1、专题29 锐角三角函数一、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1（2022萧山区校级一模）cos45（）ABCD2（2022吴兴区校级二模）如图，在RtABC中，C90，若AC3，BC4，则cosB的值是（）ABCD3（2022鹿城区校级模拟）某滑梯示意图及部分数据如图所示若AE1m，则DF的长为（）ABCD4（2022婺城区模拟）如图，小华在课外时间利用仪器测量红旗的高度，从点A处测得旗杆顶部B的仰角为，并测得到旗杆的距离AC为m米，若AD为h米，则红旗的高度BE为（）A（mtan+h）米B（+h）米CmtanD米5（2022龙港市模拟）如图，某学校操场上有甲、乙两根木杆，若
2、某一时刻太阳光线与地面的夹角为（为锐角），甲、乙杆在水平地面的影长分别为2米和1.5米若甲杆比乙杆长m米，则m的值等于（）A2tanBCDtan6（2022温州校级模拟）为了疫情防控工作的需要，某学校在学校门口的大门上方安装了一个人体体外测温摄像头，摄像头到地面的距离DE2.7米，小明身高BF1.5米，他在点A测得点D的仰角是在点B测得点D仰角的2倍，已知小明在点B测得的仰角是a，则体温监测有效识别区域AB的长为（）米Atantan2BCD7（2022乐清市一模）如图，一只正方体箱子沿着斜面CG向上运动，C，箱高AB1米，当BC2米时，点A离地面CE的距离是（）米ABCcos+2sinD2co
3、s+sin8（2022上城区二模）如图，在RtABC中，ACB90，D为AB的中点，tanBCD，则tanA（）AB3CD9（2022杭州模拟）如图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC若ABBC2，BOC，则OA2的值为（）ABsin24CDtan2410（2022海曙区校级一模）如图1，以RtABC的各边为边向外作等边三角形，编号分别为，如图2，将，叠放在中，若四边形EGHF与GDCH的面积之比是，则sinABC的值是（）ABCD二、 填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请把答案直接填写在横线上
4、11（2022萧山区校级二模）若cosA，则锐角A 12（2022吴兴区一模）某仓储中心有一斜坡AB，其坡比i1：2，顶部A处的高AC为4米，B、C在同一水平面上则斜坡AB的水平宽度BC为 米13（2020萧山区二模）如图，在等腰直角三角形ABC中，C90，AC6，D是AC上一点，若tanDBA，则AD的长是 14（2022婺城区校级模拟）如图是一个56的正方形网格，点A，B，C，D都在格点上，且线段AB，CD相交于点P，则tanBPC的值为 15（2022金华模拟）台灯，是我们在学习中的万能“小助手”如图1是一盏可调节台灯，图2和图3为示意图，固定底座AOOE于点O，AB为固定支撑杆，BC为
5、可绕着点B旋转的调节杆，灯体CD始终保持垂直BC，MN为台灯照射在桌面的区域，如图2，旋转调节杆使BCOE，已知此时DMDN，tanB，AOCD1dm，AB5dm，BC7dm，点M恰好为ON的中点，则cosDME的值为 16（2022丽水模拟）如图，图1是图2推窗的左视图，AF为窗的一边，窗框边AB1米，EF是可移动的支架，点C是AB的中点，点E可以在线段BC上移动若AF2EF1米（1）当E与B重合时，则AFE （2）当E从点C到点B的移动过程中，点F移动的路径长为 米（结果保留，参考数据：若sin0.25，则取14）三、解答题（本大题共7小题，共66分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤
6、）17（2020西湖区校级模拟）计算：tan45sin30cos60cos24518（2021永嘉县校级模拟）如图，在ABC中，ABAC，BAC120，BC2，求ABC的周长19（2021长兴县模拟）已知：如图，在RtABC中，C90，AB的垂直平分线与AB，BC分别交于点E和点D，且BD2AC（1）求B的度数；（2）求tanBAC的值（结果保留根号）20（2022路桥区一模）火钳是铁制夹取柴火的工具，有保洁员拿它拾捡地面垃圾使用，图1是火钳实物图，图2是其示意图已知火钳打开最大时，两钳臂OC，OD的夹角COD40，若OCOD40cm，求两钳臂端点C，D的距离（结果精确到1cm，参考数据：si
7、n700.94，cos700.34，tan702.75）21（2022奉化区二模）图1是某种手机支架在水平桌面上放置的实物图，图2是其侧面的示意图，其中支杆ABBC20cm，可绕支点C，B调节角度，DE为手机的支撑面，DE18cm，支点A为DE的中点，且DEAB（1）若支杆BC与桌面的夹角BCM70，求支点B到桌面的距离；（2）在（1）的条件下，若支杆BC与AB的夹角ABC110，求支撑面下端E到桌面的距离（结果精确到1cm，参考数据：sin700.94，cos700.34，tan702.78，sin400.64，cos400.77，tan400.84）22（2022嘉兴一模）图1是小明家电动
8、单人沙发的实物图，图2是该沙发主要功能介绍，其侧面示意图如图3所示沙发通过开关控制，靠背AB和脚托CD可分别绕点B，C旋转调整角度“n某某”模式时，表示ABCn，如“140看电视”模式时ABC140已知沙发靠背AB长为50cm，坐深BC长为54cm，BC与地面水平线平行，脚托CD长为40cm，DCDABC80，初始状态时CDBC（1）求“125阅读”模式下DCD的度数（2）求当该沙发从初始位置调至“125阅读”模式时，点D运动的路径长（3）小明将该沙发调至“150听音乐”模式时，求点A，D之间的水平距离（精确到个位）（参考数据：1.7，sin700.9，cos700.3）23（2022金东区二
9、模）图1是新冠疫情期间测温员用“额温枪”对居民李阿姨测温时的手绘图，图2是其侧面示意图，其中枪柄CD和手臂BC始终在同一条直线上，额头为F，枪身DE与身体FQ保持垂直，量得胳膊AB24cm，BD40cm，肘关节B与枪身端点E之间的水平宽度为28cm（即BH的长度），枪身DE8cm（1）求DBH的度数（2）根据疫情防控相关操作要求，规定测温时枪身端点E与额头F之间的距离需在3cm到5cm之间若ABC75，李阿姨与测温员之间的距离为48cm求此时枪身端点E与李阿姨额头F之间的距离，并判断测温枪与额头之间的距离是否在规定范围内，说明相应理由（结果保留小数点后两位参考数据：1.414，1.732）专题
10、29 锐角三角函数一、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1（2022萧山区校级一模）cos45（）ABCD【分析】根据特殊角的三角函数值可得答案【解答】解：cos45故选：D2（2022吴兴区校级二模）如图，在RtABC中，C90，若AC3，BC4，则cosB的值是（）ABCD【分析】根据勾股定理求出AB，根据余弦的定义解答【解答】解：由勾股定理得，AB5，cosB，故选：C3（2022鹿城区校级模拟）某滑梯示意图及部分数据如图所示若AE1m，则DF的长为（）ABCD【分析】根据，BECF，求解即可【解答】解：，AE1m，BEtan，BECF，BECFtan，故选：A4（20
11、22婺城区模拟）如图，小华在课外时间利用仪器测量红旗的高度，从点A处测得旗杆顶部B的仰角为，并测得到旗杆的距离AC为m米，若AD为h米，则红旗的高度BE为（）A（mtan+h）米B（+h）米CmtanD米【分析】根据题意得出ACm米，ADC，ADh米，易得四边形ADEC为矩形，则ADCEh米，ACDEm米，在RtBAC中根据正切的定义得到BCmtan，然后利用BEBC+CE进行计算即可得出答案【解答】解：如图，DEm米，BAC，DEh米，四边形ADEC为矩形，DEACm米，ADCEh米，在RtADC中，tanBAC，BCmtan，BEBC+CE（mtan+h）米故选：A5（2022龙港市模拟）
12、如图，某学校操场上有甲、乙两根木杆，若某一时刻太阳光线与地面的夹角为（为锐角），甲、乙杆在水平地面的影长分别为2米和1.5米若甲杆比乙杆长m米，则m的值等于（）A2tanBCDtan【分析】利用锐角三角函数的定义表示出AB、CD的长，进行计算即可解答【解答】解：如图：由题意得：ABBC，BC2米，DEEF，EF1.5米CF，ABDEm米，在RtABC中，tanCtan，ABBCtan2tan，在RtDEF中，tanCFtan，DEEFtan1.5tan，ABDEm米，m2tan1.5tantan，故选：C6（2022温州校级模拟）为了疫情防控工作的需要，某学校在学校门口的大门上方安装了一个人体
13、体外测温摄像头，摄像头到地面的距离DE2.7米，小明身高BF1.5米，他在点A测得点D的仰角是在点B测得点D仰角的2倍，已知小明在点B测得的仰角是a，则体温监测有效识别区域AB的长为（）米Atantan2BCD【分析】根据题意可得：DCA90，CEBF1.5米，从而可得DC1.2米，然后分别在RtDCB和RtDCA中，利用锐角三角函数的定义求出BC和AC的长，进行计算即可解答【解答】解：由题意得：DCA90，CEBF1.5米，DE2.7米，DCDECE2.71.51.2（米），在RtDCB中，DBC，BC（米），在RtDCA中，DAC2DBC2，AC（米），ABBCAC（）米，故选：B7（20
14、22乐清市一模）如图，一只正方体箱子沿着斜面CG向上运动，C，箱高AB1米，当BC2米时，点A离地面CE的距离是（）米ABCcos+2sinD2cos+sin【分析】过点B作BMAD，垂足为M，根据题意可得BEDM，ABCBECADC90，再利用等角的余角相等可得CBAF，然后在RtABM中，利用锐角三角函数的定义求出AM的长，再在RtCBE中，利用锐角三角函数的定义求出BE的长，从而求出DM的长，最后进行计算即可解答【解答】解：过点B作BMAD，垂足为M，由题意得：BEDM，ABCBECADC90，C+CFD90，AFB+BAF90，CFDAFB，CBAF，在RtABM中，AB1米，AMAB
15、coscos（米），在RtCBE中，BC2米，BEBCsin2sin（米），DMBE2sin米，ADAM+DM（cos+2sin）米，点A离地面CE的距离是（cos+2sin）米，故选：C8（2022上城区二模）如图，在RtABC中，ACB90，D为AB的中点，tanBCD，则tanA（）AB3CD【分析】过点D作DEBC于点E，依据tanBCD，设DEx，可求得CE，根据已知条件可求出AC，进而可求出答案【解答】解：过点D作DEBC于点E，ACB90，D为AB的中点，ADBDCD，BCD为等腰三角形，CEBE，tanBCD，设DEx，则CE3x，CB6x，ACBBED90，D为AB的中点，A
16、C2DE2x，tanA3故选：B9（2022杭州模拟）如图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC若ABBC2，BOC，则OA2的值为（）ABsin24CDtan24【分析】在RtOBC中，BC2，BOC，利用锐角三角函数的定义求出OB的长，再在RtABO中，利用勾股定理进行计算即可解答【解答】解：在RtOBC中，BC2，BOC，OB，在RtABO中，AB2，OA2OB2AB2（）2224，故选：A10（2022海曙区校级一模）如图1，以RtABC的各边为边向外作等边三角形，编号分别为，如图2，将，叠放在中，若
17、四边形EGHF与GDCH的面积之比是，则sinABC的值是（）ABCD【分析】根据勾股定理可知三个等边三角形的面积满足S+SS，再根据给定的条件表示出的面积，即可推出AC：BC即sinABC的值【解答】解：根据勾股定理，得AC2+AB2BC2，RtABC的各边为边向外作等边三角形，三个等边三角形的面积满足S+SS，设四边形EGHF的面积为161k，则GDCH的面积为64k，则有SS+161k，SS+161k+64k，得S+S+161kS+161k+64k，S64k，S64k+161k+64k289k，S：S64：289，AC：BC8：17，sinABC，故选：A二、 填空题（本大题共6小题，每
18、小题4分，共24分）请把答案直接填写在横线上11（2022萧山区校级二模）若cosA，则锐角A60【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出答案【解答】解：cosA，锐角A60故答案为：6012（2022吴兴区一模）某仓储中心有一斜坡AB，其坡比i1：2，顶部A处的高AC为4米，B、C在同一水平面上则斜坡AB的水平宽度BC为 8米【分析】根据坡度定义直接解答即可【解答】解：坡度为i1：2，AC4米，BC428（米），故答案为：813（2020萧山区二模）如图，在等腰直角三角形ABC中，C90，AC6，D是AC上一点，若tanDBA，则AD的长是2【分析】过D作DHAB于H，由tanDBA，设DHm
19、，则BH5m，AB6m，根据三角形ABC是等腰直角三角形，C90，AC6，可得AB6，从而可得6m6，解得m，即可得到答案【解答】解：过D作DHAB于H，如图：RtBDH中，tanDBA，设DHm，则BH5m，三角形ABC是等腰直角三角形，C90，AC6，A45，ABAC6，AHD是等腰直角三角形，AHm，ADm，ABAH+BH6m，6m6，解得m，ADm2故答案为：214（2022婺城区校级模拟）如图是一个56的正方形网格，点A，B，C，D都在格点上，且线段AB，CD相交于点P，则tanBPC的值为 3【分析】连接AN，则ANCD，由勾股定理求出AN，CN的长，再由MPNBPC求出PN的长，
20、即可求解【解答】解：连接AN，则ANCD，设小正方形的边长是1，AN2，MNCB，MPNBPC，CN4，PNCN，tanBPCtanAPN3故答案为：315（2022金华模拟）台灯，是我们在学习中的万能“小助手”如图1是一盏可调节台灯，图2和图3为示意图，固定底座AOOE于点O，AB为固定支撑杆，BC为可绕着点B旋转的调节杆，灯体CD始终保持垂直BC，MN为台灯照射在桌面的区域，如图2，旋转调节杆使BCOE，已知此时DMDN，tanB，AOCD1dm，AB5dm，BC7dm，点M恰好为ON的中点，则cosDME的值为 【分析】通过作垂线或高构造直角三角形，联络员直角三角形的边角关系即可求出答案
21、【解答】解：如图，过点A作APBC于P，过点D作DQMN于Q，在RtABP中，AB5dm，tanB，AP4dm，BP3dm，又BC7dm，PC734（dm）OQ，DMDN，DQMN，MQQNMN，点M恰好为ON的中点，MQQNOQ（dm），DQCQCDOPCD1+414（dm），在RtDMQ中，DM（dm），cosDME，故答案为：16（2022丽水模拟）如图，图1是图2推窗的左视图，AF为窗的一边，窗框边AB1米，EF是可移动的支架，点C是AB的中点，点E可以在线段BC上移动若AF2EF1米（1）当E与B重合时，则AFE76（2）当E从点C到点B的移动过程中，点F移动的路径长为 米（结果保留
22、，参考数据：若sin0.25，则取14）【分析】（1）过点A作ADEF，交EF于点D，再根据sinEAD0.25，求出EAD的度数，以此即可解答；（2）点E从点C到点B的移动过程中，当EF垂直于AB时，EAF取得最大值30，当点E和点B重合时，EAF28，则点F的移动路径是以点A为圆心，1米长为半径，圆心角为32的弧，再根据弧长公式即可解答【解答】解：（1）如图，过点A作ADEF，交EF于点D，则ADF90，AFAE1米，AF2EF，EF0.5米，DFDE0.25米，在RtADE中，sinEAD，EAD14，AFEAEF90EAD901476；故答案为：76；（2）点E从点C到点B的移动过程中
23、，当EF垂直于AB时，AF2EF，EFA30，即此时EAF取得最大值，当点E与点B重合时，由（1）知，EAD14，AFAE，ADEF，EAF28，当E与B重合时，此时AF和AB重合，当E从点C到点B的移动过程中，点F的移动路径是以点A为圆心，1米长为半径，圆心角为32的弧，路径长为：（米）故答案为：三、解答题（本大题共7小题，共66分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（2020西湖区校级模拟）计算：tan45sin30cos60cos245【分析】把特殊角的三角函数值代入原式，计算即可【解答】解：原式1（）2118（2021永嘉县校级模拟）如图，在ABC中，ABAC，BAC120，
24、BC2，求ABC的周长【分析】作ADBC，根据题意即可求得BC30，根据余弦的定义可求得AB的值，即可解题【解答】解：作ADBC于D，ABAC，BAC120，BC30，BDCD，cosB，AB2，ABC的周长AB+AC+BC4+2答：ABC的周长为4+219（2021长兴县模拟）已知：如图，在RtABC中，C90，AB的垂直平分线与AB，BC分别交于点E和点D，且BD2AC（1）求B的度数；（2）求tanBAC的值（结果保留根号）【分析】（1）连接AD，得到ADC，再根据ADBD可得答案；（2）设ACm，用m表示出BC即可求出答案【解答】解：连接AD，如图：AB的垂直平分线与AB，BC分别交于
25、点E和点D，ADBD，BDAB，BD2AC，AD2AC，又C90，sinADC，ADC30，而ADCB+DAB，B15；（2）设ACm，则ADBD2m，RtACD中，CDm，BC（2+）m，RtABC中，tanBAC2+，tanBAC2+20（2022路桥区一模）火钳是铁制夹取柴火的工具，有保洁员拿它拾捡地面垃圾使用，图1是火钳实物图，图2是其示意图已知火钳打开最大时，两钳臂OC，OD的夹角COD40，若OCOD40cm，求两钳臂端点C，D的距离（结果精确到1cm，参考数据：sin700.94，cos700.34，tan702.75）【分析】连接CD，过点O作OECD，垂足为E，利用等腰三角形
26、的性质可得CD70，CD2CE，然后在RtOCE中，利用锐角三角函数的定义求出CE的长，从而求出CD的长，即可解答【解答】解：连接CD，过点O作OECD，垂足为E，OCOD40cm，COD40，CD70，CD2CE，在RtOCE中，CEOCcos70400.3413.6（cm），CD2CE27（cm），两钳臂端点C，D的距离约为27cm21（2022奉化区二模）图1是某种手机支架在水平桌面上放置的实物图，图2是其侧面的示意图，其中支杆ABBC20cm，可绕支点C，B调节角度，DE为手机的支撑面，DE18cm，支点A为DE的中点，且DEAB（1）若支杆BC与桌面的夹角BCM70，求支点B到桌面的
27、距离；（2）在（1）的条件下，若支杆BC与AB的夹角ABC110，求支撑面下端E到桌面的距离（结果精确到1cm，参考数据：sin700.94，cos700.34，tan702.78，sin400.64，cos400.77，tan400.84）【分析】（1）过B作BFCM于F，则，代入数值即可求解；（2）过A作AGCM于G，过B作BHAG于H，过E作EKAG于K，由，求得AH，AK根据E到桌面的距离AHAK+HG即可求解【解答】解：（1）过点B作BFCM于F，BCM70，BF200.9418.819cmB到桌面距离为19cm；（2）过点A作AGCM于G，过点B作BHAG于H，过点E作EKAG于K
28、，BHFG，HBCBCM70，ABC110，ABH40，EAB90，EAK40，AH200.6412.8cm，AK90.776.93cm，支撑面下端E到桌面的距离为：AHAK+HG12.86.93+1925cm答：E到桌面距离大约为25cm22（2022嘉兴一模）图1是小明家电动单人沙发的实物图，图2是该沙发主要功能介绍，其侧面示意图如图3所示沙发通过开关控制，靠背AB和脚托CD可分别绕点B，C旋转调整角度“n某某”模式时，表示ABCn，如“140看电视”模式时ABC140已知沙发靠背AB长为50cm，坐深BC长为54cm，BC与地面水平线平行，脚托CD长为40cm，DCDABC80，初始状态
29、时CDBC（1）求“125阅读”模式下DCD的度数（2）求当该沙发从初始位置调至“125阅读”模式时，点D运动的路径长（3）小明将该沙发调至“150听音乐”模式时，求点A，D之间的水平距离（精确到个位）（参考数据：1.7，sin700.9，cos700.3）【分析】（1）“125阅读”模式下ABC125，根据DCDABC80计算即可；（2）根据弧长的计算公式计算即可；（3）过点作ANBC，交CB的延长线于点N，过点DMCD于点M，求出BN和DM即可【解答】解：（1）“125阅读”模式下ABC125，DCDABC801258045；（2）DCD45，CD40cm，点D运动的路径长为：10（cm2
30、）；（3）如图，过点作ANBC，交CB的延长线于点N，过点DMCD于点M，“150听音乐”模式时ABC150，DCDABC801508070，ABN30，在RtABN中，BNABcos30502543，在RtCMD中，MDCDsin70400.936，点A，D之间的水平距离为：BN+BC+MD43+54+36133（cm）23（2022金东区二模）图1是新冠疫情期间测温员用“额温枪”对居民李阿姨测温时的手绘图，图2是其侧面示意图，其中枪柄CD和手臂BC始终在同一条直线上，额头为F，枪身DE与身体FQ保持垂直，量得胳膊AB24cm，BD40cm，肘关节B与枪身端点E之间的水平宽度为28cm（即B
31、H的长度），枪身DE8cm（1）求DBH的度数（2）根据疫情防控相关操作要求，规定测温时枪身端点E与额头F之间的距离需在3cm到5cm之间若ABC75，李阿姨与测温员之间的距离为48cm求此时枪身端点E与李阿姨额头F之间的距离，并判断测温枪与额头之间的距离是否在规定范围内，说明相应理由（结果保留小数点后两位参考数据：1.414，1.732）【分析】（1）过点D作DGBH，垂足为G，则DEHG8cm，从而求出BG的长，然后在RtDGB中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答；（2）延长HB交MN于点K，利用（1）的结论可求出ABK45，然后在RtABK中，利用锐角三角函数的定义进行计算求出BK，从而求出EF的长，进行比较即可解答【解答】解：（1）过点D作DGBH，垂足为G，则DEHG8cm，BH28cm，BGBHHG20（cm），在RtDGB中，DB40cm，cosDBH，DBH60，DBH的度数为60；（2）延长HB交MN于点K，则AKB90，DBH60，ABC75，ABK180DBGABK45，在RtABK中，AB24cm，BKABcos452412（cm），EF48BKBH4812283.03（cm），此时枪身端点E与李阿姨额头F之间的距离约为3.03cm，规定范围在3cm到5cm之间，在规定范围内