1、全国2021年4月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题课程代码：04184一、单项选择题：本大题共5小题，每小题5分，共10分。在每小题列出的备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其选出。1已知4阶行列式的某一行元素及其余子式都为，则（A）1-5A0BCD【解析】在中划去元素所在的第行和第列后剩下的行和列元素，按原来的相对顺序组成一个阶行列式，记为，即，称为元素的余子式。所以题目中4阶行列式的某一行元素及其余子式都为，即余子式为，可得由行列式的性质3推论可得，行列式中有两行相同，此行列式的值等于零，故.2设3阶矩阵可逆，则（A）2-10ABCD【解析】伴随矩阵行列式由逆矩阵公式可得把看成一
2、个整体则两边同时左乘可得即所以。3设向量长度依次为2和3，则向量与的内积（D）5-6A13B6C5D5【解析】根据向量长度的定义：，则，由向量内积的性质可得：4齐次线性方程组仅有零解的充分必要条件是矩阵的（B）4-2A列向量组线性相关B列向量组线性无关C行向量组线性相关D行向量组线性无关【解析】设矩阵齐次线性方程组仅有零解，即相当于当且仅当时成立，其中为的列向量组所以的列向量组线性无关。5设矩阵，则与的关系为（C）6-2A相似但不合同B合同但不相似C合同且相似D不合同也不相似【解析】矩阵的特征值为求矩阵的特征值：解得：由于矩阵与都是对称矩阵，且特征值相同，所以矩阵与相似。（教材第184页）将矩
3、阵化为二次型化为标准型为可得正惯性指数为1矩阵的正惯性指数为1且矩阵与都有相同的秩故矩阵与合同。（对称矩阵与合同当且仅当它们有相同的秩和相同的正惯性指数）二、填空题：本大题共10小题，每小题2分，共20分。6设行列式中元素的代数余子式为，则_.1-2解：0【解析】由代数余子式的公式，（为元素的余子式）可得，所以7设3阶矩阵满足，则_.2-5解：36【解析】由方阵行列式的性质2可得：由方阵行列式的性质3可得：又因为矩阵的逆的行列式为行列式的逆：故8设向量与正交，则数_.5-8解：2【解析】由向量正交的定义得即解得9设矩阵，则_.2-1解：【解析】10设矩阵，则_.2-7解：【解析】，由逆矩阵公式
4、可得11设是3阶非零矩阵，且，则_.4-2解：1【解析】满足，当且仅当的列向量组都是的解设，则方程组最多有个线性无关的解，所以且，所以，又因为是3阶非零矩阵，所以12设向量组，若存在不全为零的常数，使得，则数_.3-5解：32【解析】由题可知向量组线性相关，根据个维列向量线性无关由此可得线性相关必有故，解得13设3阶矩阵的各行元素之和均为0，齐次线性方程组通解为_.4-3解：，为任意常数【解析】由3阶矩阵的各行元素之和均为0，可得：，所以向量是它的一个基础解系。又由于的基础解系中的解向量个数为故齐次线性方程组通解为，为任意常数。14若矩阵满足，则必有一个特征值为_.5-2解：【解析】假设有一个
5、特征值为，则必存在某个维非零列向量满足：为方程组的非零解，则为阶方阵，有为阶方阵题目已知，由行列式性质得解得15设二次型正定，则的取值范围为_.6-7解：【解析】由题可得二次型矩阵为正定二次型，即的所有顺序主子式，解得：，解得：综上，有：三、计算题：本大题共7小题，每小题9分，共63分。16计算4阶行列式.1-5解：（4分）（9分）【解析】17己知向量，求（1）；（2）.2-1解：（1）（5分）（2）（9分）【解析】（1）（2）由于18已知矩阵，矩阵满足关系式，求.2-9解：由可得由，故可逆.从而（5分）故（9分）【解析】由可得由，由阶矩阵为可逆矩阵，故可逆.两边同时左乘得：由逆矩阵公式可得故
6、19求向量组，的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用所求的极大线性无关组表出.3-9解：对矩阵进行初等行变换，（6分）所以向量组的秩为3，为一个极大线性无关组，（9分）（答案不惟一）【解析】构造矩阵所以向量组的秩为3，为一个极大线性无关组，20设线性方程组当为何值时，方程组无解？有无穷多解？在有无穷多解时求出其通解（要求用其一个特解和导出组的基础解系表示）.4-8解：对增广矩阵做初等行变换：（4分）（1）当时，方程组无解。（6分）（2）当时，方程组有无穷多解。故非齐次线性方程组的通解为，为任意常数（9分）【解析】对非齐次线性方程组的增广矩阵做初等行变换：（1）当时，方程组无解。（2）当时，方
7、程组有无穷多解。即得同解方程组为令得一组特解：导出组的同解方程组：当和时，得一组基础解系：，故非齐次线性方程组的通解为，为任意常数。21求矩阵的特征值与特征向量.5-1解：由得的特征值为，（4分）当时，解齐次线性方程组得基础解系，对应的全部特征向量，是不全为零的任意常数。（7分）当时，解齐次线性方程组，得基础解系，对应的全部特征向量，为非零任意常数。（9分）【解析】的特征方程为，即解得：，当时，求解齐次线性方程组即：对系数矩阵做初等行变换，有：同解齐次线性方程组为：令和得基础解系，对应的全部特征向量，是不全为零的任意常数。当时，求解齐次线性方程组即，同解齐次线性方程组为：令得基础解系，对应的全
8、部特征向量，为非零任意常数。22已知二次型经正交变换化为标准形，求正交矩阵.6-3解：二次型矩阵，有题设知，特征值为（4分）当时，对应的特征向量，单位化得，当时，对应的线性无关特征向量，正交化、单位化得，（7分）所求正交矩阵为（9分）【解析】所以二次型的矩阵，有特征方程，即：由题已知标准形所以特征值为当时，有对应的特征向量，单位化得，当时，有对应的线性无关特征向量，正交化、单位化得，所求正交矩阵为四、证明题：本题7分。23设矩阵满足关系式，证明：可逆，并求出.2-8证明：由可得（3分）因此可逆，并且（7分）【解析】这里提供第二种解法：两边同时左乘得：根据乘法分配律得：两边同时加上得：由可逆矩阵的定义可知可逆，并且