1、专题28 图形的相似一、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1（2023宁波模拟）若，则的值是（）ABC2D22（2022诸暨市二模）如图，如果BADCAE，那么添加下列一个条件后，仍不能确定ABCADE的是（）ABDBCAEDCD3（2011永嘉县模拟）如图，D、E为ABC边上的点，DEBC，ADE的面积等于2，则四边形DBCE的面积等于（）A8B9C16D254（2021滨江区校级三模）如图，在ABC中，D、E分别在AB、AC上，DEBC，点F在BC边上，连接AF交DE于点G，则下列结论中一定正确的是（）ABCD5（2023宁波模拟）如图，在RtABC中，C90，过点C作C
2、DAB于点D，点M为线段AB的中点，连结CM，过点D作DECM于点E设DAa，DBb，则图中可以表示的线段是（）AMCBCECDEDME6（2023宁波模拟）矩形相邻的两边长分别为25和x（x25），把它按如图所示的方式分割成五个全等的小矩形，每一个小矩形均与原矩形相似，则x的值为（）A5B5C5D107（2022鹿城区校级三模）如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形拼接而成，连结HF交DE于点M若，则的值为（）ABCD8（2022鹿城区校级模拟）如图，两个大小不等的正方形被切割成5部分，且与的面积之差为8，将这5部分拼接成一个大正方形ABCD，连接AC交DF于点E，若，则大正方形ABCD
3、的面积为（）A18B25C32D509（2022吴兴区校级二模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，BAD60，AB1按下列步骤作图：以点B为圆心，适当长为半径画弧，与ABD的两边分别交于M、N两点；分别以点M、N为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧相交于点P；过B，P两点作射线BP，分别交AD，AC于点F，G，下列结论错误的是（）AAFDFBBFBCCAG：GC1：3DAD2AGAC10（2022金华模拟）如图，在矩形ABCD中，DE3AE，BEAC于点F，连接DF分析下列四个结论：AEFCAB；CF3AF；SCDFSCBF；若BC4，则tanACB其中正确的结论有（）ABCD
4、二、 填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请把答案直接填写在横线上11（2023宁波模拟）如图，ABCDEF，直线l1、l2分别与这三条平行线交于点A、C、E和点B、D、F已知AC3，CE5，DF4，则BD的长为 12（2022北仑区校级三模）在矩形ABCD中，AB6，AD8，G为CD上一点，连结AG交BD于点E，若ABAE，ABEEFC，则BF的长度为 13（2022嘉兴二模）如图，在ABC中，AD为CAB的平分线，DEAB，若DE3，CE4，则AB的值 14（2022瑞安市校级三模）如图，已知平行四边形ABCD的面积为24，以B为位似中心，作平行四边形ABCD的位似图形平行四边形
5、EBFG，位似图形与原图形的位似比为，连接AG、DG则ADG的面积为 15（2022奉化区二模）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且AC6，BD8过O的直线EF交BC于E，交AD于F把四边形CDFE沿着EF折叠得到四边形CEFD，CD交AC于点G当CDBD时，的值为 ，BE的长为 16（2022乐清市一模）如图1为某智能洗拖一体扫地机，它正常工作及待机充电时的示意图如图2所示，四边形ABCD为它的手柄，OE为支撑杆，OM为拖把支架，且点O始终在AB的延长线上，当待机时，BCOM，已知AB18cm，BC15cm，ABCC90，AD+CD27cm，则CD cm；OE绕点O逆时针旋转一定
6、角度，机器开始工作，当D，C，M在同一直线上时，点A，B分别绕O点旋转到点A，B，且高度分别下降了21.6cm和18cm，则此时点D到OM距离为 cm三、解答题（本大题共7小题，共66分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（2023宁波模拟）如图，为了测量平静的河面的宽度，即EP的长，在离河岸D点3.2米远的B点，立一根长为1.6米的标杆AB，在河对岸的岸边有一根长为4.5米的电线杆MF，电线杆的顶端M在河里的倒影为点N，即PMPN，两岸均高出水平面0.75米，即DEFP0.75米，经测量此时A、D、N三点在同一直线上，并且点M、F、P、N共线，点B、D、F共线，若AB、DE、MF均
7、垂直于河面EP，求河宽EP是多少米？18（2022椒江区校级二模）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，ABC的顶点都在格点上（1）以O为位似中心，在点O的同侧作A1B1C1，使得它与原三角形的位似比为1：2；（2）将ABC绕点O顺时针旋转90得到A2B2C2，作出A2B2C2，并求出点C旋转的路径的长19（2022永嘉县三模）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，AE，BF交于点P（1）求证：AP4PE（2）若BPEBFD，且AD8，求四边形PFCE的面积20（2022景宁县模拟）如图，在菱形ABCD中，点P为对角线AC上的动点，连结DP，将DP绕点D按逆时针方向
8、旋转至DQ，使QDPCDA，PQ与CD交于点E（1）求证：PECDPA；（2）已知AD5，AC8，当DPAD时，求PEC的面积；连结CQ，当EQC为直角三角形时，求AP的长21（2022拱墅区校级二模）如图已知BD是ABC的角平分线，E是BD延长线上的一点且AEAB（1）求证：ADECDB；（2）若AB6，BD4，DE5，求BC的长22（2022余姚市模拟）【基础巩固】（1）如图1，在ABC中，ABAC，BAC90，点D为CB延长线上一点，连结AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90得到线段AE，连结CE求证：ABDACE；【尝试应用】（2）如图2，在（1）的条件下，连接DE，若AE交DC于点F，
9、已知FC3，求线段DE的长；【拓展提高】（3）如图3，在正方形ABCD中，点E是对角线CA延长线上的一点，连结DE，过D点作DE的垂线交AC于F点，交BC于G点，若，AE3，求AF的长23（2022宁波模拟）如图1，在ABC中，BAC90，AB6AC8，点D，E分别是AB，BC的中点把BDE绕点B旋转一定角度，连结AD，AE，CD，CE（1）如图2，当线段BD在ABC内部时，求证：BADBCE（2）当点D落在直线AE上时，请画出图形，并求CE的长（3）当ABE面积最大时，请画出图形，并求出此时ADE的面积专题28 图形的相似一、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1（2023宁
10、波模拟）若，则的值是（）ABC2D2【分析】由，可得b3a，把b换成3a即可求出的值【解答】解：，b3a，2故选：C2（2022诸暨市二模）如图，如果BADCAE，那么添加下列一个条件后，仍不能确定ABCADE的是（）ABDBCAEDCD【分析】根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案【解答】解：BADCAE，DAEBAC，A，B，D都可判定ABCADE选项C中不是夹这两个角的边，所以不相似，故选：C3（2011永嘉县模拟）如图，D、E为ABC边上的点，DEBC，ADE的面积等于2，则四边形DBCE的面积等于（）A8B9C16D25【分析】根据题意，先求证ADEABC
11、，因为相似三角形的面积比是相似比的平方，则可得出SADE：SABC的比，则ADE的面积：四边形DBCE的面积可求；已知ADE的面积等于2，则四边形DBCE的面积可求【解答】解：DEBC，ADEABC，AD：AB1：3，相似三角形的面积比是相似比的平方，SADE：SABC1：9，ADE的面积：四边形DBCE的面积1：8，又ADE的面积等于2，四边形DBCE的面积等于16故选：C4（2021滨江区校级三模）如图，在ABC中，D、E分别在AB、AC上，DEBC，点F在BC边上，连接AF交DE于点G，则下列结论中一定正确的是（）ABCD【分析】由DEBC，结合平行线分线段成比例可得结论【解答】解：在A
12、BC中，DEBC，C选项符合题意故选：C5（2023宁波模拟）如图，在RtABC中，C90，过点C作CDAB于点D，点M为线段AB的中点，连结CM，过点D作DECM于点E设DAa，DBb，则图中可以表示的线段是（）AMCBCECDEDME【分析】证明ACDCBD，根据相似三角形的性质得，则CD2ab，再证明MCDDCE，可得出，则CD2CMCEab，由点M为线段AB的中点得CMAB，即可得出CE【解答】解：CDAB，ADCCDB90，ACB90，A+BBCD+B90，ABCD，ACDCBD，CD2ADBDab，同理得MCDDCE，CD2CMCEab，点M为线段AB的中点，CMAB，CE故选：B
13、6（2023宁波模拟）矩形相邻的两边长分别为25和x（x25），把它按如图所示的方式分割成五个全等的小矩形，每一个小矩形均与原矩形相似，则x的值为（）A5B5C5D10【分析】根据相似多边形的性质得出比例式，即可得到答案【解答】解：原矩形的长为25，宽为x，小矩形的长为x，宽为5，小矩形与原矩形相似，解得：x5或5（舍去），故选：B7（2022鹿城区校级三模）如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形拼接而成，连结HF交DE于点M若，则的值为（）ABCD【分析】延长CB，DE，交于点N，设AH1，AE2，依据ADEBNE，即可得出BN1.5；再根据DHMNFM，即可得到的值【解答】解：如图所示
14、，延长CB，DE，交于点N，设AH1，AE2，正方形ABCD由四个全等的直角三角形拼接而成，BE1，DHBF2，ADBN，ADEBNE，即，BN1.5，DHNF，DHMNFM，故选：C8（2022鹿城区校级模拟）如图，两个大小不等的正方形被切割成5部分，且与的面积之差为8，将这5部分拼接成一个大正方形ABCD，连接AC交DF于点E，若，则大正方形ABCD的面积为（）A18B25C32D50【分析】如图，根据拼图性质，结合两个图之间的边角关系，利用正方形的性质、相似三角形的判定与性质得到，设GT4x，用x表示出图形和的面积，再由8求得x值，即可得GJ，KJ，再根据正方形的面积公式求解即可【解答】
15、解：如图，四边形ABCD是正方形，ADBC，ADECEF，AMDM，CNNF，AMECNE90，又AEMCEN，AMECNE，AMHIGT，CNKJ，；设GT4x，则KJ3xQIIJ，HIQT4x，HQHIQI4x3xx，RQJI，HQRHIJ，即，SS梯形HQTGSHQR，SS8，解得x22，（负值舍去），S正方形ABCDS正方形GPQT+S正方形KQTI50，故选：D9（2022吴兴区校级二模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，BAD60，AB1按下列步骤作图：以点B为圆心，适当长为半径画弧，与ABD的两边分别交于M、N两点；分别以点M、N为圆心，大于MN长为半径画弧，两
16、弧相交于点P；过B，P两点作射线BP，分别交AD，AC于点F，G，下列结论错误的是（）AAFDFBBFBCCAG：GC1：3DAD2AGAC【分析】由菱形的性质可得ABADBC，BAC30BCA，由等边三角形的性质可证AFDF，BFAD，ABF30，BFBC，通过证明ABGACB，可得，即AD2ACAG，即可求解【解答】解：由题意可得：BF平分ABD，四边形ABCD是菱形，BAD60，ABADBC，BAC30BCA，ABD是等边三角形，又BF平分ABD，AFDF，BFAD，ABF30，故选项A不符合题意，ADBC，BFBC，故选项B不符合题意，ABFACB30，BACBAG，ABGACB，AB
17、2ACAG，AD2ACAG，故选项D不符合题意；ABFACB30BAC，BFBC，AGBG，GC2BG，AG：GC1：2，故选项C符合题意，故选：C10（2022金华模拟）如图，在矩形ABCD中，DE3AE，BEAC于点F，连接DF分析下列四个结论：AEFCAB；CF3AF；SCDFSCBF；若BC4，则tanACB其中正确的结论有（）ABCD【分析】正确，根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可错误，应该是CF4AF正确，证明SCDFSADC，SCBFSACB，推出SCDFSCBF，可得结论正确，设AFm，CF4m，利用相似三角形的性质求出BF2m，可得结论【解答】解：四边形ABCD是矩形，
18、ADBC，ADBC，ABC90，EAFACB，ACBE，AFEABC90，AEFCAB，故正确，DE3AE，CF4AF，故错误，四边形ABCD是矩形，SADCSABC，CFAC，SCDFSADC，SCBFSACB，SCDFSCBF，故正确，设AFm，CF4m，ABF+BAC90，BAC+FCB90，ABFBCF，BFACFB90，BFACFB，BF2m，tanACB，故正确故选：C二、 填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请把答案直接填写在横线上11（2023宁波模拟）如图，ABCDEF，直线l1、l2分别与这三条平行线交于点A、C、E和点B、D、F已知AC3，CE5，DF4，则BD
19、的长为 【分析】先根据平行线分线段成比例定理得到，然后利用比例性质得到BD的长【解答】解：ABCDEF，即，解得BD故答案为：12（2022北仑区校级三模）在矩形ABCD中，AB6，AD8，G为CD上一点，连结AG交BD于点E，若ABAE，ABEEFC，则BF的长度为 【分析】根据矩形的性质和勾股定理可得BD10，然后证明ADEEBF，可得，然后根据等腰三角形的判定和性质证明GDGE，根据勾股定理得AG2AD2+DG2，解得GD，再由ABDG，可得ABEGDE，所以，即，可得BE，进而可以求出BF的长【解答】解：在矩形ABCD中，AB6，AD8，BD10，ABAE，ABEAEB，ABEEFC，
20、AEBEFC，AEDEFB，四边形ABCD是矩形，ADBC，ADEEBF，ADEEBF，ABDC，ABEEDG，ABEAEB，EDGAEB，DEGAEB，EDGDEG，GDGE，在RtADG中，AD8，AGAE+GE6+GD，根据勾股定理得：AG2AD2+DG2，（6+GD）282+GD2，解得GD，ABDG，ABEGDE，BE，BF故答案为：13（2022嘉兴二模）如图，在ABC中，AD为CAB的平分线，DEAB，若DE3，CE4，则AB的值 【分析】由角平分线的性质得出BADEAD，由平行线的性质得出EDABAD，进而得出EADEDA，得出EAED3，由DEAB，证明CEDCAB，由相似三
21、角形的性质即可求出AB的长度【解答】解：AD为CAB的平分线，BADEAD，DEAB，EDABAD，EADEDA，EAED，DE3，EA3，DEAB，CEDCAB，CDECBA，CEDCAB，DE3，CE4，EA3，CACE+EA4+37，AB，故答案为：14（2022瑞安市校级三模）如图，已知平行四边形ABCD的面积为24，以B为位似中心，作平行四边形ABCD的位似图形平行四边形EBFG，位似图形与原图形的位似比为，连接AG、DG则ADG的面积为 4【分析】延长EG交CD于点H，由题意可得四边形AEHD是平行四边形，则可得此平行四边形的面积为8，从而可得ADG的面积【解答】解：延长EG交CD
22、于点H，如图，四边形ABCD是平行四边形，四边形EBFG是平行四边形，ABCD，ADBC；BFEG，ADEG，四边形AEHD是平行四边形，位似图形与原图形的位似比为，即，故答案为：415（2022奉化区二模）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且AC6，BD8过O的直线EF交BC于E，交AD于F把四边形CDFE沿着EF折叠得到四边形CEFD，CD交AC于点G当CDBD时，的值为 ，BE的长为 【分析】连接OC，OD，根据轴对称的性质可得OCOC，ODOD，利用等面积法可得出OG的长，再根据勾股定理可分别求得CG和DG，进而可得出结论；连接DD，CC，过点D作DMBD，则四边形GOMD
23、是矩形，勾股定理求得DD，CC，设BEx，则EC5x，根据对称可知FDBEx，根据FDDECC，由相似三角形的性质列出方程，即可求解【解答】解：如图，连接OC，OD，在菱形ABCD中，AC6，BD8，OAOC3，OBOD4，且ACBD，菱形的边长为5CDBD，CDAC，由折叠可知，OCOC3，ODOD4，CODCOD90，OG由勾股定理可知，CG，DG，；如图，连接DD，CC，过点D作DMBD，则四边形GOMD是矩形，DMOG，MGOD4，DMGMDG4，DDCG，CGOC+OG3+，CC，CC：DD9：4设BEx，则CECE10x，由菱形的对称性可知，DFBEx，且CCEDDF，EC：DFC
24、C：DD4：9，即（5x）：x4：9，解得x故答案为：；16（2022乐清市一模）如图1为某智能洗拖一体扫地机，它正常工作及待机充电时的示意图如图2所示，四边形ABCD为它的手柄，OE为支撑杆，OM为拖把支架，且点O始终在AB的延长线上，当待机时，BCOM，已知AB18cm，BC15cm，ABCC90，AD+CD27cm，则CD10cm；OE绕点O逆时针旋转一定角度，机器开始工作，当D，C，M在同一直线上时，点A，B分别绕O点旋转到点A，B，且高度分别下降了21.6cm和18cm，则此时点D到OM距离为 89cm【分析】过点D作DFAB于F，则四边形BCDF是矩形，得DFBC15cm，BFCD
25、，设CDx cm，则AFABBFABCD（18x）cm，因为AD+CD27cm，则AD（27x）cm，在RtAFD中，由勾股定理，（18x）+15（27x），求解即可求得CD长，再过点A作APOM交MO延长线于P，点B作BNOM交MO延长线于N，点D作DGOM交MO延长线于G，点O作OHCM于H，利用sinAOPsinBON，可求出OB90cm，证四边形BCHO是矩形，得CHOB90cm，OHBC15cm，因为CMOB，则OMHNOB，所以sinOMHsinNOB，求得OM，在RtOHM中，由勾股定理可求出MH，则MDMH+CH+DC，在RtGMD中，由sinGMDsinNOB，即，则可求出D
26、G【解答】解：如图，过点D作DFAB于F，DFAB，BFDAFD90，ABCC90，四边形BCDF是矩形，DFBC15cm，BFCD，设CDx cm，则AFABBFABCD（18x）cm，AD+CD27cm，AD（27x）cm，在RtAFD中，由勾股定理，（18x）2+152（27x）2，解得x10，即CD的长为10cm如图，过点A作APOM交MO延长线于P，点B作BNOM交MO延长线于N，点D作DGOM交MO延长线于G，点O作OHCM于H，设OBycm，由旋转可得，OBOBycm，ABAB18cm，BCBC15cm，CDCD10cm，由题意，得APAB+OB21.618+y21.6（y3.6
27、）cm，BN（y18）cm，sinAOPsinBON，即，解得y90，即OBOB90cm，OHCM，OHCOHM90，CMOB，BOH90，CBO90，四边形BCHO是矩形，CHOB90cm，OHBC15cm，CMOB，OMHNOB，sinOMHsinNOB，OM在RtOHM中，由勾股定理得，MH，MDMH+CH+DC，在RtGMD中，由sinGMDsinNOB，即，DG89cm即点D到OM的距离为89cm故答案为：10；89三、 解答题（本大题共7小题，共66分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（2023宁波模拟）如图，为了测量平静的河面的宽度，即EP的长，在离河岸D点3.2米远
28、的B点，立一根长为1.6米的标杆AB，在河对岸的岸边有一根长为4.5米的电线杆MF，电线杆的顶端M在河里的倒影为点N，即PMPN，两岸均高出水平面0.75米，即DEFP0.75米，经测量此时A、D、N三点在同一直线上，并且点M、F、P、N共线，点B、D、F共线，若AB、DE、MF均垂直于河面EP，求河宽EP是多少米？【分析】延长AB交EP的反向延长线于点H，由ABDAHO求得OH，再由AHONPO求得OP，便可解决问题，【解答】解：延长AB交EP的反向延长线于点H，则四边形BDEH是矩形，BHDE0.75，BDEH，AHAB+BHAB+DE1.6+0.752.35，BDOH，ABDAHO，HO
29、4.7，PMPN，MF4.5米，FP0.75米，PNMF+FP5.25米，AHEP，PNEP，AHPN，AHONPO，PO10.5，PEPO+OE10.5+（4.73.2）12，答：河宽EP是12米18（2022椒江区校级二模）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，ABC的顶点都在格点上（1）以O为位似中心，在点O的同侧作A1B1C1，使得它与原三角形的位似比为1：2；（2）将ABC绕点O顺时针旋转90得到A2B2C2，作出A2B2C2，并求出点C旋转的路径的长【分析】（1）连接AO，CO，BO找到AO，CO，BO的中点，顺次连接即可得出A1B1C1；（2）将对应点A，B，C分别绕
30、O顺时针旋转90，找到对应点连接即可，再利用弧长公式求出点C旋转的路径的长【解答】解：（1）如图所示：（2）如图所示：，点C运动的路径为弧19（2022永嘉县三模）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，AE，BF交于点P（1）求证：AP4PE（2）若BPEBFD，且AD8，求四边形PFCE的面积【分析】（1）取BF的中点G，连接EG，然后利用三角形的中位线定理可得FC2GE，再根据矩形的性质可得ABE90，ABCD，ADBC，ABCD，从而可得EGAB，再根据线段中点的定义可得ABCD2CF，最后证明8字模型相似三角形ABPEGP，从而利用相似三角形的性质，进行计算即可解答；（
31、2）根据等角的补角相等可得12，从而可得13，进而可得ABAP4PE，然后设PEa，则ABAP4a，AE5a，由勾股定理得BE3a，从而求出a的值，进而求出，再求出SBCF，最后利用等式的性质可得S四边形PFCESABP，即可解答【解答】（1）证明：如图：取BF的中点G，连接EG，E是BC的中点，EG是BCF的中位线，EGCD，FC2GE，四边形ABCD是矩形，ABE90，ABCD，ADBC，ABCD，EGAB，F是CD的中点，CD2CF，ABCD2FC4GE，EGAB，BAEAEG，ABPBGE，ABPEGP，AP4PE；（2）解：BPEBFD，BFD+2180，BPE+1180，12，AB
32、CD，32，13，ABAP4PE，设PEa，则ABAP4a，AEAP+PE5a，在RtABE中，由勾股定理得：BE3a，点E是BC的中点，BC2BE6a，ADBC2BE6a，AD8，6a8，F是CD的中点，CFCD2a，SBCF6a2SABESBCF，SABESBPESBCFSBPE，S四边形PFCESABP，AP4PE，四边形PFCE的面积为20（2022景宁县模拟）如图，在菱形ABCD中，点P为对角线AC上的动点，连结DP，将DP绕点D按逆时针方向旋转至DQ，使QDPCDA，PQ与CD交于点E（1）求证：PECDPA；（2）已知AD5，AC8，当DPAD时，求PEC的面积；连结CQ，当EQ
33、C为直角三角形时，求AP的长【分析】（1）推导出EPCADP，DACDCA，即可证明三角形相似；（2）连接BD交AC于点O，证明ADPAOD，利用对应边成比例求出DP，AP，则CP，再由（1）知，PECDPA，求出相似比，根据相似比的平方等于面积比，求出SADP，即可求SPCE；证明ADPDQC（SAS），可知CD是ACQ的角平分线，分两种情况讨论：当QEC90时，PCQ是等腰三角形，APPC4当EQC90时，过点D作DHAB交于H点，利用等积法求出DH，则AH，可求cosDAB，再由DAB2DAC，QCP2DCA，得到方程，求出AP即可【解答】（1）证明：由旋转可知，DPDQ，DPQQ，四边
34、形ABCD是菱形，ADCD，DACDCA，QDPCDA，ADPQDE，DQPDPQDACDCA，DEQCEP，EPCQDE，EPCADP，PECDPA；（2）解：连接BD交AC于点O，四边形ABCD是菱形，AOOC，AOD90，ADDP，ADP90，ADPAOD，AC8，OA4，AD5，DO3，DP，AP，CP8，PECDPA；，SADP5，SPCE；DQDP，CDAD，QDCADP，ADPDQC（SAS），QCDDAP，CQAP，QCDACD，CD是ACQ的角平分线，当QEC90时，PCQ是等腰三角形，CQCP，APPC4；当EQC90时，过点D作DHAB交于H点，AO4，DO3，DH，AH
35、，cosDAB，DAB2DAC，QCP2DCA，AP；综上所述：AP的长为4或21（2022拱墅区校级二模）如图已知BD是ABC的角平分线，E是BD延长线上的一点且AEAB（1）求证：ADECDB；（2）若AB6，BD4，DE5，求BC的长【分析】（1）BD是角平分线可得ABDCBD，AEAB可得ABDE，从而CDBE，再利用对顶角相等可得CDBADE，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得结论；（2）由（1）中的结论，利用相似三角形对应边成比例得出比例式，将已知线段代入可求BC【解答】（1）证明：BD是ABC的角平分线，ABDCBDABAE，ABDEECBDEDABDC，ADECDB（2）
36、解：AEAB，AB6，AE6ADECDB，BD4，DE5，BC22（2022余姚市模拟）【基础巩固】（1）如图1，在ABC中，ABAC，BAC90，点D为CB延长线上一点，连结AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90得到线段AE，连结CE求证：ABDACE；【尝试应用】（2）如图2，在（1）的条件下，连接DE，若AE交DC于点F，已知FC3，求线段DE的长；【拓展提高】（3）如图3，在正方形ABCD中，点E是对角线CA延长线上的一点，连结DE，过D点作DE的垂线交AC于F点，交BC于G点，若，AE3，求AF的长【分析】（1）根据旋转的性质得到ADAE，DAE90，得到DABEAC，进而证明ADBA
37、EC；（2）根据正切的定义求出CE，根据勾股定理求出EF，再根据正切的定义计算，得到答案；（3）延长DG至M，使DMDE，连接CM，连接BD交AC于N，根据CMGBDG，求出AD、AC，根据CFGAFD，求出AF【解答】（1）证明：由旋转的性质可知，ADAE，DAE90，DAEBAC，DAEBAEBACBAE，即DABEAC，在ADB和AEC中，ADBAEC（SAS）；（2）解：由（1）可知，ADBAEC，AECADB，tanADC，tanFEC，FC3，CE4，由勾股定理得：EF5，设AF3x，则AD4x，ADAE，4x3x5，解得：x5，AD4x20，DEAD20；（3）解：延长DG至M，使DMDE，连接CM，连接BD交AC于N，由（1）可知，ADBAEC，CMAF3，MCDEAD135，MCG45，MCGDBC，BDCM，CMGBDG，设ANBNCNy，则BCy，解得：y3，则AC6，AD3，CGAD，CFGAFD，即，解得：AF23（2022宁波模拟）如图1，在ABC中，BAC90，AB6AC8，点D，E分别是AB，BC的中点把BDE绕点B旋转一定角度，连结AD，AE，CD，CE（1）如图2，当线段BD在ABC内部时，求证：BADBCE（2）当点D落在直线AE上时，请画