1、第 13 讲 二次函数综合题1(2017东营 )如图，直线 y x 分别与 x 轴，y 轴交于 B，C 两点，点33 3A 在 x 轴上，ACB90，抛物线 yax 2bx 经过 A，B 两点3(1)求 A，B 两点的坐标；(2)求抛物线的解析式；(3)点 M 是直线 BC 上方抛物线上的一点，过点 M 作 MHBC 于点 H，作MDy 轴交 BC 于点 D，求DMH 周长的最大值解：(1)直线 y x 分别与 x 轴，y 轴交于 B，C 两点，33 3B(3,0)，C (0， )，3OB 3，OC ，3tanBCO ，33 3BCO60.ACB90，ACO30 ， tan 30 ，即 ，AO
2、CO 33 AO3 33解得 AO1.A(1,0)；(2)将 A(1,0)，B (3,0)代入抛物线 yax 2bx ，3得Error!解得Error!抛物线的解析式为 y x2 x ；33 233 3(3)MDy 轴，MH BC，MDHBCO60，DMH30，DH DM，MH DM，12 32DMH 的周长DM DHMH DM DM DM DM，12 32 3 32当 DM 最大时，其周长有最大值点 M 是直线 BC 上方抛物线上的一点，可设 M(t， t2 t )，则 D(t， t )，33 233 3 33 3DM t2 t ( t ) t2 t (t )2 .33 233 3 33 3
3、 33 3 33 32 334 0，33当 t 时，DM 有最大值 .32 334此时 DM ，3 32 3 32 334 93 98即DMH 的周长的最大值为 .93 982(2017海南 )抛物线 yax 2bx3 经过点 A(1,0)和点 B(5,0)(1)求该抛物线所对应的函数解析式；(2)该抛物线与直线 y x3 相交于 C，D 两点，点 P 是抛物线上的动点且35位于 x 轴下方，直线 PM y 轴，分别与 x 轴和直线 CD 交于点 M，N.连接 PC，PD，如图 1，在点 P 运动过程中，PCD 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；连接 PB，过点
4、 C 作 CQPM，垂足为点 Q，如图 2，是否存在点 P，使得CNQ 与 PBM 相似？若存在，求出满足条件的点 P 的坐标；若不存在，说明理由解：(1)将点 A(1,0)，B (5,0)代入抛物线 yax 2bx 3 中，得Error!解得Error!该抛物线所对应的函数解析式为 y x2 x3；35 185(2)存在设 P 点的坐标为( t， t2 t3)(1t5) 35 185直线 PM y 轴，M(t,0)，N (t， t3)，35PN t3( t2 t3)35 35 185 (t )2 .35 72 14720联立直线 CD 与抛物线的解析式，得Error!解得Error!或 Er
5、ror!C(0,3) ，D(7， )365分别过点 C，D 作直线 PN 的垂线，垂足分别为点 E，F，如解图所示则 CEt，DF7t，S PCD S PCN S PDN PNCE PNDF PN(CEDF) (t )212 12 12 72 35 72 (t )2 .14720 2110 72 1 02940 0，2110当 t 时，PCD 的面积有最大值 ；72 1 02940存在CQN PMB90，当CNQ 与 PBM 相似时，有 和 两种情况PMCQ BMNQ NQPMCQBMCQPM，由知 P(t， t2 t3)(1 t5)，35 185Q(t,3)C(0,3) ，N(t， t3)，
6、35CQt ，NQ t33 t，35 35 .NQCQ 35P(t， t2 t3) ，M(t, 0)，B(5,0)，35 185BM5t，PM0( t2 t3) t2 t3.35 185 35 185当 时，PM BM，NQPMCQBM 35即 t2 t3 (5t)，35 185 35解得 t2 或 t5(舍去)，此时 P(2， )；95当 时，BM PM，PMCQ BMNQ 35即 5t ( t2 t3)，35 35 185解得 t 或 t5(舍去)349此时 P( ， )349 5527综上所述，存在点 P，使得CNQ 与PBM 相似，点 P 的坐标为(2， )95或( ， )349 55
7、273(2017烟台 )如图 1，抛物线 yax 2bx2 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，AB4，矩形 OBDC 的边 CD1，延长 DC 交抛物线于点 E.(1)求抛物线的表达式；(2)如图 2，点 P 是直线 EO 上方抛物线上的一个动点，过点 P 作 y 轴的平行线交直线 EO 于点 G，作 PHEO，垂足为 H.设 PH 的长为 l，点 P 的横坐标为 m，求 l 与 m 的函数关系式(不必写出 m 的取值范围)，并求出 l 的最大值；(3)如果点 N 是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点 M，使得以M，A，C，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写
8、出所有满足条件的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)矩形 OBDC 的边 CD1，OB 1.AB4，OA ABOB41 3，A 点的坐标为( 3,0)， B 点的坐标为(1,0)把 A(3,0)，B(1,0)代入 yax 2bx 2 中，得Error!解得Error!抛物线的表达式为 y x2 x2；23 43(2)在 y x2 x2 中，令 x0，23 43得 y2，C(0,2) 令 y2，得 x0 或 x2，E(2,2)，直线 OE 的表达式为 y x.P 点的横坐标为 m，P(m， m2 m2)23 43PG y 轴，G 点的坐标为(m，m)P 在直线 OE 的上方，PG m2
9、 m2(m) m2 m2 (m )2 .23 43 23 13 23 14 4924直线 OE 的表达式为 y x，PGH COE45，PH 的长度 l PG (m )2 (m )2 .22 22 23 14 4924 23 14 49248 0，23当 m 时，l 有最大值 ；14 49248(3)存在点 M，使得以 M， A，C，N 为顶点的四边形是平行四边形，点 M的坐标为(2 ， )或(4， )或(2,2)103 1034(2017岳阳 ) 如图，抛物线 y x2bxc 经过点 B(3,0)，C (0，2)，直线23l：y x 交 y 轴于点 E，且与抛物线交于 A，D 两点，P 为抛
10、物线上一23 23动点( 不与 A， D 重合) (1)求抛物线的解析式；(2)当点 P 在直线 l 下方时，过点 P 作 PMx 轴交 l 于点 M，PNy 轴交 l于点 N，求 PMPN 的最大值；(3)设 F 为直线 l 上的点，以 E，C ，P，F 为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点 F 的坐标；若不能，请说明理由解：(1)将 B(3,0)，C(0，2)代入 y x2bx c 中，23得Error!解得Error!抛物线的解析式为 y x2 x2；23 43(2)设 P(m， m2 m2)23 43PMx 轴，PNy 轴，M，N 在直线 l 上，N(m， m )，23 23
11、M(m 22m 2， m2 m2) ，23 43PMm 22m2mm 2m2，PN m m2 m2 m2 m ，23 23 23 43 23 23 43PMPNm 2m2 m2 m m2 m (m )223 23 43 53 53 103 53 12.154 0，53当 m 时，PM PN 取得最大值 ；12 154(3)y x 交 y 轴于点 E，23 23E(0， )，23CE .43设 P(m， m2 m2)23 43当 CE 为以 E，C，P，F 为顶点的平行四边形的边时，则有CEPF，CE PF .CE 在 y 轴上，PF y 轴，F(m， m )，23 23PF| m m2 m2|
12、23 23 23 43| m2 m |，23 23 43| m2 m | ，23 23 43 43解得 m11，m 20(舍去)，m 3 ，m 4 . 1 172 1 172此时点 F 的坐标为(1 ， )，( ， )，( ， )；43 1 172 3 173 1 172 17 33当 CE 为以 E，C，P，F 为顶点的平行四边形的对角线时，如解图所示设 F(a， a )，由平行四边形的性质可得，点 F 和点 E 之间的水平距23 23离点 C 和点 P 之间的水平距离，点 F 和点 E 之间的铅垂距离点 C 和点 P之间的铅垂距离，即Error!Error!解得Error!此时点 F 的坐标为( 1,0) 综上所述，以 E，C，P，F 为顶点的四边形能构成平行四边形，点 F 的坐标为(1 ， )，( ， )，( ， )或(1,0)43 1 172 3 173 1 172 17 33