1、专题19 等腰三角形一、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1（2022浙江杭州统考二模）如图，在ABC中，AB=AC，点D为BC上一点，DAAB设CAD=38，则ADB（）A60B62C64D662（2022浙江杭州统考一模）如图，在ABC中，ABAC，以点A为圆心，AC的长为半径作弧交AB于点D，连接DC；再以点D为圆心，DC的长为半径作弧交CB的延长线于点E若BE=BD，E=15，则（）AAB=2ACBBC=BD+DECAD=2BEDCE=AB+AC3（2022浙江丽水统考一模）如图，RtABC中，C=90，B=30，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角
2、形是等腰三角形.其作法错误的是（）ABCD4（2021浙江宁波校考三模）如图，ABC是一个锐角，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，交射线BC于点D，E，若ABC=35,BAD=30，则DAE的度数是（）A40B50C60D705（2022浙江金华校联考模拟预测）性质“等腰三角形的三线合一”，其中所指的“线”之一是（）A等腰三角形底角的平分线B等腰三角形腰上的高C等腰三角形腰上的中线D等腰三角形顶角的平分钱6（2022浙江金华校考一模）如图，在等边三角形ABC中，AB=8，点P是BC边上的动点，点P关于直线AB、AC的对称点分别为M、N，作MDBC，垂足为D，作NEBC，垂足为E，则DE的长为(
3、) A10B83C11D127（2022二模）如图，已知RtABC，AC=BC=2，将ABC绕点A沿逆时针方向旋转后得到ADE，直线BD、CE相交于点F，连接AF，则下列结论中：AB=22；ABDACE；BFC=45；F为BD的中点，其中正确的有（）ABCD8（2022浙江舟山校联考三模）如图，ABC、DBE和FGC均为正三角形，以点D，E，F，G 在ABC的各边上，DE和FG相交于点H，若S四边形ADHF=SHGE，BC=a，BD=b，CF=c，则a，b，c 满足的关系式为（）Aa+c=2bBb2+c2=a2Cb+c=aDa=2bc9（2021浙江湖州模拟预测）如图，已知在等腰RtABC中，
4、ACB90，AD为BC边的中线，过点C作CEAD于点E，交AB于点F若AC2，则线段EF的长为（）A35B4515C2515D2310（2022浙江宁波统考二模）如图，等边ABC和等边DEF的边长相等，点A、D分别在边EF，BC上，AB与DF交于G，AC与DE交于H要求出ABC的面积，只需已知（）ABDG与CDH的面积之和BBDG与AGF的面积之和CBDG与CDH的周长之和DBDG与AGF的周长之和二、 填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请把答案直接填写在横线上11（2019浙江校考一模）ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为50，底角B的度数为_1
5、2（2013浙江宁波统考一模）如图，等边ABC的边长为3，点P为BC边上一点，且BP=1，点D为AC边上一点若APD=60，则CD的长为_13（2010浙江统考中考模拟）如图，等边ABC的边长为1cm，D、E分别是AB、AC上的点，将ADE沿直线DE折叠，点A落在点F处，且点F在ABC外部，则阴影部分图形的周长为_cm14（2022浙江衢州模拟预测）如图，在ABCD中，ABC=150利用尺规在BC、BA上分别截取BE、BF，使BE=BF；分别以E、F为圆心，大于12EF的长为半径作弧，两弧在CBA内交于点G；作射线BG交DC于点H若AD=3+1，则BH的长为_15（2022浙江丽水统考一模）如
6、图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=2，BAC=120，M为AB的中点，P为BC上任意一点，则t=PM+PA的范围是_16（2022浙江温州温州市第三中学校考模拟预测）图1是一辆卸货车实物图，折线ABC是支架，BD为可伸缩的液压支撑杆，测得BC=10，CD=2，DE=3，ABC=CDE=135，EFG=90，图2是卸货车不工作时的侧面示意图，此时AB与FG在同一直线上，CDAB，且DEF=135，则BF=_，图3是卸货车工作时的侧面示意图，折线CDE可绕点C上下旋转，且CDE始终保持不变，EF始终保持与地面垂直，当BDDE时，FG与AB的距离为_三、解答题（本大题共7小题，共66分解答时应写
7、出文字说明、证明过程或演算步骤）17（2019浙江校考一模）如图，ABC中，ABAC，BADCAD，BDCD，ADBC请你选择其中的两个作为条件，另两个作为结论，证明等腰三角形的“三线合一”性质定理18（2020浙江嘉兴统考二模）如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在BC异侧，ABCD，AEDF，AD（1）求证：BECF（2）若ABCF，B40，求D的度数19（2022浙江丽水一模）如图，在55的正方形网格中，线段AB的端点落在格点上，请按要求作图（所作图形顶点为格点，每小题作出一个即可）图1：以AB为腰的等腰三角形图2：以AB为边的平行四边形图3：以AB为对角线的平行四边形20（20
8、22浙江杭州统考一模）在AD=AE，BAE=CAD这两个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，请完成问题的解答问题：如图，ABC中，AB=AC，点D，E在边BC上（不与点B，C重合）连结AD，AE若_，求证：BD=CE21（2022浙江杭州统考二模）如图1所示的晾衣架，支架的基本图形是菱形如图2，晾衣架伸缩时，点E在射线DP上滑动，菱形的形状也随之发生变化已知每个菱形的边长均等于20cm，且DF=FE=AN=20cm(1)求证：相邻两根晾衣架之间的水平距离（AB、BC）相等；(2)当晾衣架沿着DC方向平移时，CFG的度数逐渐减小若CFG从120逐渐减小到60时，求点E在射线DP上移动的距离2
9、2（2020浙江模拟预测）如图1，ABC和CDE均为等腰三角形，AC=BC，CD=CE，ACCD，ACB=DCE=，且点A、D、E在同一直线上，连结BE(1)求证：AD=BE(2)如图2，若=90，CMAE于M若CM=7，BE=10，试求AB的长(3)如图3，若=120，CMAE于M，BNAE于N，EN=a，CM=b，直接写出AE的值（用a，b的代数式表示）23（2022浙江宁波统考一模）一个角的余角的两倍称为这个角的倍余角(1)若1=30，2是1的倍余角，则2的度数为 ；若1=，2是1的倍余角，则2的度数为 ；（用的代数式表示）(2)如图1，在ABC中，ACBC，在AC上截取CD=CB，在A
10、B上截取AE=AD求证：ABC是EDB的倍余角；(3)如图2，在（2）的情况下，作BFDE交AC于点F，将BFC沿BF折叠得到BFC，BC交AC于点P，若ABC=90，设CBF=，求CPB的度数专题19 等腰三角形一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1（2022浙江杭州统考二模）如图，在ABC中，AB=AC，点D为BC上一点，DAAB设CAD=38，则ADB（）A60B62C64D66【答案】C【分析】先根据等腰三角形的性质得到B=C，再由直角三角形两锐角互余得到B+ADB=90，由三角形外角的性质得到ADB=C+CAD，则B+C+CAD=90，据此求解即可【详解】解：AB=
11、AC，B=C，DAAB，BAD=90，B+ADB=90，ADB=C+CAD，B+C+CAD=90，2B+38=90，B=26，ADB=64，故选C【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余，熟知直角三角形两锐角互余是解题的关键2（2022浙江杭州统考一模）如图，在ABC中，ABAC，以点A为圆心，AC的长为半径作弧交AB于点D，连接DC；再以点D为圆心，DC的长为半径作弧交CB的延长线于点E若BE=BD，E=15，则（）AAB=2ACBBC=BD+DECAD=2BEDCE=AB+AC【答案】D【分析】根据等腰三角形的性质逐步求解ABC=30,ADC=45,B
12、AC=90, 再证明BC=2AC, 从而可得结论【详解】解： BE=BD，E=15，E=BDE=15, ABC=15+15=30, 由作图可得：DE=DC, E=DCE=15, ADC=30+15=45, 由作图可得：AD=AC, ADC=ACD=45, BAC=90, BC=2AC，BCABAB2AC，故选项A不正确；根据勾股定理AB=BC2-AC2=3AC，DE=DC=AD2+AC2=2ACBD=AB-AD=3AC-AC=3-1AC，BD+DE=3-1AC+2AC=3+2-1AC2AC=BC，故选项B不正确；BE=BD=3-1AC，2BE=23-1AC21.5-1AC=AC=AD故选项C不
13、正确；CE=BC+BE=2AC+BD=AC+AD+BD=AC+AB. 故选项D正确；故选D【点睛】本题考查的是作一条线段等于已知线段，等腰三角形的性质，含30的直角三角形的性质，掌握“30所对的直角边是斜边的一半”是解本题的关键3（2022浙江丽水统考一模）如图，RtABC中，C=90，B=30，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形.其作法错误的是（）ABCD【答案】B【分析】对各项的尺规作图进行分析，再根据等腰三角形的判定逐个分析即可【详解】A选项，由作法可知，AD=AC，即ADC是等腰三角形，不满足题意；B选项，在ADC中，C=90，B=30AC=12AB又
14、由作法可知，CD=BD=12BC在RtABC中，ABBCACCD，即ADC不是等腰三角形ADCD，即ADBD，即ADB不是等腰三角形，满足题意；C选项，由作法可知，AD=BD，即ADB是等腰三角形，不满足题意；D选项，由作法可知，BAD=DAC=12BAC=1290-B=30，BAD=B=30，即ADB是等腰三角形，不满足题意；故选：B【点睛】本题考查尺规作图和等腰三角形的判定熟知尺规作图是本题解题的关键4（2021浙江宁波校考三模）如图，ABC是一个锐角，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，交射线BC于点D，E，若ABC=35,BAD=30，则DAE的度数是（）A40B50C60D70【答案】
15、B【分析】先根据三角形的外角性质可得ADE=65，再根据等腰三角形的性质可得AED=ADE=65，然后根据三角形的内角和定理即可得【详解】解：ABC=35,BAD=30，ADE=ABC+BAD=65，由作图可知，AD=AE，AED=ADE=65，DAE=180-AED-ADE=50，故选：B【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的外角性质等知识点，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键5（2022浙江金华校联考模拟预测）性质“等腰三角形的三线合一”，其中所指的“线”之一是（）A等腰三角形底角的平分线B等腰三角形腰上的高C等腰三角形腰上的中线D等腰三角形顶角的平分钱【答案】D【分析】根据在等腰三
16、角形中，顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线，三条线互相重合对各选项进行判断即可【详解】解：等腰三角形中三线合一，即在等腰三角形中顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线，三条线互相重合故选D【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质解题的关键在于熟练掌握三线合一中的三线分别指顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线6（2022浙江金华校考一模）如图，在等边三角形ABC中，AB=8，点P是BC边上的动点，点P关于直线AB、AC的对称点分别为M、N，作MDBC，垂足为D，作NEBC，垂足为E，则DE的长为() A10B83C11D12【答案】D【分析】连接MP，NP，交AB，AC于点J，K，利用对
17、称性可得MJ=PJ，PK=KN，MPAB，PNAC，再根据等边三角形的性质得ABC=ACB=60，再由直角三角形的性质和勾股定理可得结论【详解】连接MP，NP，交AB，AC于点J，K点P关于直线AB、AC的对称点分别为M、N，MJ=PJ，PK=KN，MPAB，PNAC ABC是等边三角形ABC=ACB=60 MPD=NPE=30 设BP=x，则CP=8-x 在RtBPJ中，MPD=30 BJ=12x 由勾股定理可得，JP=BP2-BJ2=32x MP=2JP=3x MD=32x DP=MP2-MD2=32x 同理可得，PE=32(8-x) DE=DP+PE=32x+32(8-x)=12 故选：
18、D【点睛】本题主要考查了对称的性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键7（2022二模）如图，已知RtABC，AC=BC=2，将ABC绕点A沿逆时针方向旋转后得到ADE，直线BD、CE相交于点F，连接AF，则下列结论中：AB=22；ABDACE；BFC=45；F为BD的中点，其中正确的有（）ABCD【答案】C【分析】根据ABC为等腰直角三角形，直接求出AB的长度即可；由旋转性质证明ABDACE即可判断；由ABDACE，可得DBAECA，FGBCGA，进而BFCBAC45即可判断；证明ABD为等腰三角形即可判断【详解】由旋转性质可知，ACBCAEDE2
19、，ACB=90，ABAD=AC2+BC2=22+22=22，故正确；ABAC=ADAF=222=2，DAE=CAB=45，DAEEABCABEAB，即DABEAC，ABDACE，故正确；设AB、CE交于点G，如图所示：ABDACE，DBAECA，又FGBCGA，BFCBAC45，故正确；BFCBAC45，A、C、B、F四点共圆，四边形ACBF为圆内接四边形，BFABCA180，BCA=90，BFA90，AFBD，ABAD，ABD为等腰三角形，AF为BD上中线，即F为BD中点，故正确；综上分析可知，都正确，故C正确故选：C【点睛】本题考查了等腰三角形判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆的相关知
20、识，证明ABDACE是解题的关键8（2022浙江舟山校联考三模）如图，ABC、DBE和FGC均为正三角形，以点D，E，F，G 在ABC的各边上，DE和FG相交于点H，若S四边形ADHF=SHGE，BC=a，BD=b，CF=c，则a，b，c 满足的关系式为（）Aa+c=2bBb2+c2=a2Cb+c=aDa=2bc【答案】B【分析】分别用含a，b，c的代数式表示S四边形ADHF与SHGE，根据S四边形ADHF=SHGE得到关于a，b，c关系式，化简整理关系式即可【详解】解： EDB=A=60， DEAF ，同理：FGAB ，四边形ADHF为平行四边形，在HGE中HGE=HEG=60， HGE为等
21、边三角形， GE=b+c-a，AD=a-b，AF=a-c， SADHF=AFADsin60=32a-ca-bSHGE=34b+c-a2 32a-ca-b=34b+c-a2，化简可得：b2+c2=a2，故选：B.【点睛】本题综合考查了平行四边形及等边三角形的判定与性质，关键是要会用含a，b，c的代数式分别表示平行四边形和等边三角形的面积，找到关系式，化简整理得出结论9（2021浙江湖州模拟预测）如图，已知在等腰RtABC中，ACB90，AD为BC边的中线，过点C作CEAD于点E，交AB于点F若AC2，则线段EF的长为（）A35B4515C2515D23【答案】B【分析】过点B作BHBC，交CF的
22、延长线于H，由勾股定理可求AD的长，由面积法可求CE，由“AAS”可证ACDCBH，可得CDBH1，ADCH5，通过证明ACFBHF，可得BHAC=FHFC12，可求CF的长，即可求解【详解】解：如图，过点B作BHBC，交CF的延长线于H，AD为BC边的中线，ACBC2，CDBD1，ADAC2+CD24+15，SACD=12ACCD=12ADCE，CE125255，ADC+BCH90，BCH+H90，ADCH，在ACD和CBH中，ADC=HACD=CBH=90AC=BC，ACDCBH（AAS），CDBH1，ADCH5，ACBC，BHBC，ACBH，ACFBHF，BHAC=FHFC12，CF25
23、3，EFCFCE2532554515，故选：B【点睛】本题考查了相似三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键10（2022浙江宁波统考二模）如图，等边ABC和等边DEF的边长相等，点A、D分别在边EF，BC上，AB与DF交于G，AC与DE交于H要求出ABC的面积，只需已知（）ABDG与CDH的面积之和BBDG与AGF的面积之和CBDG与CDH的周长之和DBDG与AGF的周长之和【答案】C【分析】根据题意只要求出等边三角形的边长即可求解，设BG=a，BD=b，DG=c，CD=d，DH=e，CH=f，等边三角形边长为x，证明
24、AFGDBG，同理可得AHEDHC，根据相似三角形三角形的性质即可求解【详解】设BG=a，BD=b，DG=c，CD=d，DH=e，CH=f，等边三角形边长为x，则FG=x-c，AG=x-a，F=B=60,AGF=BGDAFGDBG，AGDG=FGBG，即x-ac=x-ca，ax-a2=cx-c2，a-cx=a+ca-c，x=a+c或a=c，同理AHEDHC，可得x=e+f或e=f，当a=c时，BDG是等边三角形，同理DCH为等边三角形，此时BDG和DCH的周长之和为a+b+c+d+e+f=3x，当x=a+c时，FG=a=BG，AG=c=GD，又AGF=DGB，BDGFAG，则AF=b，AE=d
25、，同理AHEDHC，则a+b+c+d+e+f=x+x+b+d=x+x+x=3x综上所述，只需已知BDG与CDH的周长之和，即可求出ABC的边长，也可求出等边三角形ABC面积故选：C【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质，证明AFGDBG，AHEDHC得出比例式是解题的关键二、填空题11（2019浙江校考一模）ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为50，底角B的度数为_【答案】70或20【分析】当ABC为锐角三角形时，设AB的垂直平分线交线段AC于点D，交AB于点E，先求得A，再由三角形内角和定理可求得B；同理，当ABC为钝角三角形时，可求得D
26、AB的度数，再利用等腰三角形和三角形外角的性质可知B=12DAB，由此可解【详解】解：分两种情况：当ABC为锐角三角形时，如图1，设AB的垂直平分线交线段AC于点D，交AB于点E，ADE=50，DEAB，A=90-50=40，AB=AC，B=ACB=12180-A=70；当ABC为钝角三角形时，如图2，设AB的垂直平分线交线段AC于点D，交AB于点E，ADE=50，DEAB，DAB=90-50=40，AB=AC，B=C，B+C=DAB，B=12DAB=20；综上可知B的度数为70或20，故答案为：70或20【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理，以及三角形外角的性质，注意分类讨
27、论是解题的关键，否则就会漏解12（2013浙江宁波统考一模）如图，等边ABC的边长为3，点P为BC边上一点，且BP=1，点D为AC边上一点若APD=60，则CD的长为_【答案】23【分析】根据等边三角形性质求出AB=BC=AC=3，B=C=60，推出BAP=DPC，证BAPCPD，得出ABCP=BPCD，代入求出即可【详解】解：如图，ABC是等边三角形，AB=BC=AC=3，B=C=60，BAP+APB=180-60=120，APD=60，APB+DPC=180-60=120，BAP=DPC，又B=C，BAPCPD，ABCP=BPCD，AB=BC=3，BP=1，CP=BC-BP=3-1=2，3
28、2=1CD，解得：CD=23，故答案为：23【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，解题关键是推出BAPCPD，主要考查了学生的推理能力和计算能力13（2010浙江统考中考模拟）如图，等边ABC的边长为1cm，D、E分别是AB、AC上的点，将ADE沿直线DE折叠，点A落在点F处，且点F在ABC外部，则阴影部分图形的周长为_cm【答案】3【分析】由题意得AD=FD，AE=FE，故阴影部分的周长可以转化为ABC的周长【详解】将ADE沿直线DE折叠，点A落在点F处，AD=FD，AE=FE等边ABC的边长为1cm，AB=BC=AC=1cm，则阴影部分图形的
29、周长为：BC+BD+CE+FD+FE=BC+BD+CE+AD+AE=BC+AB+AC=3（cm）故答案为：3【点睛】本题考查了等边三角形的性质以及折叠的问题，折叠问题的实质是“轴对称”，解题的关键是找出经轴对称变换所得的等量关系14（2022浙江衢州模拟预测）如图，在ABCD中，ABC=150利用尺规在BC、BA上分别截取BE、BF，使BE=BF；分别以E、F为圆心，大于12EF的长为半径作弧，两弧在CBA内交于点G；作射线BG交DC于点H若AD=3+1，则BH的长为_【答案】2【分析】如图所示，过点H作HMBC于M，由作图方法可知，BH平分ABC，即可证明CBH=CHB，得到CH=BC=3+
30、1，从而求出HM，CM的长，进而求出BM的长，即可利用勾股定理求出BH的长【详解】解：如图所示，过点H作HMBC于M，由作图方法可知，BH平分ABC，ABH=CBH，四边形ABCD是平行四边形，BC=AD=3+1，ABCD，CHB=ABH，C=180-ABC=30，CBH=CHB，CH=BC=3+1，HM=12CH=3+12，CM=CH2-CM2=3+32，BM=BC-CM=3-12，BH=HM2+BM2=2，故答案为：2【点睛】本题主要考查了角平分线的尺规作图，平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质与判定等等，正确求出CH的长是解题的关键15（2022浙江
31、丽水统考一模）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=2，BAC=120，M为AB的中点，P为BC上任意一点，则t=PM+PA的范围是_【答案】3t7+2【分析】分别求出PM+PA的最大值和最小值即可作点M关于BC的对称点N，垂足为E，连接AN交BC于点P，则此时t=PM+PA最小，作AFMN于点F，ADBC于点D，可得出四边形AFED为矩形，再根据等腰三角形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形，即可求得AN的值；当点P与点C重合时，t=CM+CA最大，作MDCA于点D，根据三角形外角的性质及勾股定理即可得出MC的值，从而得出CM+CN的值，即为所求【详解】解：如图（1），作点M关于BC的
32、对称点N，垂足为E，连接AN交BC于点P，则此时t=PM+PA最小，且t=AN，作AFMN于点F，ADBC于点D四边形AFED为矩形AB=AC=2，BAC=120，AM=BM=1，B=30AD=1，ME=NE=12，BE=DE=32EF=AD=1，AF=DE=32，NF=EF+EN=32t=AN=NF2+AF2=3如图（2）当点P与点C重合时，t=CM+CA最大作MDCA于点D，BAC=120AMD=BAC-MDA=30 MD=32,AD=12MC=7，t=7+2，3t7+2故答案为：3t7+2【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用、等腰三角形的性质、三角形外角性质、，正确作出辅助线是解答本题的
33、关键16（2022浙江温州温州市第三中学校考模拟预测）图1是一辆卸货车实物图，折线ABC是支架，BD为可伸缩的液压支撑杆，测得BC=10，CD=2，DE=3，ABC=CDE=135，EFG=90，图2是卸货车不工作时的侧面示意图，此时AB与FG在同一直线上，CDAB，且DEF=135，则BF=_，图3是卸货车工作时的侧面示意图，折线CDE可绕点C上下旋转，且CDE始终保持不变，EF始终保持与地面垂直，当BDDE时，FG与AB的距离为_【答案】 52-252 655+322【分析】（1）过点E作EM，过点D作DMEM，垂足为M，并延长至AB的延长线，交于点P，过点C作CNAB延长线与点N，由FB
34、=FP+NP-NB即可求得结果；（2）过点C作CHBD于H，连接BE，GE，过点F作FFAB于点F，延长AB，过点C作CMAM于点M，延长ED，过点C作CIEI于点I，过点C作CNEF于点N，计算出点E到AB的距离，在减去EF的长度即可求解【详解】解：如图所示，过点E作EM，过点D作DMEM，垂足为M，并延长至AB的延长线，交于点P，过点C作CNAB延长线与点N，EFG=90，DEF=135，DEM=135-90=45，DE=3，在RtDEM中，EM=DM=322，即FP=EM=322，CNPN，DPNP，且CD=2，FN=NP+FP=2+322=522，ABC=CDE=135，CBN=180
35、-135=45，且BC=10，CN=BN=5，FB=FP+NP-NB，FB=522-5=52-252，故答案为：52-252由上述的计算可知，EF=CN-EM=5-322=25-322，过点C作CHBD于H，连接BE，GE，过点F作FFAB于点F，延长AB，过点C作CMAM于点M，延长ED，过点C作CIEI于点I，过点C作CNEF于点N，如图所示：ABC=CDE=135，BDDE，CDH=135-90=45，CDI=180-135=45，CD=2，BC=10， 在RtCDH，RtBCH，RtCDI中，DH=CH=DI=CI=1，BH=BC2-CH2=102-1=3，EI=DE+DI=3+1=4
36、，BD=BH+HD=3+1=4，在RtBDE中，DE=3，BD=4，BE=BD2+DE2=42+32=5，在RtCEI中，CE=42+12=17，ABC=135，CBM=45，CMB=90，BC=10，在RtCBM中，CM=BM=5，CMB=CNF=NFM=90，四边形CMFN为矩形，CM=NF=5，MF=CN，设BF=y，EF=x，则EN=x-5，MF=CN=y+5，在RtBFE和RtCNE中，CE2=CN2+EN2，BE2=BF2+EF2，x2+y2=52x-52+y+52=172，解得：x1=1155，x2=-255（舍去），FF=EF-EF=1155-25-322=655+322故答案
37、为：655+322【点睛】本题主要考查的是直角三角形的勾股定理与实际的运用，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，作出辅助线，熟练掌握勾股定理，是解题的关键三、解答题(共0分)17（2019浙江校考一模）如图，ABC中，ABAC，BADCAD，BDCD，ADBC请你选择其中的两个作为条件，另两个作为结论，证明等腰三角形的“三线合一”性质定理【答案】见解析.【分析】以ABC中，AB=AC，BAD=CAD做为条件，可求出BD=CD，ADBC做为结论，从而证明了三线合一【详解】已知：ABAC，BADCAD求证：BDCD，ADBC证明：在ABD与ACD中，AB=ACBAD=CADAD=ADABDAC
38、D(SAS)BDCD，ADBC【点睛】本题考查等腰三角形的性质以及全等三角形的判定和性质等知识点，关键是求出全等，三线合一的结论可证18（2020浙江嘉兴统考二模）如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在BC异侧，ABCD，AEDF，AD（1）求证：BECF（2）若ABCF，B40，求D的度数【答案】（1）证明见解析；（2）70【分析】(1)由平行线的性质得出B=C，结合已知条件，依据AAS即可证明ABEDCF；(2)由(1)得：C=B=40，ABEDCF，由全等三角形的性质得出AB=CD，证出CD=CF，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出结果【详解】（1）证明：ABCD，BC
39、，在ABE和DCF中， A=DB=CAE=DFABEDCF（AAS），BECF；（2）解：由（1）得：CB40，ABEDCF，ABCD，又ABCF，CDCF，DCFD12（18040）70【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的等边对等角的性质以及三角形内角和定理；利用全等的性质求证线段相等是一种常见思路，利用三角形内角和求角度也是常见思路，关键是将已知条件转化到目标三角形中19（2022浙江丽水一模）如图，在55的正方形网格中，线段AB的端点落在格点上，请按要求作图（所作图形顶点为格点，每小题作出一个即可）图1：以AB为腰的等腰三角形图2：以AB为边的平行四边形图
40、3：以AB为对角线的平行四边形【答案】见解析【分析】根据等腰三角形和平行四边形的判定结合网格特点作图即可【详解】解：如图1，ABC是以AB为腰的等腰三角形；如图2，四边形ABCD是以AB为边的平行四边形；如图3，四边形ACBD是以AB为对角线的平行四边形【点睛】本题考查了作等腰三角形，作平行四边形，熟练掌握网格特点是解题的关键20（2022浙江杭州统考一模）在AD=AE，BAE=CAD这两个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，请完成问题的解答问题：如图，ABC中，AB=AC，点D，E在边BC上（不与点B，C重合）连结AD，AE若_，求证：BD=CE【答案】或【分析】选择条件，可得到ADE=AED，根据等角的补角相等可推出ADB=AEC，再利用AB=AC得到B=C，则可根据“AAS”可判断ABDACE，从而得到BD=CE；选择条件，可得到BAD=CAE，利用AB=AC得到B=C，则可根据“ASA”可判断ABDACE，从而得到BD=CE【详解】证明：选择条件的证明为：AD=AE，ADE=AED，ADB=AEC，又AB=AC，B=C，在ABD和ACE中，B=CADB=AECAB=AC，ABDACE（AAS），BD=CE；选择条件的证明为：BAE=CAD，BAD=CAE，又AB=AC，B=