1、二次函数与旋转变换综合问题【例1】(2022凉山州)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线yx2+bx+c经过点A(1，0)和点B(0，3)，顶点为C，点D在其对称轴上，且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90，点C落在抛物线上的点P处(1)求抛物线的解析式；(2)求点P的坐标；(3)将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，在y轴上是否存在点M，使得MP+ME的值最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由【分析】(1)利用待定系数法求抛物线解析式；(2)利用配方法得到y(x1)2+4，则根据二次函数的性质得到C点坐标和抛物线的对称轴为直线x1，如图，设CDt
2、，则D(1，4t)，根据旋转性质得PDC90，DPDCt，则P(1+t，4t)，然后把P(1+t，4t)代入yx2+2x+4得到关于t的方程，从而解方程求出t，即可得到点P的坐标；(3)P点坐标为(2，3)，顶点C坐标为(1，4)，利用抛物线的平移规律确定E点坐标为(1，1)，找出点E关于y轴的对称点F(1，1)，连接PF交y轴于M，则MP+MEMP+MFPF的值最小，然后利用待定系数法求出直线PF的解析式，即可得到点M的坐标【解析】(1)把A(1，0)和点B(0，3)代入yx2+bx+c，得，解得：，抛物线解析式为yx2+2x+3；(2)y(x1)2+4，C(1，4)，抛物线的对称轴为直线x
3、1，如图，设CDt，则D(1，4t)，线段DC绕点D按顺时针方向旋转90，点C落在抛物线上的点P处，PDC90，DPDCt，P(1+t，4t)，把P(1+t，4t)代入yx2+2x+3得：(1+t)2+2(1+t)+34t，整理得t2t0，解得：t10(舍去)，t21，P(2，3)；(3)P点坐标为(2，3)，顶点C坐标为(1，4)，将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，E点坐标为(1，1)，点E关于y轴的对称点F(1，1)，连接PF交y轴于M，则MP+MEMP+MFPF的值最小，设直线PF的解析式为ykx+n，解得：，直线PF的解析式为yx+，点M的坐标为(0，)【例2】
4、(2022梧州)如图，在平面直角坐标系中，直线yx4分别与x，y轴交于点A，B，抛物线yx2+bx+c恰好经过这两点(1)求此抛物线的解析式；(2)若点C的坐标是(0，6)，将ACO绕着点C逆时针旋转90得到ECF，点A的对应点是点E写出点E的坐标，并判断点E是否在此抛物线上；若点P是y轴上的任一点，求BP+EP取最小值时，点P的坐标【分析】(1)根据直线解析式可得点A、B的坐标，代入二次函数解析式，解方程即可；(2)由旋转的性质可得E(6，3)，当x6时，y3，可知点E在抛物线上；过点E作EHAB，交y轴于P，垂足为H，sinABO，则HPBP，得BP+EPHP+PE，可知HP+PE的最小值
5、为EH的长，从而解决问题【解析】(1)直线yx4分别与x，y轴交于点A，B，当x0时，y4；当y0时，x3，A(3，0)，B(0，4)，抛物线yx2+bx+c恰好经过这两点，解得，yx4；(2)将ACO绕着点C逆时针旋转90得到ECF，OCF90，CFCO6，EFAO3，EFy轴，E(6，3)，当x6时，y3，点E在抛物线上；过点E作EHAB，交y轴于P，垂足为H，A(3，0)，B(0，4)，OA3，OB4，AB5，sinABO，HPBP，BP+EPHP+PE，当E，P，H三点共线时，HP+PE有最小值，最小值为EH的长，作EGy轴于G，GEPABO，tanGEPtanABO，PG，OP3，P
6、(0，)【例3】(2022辽宁)如图，抛物线yax23x+c与x轴交于A(4，0)，B两点，与y轴交于点C(0，4)，点D为x轴上方抛物线上的动点，射线OD交直线AC于点E，将射线OD绕点O逆时针旋转45得到射线OP，OP交直线AC于点F，连接DF(1)求抛物线的解析式；(2)当点D在第二象限且时，求点D的坐标；(3)当ODF为直角三角形时，请直接写出点D的坐标【分析】(1)将点A(4，0)，C(0，4)代入yax23x+c，即可求解；(2)过点D作DGAB交于G，交AC于点H，设D(n，n23n+4)，H(n，n+4)，由DHOC，可得，求出D(1，6)或(3，4)；(3)设F(t，t+4)
7、，当FDO90时，过点D作MNy轴交于点N，过点F作FMMN交于点M，证明MDFNOD(AAS)，可得D点纵坐标为2，求出D点坐标为(，2)或(，2)；当DFO90时，过点F作KLx轴交于L点，过点D作DKKL交于点K，证明KDFLFO(AAS)，得到D点纵坐标为4，求得D(0，4)或(3，4)【解析】(1)将点A(4，0)，C(0，4)代入yax23x+c，解得，yx23x+4；(2)过点D作DGAB交于G，交AC于点H，设直线AC的解析式为ykx+b，解得，yx+4，设D(n，n23n+4)，H(n，n+4)，DHn24n，DHOC，OC4，DH3，n24n3，解得n1或n3，D(1，6)
8、或(3，4)；(3)设F(t，t+4)，当FDO90时，过点D作MNy轴交于点N，过点F作FMMN交于点M，DOF45，DFDO，MDF+NDO90，MDF+MFD90，NDOMFD，MDFNOD(AAS)，DMON，MFDN，DN+ONt，DNON+(t4)，DNt2，ON2，D点纵坐标为2，x23x+42，解得x或x，D点坐标为(，2)或(，2)；当DFO90时，过点F作KLx轴交于L点，过点D作DKKL交于点K，KFD+LFO90，KFD+KDF90，LFOKDF，DFFO，KDFLFO(AAS)，KDFL，KFLO，KLt+4t4，D点纵坐标为4，x23x+44，解得x0或x3，D(0
9、，4)或(3，4)；综上所述：D点坐标为(，2)或(，2)或(0，4)或(3，4)【例4】(2022河池)在平面直角坐标系中，抛物线L1：yax2+2x+b与x轴交于两点A，B(3，0)，与y轴交于点C(0，3)(1)求抛物线L1的函数解析式，并直接写出顶点D的坐标；(2)如图，连接BD，若点E在线段BD上运动(不与B，D重合)，过点E作EFx轴于点F，设EFm，问：当m为何值时，BFE与DEC的面积之和最小；(3)若将抛物线L1绕点B旋转180得抛物线L2，其中C，D两点的对称点分别记作M，N问：在抛物线L2的对称轴上是否存在点P，使得以B，M，P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出
10、所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由【分析】(1)利用待定系数法求出a，b的值即可；(2)如图1中，连接BC，过点C作CHBD于点H设抛物线的对称轴交x轴于点T首先证明DCB90，利用面积法求出CH，构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；(3)如图2中，由题意抛物线L2的对称轴x5，M(6，3)设P(5，m)，分三种情形：当BPBM3时，当PBPM时，当BMPM时，分别构建方程求解即可【解析】(1)yax2+2x+b经过B(3，0)，C(0，3)，抛物线的解析式为yx2+2x+3，y(x1)2+4，抛物线的顶点D(1，4)；(2)如图1中，连接BC，过点C作CHBD于点H设抛
11、物线的对称轴交x轴于点TC(0，3)，B(3，0)，D(1，4)，BC3，CD，BD2，BC2+CD2BD2，BCD90，CDCBBDCH，CH，EFx轴，DTx轴，EFDT，BEm，BFm，BFE与DEC的面积之和S(2m)+mm(m)2+，0，S有最小值，最小值为，此时m，m时，BFE与DEC的面积之和有最小值解法二：求两个三角形面积和的最小值，即就是求四边形OCEF面积的最大值求出四边形OCEF的面积的最大值即可(3)存在理由：如图2中，由题意抛物线L2的对称轴x5，M(6，3)设P(5，m)，当BPBM3时，22+m2(3)2，m，P1(5，)，P2(5，)，当PBPM时，22+m21
12、2+(m+3)2，解得，m1，P3(5，1)，当BMPM时，(3)212+(m+3)2，解得，m3，P4(5，3+)，P5(5，3)，综上所述，满足条件的点P的坐标为P1(5，)，P2(5，)，P3(5，1)，P4(5，3+)，P5(5，3)一解答题(共20小题)1(2022碑林区校级三模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线W1与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C(0，6)，顶点为D(2，2)(1)求抛物线W1的表达式；(2)将抛物线W1绕原点O旋转180得到抛物线W2，抛物线W2的顶点为D，在抛物线W2上是否存在点M，使SDADSDDM？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由【分析】(
13、1)利用待定系数法解得即可；(2)由题意求得抛物线W2的顶点坐标和解析式，在坐标系中画出抛物线W2的图象，利用SDADSADO+SAOD求出三角形DDA的面积；过点D作x轴的平行线EF，过点D作DEEF于点E，交x轴于点G，过点M作MFEF于点F，交x轴于点H，利用D，D的坐标表示出线段DG，OG，DE，DE的长度，设点M(m，2m28m+6)，则MH2m28m+6，OHm，MFMH+HF2m28m+6+22m28m+8，DFm2，EFOG+OHm+2，利用SDDMS梯形DEFMSDEDSMDF，用m的代数式表示出SDDM，利用已知条件列出m的方程，解方程即可求得结论【解析】(1)设抛物线W1
14、的解析式为：yax2+bx+c，抛物线W1经过点C(0，6)，顶点坐标D(2，2)，解得：抛物线W1的表达式为：y2x28x6；(2)在抛物线W2上存在点M，使SDADSDDM理由：将抛物线W1绕原点O旋转180得到抛物线W2，抛物线W2的顶点为D，D(2，2)抛物线W2的解析式为y2(x2)222x28x+6如图，在坐标系中画出抛物线W2的图象，由题意得：DD经过点O，则SDADSADO+SAOD过点D作x轴的平行线EF，过点D作DEEF于点E，交x轴于点G，过点M作MFEF于点F，交x轴于点H，D(2，2)，D(2，2)，DGOG2，DE4，DE4，FH2令y0，则2x28x60解得：x1
15、或3A(3，0)，B(1，0)OA3SDADSADO+SAOD32+326设点M(m，2m28m+6)，则MH2m28m+6，OHmMFMH+HF2m28m+6+22m28m+8，DFm2，EFOG+OHm+2SDDMS梯形DEFMSDDESMDF，SDDM(DE+MF)EFDEDEMFDF(4+2m28m+8)(m+2)44(2m28m+8)(m2)4m214m+12SDDMSDDA，4m214m+126解得：m3或当m3时，2m28m+60，当m时，2m28m+6，M(3，0)或(，)在抛物线W2上存在点M，使SDADSDDM.点M的坐标为(3，0)或(，)2(2022双流区模拟)如图，抛
16、物线C：yax2+6ax+9a8与x轴相交于A，B两点(点A在点B的左侧)，已知点B的横坐标是2，抛物线C的顶点为D(1)求a的值及顶点D的坐标；(2)点P是x轴正半轴上一点，将抛物线C绕点P旋转180后得到抛物线C1，记抛物线C1的顶点为E，抛物线C1与x轴的交点为F，G(点F在点G的右侧)当点P与点B重合时(如图1)，求抛物线C1的表达式；(3)如图2，在(2)的条件下，从A，B，D中任取一点，E，F，G中任取两点，若以取出的三点为顶点能构成直角三角形，我们就称抛物线C1为抛物线C的“勾股伴随同类函数”当抛物线C1是抛物线C的勾股伴随同类函数时，求点P的坐标【分析】(1)将点B(2，0)代
17、入yax2+6ax+9a8，即可求出a，把抛物线的解析式化为顶点式即可得出顶点坐标；(2)如图1，连接DE，作DHx轴于H，作EMx轴于M，由DBHEBM(AAS)，可得EMDH8，BMBH5，故抛物线C1的顶点E的坐标为(7，8)，即可得出抛物线C1的函数表达式为y(x7)2+8；(3)设点E(m，8)，如图2，作DHx轴于H，EMx轴于M，ENDN于N，根据旋转可得：FGAB2BH10，进而可得：点H的坐标为(3，0)，点N的坐标为(m，8)，再分类讨论即可得出答案【解析】(1)由yax2+6ax+9a8得ya(x+3)28，顶点D的坐标为(3，8)，点B(2，0)在抛物线C上，0a(2+
18、3)28，解得：a；(2)如图1，连接DE，作DHx轴于H，作EMx轴于M，根据题意，点D，E关于点B(2，0)成中心对称，DE过点B，且DBEB，在DBH和EBM中，DBHEBM(AAS)，EMDH8，BMBH5，抛物线C1的顶点E的坐标为(7，8)，抛物线C1由C绕点P旋转180后得到，抛物线C1的函数表达式为y(x7)2+8；(3)抛物线C1由C绕x轴上的点P旋转180后得到，顶点D，E关于点P成中心对称，由(2)知：点E的纵坐标为8，设点E(m，8)，如图2，作DHx轴于H，EMx轴于M，ENDN于N，旋转中心P在x轴上，FGAB2BH10，点H的坐标为(3，0)，点N的坐标为(m，8
19、)，根据勾股定理得，EF282+5289，显然，AEG和BEG不可能是直角三角形，当AEF是直角三角形时，显然只能有AEF90，根据勾股定理得：AE2AM2+EM2(m+8)2+82m2+16m+128，AE2AF2EF2(m+13)289m2+26m+80，m2+16m+128m2+26m+80，解得：m，OP(m+3)3(m3)(3)，点P的坐标为(，0)；当BEF是直角三角形时，显然只能有BEF90，根据勾股定理得：BE2BM2+EM2(m2)2+82m24m+68，BE2BF2EF2(m+3)289m2+6m80，m24m+68m2+6m80，解得：m，OP(m3)(3)，点P的坐标为
20、(，0)，当DEF是直角三角形时，DE2EN2+DN2162+(m+3)2m2+6m+265，DF2DH2+HF282+(m+8)2m2+16m+128，i)当DEF90时，DE2+EF2DF2，即m2+6m+265+89m2+16m+128，解得：m，OP(m3)(3)，点P的坐标为(，0)；ii)当DFE90时，DF2+EF2DE2，即m2+16m+128+89m2+6m+265，解得：m，OP(m3)(3)，点P的坐标为(，0)；iii)DEEN16EF，EDF90，综上所述，当抛物线C1是抛物线C的勾股伴随同类函数时，点P的坐标为(，0)或(，0)或(，0)3(2022灞桥区校级模拟)
21、已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线yx+6与x轴、y轴的交点分别为A、B，其中点C是x轴上一点，OC3(1)求过A、B、C三点的抛物线L的解析式；(2)将抛物线L绕着点O旋转180得到抛物线L1，抛物线L1与x轴交于F点、E点(点F在点E的左侧)，与y轴交于点M，则抛物线L1的对称轴上是否存在一点Q，使|QFQM|的值最大？若存在，求出点Q的坐标及其最大值，若不存在，请说明理由【分析】(1)由一次函数解析式可得A，B坐标，由OC3可得点C坐标，然后通过待定系数法求函数解析式(2)先求出抛物线L1解析式，根据抛物线的对称性可得抛物线与x轴，y轴的交点坐标，点Q为抛物线对称轴与直线EM交点
22、时，|QFQM|EM的值最大【解析】(1)将x0代入yx+6得y6，点B坐标为(0，6)，将y0代入yx+6得0x+6，解得x8，点A坐标为(8，0)，OC3，点C坐标为(3，0)，设抛物线解析式为ya(x8)(x3)，将(0，6)代入ya(x8)(x3)得624a，解得a，y(x8)(x3)x2x+6(2)将抛物线L绕着点O旋转180得到抛物线L1解析式为y(x+8)(x+3)x2x6，抛物线L经过(3，0)，(8，0)，抛物线L1经过E(3，0)，F(8，0)，与y轴交于点M(0，6)，设直线FM解析式为ykx+b，将E(3，0)，M(0，6)代入ykx+b得，解得，y2x6，抛物线经E(
23、3，0)，F(8，0)，抛物线对称轴为直线x，抛物线对称轴为线段EF的垂直平分线，QFQE，点Q为抛物线对称轴与直线EM交点时，|QFQM|EM的值最大，将x代入y2x6得y2()65，点Q坐标为(，5)时，|QFQM|的最大值为EM34(2022莲湖区二模)已知抛物线W1：yax2bx3与x轴交于A(1，0)、B(3，0)两点与y轴交于点C，顶点为D(1)求抛物线W1的表达式；(2)将抛物线W1绕原点O旋转180后得到抛物线W2，W2的顶点为D，点M为W2上的一点，当DDM的面积等于ABC的面积时，求点M的坐标【分析】(1)利用待定系数法解得即可；(2)由题意求得抛物线W2的顶点坐标和解析式
24、，在坐标系中画出抛物线W2的图象，利用待定系数法求得直线DD的解析式，过点M作MNx轴，交DD于N，利用SDDMSMND+SMND，用m的代数式表示出SDDM，利用已知条件列出m的方程，解方程即可求得结论【解析】(1)抛物线W1：yax2bx3与x轴交于A(1，0)、B(3，0)两点，解得：抛物线W1的表达式为：yx22x3；(2)yx22x3(x1)24，D(1，4)，将抛物线W1绕原点O旋转180后得到抛物线W2，W2的顶点为D，D(1，4)，抛物线W2的解析式为y(x+1)2+4x22x+3如图，在坐标系中画出抛物线W2的图象，当x0时，yx22x33，C(0，3)，A(1，0)、B(3
25、，0)，AB4，SABC6，过点M作MNx轴，交DD于N，D(1，4)，D(1，4)，直线DD为y4x，设点M(m，m22m+3)，则N(，m22m+3)，MNm，SDDM(4+4)m22m3，DDM的面积等于ABC的面积，m22m36解得：m1当m1+时，m22m+3410，当m1时，m22m+3410，M(1+，410)或(1，410)5(2022深圳三模)已知抛物线yax2+c过点A(2，0)和D(1，3)两点，交x轴于另一点B(1)求抛物线解析式；(2)如图1，点P是BD上方抛物线上一点，连接AD，BD，PD，当BD平分ADP时，求P点坐标；(3)将抛物线图象绕原点O顺时针旋转90形成
26、如图2的“心形”图案，其中点M，N分别是旋转前后抛物线的顶点，点E、F是旋转前后抛物线的交点直线EF的解析式是 yx；点G、H是“心形”图案上两点且关于EF对称，则线段GH的最大值是 【分析】(1)用待定系数法求函数解析式即可；(2)过过点B作BEx轴交DP延长线于点E，过D作DFx于点F，证明DABDEB，求得点E坐标，进而求得直线DE的解析式，联立抛物线解析式即可求解；(3)根据顺时针旋转90后的坐标特征可知对称轴为yx；连接GH，交EF与点K，则GH2GK，过点G作x轴的垂线，交EF于点I，当GK最大时，GFE面积最大，设G(m，m2+4)，则I(m，m)，根据SGFEGN(xExF)以
27、及二次函数的性质求得当m时，GFE面积最大，求出此时点G坐标，再根据求出点H坐标，再利用中点坐标公式求出求得K的坐标，从而求出GH即可【解析】(1)抛物线yax2+c过点A(2，0)和D(1，3)两点，解得，抛物线解析式为yx2+4；(2)过点B作BEx轴交DP延长线于点E，过D作DFx于点F，由yx2+4，令y0，则x2+40，解得：x12，x22，则B(2，0)，DF3，BF2(1)3，DFBF，DBF45，DBE45，又DBDB，BD平分ADP，DSADEB(ASA)，BABE，B(2，0)，E(2，4)，设直线DE的解析式为ykx+b，则，解得，直线DE的解析式为yx+，联立，解得或，
28、则P(，)；(3)抛物线关于y轴对称，所以旋转后图形关于x轴对称，对于抛物线上任意一点P(a，b) 关于原点旋转90后对应点为P1(b，a) 在旋转后图形上，P1(b，a) 关于x轴对称的点P2(b，a) 在旋转后图形上，P(a，b)与P2(b，a)关于yx对称，图形2关于yx对称，直线EF的解析式为yx，故答案为：yx；如图，连接GH，交EF与点K，则GH2GK，过点G作x轴的垂线，交EF于点I，当GK最大时，GFE面积最大，又SGFEGI(xExF)，设G(m，m2+4)，则I(m，m)，GIyGyIm2+4m(m+)2+，当m时，GFE面积最大，G(，)，由可知G(，)关于yx的对称点H
29、(，)，K(，)，GK，GH2GK，GH的最大值为，故答案为：6(2022无锡二模)二次函数yax2+bx+4的图象与x轴交于两点A、B，与y轴交于点C，且A(1，0)、B(4，0)(1)求此二次函数的表达式；(2)如图1，抛物线的对称轴m与x轴交于点E，CDm，垂足为D，点F(，0)，动点N在线段DE上运动，连接CF、CN、FN，若以点C、D、N为顶点的三角形与FEN相似，求点N的坐标；如图2，点M在抛物线上，且点M的横坐标是1，将射线MA绕点M逆时针旋转45，交抛物线于点P，求点P的坐标；(3)已知Q在y轴上，T为二次函数对称轴上一点，且QOT为等腰三角形，若符合条件的Q恰好有2个，直接写
30、出T的坐标【分析】(1)先求得点C的坐标，设抛物线的解析式为ya(x+1)(x4)，将点C的坐标代入求得a的值，从而得到抛物线的解析式；(2)当点C、D、N为顶点的三角形与FEN相似时分两种情况：CDNFEN和CDNNEF，列比例式可解答；如图2所示：过点A作GHy轴，过点M作MGGH于G，过点A作AEAM，交MP于点E，证明AEM是等腰直角三角形，得AMAE，计算点M的坐标，证明MGAAHE(AAS)，则EHAG6，AHGM2，利用待定系数法可得直线EA的解析式为y2x+8，与二次函数解析式联立方程，解出可得结论；(3)分T在x轴上，x轴上方和下方三种情况：根据符合条件的Q恰好有2个正确画图
31、可得结论【解析】(1)yax2+bx+4，当x0时，y4，C(0，4)，设抛物线的解析式为ya(x+1)(x4)，将点C的坐标代入得：4a4，解得a1，抛物线的解析式为yx2+3x+4；(2)如图1，抛物线的对称轴是：x，CD，EF+，设点N的坐标为(，a)则ND4a，NEa，当CDNFEN时，即，解得a，点N的坐标为(，)；当CDNNEF时，即，解得：a1a22，点N的坐标为(，2)，综上所述，点N的坐标为(，)或(，2)；如图2所示：过点A作GHy轴，过点M作MGGH于G，过点A作AEAM，交MP于点E，AMP45，MAE90，AEM是等腰直角三角形，AMAE，将x1代入抛物线的解析式得：
32、y6，点M的坐标为(1，6)，MG2，AG6，GAM+EAH90，EAH+AEH90，GAMAEH，GH90，MGAAHE(AAS)，EHAG6，AHGM2，E(5，2)，设ME的解析式为ykx+b，将点A和点E的坐标代入得：，解得：，直线EA的解析式为y2x+8，2x+8x2+3x+4，解得：x1(舍)或x4，将x4代入y2x+8得：y0，点P的坐标为(4，0)；(3)分种情况：如图3，当T在x轴上时，满足条件，此时T(，0)；如图4，当T在x轴的上方时，QOT为等腰三角形，且符合条件的Q恰好有2个，OTOQ2OQ1Q1T，OQ1T是等边三角形，TOQ160，BOT30，OE，tan30，E
33、T，T(，)；当T在x轴的下方时，同理得T(，)；综上，T的坐标为(，0)或(，)或(，)7(2022沙湾区模拟)如图，抛物线f(x)：ya(x+1)(x5)与x轴交于点A、B(点A位于点B左边)，与y轴交于点C(0，(1)求抛物线f(x)的解析式；(2)作点C关于x轴的对称点C，连接线段AC，作CAB的平分线AE交抛物线于点E，将抛物线f(x)沿对称轴向下平移经过点C得到抛物线f(x)在射线AE上取点F，连接FC，将射线FC绕点F逆时针旋转120交抛物线f(x)于点P当ACF为等腰三角形时，求点P的横坐标【分析】(1)直接将点C的坐标代入抛物线f(x)：ya(x+1)(x5)中，解方程即可得
34、结论；(2)根据对称性可得C(0，)，由平移得抛物线f(x)的解析式为：yx2+x，可得ACO30，CAO60，分三种情况：ACAF，ACCF，AQCF，分别计算可得点P的横坐标【解析】(1)把点C(0，)代入抛物线f(x)：ya(x+1)(x5)中得：5a，解得：a，y (x+1)(x5) (x24x5)x2+x+，抛物线f(x)的表达式为yx2+x+；(2)点C关于x轴的对称点C，C(0，)，原抛物线沿对称轴向下平移经过点C得到抛物线f(x)，抛物线f(x)的解析式为：yx2+x，yx2+x+与x轴交于点A、B(点A位于点B左边)，令y0，则x2+x0，解得x11，x25，A(1，0)，B
35、(5，0)，C(0，)，OA1，OC，AC2，ACO30，CAO60，AE平分CAO，CAF30，分三种情况：当ACAF2时，如图，设FP交y轴于G，过点F作FLy轴于L，FHx轴于H，过点G作GKCF，交CF的延长线于K，ACFAFC75，OCF45，RtAFH中，FHAF1，AH，F(1，1)，CLFL1，CFFL(1)，RtCGK中，GFK180CFP18012060，设FKm，GKm，OCF45，GCK是等腰直角三角形，CKGK，(1)+mm，m，CGKGm2，G(0，)可得直线PF的解析式为：y(2+)x，则，解得：，P(0，)或(，12)；当ACCF时，如图，CAFCFA30，AC
36、Q120，OCF90，F(2，)，yx2+x+(x2)2+，抛物线f(x)的对称轴是：x2，F在DF上，延长PF交y轴于G，CFP120，GFC60，RtGCF中，CGF30，CF2，CG2，OG3，G(0，3)，GF的解析式为：yx+3，解得，P(4，)或(5，2)；当CFAF时，如图，CFA120，此种情况不符合题意；综上，当CAQ为等腰三角形时，点P的横坐标是0或4或5或8(2022灌南县二模)如图，抛物线yax2+bx+3经过点A(1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，其顶点为M，连接MA，MC，AC，过点C作y轴的垂线l(1)求该抛物线的表达式；(2)直线l上是否存在点N，使得
37、SMBN2SMAC？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由(3)如图2，若将原抛物线绕点C逆时针旋转45，求新抛物线与y轴交点P坐标【分析】(1)直接代入A(1，0)，B(3，0)两点坐标即可求解；(2)如图所示，先求出MAC的面积为1，然后设出直线MN与x轴的交点坐标E，表示出SMBN|xExB|(yNyM)|xE3|42|xE3|，最后根据SMBN2SMAC，求出点N的坐标；(3)将CP绕点C顺时针旋转45交原抛物线于点P，即可得出直线CP的表达式，从而求出P的坐标，进而算出CP的长度，最后得出点P的坐标【解析】(1)将A(1，0)，B(3，0)代入抛物线yax2+bx+3中，则，解
38、得：，抛物线的表达式为yx24x+3；(2)假设存在这样的点N，设直线MC与x轴交于点D，直线MN与x轴交于点E，如图：yx24x+3(x2)21，M(2，1)令x0，则y3，C(0，3)，设直线MC的解析式为ykx+m，则，解得：，直线MC的解析式为y2x+3，令y0，则2x+30，解得x，点D坐标为(，0)，SMAC(xDxA)(yCyM)41，SMBN|xExB|(yNyM)|xE3|42|xE3|，SMBN2SMAC，2|xE3|2，解得：xE4或xE2，点E的坐标为(4，0)或(2，0)，当M为(2，1)，E为(2，0)时，直线MN的表达式为：x2，点N的坐标为(2，3)，当M为(2
39、，1)，E为(4，0)时，设直线MN的表达式为ynx+g，则，解得：，直线MN的表达式为yx2，联立，得，点N的坐标为(10，3)，点N的坐标为(2，3)或(10，3)；(3)如图所示，将CP绕点C顺时针旋转45交原抛物线于点P，CP与x轴的夹角为45，CP与直线yx平行，则lCP：yx+3，联立，解得，P(5，8)，CP5，CP5，点P坐标为(0，3+5)9(2022红花岗区三模)如图(1)，ABC中，ACBC6，C90，点P在线段AC上，从C点向A点运动，PBE90，BPBE，PE交BC于点D，完成下列问题：(1)点E到BC边的距离为 6；若CDx，BDE的面积为S，则S与x的函数关系式为 S183x；(不写自变量取值范围)(2)当BDE的面积为15时，若PCAC，以C为原点，AC、BC所在直线分别为x、y轴建立坐标系如图(2)，抛物线C1过点A、D、B；点Q在抛物线C1上，且位于线段PB的下方，过点Q作QNPB，垂足为点N，是否存在点Q，使得QN最长，若存在，请求出QN的长度和Q点坐标；若不存在，请说明理由；将抛物线C1绕原点C旋转180，得到抛物线C2，当2axa时(a0)，抛物线C2有最大值2a，求a值【分析】(1)过点E作EHBC于点H，先证明PCBBHE(AAS)，EHCB6，即可得到答案；CDx，BD6x，即可得到S与x的函