1、上海市松江区2020-2021学年高一下期末考试数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第712题每题5分）1计算_（为虚数单位)2已知向量，若，则实数的值是_3复数为纯虚数（为虚数单位），其中，则_4已知，则_5已知一扇形的弧所对的圆心角为，半径，则扇形的周长为_6化简：_7在中，若，则的形状是_三角形8函数的部分图像如图所示，则_9已知，向量，当取到最大值时，的值是_10已知、满足，在方向上的数量投影为，则的最小值为_11如图，是线段外一点，是线段的垂直平分线上的动点，则的值为_12已知函数，若的所有零点依次记为，且，则_二、选择题（本大题共有4题，满分20分，
2、每题5分）13若，则（ ）ABCD14要得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）A向左平移个单位；B向左平移个单位；C向右平移个单位；D向右平移个单位15欧拉公式（为虚数单位，为自然底数)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，现有以下两个结论：；其中所有正确结论的编号是（ ）16设函数和函数的图像公共点的横坐标从小到大依次为，若，则的值为（ ）ABCD三、解答题（本大题满分76分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17(本题满分14分)本题共
3、有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分（1）已知角终边上有一点的坐标是，其中，求的值(2)证明恒等式：18(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分已知复数，（，是虚数单位）(1)若复数在复平面上对应点落在第一象限，求实数的取值范围；(2)若虚数是实系数一元二次方程的根，求实数的值19(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分东西向的铁路上有两个道口、，铁路两侧的公路分布如图，位于的南偏西15，且位于的南偏东15方向，位于的正北方向，处一辆救护车欲通过道口前往处的医院送病人，发现北偏东45方向的处(火车头位置)有一列火车自东向西驶
4、来，若火车通过每个道口都需要1分钟，救护车和火车的速度均为(1)判断救护车通过道口是否会受火车影响，并说明理由；(2)为了尽快将病人送到医院，救护车应选择、中的哪个道口？通过计算说明20(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分已知函数，(1)求函数的值域；(2)求函数单调递减区间；(3)若不等式恒成立，求实数的取值范围21(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分已知是线段外一点，若，(1)设点是的重心，证明：；(2)设点、是线段的三等分点，、及的重心依次为、，试用向量、表示；（3）如果在线段上有若干
5、个等分点，请你写出一个正确的结论？(不必证明)说明：第（3）题将根据结论的一般性程度给予不同的评分参考答案一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第712题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果1【答案】： 2【答案】： 3【答案】：3 4【答案】：6 5【答案】：6【答案】：1 7【答案】：等腰 8【答案】：9【答案】：（或或）10【答案】：10 11【答案】：12【答案】：【解析】：令，可得，即函数的对称轴方程为，又的周期为，令，可得，所以函数在上有9条对称轴根据正弦函数的性质可知，(最后一条对称轴为函数的最大值点，应取前一条对应的对称轴），将以上各式相加得，二
6、、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑13【答案】C 14【答案】B 15【答案】A16【答案】C【解析】：因为，则有或，解得或，又函数和函数的图象的公共点的横坐标从小到大依次为，所以，故，所以，即，则，解得，故三、解答题（本大题满分76分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17【解析】：解（1）当时，点到原点的距离为，由三角比的定义可得：，原式；（2）证明：18【解析】：（1）在复平面内对应的点落在第一象限，解得：实数的取值范围是；(2)虚数是实系数一元二次方程的根
7、，也是实系数一元二次方程的根，19【解析】：（1）依据题意：在中，正弦定理：，解得：，救护车到达处需要时间：，火车到达处需要时间：，火车影响道口时间为，救护车经过会受影响(2)若选择道口：一共需要花费时间为：若选择道口：由余弦定理求长：，得：，所以火车到达处所需时间为：，救护车到达处所需时间为，所以不受火车影响。一共花费时间为：选择过道20【解析】：（1），函数的值域为(2)得，又，函数的单调递减区间是；(3)函数的值域为，于是，原不等式等价于，由，得的最大值为，所以，实数的取值范围是21【解析】：（1）设的中点为，则；(2)如图：点、是线段的三等分点，则(3)层次一：设是的二等分点，则，；设、是线段的四等分点，则；或设、是线段的等分点，则（，2，）层次二：设、是线段的等分点，层次三：设、是线段的等分点，则