 数字计数7、一个四位数，每一位上的数字都是0，1，2中的某一个，并且相邻的两个数字不相同，一共有多少个满足条件的四位数？8、王老师提着一个带密码锁的公文包，但是他忘记了密码，只记得密码是一个三位数，这个三位数的个位数字比十位数字大，十位数字比百位数字大，并且没有比5大的数字试问：王老师最多只需要试多少次就肯定能打开这个公文包？9、一个三位数，每一位上的数字都是0，6，7中的某一个，并且相邻的两个数字不相同，一共有多少个满足条件的三位数？随堂练习1、甲、乙、丙、丁4个人站队，站成一条直线，如果甲不站第1、2个，乙不站第2、3个，丙不站第3、4个，丁不站第4、1个
5、那么一共有多少种站队的方法？2、有A、B、C三片荷叶，青蛙“呱呱”在荷叶A上，每次他都会从一片荷叶跳到另一片荷叶上，结果它跳了3次之后，不在荷叶A上请问：它一共有多少种不同的跳法？3、一个三位数，每一位上的数字都是5，6，7中的某一个，并且相邻的两个数字不相同，一共有多少个满足条件的三位数？4、一个三位数，百位数字比十位数字大，十位数字比个位数字大，个位数字不小于5，那么这样的三位数一共有_个课后作业1、利用数字1、4、7能组成_个无重复数字的三位数2、由1、2能组成_个三位数3、由2、3、4各一个组成一个三位数，要求：百位不是2，十位不是3，个位不是4，则符合要求的三位数有_个4、粗心的卡莉
6、娅忘记了日记本的三位密码，只记得密码是由1、2、7三个数字中的某些数字构成的，且相邻的两个数字不一样，那么卡莉娅最多试_次就一定能打开日记本5、松鼠宝宝出去摘松果，每次出去都会摘回来1个松果或2个松果，那么松鼠宝宝恰好采4个松果有_种不同的过程6、甲、乙、丙三个人传球，从甲开始传球，每次拿球的人都把球传给剩下两个人中的一人，传了3次后球在丙的手上，那么一共有_种可能的传球过程7、甲、乙、丙三个人传球，从甲开始传球，每次拿球的人都把球传给剩下两个人中的一人，传了3次后球不在丙的手上，那么一共有_种可能的传球过程8、甲、乙比赛乒乓球，五局三胜已知甲胜了第1局，并最终获胜则一共有_种不同的比赛过程9
7、、小高、墨莫、卡莉娅三个人在打牌(每局只有一个人赢)一旦有人赢了2局就获胜，牌局结束最后小高赢了，则墨莫和卡莉娅两个人最多一共赢了_局10、甲、乙、丙、丁、戊按如下方式站成一圈传球，从甲开始，每次只能给相邻的人传球，传球4次后，球又回到甲的手里，请问：可能的传球过程有多少种？甲乙戊丙丁第4讲 树形图知识点三、 树形图法1、对某件事情过程的枚举，一般会用树形图法所谓树形图法就是用像树一样的、不断分叉的图来表示出所有的情况的方法2、画树形图与一棵树的生长过程类似，先从“树根”开始，然后不断长出新的“树枝”，每次长出新的“树枝”时都有可能产生分叉，最后长满了“叶子”这样一直下去把所有情况都画完，最后
8、数一下“叶子”的数目即可四、 数字计数(三下)1、在涉及数字的枚举时，需要注意0不能在首位对于没有指定位数的问题，可以按位数分类枚举2、对于比较复杂的问题，如果直接枚举容易出现重复或者遗漏这时就需要先把所有情形分成若干小类，再针对每一小类进行枚举类与类之间有时会有很多相似性，如果能够合理利用这些相似性，就可以大大减少枚举的工作量知识精讲 我们已经学过了枚举法，有时还需要先分类再按一定顺序进行枚举，接下来我们将学习如果对某件事情的过程进行枚举，一般会使用另一种方法：树形图法所谓树形图法就是用像树一样的、不断分叉的图来表示出所有情况的方法课堂例题三、 树形图法1、乌龟、兔子、米老鼠站成一排，如果乌
9、龟不站在第1个，兔子不站在第2个，米老鼠不站在第3个请问：它们共有多少种不同的站法？【答案】2【解析】因为乌龟不站在第一个，所以分兔子站第一个和米老鼠站第一个两种情况当兔子站第一个时，乌龟和米老鼠分别可以站第二个，但当乌龟站第二个，米老鼠站第三个时不成立，所以可得1种站法当米老鼠站第一个时，只能乌龟站第二个，兔子站第三个，可得1种站法综上，共2种站法米老鼠乌龟兔子兔子乌龟米老鼠乌龟2、小高、墨莫和萱萱玩传球游戏，每次持球人都可以把球传给另外两个人中的任何一人，先由小高拿球，第1次传球可以传给其他两个人中的任何一人，经过4次传球后，球又回到小高手上，请问：一共有多少种不同的传球过程？【答案】6【
10、解析】如下图，每次可以传给除自己外的两人，画出树形图，可得6种不同的传球过程小高墨莫萱萱小高萱萱小高墨莫小高墨莫小高萱萱墨莫萱萱墨莫萱萱小高小高小高小高小高小高3、旦旦和雁雁比赛羽毛球，约定五局三胜，如果最后旦旦获胜了，那么比赛的进程有_种可能【答案】10【解析】把每局比赛的结果用树形图表示出来可以看出，比赛进程有10种可能旦旦雁雁旦旦旦旦旦旦雁雁旦旦雁雁旦旦旦旦雁雁旦旦旦旦雁雁旦旦旦旦旦旦旦旦旦旦旦旦雁雁雁雁旦旦旦旦雁雁雁雁旦旦旦旦4、5块六边形的地毯拼成了如图的形状，每块地毯上都有一个编号现在小高站在1号地毯上，他想要走到5号地毯上如果小高每次都只能走到和他相邻的地毯上(两个六边形如果有公
11、共边就称为相邻)，并且只能向右边走，例如1235就是一种可能的走法请问：小高一共有多少种不同的走法？24135【答案】5【解析】画出树形图，可知共有5种不同的走法1233445455555、有A、B、C三片荷叶，青蛙“呱呱”在荷叶A上，每次他都会从一片荷叶跳到另一片荷叶上，结果它跳了5次之后，还在荷叶A上请问：它一共有多少种不同的跳法？【答案】10【解析】画出树形图，可知，一共有10种不同的跳法AACBCABBACABABCACAAAAABBCACCACABABCABAAAA6、小高去参加“逗你玩”挑战赛，答错一道题可得1分，答对一题可得2分，小高每题都答了请问小高恰好得5分的情况有多少种？【
12、答案】8【解析】画出树形图，可知共有8种恰好得5分的情况1212121121111212211四、 数字计数7、一个四位数，每一位上的数字都是0，1，2中的某一个，并且相邻的两个数字不相同，一共有多少个满足条件的四位数？【答案】16【解析】如下图，分首位为1或2，画出树形图，可得16个满足条件的四位数1201120212020102102120112020108、王老师提着一个带密码锁的公文包，但是他忘记了密码，只记得密码是一个三位数，这个三位数的个位数字比十位数字大，十位数字比百位数字大，并且没有比5大的数字试问：王老师最多只需要试多少次就肯定能打开这个公文包？【答案】10次【解析】个位比十
13、位大，十位比百位大，那么就是百位数字最小，而且百位不可能为0则把百位作为树根来画树形图，要满足每个后一位上的数要比它前一位上面的数大5551343244553424543按照从左到右的顺序就可以依次的读出每个可能的答案比如在第一个树形图中，从上到下分别是：123、124、125；134、135；145接下来的两个树形图中的数分别是：234、235；245所以最多只需试10次就能打开公文包9、一个三位数，每一位上的数字都是0，6，7中的某一个，并且相邻的两个数字不相同，一共有多少个满足条件的三位数？【答案】8【解析】分首位为6或7，画出树形图，可知共有8和满足条件的三位数607670670667
14、07随堂练习1、甲、乙、丙、丁4个人站队，站成一条直线，如果甲不站第1、2个，乙不站第2、3个，丙不站第3、4个，丁不站第4、1个那么一共有多少种站队的方法？【答案】2【解析】因为甲和丁不站第一个，所以分乙和丙站第一位如果乙站第一位，则第二位可以为丙或丁如果第二位为丙，则第三位为甲或丁，但第三位为甲时，第四位不能为丁，不成立，所以可得1种站法如果第二位为丁，则第三位为甲，第四位不能为丙，不成立那么乙站第一位时，可得1种站法如果丙站第一位，则只能丁站第二位，甲站第三位，乙站第四位，可得1种站法综上，共有2种站法乙丙丁甲甲丁甲丙丁甲乙2、有A、B、C三片荷叶，青蛙“呱呱”在荷叶A上，每次他都会从一
15、片荷叶跳到另一片荷叶上，结果它跳了3次之后，不在荷叶A上请问：它一共有多少种不同的跳法？【答案】6【解析】如下图，每次可以跳到其他两片叶中的一片，画出树形图，可知一共有6种不同的跳法ABCACABBCBCBC3、一个三位数，每一位上的数字都是5，6，7中的某一个，并且相邻的两个数字不相同，一共有多少个满足条件的三位数？【答案】12【解析】如下图，分首位为5、6或7，画出树形图，可得12个满足条件的三位数5675756576756656675774、一个三位数，百位数字比十位数字大，十位数字比个位数字大，个位数字不小于5，那么这样的三位数一共有_个【答案】10【解析】通过树形图画出所有可能的情况
16、，依次写出个位、十位、百位数字可知，共有10个这样的三位数8795687989768989789课后作业1、利用数字1、4、7能组成_个无重复数字的三位数【答案】6【解析】按顺序枚举，可以组成147、174、417、471、714、741共6个无重复数字的三位数2、由1、2能组成_个三位数【答案】8【解析】如下图，分首位为1或2，画出树形图，可得8个满足条件的三位数112121212121223、由2、3、4各一个组成一个三位数，要求：百位不是2，十位不是3，个位不是4，则符合要求的三位数有_个【答案】2【解析】因为百位不是2，所以分百位为3或4如果百位为3，则十位为2或4但当十位为2时，个位
17、为4不成立，所以有1个如果百位为4，则十位只能为2，个位为3，有一个符合要求的三位数综上，共有2个符合要求的三位数3242432324、粗心的卡莉娅忘记了日记本的三位密码，只记得密码是由1、2、7三个数字中的某些数字构成的，且相邻的两个数字不一样，那么卡莉娅最多试_次就一定能打开日记本【答案】12【解析】画出树形图，可得如下12种符合条件的密码，所以卡莉娅最多试12次就一定能打开日记本1712172271227172172715、松鼠宝宝出去摘松果，每次出去都会摘回来1个松果或2个松果，那么松鼠宝宝恰好采4个松果有_种不同的过程【答案】5【解析】分第一次采1个和2个两种情况，画出树形图，可得5
18、种不同的过程221111212116、甲、乙、丙三个人传球，从甲开始传球，每次拿球的人都把球传给剩下两个人中的一人，传了3次后球在丙的手上，那么一共有_种可能的传球过程【答案】3【解析】从甲开始，每次都把球传给剩下两人中的一个，画出树形图，可得如下3种可能得传球过程甲乙丙甲丙甲乙丙丙丙7、甲、乙、丙三个人传球，从甲开始传球，每次拿球的人都把球传给剩下两个人中的一人，传了3次后球不在丙的手上，那么一共有_种可能的传球过程【答案】5【解析】从甲开始，每次都把球传给剩下两人中的一个，画出树形图，可得如下5种可能得传球过程甲乙丙甲丙甲乙乙甲乙甲乙8、甲、乙比赛乒乓球，五局三胜已知甲胜了第1局，并最终获
19、胜则一共有_种不同的比赛过程【答案】6【解析】甲胜了第1局，并最终获胜，则说明甲先胜3局，可得如下6种不同的比赛过程甲甲乙甲乙甲乙乙甲甲甲甲甲乙甲9、小高、墨莫、卡莉娅三个人在打牌(每局只有一个人赢)一旦有人赢了2局就获胜，牌局结束最后小高赢了，则墨莫和卡莉娅两个人最多一共赢了_局【答案】2【解析】小高最后赢得了比赛，所以墨莫和卡莉娅最多各赢一局，他们一共最多赢两局10、甲、乙、丙、丁、戊按如下方式站成一圈传球，从甲开始，每次只能给相邻的人传球，传球4次后，球又回到甲的手里，请问：可能的传球过程有多少种？甲乙戊丙丁【答案】6【解析】画出树形图，可知共有6种可能的传球过程甲乙戊甲丙甲丁甲乙甲甲戊乙戊乙甲甲甲丁戊丙