1、专题20 勾股定理一、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1在ABC中，C=90，AC=3，BC=4，那么AB=（）A4B5C6D72在RtABC中，C=90，AC=6，BC=8，则斜边上的中线是（）A3B4C5D83（2022秋浙江八年级专题练习）下面四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A6，8，10B62，82，102C1，5，2D13，14，154（2021浙江杭州统考一模）设一个直角三角形的两直角边分别是a，b，斜边是c若用一把最大刻度是20cm的直尺，可一次直接测得c的长度，则a，b的长可能是（）Aa12，b16Ba11，b17Ca10，b18Da9，b195（20
2、22浙江杭州模拟预测）一个门框的尺寸如图所示，下列长宽型号（单位：m）的长方形薄木板能从门框内通过的是（）A2.92.2B2.82.3C2.72.4D2.62.56（2022浙江温州统考二模）如图，将一块直角三角板的直角边AB贴在直线l上，CAB=30，以点A为圆心，斜边AC长为半径向右画弧，交直线l于点D若BC=1，则BD的长为（）A3-1B2-2C2-1D2-37（2022浙江宁波统考模拟预测）如图，在RtABC中，C=90，D，E分别为CA，CB的中点，BF平分ABC，交DE于点F，若AC=25，BC=4，则DF的长为（）A0.5B1C1.5D28（2022浙江宁波校考三模）两个直角三角
3、板如图摆放，其中BAC=EDF=90，E=45，C=30，BCEF且EF过点A，点D为BC中点，已知BC=20，则EF的长为（）A15B103C510D1029（2022秋浙江杭州八年级校考期中）如图，在等腰直角中ABC，BAC=90，AD是ABC的高线，E是边AC上一点，分别作EFAD于点F，EGBC于点G，几何原本中曾用该图证明了BG2+CG2=2BD2+DG2，若ABD与AEF的面积和为7.5，BG=4，则CG的长为（）A12B14C16D1810（2022秋浙江杭州八年级校考期中）如图是由八个全等的直角三角形拼接而成，图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，
4、S2，S3，若EF=3，则S1+S2+S3的值是（）A27B28C30D36二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请把答案直接填写在横线上11（2020浙江绍兴模拟预测）若直角三角形的两条直角边分别5和12，则斜边上的中线长为 _12（2019浙江金华统考模拟预测）如图，一个物体沿着坡度i=1:2的坡面上前进了10m，此时物体距离地面的高度为_m13（2022浙江绍兴校联考二模）如图，在ABC中，AB5，BC=3，AC4，点P从A点出发沿AB运动到B点，以CP为斜边作如图的等腰直角三角形PQC，PQC90，则RtPQC的外心运动的路径长为 _，BQ的最小值为 _14（2021浙江温
5、州校考三模）如图1是两扇推拉门，AB是门槛，AD，BC是可转动门宽，且AB2AD2BC现将两扇门推到如图2（图1的平面示意图）的位置，其中tanB=43，且点A，C，D在一条直线上，测得A，C间的距离为1865cm，则门宽AD_如图3，已知A30，B60，点P在AB上，且AP54cm，点M是AD上一动点，将点M绕点P顺时针旋转60至M，则CM的最小距离是 _cm15（2022浙江金华校联考模拟预测）七巧板是中国古代劳动人民的发明，是一种古老的中国传统智力游戏小慧用图1中的一副七巧板拼出如图2所示的“行礼图”，已知正方形ABCD的边长为4dm，则图2中h的值为_dm16（2022浙江金华一模）如
6、图，RtABC中，C=90，A=60，AC=1，点D为边AB上一个动点，将CDB沿CD翻折，得到CDB（其中C，D，B，A在同一平面内），ADB=30，则AD=_三、解答题（本大题共7小题，共66分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（2020浙江嘉兴统考一模）如图，在66的网格中，每个小正方形的边长为1，请按要求画出格点四边形（四个顶点都在格点上的四边形叫格点四边形）（1）在图1中，画出一个非特殊的平行四边形，使其周长为整数（2）在图2中，画出一个特殊平行四边形，使其面积为6且对角线交点在格点上注：图1，图2在答题纸上18（2022浙江宁波校考一模）如图是边长为1的正方形网格，每个
7、小正方形的顶点叫格点，ABC的顶点都在格点上仅用无刻度的直尺，按要求画出下列图形(1)ABC的周长为_；(2)如图，点D、P分别是AB与竖格线和横格线的交点，画出点P关于过点D竖格线的对称点Q；(3)请在图中画出ABC的角平分线BE19（2021春浙江杭州八年级校考期中）已知关于x的一元二次方程x2+(m-3)x-3m=0(1)求证：这个一元二次方程一定有两个实数根；(2)设该一元二次方程的两根为a、b，且2、a、b分别是一个直角三角形的三边长，求m的值20（2022秋浙江杭州八年级校考期中）已知：如图，在ABC中，AB=AC，D为CA延长线上一点，DEBC，交AB于点F.(1)求证：ADF为
8、等腰三角形.(2)若AC=20，BE=6，F为AB中点，求DF的长.21（2022秋浙江杭州八年级校考期中）已知：如图，点D在ABC的外部，DE过点C，BC与AD交于点O1=2=3，AB=AD(1)求证：ACE是等腰三角形；(2)过点A作AFDE于点F，若AB=21，AE=3，BC=6，求线段AF的长22（2022秋浙江杭州八年级校考期中）如图1，已知等腰直角ABC中，ACB=90，AC=BC，ANBC，点D在边AB上，过点D作DECD交AN于点E(1)若AC=6，BD=22，求线段CD的长；(2)求证：CD=DE；(3)如图2，已知等腰ABC中，AC=BC，ANBC，点D在边AB上，过点D作
9、CDE=ACB，边DE交AN于点E，CD和DE是否还相等？请说明理由23（2022秋浙江杭州八年级校考期中）如图1，在ABC中，AB=AC=10，BC=16，点D在BC上（不与点B，C重合）(1)若ADC是直角三角形当ADBC时，求AD的长；当ADAC时，求CD的长(2)如图2，点E在AB上（不与点A，B重合），且ADE=B，若ADE是直角三角形，求CD的长专题20 勾股定理一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1在ABC中，C=90，AC=3，BC=4，那么AB=（）A4B5C6D7【答案】B【分析】根据题意可知，ABC是直角三角形，且两条直角边的长度知道，由勾股定理即可求解
10、【详解】解：如图所示，C=90，AC=3，BC=4，由勾股定理得，AB=AC2+BC2=32+42=5，故选：B【点睛】本题主要考查直角三角形的勾股定理，掌握直角三角形的勾股定理是解题的关键2在RtABC中，C=90，AC=6，BC=8，则斜边上的中线是（）A3B4C5D8【答案】C【分析】根据勾股定理可得斜边长为10，然后根据直角三角形斜边中线定理可求解【详解】解：在RtABC中，C=90，AC=6，BC=8，AB=AC2+BC2=10，斜边上的中线为12AB=5；故选C【点睛】本题主要考查勾股定理及直角三角形斜边中线定理，熟练掌握勾股定理及直角三角形斜边中线定理是解题的关键3（2022秋浙
11、江八年级专题练习）下面四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A6，8，10B62，82，102C1，5，2D13，14，15【答案】C【分析】根据勾股定理的逆定理进行判断即可【详解】A、(6)2+(8)2(10)2，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；B、(62)2+(82)2(102)2，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；C、12+22=(5)2，符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形，故本选项符合题意；D、(14)2+(15)2(13)2，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意故选：C【点睛】此题考查了勾股定
12、理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理的内容是解题的关键4（2021浙江杭州统考一模）设一个直角三角形的两直角边分别是a，b，斜边是c若用一把最大刻度是20cm的直尺，可一次直接测得c的长度，则a，b的长可能是（）Aa12，b16Ba11，b17Ca10，b18Da9，b19【答案】A【分析】根据勾股定理分别求出c的值，再和20比较即可【详解】解：A. a12，b16，根据勾股定理斜边c=20；B. a11，b17，斜边c=41020；C. a10，b18，斜边c=42420；D. a9，b19，斜边c=44220；最大刻度是20cm的直尺，可一次直接测得c的长度，a=12，b=16，故选：A【
13、点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键5（2022浙江杭州模拟预测）一个门框的尺寸如图所示，下列长宽型号（单位：m）的长方形薄木板能从门框内通过的是（）A2.92.2B2.82.3C2.72.4D2.62.5【答案】A【分析】利用勾股定理计算出门框对角线长，再与薄木板的宽比较即可【详解】门框的对角线长为12+22=5米52.236米只有A选项的薄木板的宽小于2.236，即只有A选项的薄木板可以通过故选：A【点睛】本题考查勾股定理的实际应用利用勾股定理计算出门框对角线的长是解答本题关键6（2022浙江温州统考二模）如图，将一块直角三角板的直角边AB贴在直线l上，CAB=30，以点
14、A为圆心，斜边AC长为半径向右画弧，交直线l于点D若BC=1，则BD的长为（）A3-1B2-2C2-1D2-3【答案】D【分析】先根据含30直角三角形的性质求出AC，再根据勾股定理得AB，由题意可得AD=AC，进而求出BD【详解】在RtABC中，BC=1，CAB=30，AC=2BC=2，AB=AC2-BC2=3根据题意可知AD=AC=2，BD=AD-AB=2-3故选：D【点睛】本题主要考查了含30直角三角形的性质，勾股定理求出线段长等，根据题意得出AD的长度是解题的关键7（2022浙江宁波统考模拟预测）如图，在RtABC中，C=90，D，E分别为CA，CB的中点，BF平分ABC，交DE于点F，
15、若AC=25，BC=4，则DF的长为（）A0.5B1C1.5D2【答案】B【分析】根据勾股定理求出AB，根据三角形中位线定理得到DEAB，DE=12AB=3，BE=12BC=2，根据平行线的性质、等腰三角形的判定定理求出EF=BE=2，计算即可【详解】解：在RtABC中，AC=25，BC=4，由勾股定理得：AB=AC2+BC2=6，BF平分ABC，ABF=EBF，D，E分别为CA，CB的中点，DEAB，DE=12AB=3，BE=12BC=2，ABF=EFB，EFB=EBF，EF=BE=2，DF=DE-EF=1，故选：B【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理、平行线的性质，掌握三角形的中
16、位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键8（2022浙江宁波校考三模）两个直角三角板如图摆放，其中BAC=EDF=90，E=45，C=30，BCEF且EF过点A，点D为BC中点，已知BC=20，则EF的长为（）A15B103C510D102【答案】B【分析】过点A作AHBC，过点D作DGEF，证明四边形AHDG为矩形，可得AH=GD=53，然后利用直角三角形的性质即可得出答案【详解】解：过点A作AHBC，过点D作DGEF，如图所示AHB=DGF=90BCEF四边形AHDG为矩形即AH=GDC=30，BAC=90，点D为BC中点AD=BD=12BC，B=60即ABD为等边三角形BC=20
17、AB=AD=BD=10在直角ABH中，AH=ABsin60AH=GD=53E=45，EDF=90EFD=45FDG=DGF-EFD=90-45=45FGD为等腰直角三角形GD=GF=GE=53即EF=GF+GE=103故选：B【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，矩形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，灵活运用所学的知识是解本题的关键9（2022秋浙江杭州八年级校考期中）如图，在等腰直角中ABC，BAC=90，AD是ABC的高线，E是边AC上一点，分别作EFAD于点F，EGBC于点G，几何原本中曾用该图证明了BG2+CG2=2BD2+DG2，若ABD与AEF的面积和为
18、7.5，BG=4，则CG的长为（）A12B14C16D18【答案】B【分析】由SAEF+SABD=7.5，得BD2+DG2=15，从而有BG2+CG2=30，即可得出答案【详解】由题意知：ABD与AEF都是等腰直三角形，SAEF=12EF2=12DG2，SABD=12BD2,SAEF+SABD=7.5，BD2+DG2=15，BG2+CG2=2BD2+DG2，BG2+CG2=30，BG=4，CG=30-16=14，故选：B【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题是关键是根据三角形的面积求出BD2+DG2=1510（2022秋浙江杭州八年级校考期中）如图是由八个全等的
19、直角三角形拼接而成，图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若EF=3，则S1+S2+S3的值是（）A27B28C30D36【答案】A【分析】设八个全等的直角三角形的面积都是a，根据题意得S1-S2=4a，S2-S3=4a，进而可得S1+S3=2S2，由已知条件求出S2，进一步即可求出答案.【详解】解：设八个全等的直角三角形的面积都是a，根据题意得：S1-S2=4a，S2-S3=4a，S1-S2=S2-S3，即S1+S3=2S2，S2=EF2=9，S1+S3=18，S1+S2+S3=18+9=27；故选：A.【点睛】本题考查了勾股定理的弦图背景和全等三角
20、形的性质，解题的关键是抓住弦图内外四个直角三角形的的面积与三个正方形的面积之间的和差关系.二、填空题11（2020浙江绍兴模拟预测）若直角三角形的两条直角边分别5和12，则斜边上的中线长为 _【答案】6.5【分析】根据勾股定理可求得直角三角形斜边的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解【详解】解：直角三角形两直角边长为5和12，斜边=52+122=13，此直角三角形斜边上的中线的长=132=6.5故答案为：6.5【点睛】此题主要考查勾股定理及直角三角形斜边上的中线的性质；熟练掌握勾股定理，熟记直角三角形斜边上的中线的性质是解决问题的关键12（2019浙江金华统考模拟预测）如图，
21、一个物体沿着坡度i=1:2的坡面上前进了10m，此时物体距离地面的高度为_m【答案】25【分析】可利用勾股定理及所给的比值得到所求的线段长【详解】解：如图，AB=10m,tanA=BCAC=12设BC=x,AC=2x，由勾股定理得，AB2=AC2+BC2，即100=x2+4x2，解得x=25，BC=25m故答案为：25【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，能从实际问题中整理出直角三角形是解答本题的关键13（2022浙江绍兴校联考二模）如图，在ABC中，AB5，BC=3，AC4，点P从A点出发沿AB运动到B点，以CP为斜边作如图的等腰直角三角形PQC，PQC90，则RtPQC的外
22、心运动的路径长为 _，BQ的最小值为 _【答案】 52； 9210【分析】根据直角三角形的外心就是斜边的中点，可得外心的运动路径就是以AC、BC的中点为端点的线段；利用特殊位置，斜边为AC、BC的情形，确定点Q的运用路径是线段，利用垂线段最短，作出垂线段，利用三角形相似计算即可【详解】 AB5，BC=3，AC4，32+42=52，BC2+AC2=AB2，ACB=90，RtPQC的外心就是斜边的中点，设AC、BC的中点分别是M、N，外心的运动轨迹就是线段MN，即三角形ABC的中位线，MN=12AB=52，当点P与点A重合时，即点P1，此时以CA为斜边作如图的等腰直角三角形AQ1C，当点P与点B重
23、合时，即点P2，此时以CB为斜边作如图的等腰直角三角形BQ2C，Q1Q2为点Q的运动轨迹， BQ的最小值为点B到Q1Q2的垂线段的长度，过点B作BEQ1Q2，垂足为E，BEQ2=90三角形AQ1C，三角形BQ2C均为等腰直角三角形，AC=4，BC=3，ACQ1=CBQ2=45,CQ1=22,CQ2=BQ2=322，ACB=90，Q1CB=45Q1CQ2=90=BEQ2=CQ2B，CQ1BQ2,Q1Q2=CQ12+CQ22=522，CQ1Q2=EQ2B，CQ1Q2EQ2B，CQ2BE=Q1Q2BQ2，即322BE=522322，解得BE=9210，故答案为：52；9210【点睛】本题考查了三角形
24、中位线定理，直角三角形的性质，勾股定理，三角形的外心，三角形相似的判定和性质，垂线段最短，熟练掌握相似三角形的判定和性质，明确垂线段最短是解题的关键14（2021浙江温州校考三模）如图1是两扇推拉门，AB是门槛，AD，BC是可转动门宽，且AB2AD2BC现将两扇门推到如图2（图1的平面示意图）的位置，其中tanB=43，且点A，C，D在一条直线上，测得A，C间的距离为1865cm，则门宽AD_如图3，已知A30，B60，点P在AB上，且AP54cm，点M是AD上一动点，将点M绕点P顺时针旋转60至M，则CM的最小距离是 _cm【答案】 90cm 363【分析】（1）过点C作CEAB，根据tan
25、B=43，设CE4x，BE3x，可以把三角形三边表示出来，再根据勾股定理可求出x，即可求解；（2）根据垂线段最短，可以连接CD，连接CM，判断当APMP时，PMCM，此时CM最小，通过解直角三角形即可求解【详解】解：（1）如图，过点C作CEAB，在RtBCE中，tanB=43，设CE4x，BE3x，BC5x，AB2AD2BC10x，AE10x3x7x，在RtAEC中，AD2+CD2AC2，49x2+16x2=(1865)2，解得x18，AD5x90（cm），故答案为：90cm；（2）如图，连接CD，可知ACB90，当APMP时，PMCM，此时CM最小，PAMPMA30，MPM=60，点M在AB
26、边上，连接CM，此时CMAB，tanA=tan30=CMAM=33，CM=363故答案为：363【点睛】本题考查勾股定理，解直角三角形，解题的关键是构造出直角三角形进行求解15（2022浙江金华校联考模拟预测）七巧板是中国古代劳动人民的发明，是一种古老的中国传统智力游戏小慧用图1中的一副七巧板拼出如图2所示的“行礼图”，已知正方形ABCD的边长为4dm，则图2中h的值为_dm【答案】4+2#2+4【分析】都是等腰直角三角形，由正方形ABCD的边长求得的直角边，从而求得的斜边，可得的直角边，由的高之和为4dm再求得的斜边高即可解答；【详解】解：设等腰直角三角形的直角边为x，则斜边=x2+x2=2
27、x，等腰直角三角形的斜边等于直角边的2倍，斜边高与斜边中线重合，则斜边高等于斜边长的一半，是等腰直角三角形，斜边为4dm，则直角边为22dm，等腰直角三角形的直角边与正方形的边长相等且和为22dm，则正方形边长为2dm，等腰直角三角形的直角边为2dm，则斜边为2dm，等腰直角三角形的直角边为2dm，等腰直角三角形的斜边高为2dm，图1中，等腰直角三角形和平行四边形的高之和为正方形ABCD的边长4dm，两个等腰直角三角形的直角边都等于正方形的边长，是两个相同的等腰直角三角形，图2中的h=正方形ABCD的边长+等腰直角三角形的斜边高，h=（4+2）dm，故答案为：4+2【点睛】本题考查了正方形的性
28、质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，掌握等腰直角三角形的边长关系是解题关键16（2022浙江金华一模）如图，RtABC中，C=90，A=60，AC=1，点D为边AB上一个动点，将CDB沿CD翻折，得到CDB（其中C，D，B，A在同一平面内），ADB=30，则AD=_【答案】3-1或2-3【分析】根据折叠的性质求得CDB=105，BCD=45，过点D作DEBC于点E，设AD=x，则BD=2-x，得到DE=1-12x，EB=3-32x，利用CE+ EB=BC，列式求解即可【详解】解：ADB=30，ACB=90，A=60，BDB=180-30=150，B=30，将CDB沿CD翻折，得到CDB，CDB
29、=CDB=12(360-150) =105，BCD=18010530=45，过点D作DEBC于点E，ACB=90，B=30，AC=1，AB=2，BC=3，设AD=x，则BD=2-x，在RtBDE中，DEB=90，B=30，DE=12BD=1-12x，EB=3DE=3-32x，在RtCDE中，DEC=90，DCE=45，CE=DE=1-12x，CE+ EB=BC，1-12x+3-32x=3，解得x=3-1，如图，当DBBC时，ADB=B=30，依题意，DB=DB,BDC=BDC=12180-ADB=75，BC=BCBCD=180-B-BDC=75，BD=BC，BD=BD=BC=BC四边形BDBC
30、是菱形，BD=BC=3AD=AB-BD=2-3故答案为：3-1或2-3【点睛】本题考查了折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算,菱形的性质与判定，准确作出辅助线是解此题的关键三、解答题17（2020浙江嘉兴统考一模）如图，在66的网格中，每个小正方形的边长为1，请按要求画出格点四边形（四个顶点都在格点上的四边形叫格点四边形）（1）在图1中，画出一个非特殊的平行四边形，使其周长为整数（2）在图2中，画出一个特殊平行四边形，使其面积为6且对角线交点在格点上注：图1，图2在答题纸上【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【分析】（1）利用勾股定理得出符合题意的四边形；
31、 （2）利用平行四边形的面积求法得出符合题意的答案【详解】（1）如图1，平行四边形ABCD即为所求图1（2）如图2，菱形ABCD即为所求图2【点睛】此题主要考查了应用设计与作图以及勾股定理确定线段长度，正确借助网格得出是解题关键18（2022浙江宁波校考一模）如图是边长为1的正方形网格，每个小正方形的顶点叫格点，ABC的顶点都在格点上仅用无刻度的直尺，按要求画出下列图形(1)ABC的周长为_；(2)如图，点D、P分别是AB与竖格线和横格线的交点，画出点P关于过点D竖格线的对称点Q；(3)请在图中画出ABC的角平分线BE【答案】(1)9+17(2)图见解析(3)图见解析【分析】（1）利用勾股定理
32、求出AB，AC，可得结论；（2）根据对称性作出图形即可；（3）利用等腰三角形的三线合一的性质解决问题即可【详解】（1）解：由题意AB=32+42=5，BC=4，AC=42+12=17，ABC的周长=5+4+17=9+17，故答案为：9+17；（2）如图，点Q即为所求；（3）如图，线段BE即为所求【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型19（2021春浙江杭州八年级校考期中）已知关于x的一元二次方程x2+(m-3)x-3m=0(1)求证：这个一元二次方程一定有两个实数根；(2)设该一元二次方程的两根为a、b，且2、a、b分
33、别是一个直角三角形的三边长，求m的值【答案】(1)见解析(2)m=-13或m=-5【分析】（1）利用根的判别式求出关于m的代数式，整理成非负数的形式即可判定b2-4ac0；（2）把原方程因式分解，求出方程的两个根，分别探讨不同的数值为斜边，利用勾股定理解决问题【详解】（1）解： b2-4ac=(m-3)2+12m=m2+6m+9=(m+3)2；又(m+3)20，b2-4ac0，原方程有两个实数根；（2）原方程可变为(x+m)(x-3)=0，则方程的两根为x1=-m，x2=3，直角三角形三边为2，3，-m；m0，若-m为直角三角形的斜边时，则：22+32=m2m=13， m=-13；若3为直角三
34、角形的斜边时，则：22+m2=32m=5 m=-5综上，m=-13或m=-5【点睛】此题考查利用根的判别式b2-4ac探讨根的情况，以及用因式分解法解一元二次方程，勾股定理等知识点；注意分类讨论思想的渗透20（2022秋浙江杭州八年级校考期中）已知：如图，在ABC中，AB=AC，D为CA延长线上一点，DEBC，交AB于点F.(1)求证：ADF为等腰三角形.(2)若AC=20，BE=6，F为AB中点，求DF的长.【答案】(1)见解析(2)16【分析】（1）利用等腰三角形的性质可得B=C，再利用等角的余角相等证明D=AFD即可解答；（2）由（1）得ADF是等腰三角形，想到等腰三角形的三线合一性质，
35、所以过点A作AGDE，垂足为G，先在RtBEF中，利用勾股定理求出EF的长，然后证明AFGBFEAAS即可解答【详解】（1）证明：AB=AC，B=C，DEBC，DEC=DEB=90，B+BFE=90，C+D=90，D=BFE，BFE=AFD，D=AFD，AD=AF，ADF是等腰三角形；（2）解：过点A作AGDE，垂足为G，AB=AC，AC=20，AB=20，F为AB中点，AF=BF=12AB=10，在RtBEF中，BE=6，EF=BF2-BE2=102-62=8，AGF=BEF=90，AFG=BFE，AFGBFEAAS，GF=EF=8，AD=AF，AGDF，DF=2GF=16【点睛】本题考查了
36、等腰三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键21（2022秋浙江杭州八年级校考期中）已知：如图，点D在ABC的外部，DE过点C，BC与AD交于点O1=2=3，AB=AD(1)求证：ACE是等腰三角形；(2)过点A作AFDE于点F，若AB=21，AE=3，BC=6，求线段AF的长【答案】(1)见解析；(2)AF=5【分析】（1）由1=3可得BAC=DAE，由已知条件和三角形的内角和可得B=D，然后即可根据ASA证明ABCADE，再根据全等三角形的性质和等腰三角形的定义即得结论；（2）根据全等三角形的性质可得AB=AD=21，BC=DE=6，设EF=x，则DF=
37、6-x，然后根据勾股定理即可得到关于x的方程，解出x，再根据勾股定理求解即可【详解】（1）证明：1=3，BAC=DAE，1=2，AOB=COD，B=D，又AB=ADABCADE（ASA），AC=AE，ACE是等腰三角形；（2）AFDE，AFE=AFD=90，ABCADE，AB=AD=21，BC=DE=6，设EF=x，则DF=6-x，则在直角三角形ADF和直角三角形AEF中，AF2=AD2-DF2=AE2-EF2，即212-6-x2=32-x2，解得：x=2，即EF=2，AF=AE2-EF2=5【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和勾股定理等知识，属于常考题型，熟练掌握上述
38、知识是解题的关键22（2022秋浙江杭州八年级校考期中）如图1，已知等腰直角ABC中，ACB=90，AC=BC，ANBC，点D在边AB上，过点D作DECD交AN于点E(1)若AC=6，BD=22，求线段CD的长；(2)求证：CD=DE；(3)如图2，已知等腰ABC中，AC=BC，ANBC，点D在边AB上，过点D作CDE=ACB，边DE交AN于点E，CD和DE是否还相等？请说明理由【答案】(1)25(2)见解析(3)CD和DE相等，理由见解析【分析】（1）作EFAD于F，CHAB于H，根据勾股定理求出AB，易得ACH和BCH是等腰直角三角形，可得AH=CH=BH=12AB=32，求出DH，再利用
39、勾股定理求出CD即可；（2）作DPAC于P，DQAN于Q，求出CDP=EDQ，DP=DQ，证明CDPEDQASA，根据全等三角形的性质可得结论；（3）作DKAC于K，DLAN于L，设ED与AC交于点M，证明AB平分CAN，根据角平分线的性质得出DK=DL，然后根据三角形内角和定理求出AEM=DCM，证明DELDCKAAS，根据全等三角形的性质可得结论；【详解】（1）解：如图1，作EFAD于F，CHAB于H，ABC是等腰直角三角形，AC=6，BD=22，CAB=B=45，AB=62+62=62，ACH和BCH是等腰直角三角形，AH=CH=BH=12AB=32，DH=BH-BD=32-22=2，C
40、D=CH2+DH2=18+2=25；（2）证明：如图2，作DPAC于P，DQAN于Q，DPA=DPC=DQA=DQN=90，又ACB=90，ANBC，CAN=90，PDQ=90，CDE=90，CDP=EDQ，在等腰直角ABC中，CAB=45，AB平分CAN，DP=DQ，在CDP和EDQ中，CPD=EQD=90DP=DQCDP=EDQ，CDPEDQASA，CD=DE；（3）CD和DE相等；理由：如图3，作DKAC于K，DLAN于L，设ED与AC交于点M，AC=BC，CAB=B，ANBC，DAL=B，EAC=ACB，CAB=DAL，即AB平分CAN，DK=DL，CDE=ACB，EAC=CDE，EM
41、A=CMD，AEM=DCM，在DEL和DCK中，CKD=ELD=90DCK=DELDK=DL，DELDCKAAS，CD=DE【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，角平分线的性质，三角形内角和定理，勾股定理等知识，根据题意作出合适的辅助线是解题的关键23（2022秋浙江杭州八年级校考期中）如图1，在ABC中，AB=AC=10，BC=16，点D在BC上（不与点B，C重合）(1)若ADC是直角三角形当ADBC时，求AD的长；当ADAC时，求CD的长(2)如图2，点E在AB上（不与点A，B重合），且ADE=B，若ADE是直角三角形，求CD的长【答案】(1)6；152；(2)72或8【分析】（1）根据等腰三角形的性质和勾股定理即可解答；如图，作AEBC于点E，设DE=x，则CD=8+x，根据勾股定理即可得到关于x 的方程，求出x，再根据勾股定理即可解答；（2）分两种情况：当DAE=90时，如图，同小题的方法可求出AD=152，再根据勾股定理求出BD，即可求出CD；当AED=90时，根据已知条件和直角三角形的性质可得出ADBC，再由的结果即得答案【详解】（1）解：